%@P:exocorcp %@metapost:302dm01.mp \par\compo{1}{302dm01}{1}{Soit un demi-cercle de diamètre $[AB]$ tel que $AB=10$~cm. Soit un point $M$ de ce demi-cercle tel que $BM=6$~cm.\par Dans le triangle $ABM$, la hauteur issue de $M$ coupe la droite $(AB)$ en $H$. \par Sur la perpendiculaire en $M$ au plan du demi-cercle, on place le point $S$ tel que $SM=MH$. } \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item Fais une figure représentant en vraie grandeur le demi-cercle, le triangle $ABM$ et le point $H$. \item Quelle est la nature du triangle $ABM$ ? Justifie. \item Calcule la longueur $AM$. \item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{MAB}$. On donnera une valeur approchée au degré près. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calcule l'aire du triangle $ABM$.\label{2a} \item Exprime l'aire du triangle $ABM$ en fonction de $MH$.\label{2b} \item Déduis des questions 2a et 2b que la longueur $MH$ est 4,8~cm. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calcule les longueurs $SA$ et $SB$. On donnera une valeur approchée au mm près. \item Calcule $AB^2+SM^2$, $SB^2+AM^2$ et $SA^2+BM^2$. Que remarque-t-on ? \end{enumerate} \item Calcule le volume de la pyramide $SABM$. \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \setcounter{enumii}{1} \item $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ donc le triangle $ABM$ est rectangle en $M$. \item Théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ABM$. \item Cosinus dans le triangle rectangle $ABM$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item ${\cal A}_{ABM}=\dfrac{AM\times MB}2=24$~cm$^2$. \item ${\cal A}_{ABM}=\dfrac{AB\times MH}2=\dfrac{10\times MH}2=5\times MH$. \item Il suffit d'écrire $5\times MH=24$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Théorème de Pythagore dans les triangles rectangles $SAM$ et $SBM$ : $SA^2=87,04$ et $SB^2=59,04$. \item $AB^2+SM^2=10^2+4,8^2=123,04$, $SB^2+AM^2=59,04+8^2=123,04$ et $SA^2+BM^2=87,04+6^2=123,04$. \end{enumerate} \item ${\cal V}_{SABM}=\dfrac13\times{\cal A}_{ABM}\times SM$. \end{myenumerate}