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Source de exo10.tex

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%@P:exocorcp
%@metapost:302dm01.mp
\par\compo{1}{302dm01}{1}{Soit un demi-cercle de diamètre $[AB]$ tel que
$AB=10$~cm. Soit un point $M$ de ce demi-cercle tel que
$BM=6$~cm.\par Dans le triangle $ABM$, la hauteur issue de $M$ coupe
la droite $(AB)$ en $H$.
\par Sur la perpendiculaire en $M$ au plan du demi-cercle, on place le
point $S$ tel que $SM=MH$.
}
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Fais une figure représentant en vraie grandeur le demi-cercle,
le triangle $ABM$ et le point $H$.
\item Quelle est la nature du triangle $ABM$ ? Justifie.
\item Calcule la longueur $AM$.
\item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{MAB}$. On donnera une
valeur approchée au degré près.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calcule l'aire du triangle $ABM$.\label{2a}
\item Exprime l'aire du triangle $ABM$ en fonction de $MH$.\label{2b}
\item Déduis des questions 2a et 2b que la longueur $MH$
est 4,8~cm.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Calcule les longueurs $SA$ et $SB$. On donnera une valeur
approchée au mm près.
\item Calcule $AB^2+SM^2$, $SB^2+AM^2$ et $SA^2+BM^2$. Que
remarque-t-on ?
\end{enumerate}
\item Calcule le volume de la pyramide $SABM$.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \setcounter{enumii}{1}
  \item $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ donc le triangle $ABM$ est rectangle en $M$.
  \item Théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ABM$.
  \item Cosinus dans le triangle rectangle $ABM$.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item ${\cal A}_{ABM}=\dfrac{AM\times MB}2=24$~cm$^2$.
  \item ${\cal A}_{ABM}=\dfrac{AB\times MH}2=\dfrac{10\times MH}2=5\times MH$.
  \item Il suffit d'écrire $5\times MH=24$.
  \end{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}
  \item Théorème de Pythagore dans les triangles rectangles $SAM$ et $SBM$ : $SA^2=87,04$ et $SB^2=59,04$.
  \item 
$AB^2+SM^2=10^2+4,8^2=123,04$, $SB^2+AM^2=59,04+8^2=123,04$ et $SA^2+BM^2=87,04+6^2=123,04$.
  \end{enumerate}
\item ${\cal V}_{SABM}=\dfrac13\times{\cal A}_{ABM}\times SM$.
\end{myenumerate}