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Source de exo22.tex

Fichier TeX
Image PNG
%@P:exocorcp
%@metapost:3-DS3-figure.mp
%@Auteur: Nathalie Herminier.\par
\textit{La figure ci-dessous n'est pas en vraie grandeur. }\\
\compo{3}{3-DS3-figure}{1}{La figure ci-contre représente un cône de révolution de sommet $S$ et de base le disque de centre $I$ et de rayon $[IA]$. On donne $IA=12$~cm et $SA=20$~cm.
\begin{myenumerate}
	\item Démontrer que $SI=16$~cm.
	\item Calculer le volume de ce cône arrondi à l'unité.
	\item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{SAI}$ au degré prés.
	\item On coupe le cône par un plan parallèle à sa base et passant par le point $I'$ du segment $[SI]$ tel que $II'=12$~cm.
	Quelle est la nature de la section obtenue? Justifier.\\
Que représente le point $I'$ pour cette section?
\item En utilisant le théorème de Thalès, déterminer le rayon de la section. 
 
	\item Quel est le coefficient de réduction qui permet de passer des dimensions du grand cône à celles du petit? Calculer le volume du petit cône à l'unité prés.
\end{myenumerate}}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item\pythadroit SIA{20}{12}
  \item \[\Eqalign{
{\mathscr V}&=\frac13\times\pi\times IA^2\times IS\cr
{\mathscr V}&=\frac13\times\pi\times 12^2\times20\cr
{\mathscr V}&=\frac13\times\pi\times144\times20\cr
{\mathscr V}&=960\pi~\mbox{cm}^3\cr
{\mathscr V}&\approx3\,016~\mbox{cm}^3\cr
}\]
\item Dans le triangle $ISA$, rectangle en $I$, on a :
\[\Eqalign{
\cos\widehat{SAI}&=\frac{AI}{AS}\cr
\cos\widehat{SAI}&=\frac{12}{20}\cr
\widehat{SAI}&\approx53\degres\cr
}\]
\item Comme on a coupé le cône par un plan parallèle à la base, alors
  la section obtenue est un cercle de centre $I'$.
\item \Thales SIA{I'}{A'}\ResolThales{I'}{A'}{12}8{20}{cm}
\item Le coefficient est $k=\dfrac{SI'}{SI}=\dfrac8{20}=\dfrac25$.
\par Donc le volume $\mathscr V'$ du petit cône est
\[\mathscr{V}'=\mathscr{V}\times\left(\frac25\right)^3=960\pi\times\frac8{125}\approx193~\mbox{cm}^3\]
\end{myenumerate}