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\paragraph{Première Partie} $EFG$ est un triangle isocèle en $E$ tel
que $FG=5$~cm et $EG=6$~cm.
\par Le cercle $({\cal C})$ de centre $O$ et de diamètre $[EG]$ coupe
le segment $[FG]$ en $K$.
\begin{myenumerate}
\item Réalise la figure en vraie grandeur.
\item
\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature du triangle $EKG$ ?
\item Démontre que $K$ est le milieu du segment $[FG]$.
\item Calcule la valeur exacte de la longueur $EK$. Donnes-en une valeur
  approchée à 1~mm près.
\end{enumerate}
\item Soit $S$ le symétrique du point $K$ par rapport au point $O$.
\begin{enumerate}
\item Place le point $S$ sur la figure.
\item Démontre que le quadrilatère $ESGK$ est un rectangle.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
\paragraph{Deuxième Partie} Complète la figure en plaçant un point
$P$, distinct du point $O$, sur le segment $[EG]$. Tracer la parallèle
à la droite $(FG)$ passant par $P$ : elle coupe la droite $(EF)$ en
$R$.
\par On nomme $x$ la longueur du segment $[EP]$ exprimée en
centimètres.
\begin{myenumerate}
\item Précise la nature du triangle $EPR$.
\item Démontre que \[PR=\frac56x\]
\item Exprime, en fonction de $x$, le périmètre du triangle $EPR$.
\item Démontre que le périmètre ${\cal P}$ du trapèze $RPGF$ est 
\[{\cal P}=\frac{-7x}6+17\]
\item Peut-on trouver une position du point $P$ sur le segment $[EG]$
  pour laquelle le triangle $EPR$ et le trapèze $RPGF$ aient le même
  périmètre ?
\end{myenumerate}