%@P:exocorcp Soit un triangle $GAZ$ tel que $GA=8$~cm; $AZ=6$~cm; $GZ=4$~cm. $E$ est le point du segment $[AG]$ tel que $AE=2$~cm. La droite passant par $E$ et parallèle à la droite $(GZ)$ coupe la droite $(AZ)$ en $U$. $\mathscr C$ est le cercle de diamètre $[AZ]$. On appelle $O$ son centre. \begin{myenumerate} \item Fais une figure. On la complétera au fur et à mesure de l'exercice. \item \begin{enumerate} \item Calcule les longueurs $AU$ et $EU$.\par Quelle est la position du point $U$ sur le segment $[AO]$ ? \item Quel est le périmètre du triangle $AEU$ ? \end{enumerate} \item La droite passant par $U$ et perpendiculaire à la droite $(AZ)$ coupe le cercle $\cal C$ en $M$. \\Prouve que $AM=3$~cm. Déduis-en la nature du triangle $AOM$. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $AMZ$ ? Pourquoi ? \item Calcule la longueur $MZ$. \end{enumerate} \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \setcounter{enumi}{1} \item \begin{enumerate} \item\Thalesf AGZEU\ResolThales AU{6}{2}{8}{cm} \par\ResolThales EU{4}{2}{8}{cm}\par Comme $U$ appartient au segment $[AO]$ et que $UO=UA$ alors $U$ est le milieu du segment $[AO]$. \item $\mathscr P_{AEU}=AE+EU+UA=2+1+1,5=4,5$~cm. \end{enumerate} \item Comme $U$ est le milieu du segment $[AO]$ alors la droite $(UM)$ est la médiatrice du segment $[AO]$. Donc $AM=OM=3$~cm.\par Par conséquent, le triangle $AMO$ est équilatéral. \item \begin{enumerate} \item Comme $M$ appartient au cercle de diamètre $[AZ]$ alors le triangle $AMZ$ est rectangle en $M$. \item\setboolean{racine}{true} \pythadroit AMZ63 \end{enumerate} \end{myenumerate}