\paragraph{Première Partie} $EFG$ est un triangle isocèle en $E$ tel que $FG=5$~cm et $EG=6$~cm. \par Le cercle $({\cal C})$ de centre $O$ et de diamètre $[EG]$ coupe le segment $[FG]$ en $K$. \begin{myenumerate} \item Réalise la figure en vraie grandeur. \item \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $EKG$ ? \item Démontre que $K$ est le milieu du segment $[FG]$. \item Calcule la valeur exacte de la longueur $EK$. Donnes-en une valeur approchée à 1~mm près. \end{enumerate} \item Soit $S$ le symétrique du point $K$ par rapport au point $O$. \begin{enumerate} \item Place le point $S$ sur la figure. \item Démontre que le quadrilatère $ESGK$ est un rectangle. \end{enumerate} \end{myenumerate} \paragraph{Deuxième Partie} Complète la figure en plaçant un point $P$, distinct du point $O$, sur le segment $[EG]$. Tracer la parallèle à la droite $(FG)$ passant par $P$ : elle coupe la droite $(EF)$ en $R$. \par On nomme $x$ la longueur du segment $[EP]$ exprimée en centimètres. \begin{myenumerate} \item Précise la nature du triangle $EPR$. \item Démontre que \[PR=\frac56x\] \item Exprime, en fonction de $x$, le périmètre du triangle $EPR$. \item Démontre que le périmètre ${\cal P}$ du trapèze $RPGF$ est \[{\cal P}=\frac{-7x}6+17\] \item Peut-on trouver une position du point $P$ sur le segment $[EG]$ pour laquelle le triangle $EPR$ et le trapèze $RPGF$ aient le même périmètre ? \end{myenumerate}