%@P:exocorcp Dans ce problème, on pourra utiliser les données suivantes \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.75} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline {\bf Mesure de l'angle en degrés}&{\bf Cosinus}&{\bf Sinus}&{\bf Tangente}\\ \hline 30\degres&$\dfrac{\strut\sqrt3}2$&$\dfrac12$&$\dfrac{\sqrt3}{\strut3}$\\ \hline 60\degres&$\dfrac{\strut1}2$&$\dfrac{\sqrt3}{\strut2}$&$\sqrt3$\\ \hline \end{tabular} \renewcommand{\arraystretch}{1} \end{center} \par On considère un triangle $LMN$ rectangle en $M$ tel que $LM=6$~cm et $\widehat{MLN}=30$\degres. \par Construis, sur feuille non quadrillée, la figure en vraie dimension et complète la au fur et à mesure des questions. \begin{myenumerate} \item Montre que la valeur exacte de $LN$ est $4\sqrt3$~cm. \item Trace le cercle $(\cal C)$ de diamètre $[ML]$ ; il recoupe le segment $[LN]$ en $P$. Quelle est la nature du triangle $LMP$ ? Justifie. \item Montre que la valeur exacte de $MP$ est 3~cm. \item Montrer que la valeur exacte de $LP$ est $3\sqrt3$~cm. \item La droite perpendiculaire à la droite $(LN)$ passant par $N$ coupe la droite $(LM)$ en $R$. \par Calcule la valeur exacte de la longueur $RN$. \item Calcule les aires des triangles $MPL$ et $RNL$. On donnera les résultats sous leur forme exacte. \par Quelle est la nature du quadrilatère $MPNR$? Calcule son aire. \item Place le point $S$, symétrique du point $L$ par rapport au point $P$ et place le point $T$, symétrique du point $M$ par rapport au point $P$. Quelle est la nature du quadrilatère $MLTS$ ? Justifie la réponse. \end{myenumerate} %@Correction: \[\includegraphics{3problemegeoexo1c.1}\] \begin{myenumerate} \item Dans le triangle $MNL$, rectangle en $M$, on a : \[\Eqalign{ \cos\widehat{MLN}&=\frac{LM}{LN}\cr \cos30&=\frac6{LN}\cr \frac{\sqrt3}2&=\frac6{LN}\cr \sqrt3\times LN&=12\cr LN&=\frac{12}{\sqrt3}=\frac{12\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}=4\sqrt3~\mbox{cm}\cr }\] \item Comme $P$ appartient au cercle de diamètre $[LM]$ alors le triangle $LMP$ est rectangle en $P$. \item Dans le triangle $LMP$, rectangle en $P$, on a : \[\Eqalign{ \sin\widehat{MLP}&=\frac{MP}{LM}\cr \sin30&=\frac{MP}6\cr \frac12&=\frac{MP}6\cr MP&=3~\mbox{cm}\cr }\] \item Dans le triangle $LMP$, rectangle en $P$, on a : \[\Eqalign{ \tan\widehat{MLP}&=\frac{MP}{LP}\cr \tan30&=\frac3{LP}\cr \frac{\sqrt3}{3}&=\frac3{LP}\cr \sqrt3\times LP&=9\cr LP&=\frac9{\sqrt3}=\frac{9\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}=3\sqrt3~\mbox{cm}\cr }\] \item Comme les droites $(RN)$ et $(MP)$ sont perpendiculaires à la même droite $(LN)$ alors les droites $(RN)$ et $(MP)$ sont parallèles.\par\Thales LNRPM \[\Eqalign{ \frac{3\sqrt3}{4\sqrt3}&=\frac6{LR}=\frac3{RN}\cr RN&=4\cr } \] \item $MPNR$ a deux côtés opposés parallèles donc c'est un trapèze. \par Comme $P$ appartient au segment $[LN]$ alors $NP=NL-LP=4\sqrt3-3\sqrt3=\sqrt3$~cm. \[\Eqalign{ {\cal A}_{MPL}&=\frac{MP\times PL}2&{\cal A}_{RNL}&=\frac{RN\times NL}2&{\cal A}_{MPNR}&=\frac{(MP+RN)\times NP}2\cr {\cal A}_{MPL}&=\frac{3\times3\sqrt3}2&{\cal A}_{RNL}&=\frac{4\times 4\sqrt3}2&{\cal A}_{MPNR}&=\frac{(3+4)\times \sqrt3}2\cr {\cal A}_{MPL}&=\frac{9\sqrt3}2~\mbox{cm}^2&{\cal A}_{RNL}&=\frac{16\sqrt3}2~\mbox{cm}^2&{\cal A}_{MPNR}&=\frac{7\sqrt3}2~\mbox{cm}^2\cr &&{\cal A}_{RNL}&=8\sqrt3~\mbox{cm}^2\cr }\] \item Comme $S$ est le symétrique de $L$ par rapport à $P$ alors $P$ est le milieu du segment $[LS]$. \par Comme $T$ est le symétrique de $M$ par rapport à $P$ alors $P$ est le milieu du segment $[TM]$. \par Comme les diagonales du quadrilatère $STLM$ ont donc le même milieu $P$ alors $STLM$ est un parallélogramme. \end{myenumerate} %@Commentaire: Reprise et tranformation de \verb+exo1+ pour l'adapter aux nouveaux programmes.