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Source de exo12.tex

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%@P:exocorcp
\begin{myenumerate}
\item Construis un triangle $SAB$ isocèle en $S$ tel que $SA=6,5$~cm
et $AB=5$~cm. Dans le triangle $SAB$, on appelle $I$ le pied de la
hauteur issue de $S$.
\par Place sur la droite $(SI)$ et à l'extérieur du triangle $SAB$ le
point $D$ tel que $ID=3$~cm.
\item\begin{enumerate}
\item Quelle est la longueur $AI$ ? Justifie la réponse.
\item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{ISA}$ à 1 degré près.
\item Calcule la mesure de l'angle $\widehat{IAD}$ à 1 degré près.
\item Calcule la longueur $SI$.
\end{enumerate}
\item Pourquoi a-t-on $BD=AD$ ?
\item La parallèle à la droite $(AB)$ passant par $D$ coupe la droite
$(SA)$ en $A'$ et la droite $(SB)$ en $B'$.
\par Calcule le rapport $\dfrac{DA'}{IA}$.
\item On fait tourner les triangles $SAB$ et $SA'B'$ autour de la
droite $(SI)$. On obtient deux cônes de révolution : le cône $\cal C$
de sommet $S$ et de base le disque de diamètre $[AB]$ et le cône
${\cal C}_1$ de sommet $S$ et de base le disque de diamètre $[A'B']$.
\begin{enumerate}
\item Exprime, en fonction de $\pi$, le volume $\cal V$ en cm$^3$ du
cône $\cal C$. On donnera ensuite une valeur arrondie au cm$^3$.
\item Le cône ${\cal C}_1$ est un agrandissement du cône $\cal C$. On
note ${\cal V}_1$ le volume, en cm$^3$, du cône ${\cal C}_1$.
\par Exprime, en fonction du volume $\cal V$ du cône $\cal C$, le
volume ${\cal V}_1$ du cône ${\cal C}_1$.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \setcounter{enumi}{1}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Comme le triangle $SAB$ est isocèle en $S$ alors $I$ est le milieu du segment $[AB]$. Donc $AI=2,5$~cm.
    \item Dans le triangle $AIS$ rectangle en $I$, on a :
\[\Eqalign{
\cos\widehat{IAS}&=\frac{AI}{AS}\cr
\cos\widehat{IAS}&=\frac{2,5}{6,5}\cr
\widehat{IAS}&\approx67\degres\cr
}\]
    \item Dans le triangle $AIS$ rectangle en $I$, on a :
\[\Eqalign{
\tan\widehat{IAD}&=\frac{ID}{IA}\cr
\tan\widehat{IAD}&=\frac{3}{2,5}\cr
\widehat{IAS}&\approx50\degres\cr
}\]
\item \pythadroit SIA{6.5}{2.5}
    \end{enumerate}
  \item $(SI)$ est la médiatrice du segment $[AB]$. Comme $D$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$ alors $DA=DB$.
  \item \Thales S{A'}DAI
Donc \[\frac{DA'}{IA}=\frac96=\frac32\]
\item
  \begin{enumerate}
  \item \[\Eqalign{
{\cal V}&=\frac13\times\pi\times AI^2\times SI\cr
{\cal V}&=\frac13\times\pi\times 2,5^2\times 6\cr
{\cal V}&=13,5\pi~\mbox{cm}^3\cr
{\cal V}&\approx42~\mbox{cm}^3\cr
}\]
\item Le coefficient d'agrandissement est $\dfrac{DA'}{IA}=\dfrac32$. Donc
\[{\cal V}_1={\cal V}\times\left(\frac32\right)^3\]
  \end{enumerate}
\end{myenumerate}