exo25.tex

%@Auteur:\url{bricamath.net}\par
\begin{wrapfigure}{r}[0.5cm]{6cm}
	\begin{flushright} %figure à droite
		\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.8cm,runit=0.8cm}
		\begin{pspicture}(-0.4,-3.2)(6.4,3.2) %donc largeur=6.8
			\pscircle(3,0){3}
			\psline[linewidth=1.2pt](0,0)(6,0) %segment [AB]
			\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](2.5,2.96)(2.5,0) %segment [AH]
			\psline[linewidth=0.5pt](2.5,0.25)(2.75,0.25)(2.75,0) %codage angle droit
			\rput[bl](-0.4,0){$A$}
			\rput[bl](6.1,0){$B$}
			\psdots[dotsize=3pt 0](3,0) \rput[bl](2.9,-0.5){$O$} %point O
			\rput[bl](2.3,-0.5){$H$}
			\rput[bl](2.3,3.1){$C$}
		\end{pspicture}
	\end{flushright}
\end{wrapfigure}
 
Dans ce problème, on donnera les résultats sous la forme $a\sqrt{b}$ où $a$ et $b$ sont des entiers, $b$ étant le plus petit possible.\medskip
 
La figure ci-contre n'est pas à l'échelle, et ne sert qu'à indiquer la disposition des points de ce problème :\smallskip
 
\begin{itemize}
	\item[\textbullet] $[AB]$ est un segment tel que $AB=14$~cm.
	\item[\textbullet] $H$ est le point de $[AB]$ tel que $AH=6$~cm.
	\item[\textbullet] La perpendiculaire à $(AB)$ passant par $H$ coupe le cercle de diamètre $[AB]$ en $C$.
	\item[\textbullet] On appelle $O$ le centre du cercle.
\end{itemize}
 
\medskip
 
\begin{myenumerate}
	\item Trace la figure en vraie grandeur, et complète-la par la suite.
	\item Démontre que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle.
	\item Calcule la valeur exacte de la longueur $CH$.
	\item Calcule la valeur exacte de la longueur $AC$.
	\item Déduis-en finalement par le calcul que $BC=4\sqrt7$~cm.
	\item On s'intéresse au triangle $COB$, et on appelle $H_1$ le pied de la hauteur issue de $O$.
	\begin{enumerate}
	\item Calcule l'aire du triangle $COB$. Donne le résultat sous la forme $e\sqrt3$ où $e$ est un entier.
	\item Calcule la valeur exacte de la longueur $OH_1$.
	\end{enumerate}
\end{myenumerate}