exo7.tex

%@P:exocorcp
%@Dif:3
Deux cercles $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$ ont le même centre $O$ et
pour rayon respectifs $r$ et $r'$. On marque un point T sur
$\mathscr{C}'$ et on trace la tangente au cercle $\mathscr{C}'$
passant par $T$. Cette tangente coupe le cercle $\mathscr{C}$ en $I$
et $J$.\\On trace ensuite le cercle $\mathscr{C}''$ de diamètre
$[IJ]$.
\begin{myenumerate}
  \item Dans cette question, on suppose que $r=4$~cm et $r'=6$~cm.
    \begin{enumerate}
    \item Soit $R$ le rayon du cercle $\mathscr{C}''$. Calcule $R^2$
    puis l'aire du disque limité par le cercle $\mathscr{C}''$.
    \item Calcule l'aire de la partie située entre les cercles
  $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$.\\Que constate-t-on ?
    \end{enumerate}
  \item Dans cette question, on ne connaît pas les valeurs numériques
  de $r$ et $r'$. On suppose que $r<r'$.
  \\Démontre que la constatation effectuée à la question précédente
  est vraie pour toutes les valeurs positives de $r$ et $r'$.
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item \pythadroit OTI64\par Donc $R^2=20$ et ${\cal
    A}_{\mathscr{C}''}=\pi\times R^2=20\pi$~cm$^2$.
\item ${\cal A}=\pi\times r'^2-\pi
  r^2=\pi\times36-\pi\times16=20\pi$~cm$^2$.
\\On constate que les deux aires sont égales.
    \end{enumerate}
  \item Dans le triangle $OTI$, rectangle en $T$, le théorème de
  Pythagore permet d'écrire :
\[\Eqalign{
OI^2&=OT^2+TI^2\cr
r'^2&=r^2+TI^2\cr
TI^2&=r'^2-r^2\cr
}
\]
On a donc $R^2=r'^2-r^2$ et ${\cal
    A}_{\mathscr{C}''}=\pi\times R^2=\pi(r'^2-r^2)$~cm$^2$.
\par Or, ${\cal A}=\pi\times r'^2-\pi
  r^2=\pi(r'^2-r^2)$~cm$^2$.
\end{myenumerate}