Soit un segment $[IJ]$ tel que $IJ=10$~cm et ${\cal C}$ le cercle de diamètre $(IJ]$. Soit $O$ le centre de ce cercle et $H$ un point du cercle $\cal C$ tel que $IH=6$~cm. \begin{myenumerate} \item Quelle est la nature du triangle $HIJ$ ? Calcule alors la longueur $HJ$ et l'angle $\widehat{HIJ}$. \item \begin{enumerate} \item Soit $A$ le point tel que $\vecteur{HA}=\vecteur{IJ}$. Quelle est la nature du quadrilatère $AJIH$ ? \item Soit $B$ le point tel que $\vecteur{HB}=\vecteur{HI}+\vecteur{HJ}$. Quelle est la nature du quadrilatère $HIBJ$ ? \item Démontre que le point $B$ appartient au cercle $\cal C$. \item Démontre que le point $J$ est le milieu du segment $[AB]$. \item Que représente la droite $(HJ)$ pour le segment $[AB]$ ? \end{enumerate} \item Soit $(d)$ la perpendiculaire à la droite $(BH)$ passant par $A$. Elle coupe la droite $(HJ)$ en $C$. \begin{enumerate} \item Démontre que le triangle $ABC$ est isocèle en $C$. \item La droite $(AH)$ coupe la droite $(BC)$ en $K$. \\Démontre que les droites $(AK)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. \end{enumerate} \end{myenumerate}