%@P:exocorcp %@metapost:3pbgeoexo2c.mp On considère un triangle $ABC$ tel que $AB=5,6$~cm ; $BC=4,2$~cm et $AC=7$~cm. \begin{myenumerate} \item Fais la figure sur une feuille séparée. On complétera cette figure au fur et à mesure des questions. \item Démontre que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$. \item \begin{enumerate} \item Calcule l'aire du triangle $ABC$. \item Dans le triangle $ABC$, la hauteur issue de $B$ coupe la droite $(AC)$ en $H$. \par Exprime l'aire du triangle $ABC$ en fonction de $BH$. \item Montre que $BH=3,36$~cm. \end{enumerate} \item Calcule la longueur $HC$. \item Place le point $D$ symétrique de $B$ par rapport à $H$. Trace la droite qui passe par $D$ et qui est perpendiculaire à la droite $(BD)$. Cette droite coupe la droite $(BC)$ en $E$. \\Montre que $C$ est le milieu du segment $[BE]$. \item Place le point K tel que $\vecteur{HC}=\vecteur{CK}$. \\Quelle est la nature du quadrilatère $BHEK$ ? Justifie la réponse. \item Démontre que $DEKH$ est un rectangle. \item On appelle $(\cal C)$ le cercle circonscrit au quadrilatère $DEKH$. \begin{enumerate} \item Trace le cercle $(\cal C)$ en justifiant la construction. \item On considère le cône de hauteur 5~cm ayant pour base le cercle $(\cal C)$. \\Calcule le volume du cône au cm$^3$ près. \end{enumerate} \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item\[\includegraphics{3pbgeoexo2c.1}\] \item\Recipytha ABC{7}{5,6}{4,2} \item \begin{enumerate} \item $\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{AB\times AC}2=\dfrac{5,6\times4,2}2=\opmul*{5,6}{4,2}{a}\opdiv*{a}{2}{a}{b}\opprint{a}$~cm$^2$. \item $\mathscr{A}_{ABC}=\dfrac{BH\times AC}2=\dfrac{BH\times 7}2=3,5\times BH$. \item \[\Eqalign{ \mathscr{A}_{ABC}&\rnode{A}{=}\opprint{a}&&&\mathscr{A}_{ABC}&\rnode{B}{=}3,5\times BH\cr \cr &&\opprint{a}&\rnode{C}{=}3,5\times BH\cr &&\dfrac{\opprint{a}}{3,5}&=BH\cr &&\opdiv*{a}{3,5}{a}{b}\opprint{a}&=BH\cr }\] \nccurve[angleA=-30,angleB=90,nodesepB=3mm]{->}{A}{C}\nccurve[angleA=-120,angleB=90,nodesepB=3mm]{->}{B}{C} \end{enumerate} \item \pythadroit CHB{4,2}{a} \item Comme $D$ est le symétrique de $B$ par rapport à $H$ alors $H$ est le milieu du segment $[BD]$.\\Comme les droites $(HC)$ et $(DE)$ sont toutes deux perpendiculaires à la même droite $(BD)$ alors les droites $(HC)$ et $(DE)$ sont parallèles. \par Dans le triangle $BDE$, la parallèle à la droite $(DE)$ passant par $H$, milieu du segment $[BD]$, coupe le segment $[BE]$ en $C$. Donc $C$ est le milieu du segment $[BE]$. \item Comme $\vecteur{HC}=\vecteur{CK}$ alors $C$ est le milieu du segment $[HK]$.\\Or, $C$ est également le milieu du segment $[BE]$.\par Donc le quadrilatère $BHEK$ a ses diagonales qui ont le même milieu : $BHEK$ est alors un parallélogramme. \item Comme $BHEK$ est un parallélogramme alors les droites $(BH)$ et $(EK)$ sont parallèles.\\Comme les droites $(BH)$ et $(EK)$ sont parallèles et comme les droites $(BH)$ et $(HK)$ sont perpendiculaires alors les droites $(EK)$ et $(HK)$ sont perpendiculaires.\par Comme le quadrilatère $DEKH$ a trois angles droits alors $DEKH$ est un rectangle. \item \begin{enumerate} \item Comme $DEKH$ est un rectangle alors le centre de son cercle circonscrit est le point d'intersection des diagonales. \item Comme $BKEH$ est un parallélogramme alors $EH=BK$. \par Comme $C$ est le milieu de $[HK]$ alors $HK=2\times HC=2\times2,52=\opmul*{2,52}{2}{a}\opprint{a}$~cm. \\\pythahypo BHK{3,36}{a} \[\includegraphics{3pbgeoexo2c.2}\] \par Le volume du cône est donc \[\Eqalign{ \mathscr{V}&=\frac13\times\pi\times\left(\frac{BK}2\right)^2\times5\cr \mathscr{V}&=\frac13\times\pi\times\frac{BK^2}4\times5\cr \mathscr{V}&=\frac13\times\pi\times\frac{36,6912}4\times5 \mathscr{V}&=15,288\pi~\mbox{cm}^3\cr }\] \end{enumerate} \end{myenumerate}