%@P:exocorcp \begin{myenumerate} \item Construis un triangle $SAB$ isocèle en $S$ tel que $SA=6,5$~cm et $AB=5$~cm. Dans le triangle $SAB$, on appelle $I$ le pied de la hauteur issue de $S$. \par Place sur la droite $(SI)$ et à l'extérieur du triangle $SAB$ le point $D$ tel que $ID=3$~cm. \item\begin{enumerate} \item Quelle est la longueur $AI$ ? Justifie la réponse. \item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ISA}$ à 1 degré près. \item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{IAD}$ à 1 degré près. \item Calcule la longueur $SI$. \end{enumerate} \item Pourquoi a-t-on $BD=AD$ ? \item La parallèle à la droite $(AB)$ passant par $D$ coupe la droite $(SA)$ en $A'$ et la droite $(SB)$ en $B'$. \par Calcule le rapport $\dfrac{DA'}{IA}$. \item On fait tourner les triangles $SAB$ et $SA'B'$ autour de la droite $(SI)$. On obtient deux cônes de révolution : le cône $\cal C$ de sommet $S$ et de base le disque de diamètre $[AB]$ et le cône ${\cal C}_1$ de sommet $S$ et de base le disque de diamètre $[A'B']$. \begin{enumerate} \item Exprime, en fonction de $\pi$, le volume $\cal V$ en cm$^3$ du cône $\cal C$. On donnera ensuite une valeur arrondie au cm$^3$. \item Le cône ${\cal C}_1$ est un agrandissement du cône $\cal C$. On note ${\cal V}_1$ le volume, en cm$^3$, du cône ${\cal C}_1$. \par Exprime, en fonction du volume $\cal V$ du cône $\cal C$, le volume ${\cal V}_1$ du cône ${\cal C}_1$. \end{enumerate} \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \setcounter{enumi}{1} \item \begin{enumerate} \item Comme le triangle $SAB$ est isocèle en $S$ alors $I$ est le milieu du segment $[AB]$. Donc $AI=2,5$~cm. \item Dans le triangle $AIS$ rectangle en $I$, on a : \[\Eqalign{ \cos\widehat{IAS}&=\frac{AI}{AS}\cr \cos\widehat{IAS}&=\frac{2,5}{6,5}\cr \widehat{IAS}&\approx67\degres\cr }\] \item Dans le triangle $AIS$ rectangle en $I$, on a : \[\Eqalign{ \tan\widehat{IAD}&=\frac{ID}{IA}\cr \tan\widehat{IAD}&=\frac{3}{2,5}\cr \widehat{IAS}&\approx50\degres\cr }\] \item \pythadroit SIA{6.5}{2.5} \end{enumerate} \item $(SI)$ est la médiatrice du segment $[AB]$. Comme $D$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$ alors $DA=DB$. \item \Thales S{A'}DAI Donc \[\frac{DA'}{IA}=\frac96=\frac32\] \item \begin{enumerate} \item \[\Eqalign{ {\cal V}&=\frac13\times\pi\times AI^2\times SI\cr {\cal V}&=\frac13\times\pi\times 2,5^2\times 6\cr {\cal V}&=13,5\pi~\mbox{cm}^3\cr {\cal V}&\approx42~\mbox{cm}^3\cr }\] \item Le coefficient d'agrandissement est $\dfrac{DA'}{IA}=\dfrac32$. Donc \[{\cal V}_1={\cal V}\times\left(\frac32\right)^3\] \end{enumerate} \end{myenumerate}