exo24.tex

%@P:exocorcp
%@metapost:3problemegeoexo24.mp
\begin{myenumerate}
  \item Trace un repère $(O;I,J)$ d'unité 1~cm. (On utilisera du
    papier millimétré).
  \item Place les points $A(2;0)$; $B(8;2)$ et $C(1;3)$.
  \item Par une méthode {\em simple}, détermine l'aire du triangle $ABC$.
  \item \`A l'aide de la formule ci-dessous, calcule les longueurs
    $AB$, $BC$ et $CA$.
  \item Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Quel est le centre
    $P$ de son cercle circonscrit ? Quelle est la longueur $PA$ ?
    Quelle est la mesure, au degré près, de l'angle $\widehat{CBA}$ ?
  \item Soit $E$ le symétrique de $C$ par rapport à $A$ et $D$ le
    symétrique de $B$ par rapport à $A$.
    \begin{enumerate}
    \item Lis les coordonnées des points $D$ et $E$.
    \item Quelle est la nature du quadrilatère $BCDE$ ?
    \end{enumerate}
  \item Construis l'image du triangle $ABC$ par la translation qui
    transforme $E$ en $D$.
\end{myenumerate}
\begin{center}
  \psframebox[framearc=0.1]{\begin{minipage}{0.75\linewidth}
      \underline{Formulaire :}\\
      Si $R$ et $S$ sont deux points tels que $R(x_R;y_R)$
      $S(x_S;y_S)$ alors
      \[RS=\sqrt{(x_S-x_R)^2+(y_S-y_R)^2}\]
    \end{minipage}
}
\end{center}
%@Correction:
\[\includegraphics{3problemegeoexo24.1}\]
\begin{myenumerate}
  \setcounter{enumi}{2}
  \item \[\includegraphics{3problemegeoexo24.2}\]
    Donc
    \[\Eqalign{
      \mathscr
      A_{ABC}&=7\times3-\frac{1\times3}2-\frac{2\times6}2-\frac{7\times1}2\cr
      \mathscr A_{ABC}&=21-1,5-6-3,5\cr
      A_{ABC}&=10~\mbox{cm}^2\cr
    }\]
  \item \[\Eqalign{
      AB&=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}&BC&=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}&CA&=\sqrt{(x_A-x_C)^2+(y_A-y_C)^2}\cr
      AB&=\sqrt{(8-2)^2+(2-0)^2}&BC&=\sqrt{(1-8)^2+(3-2)^2}&CA&=\sqrt{(2-1)^2+(0-3)^2}\cr
      AB&=\sqrt{6^2+2^2}&BC&=\sqrt{(-7)^2+1^2}&CA&=\sqrt{1^2+(-3)^2}\cr
      AB&=\sqrt{36+4}&BC&=\sqrt{49+1}&CA&=\sqrt{1+9}\cr
      AB&=\sqrt{40}&BC&=\sqrt{50}&CA&=\sqrt{10}\cr
    }\]
  \item Dans le triangle $ABC$, $[BC]$ est le plus grand côté.
\[\left.\begin{array}{l}
    BC^2=50\\
    AB^2+AC^2=40+10=50\\
    \end{array}
\right\}BC^2=AB^2+AC^2\]
Comme $BC^2=AB^2+AC^2$ alors le triangle $ABC$ est rectangle en $A$
d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
\par\textbullet Comme $ABC$ est rectangle en $A$ alors le point $P$
est le milieu de l'hypoténuse $[BC]$ et
$PA=\dfrac{BC}2=\dfrac{\sqrt{50}}2$~cm.
\par\textbullet Comme $ABC$ est un triangle rectangle en $A$ alors
\[\Eqalign{
\cos\widehat{CBA}&=\frac{AB}{BC}\cr
\cos\widehat{CBA}&=\frac{\sqrt{40}}{\sqrt{50}}\cr
\widehat{CBA}&\approx27\degres\cr
}\]
\item
  \begin{enumerate}
  \item $D(-4;-2)$ et $E(3;-3)$.
  \item Comme $E$ est le symétrique de $C$ par rapport à $A$ alors $A$
    est le milieu du segment $[CE]$.\\Comme $D$ est le symétrique de
    $B$ par rapport à $A$ alors $A$ est le milieu du segment
    $[BD]$.\par Comme les diagonales du quadrilatère $BCDE$ ont le
    même milieu alors $BCDE$ est un parallélogramme.
    \par Comme le parallélogramme $BCDE$ a des diagonales
    perpendiculaires alors $BCDE$ est un losange.
  \end{enumerate}
\end{myenumerate}