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Source de exo8.tex

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%@P:exocorcp
%@Auteur: Sébastien Peyrrot.
\par Dans un repère d'origine le point $O$,
on décide que les points de coordonnées entières $\left(a,b\right)$
représentent les nombres qui s'écrivent $2^a\times3^b$.\\
 
Par exemple, le point $P\left(1;4\right)$ représente le nombre $2^1\times3^4=162$.\\
 
\begin{myenumerate}
\item Tracer un repère d'origine le point $O$.
\begin{enumerate}
\item Dans ce repère, placer le point $A\left(2;3\right)$.
\item Quel nombre représente le point $A$?
\item Quelles sont les coordonnées du point $B$ qui représente le nombre 144 ?
\item Placer le point $B$ dans ce même repère.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \'Etablir la liste des diviseurs du nombre 144.
\item Dans le repère, placer en vert les points qui représentent ces diviseurs.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item \'Etablir la liste des diviseurs du nombre 108.
\item Dans le repère, placer en noir les points qui représentent ces diviseurs.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique, établir la liste des diviseurs communs de 108 et 144.
\item En déduire le $PGCD$ de 108 et 144.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Dans le repère, placer le point $C$ qui représente le nombre 648.
\item Par lecture graphique, déterminer le nombre de diviseurs de 648.
\item Par lecture graphique, déterminer le $PGCD$ de 144 et 648.
\item Retrouver ce $PGCD$ par le calcul.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Dans le repère, placer le point $D$ représentant le nombre $2^5\times3^5$.
\item Calculer les nombres représentés par les points du quadrillage situés sur le segment $[OD]$.
\item Quelle remarque peut-on faire sur ces nombres? Justifier.
\end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\[\includegraphics{pbnum304exo003.1}\]
\begin{myenumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $2^2\times3^3=4\times27=108$.
    \item $144=2\times72=2\times2\times36=2\times2\times4\times9=2^2\times2^2\times3^2=2^4\times3^2$. Donc les coordonnées de $B$ sont $(4;2)$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item 144 est divisible par 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 36; 48; 72; 144.
    \item $1=2^0\times3^0$; $2=2^1\times3^0$; $3=2^0\times3^1$; $4=2^2\times3^0$; $6=2^1\times3^1$; $8=2^3\times3^0$; $9=2^0\times3^2$; $12=2^2\times3^1$; $16=2^4\times3^0$; $18=2^1\times3^2$; $24=2^3\times3^1$; $36=2^2\times3^2$; $48=2^4\times3^1$; $72=2^3\times3^2$; $144=2^4\times3^2$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item 108 est divisible par 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 27; 36; 54; 108.
    \item $27=2^0\times3^3$; $54=2^1\times3^3$; $108=2^2\times3^3$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Ce sont les points en vert et noir : 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36.
    \item Le $PGCD$ de 108 et 144 est donc 36.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Comme $648=2\times324=2\times2\times162=2^2\times2^1\times3^4=2^3\times3^4$ alors $C$ a pour coordonnées $(3;4)$.
    \item 648 a $4\times5=20$ diviseurs. Ce sont tous les points à coordonnées entières inférieures ou égales à celles de $C$.
    \item Par lecture graphique, on trouve que le $PGCD$ de 648 et 144 est donné par le point de coordonnées $(3;2)$ donc c'est $2^3\times3^2=8\times9=72$.
    \item\subitem{}\par \begin{center}
\begin{tabular}{cccl}
$a$&$b$&$r$&car\ldots\\
\hline
648&144&72&$648=144\times4+72$\\
144&72&0&$144=72\times2+0$\\
\end{tabular}
\end{center}
\par Le $\pgcd(648;144)$ est 72.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item {\em Voir repère.}
    \item Il s'agit des points de coordonnées $(0;0)$; $(1;1)$; $(2;2)$; $(3;3)$; $(4;4)$; $(5;5)$. Ce sont donc les nombres 1; 6; 36; 216; 1\,296 et 7\,776.
    \item Ce sont les premières puissances de 6.\\Car tous les points s'écrivent sous la forme $2^a\times3^a=(2\times3)^a=6^a$.
    \end{enumerate}
\end{myenumerate}