%@P:exocorcp %@Dif:3 Deux cercles $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$ ont le même centre $O$ et pour rayon respectifs $r$ et $r'$. On marque un point T sur $\mathscr{C}'$ et on trace la tangente au cercle $\mathscr{C}'$ passant par $T$. Cette tangente coupe le cercle $\mathscr{C}$ en $I$ et $J$.\\On trace ensuite le cercle $\mathscr{C}''$ de diamètre $[IJ]$. \begin{myenumerate} \item Dans cette question, on suppose que $r=4$~cm et $r'=6$~cm. \begin{enumerate} \item Soit $R$ le rayon du cercle $\mathscr{C}''$. Calcule $R^2$ puis l'aire du disque limité par le cercle $\mathscr{C}''$. \item Calcule l'aire de la partie située entre les cercles $\mathscr{C}$ et $\mathscr{C}'$.\\Que constate-t-on ? \end{enumerate} \item Dans cette question, on ne connaît pas les valeurs numériques de $r$ et $r'$. On suppose que $r<r'$. \\Démontre que la constatation effectuée à la question précédente est vraie pour toutes les valeurs positives de $r$ et $r'$. \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item \pythadroit OTI64\par Donc $R^2=20$ et ${\cal A}_{\mathscr{C}''}=\pi\times R^2=20\pi$~cm$^2$. \item ${\cal A}=\pi\times r'^2-\pi r^2=\pi\times36-\pi\times16=20\pi$~cm$^2$. \\On constate que les deux aires sont égales. \end{enumerate} \item Dans le triangle $OTI$, rectangle en $T$, le théorème de Pythagore permet d'écrire : \[\Eqalign{ OI^2&=OT^2+TI^2\cr r'^2&=r^2+TI^2\cr TI^2&=r'^2-r^2\cr } \] On a donc $R^2=r'^2-r^2$ et ${\cal A}_{\mathscr{C}''}=\pi\times R^2=\pi(r'^2-r^2)$~cm$^2$. \par Or, ${\cal A}=\pi\times r'^2-\pi r^2=\pi(r'^2-r^2)$~cm$^2$. \end{myenumerate}