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Source de exo30.tex

Fichier TeX
Image PNG
%@P:exocorcp
Dans ce problème, on pourra utiliser les données suivantes
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.75}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
{\bf Mesure de l'angle en degrés}&{\bf Cosinus}&{\bf Sinus}&{\bf Tangente}\\
\hline
30\degres&$\dfrac{\strut\sqrt3}2$&$\dfrac12$&$\dfrac{\sqrt3}{\strut3}$\\
\hline
60\degres&$\dfrac{\strut1}2$&$\dfrac{\sqrt3}{\strut2}$&$\sqrt3$\\
\hline
\end{tabular}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
\par On considère un triangle $LMN$ rectangle en $M$ tel que
$LM=6$~cm et $\widehat{MLN}=30$\degres.
\par Construis, sur feuille non quadrillée, la figure en vraie
dimension et complète la au fur et à mesure des questions.
\begin{myenumerate}
\item Montre que la valeur exacte de $LN$ est $4\sqrt3$~cm.
\item Trace le cercle $(\cal C)$ de diamètre $[ML]$ ; il recoupe le
segment $[LN]$ en $P$. Quelle est la nature du triangle $LMP$ ?
Justifie.
\item Montre que la valeur exacte de $MP$ est 3~cm.
\item Montrer que la valeur exacte de $LP$ est $3\sqrt3$~cm.
\item La droite perpendiculaire à la droite $(LN)$ passant par $N$
coupe la droite $(LM)$ en $R$.
\par Calcule la valeur exacte de la longueur $RN$.
\item Calcule les aires des triangles $MPL$ et $RNL$. On donnera les
résultats sous leur forme exacte.
\par Quelle est la nature du quadrilatère $MPNR$? Calcule son aire.
\item Place le point $S$, symétrique du point $L$ par rapport au point
$P$ et place le point $T$, symétrique du point $M$ par rapport au
point $P$. Quelle est la nature du quadrilatère $MLTS$ ? Justifie la réponse.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\[\includegraphics{3problemegeoexo1c.1}\]
\begin{myenumerate}
  \item Dans le triangle $MNL$, rectangle en $M$, on a :
\[\Eqalign{
\cos\widehat{MLN}&=\frac{LM}{LN}\cr
\cos30&=\frac6{LN}\cr
\frac{\sqrt3}2&=\frac6{LN}\cr
\sqrt3\times LN&=12\cr
LN&=\frac{12}{\sqrt3}=\frac{12\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}=4\sqrt3~\mbox{cm}\cr
}\]
\item Comme $P$ appartient au cercle de diamètre $[LM]$ alors le
  triangle $LMP$ est rectangle en $P$.
\item Dans le triangle $LMP$, rectangle en $P$, on a :
\[\Eqalign{
\sin\widehat{MLP}&=\frac{MP}{LM}\cr
\sin30&=\frac{MP}6\cr
\frac12&=\frac{MP}6\cr
MP&=3~\mbox{cm}\cr
}\]
\item Dans le triangle $LMP$, rectangle en $P$, on a :
\[\Eqalign{
\tan\widehat{MLP}&=\frac{MP}{LP}\cr
\tan30&=\frac3{LP}\cr
\frac{\sqrt3}{3}&=\frac3{LP}\cr
\sqrt3\times LP&=9\cr
LP&=\frac9{\sqrt3}=\frac{9\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}=3\sqrt3~\mbox{cm}\cr
}\]
\item Comme les droites $(RN)$ et $(MP)$ sont perpendiculaires à la
  même droite $(LN)$ alors les droites $(RN)$ et $(MP)$ sont
  parallèles.\par\Thales LNRPM
\[\Eqalign{
\frac{3\sqrt3}{4\sqrt3}&=\frac6{LR}=\frac3{RN}\cr
RN&=4\cr
}
\]
\item $MPNR$ a deux côtés opposés parallèles donc c'est un trapèze.
\par Comme $P$ appartient au segment $[LN]$ alors $NP=NL-LP=4\sqrt3-3\sqrt3=\sqrt3$~cm.
\[\Eqalign{
{\cal A}_{MPL}&=\frac{MP\times PL}2&{\cal A}_{RNL}&=\frac{RN\times
  NL}2&{\cal A}_{MPNR}&=\frac{(MP+RN)\times NP}2\cr
{\cal A}_{MPL}&=\frac{3\times3\sqrt3}2&{\cal A}_{RNL}&=\frac{4\times
  4\sqrt3}2&{\cal A}_{MPNR}&=\frac{(3+4)\times \sqrt3}2\cr
{\cal A}_{MPL}&=\frac{9\sqrt3}2~\mbox{cm}^2&{\cal
  A}_{RNL}&=\frac{16\sqrt3}2~\mbox{cm}^2&{\cal
  A}_{MPNR}&=\frac{7\sqrt3}2~\mbox{cm}^2\cr
&&{\cal A}_{RNL}&=8\sqrt3~\mbox{cm}^2\cr
}\]
\item Comme $S$ est le symétrique de $L$ par rapport à $P$ alors $P$
  est le milieu du segment $[LS]$.
\par Comme $T$ est le symétrique de $M$ par rapport à $P$ alors $P$
est le milieu du segment $[TM]$.
\par Comme les diagonales du quadrilatère $STLM$ ont donc le même
milieu $P$ alors $STLM$ est un parallélogramme.
\end{myenumerate}
%@Commentaire:
Reprise et tranformation de \verb+exo1+ pour l'adapter aux nouveaux programmes.