%@P:exocorcp %@Auteur: Sébastien Peyrrot. \par Dans un repère d'origine le point $O$, on décide que les points de coordonnées entières $\left(a,b\right)$ représentent les nombres qui s'écrivent $2^a\times3^b$.\\ Par exemple, le point $P\left(1;4\right)$ représente le nombre $2^1\times3^4=162$.\\ \begin{myenumerate} \item Tracer un repère d'origine le point $O$. \begin{enumerate} \item Dans ce repère, placer le point $A\left(2;3\right)$. \item Quel nombre représente le point $A$? \item Quelles sont les coordonnées du point $B$ qui représente le nombre 144 ? \item Placer le point $B$ dans ce même repère. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \'Etablir la liste des diviseurs du nombre 144. \item Dans le repère, placer en vert les points qui représentent ces diviseurs. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \'Etablir la liste des diviseurs du nombre 108. \item Dans le repère, placer en noir les points qui représentent ces diviseurs. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, établir la liste des diviseurs communs de 108 et 144. \item En déduire le $PGCD$ de 108 et 144. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans le repère, placer le point $C$ qui représente le nombre 648. \item Par lecture graphique, déterminer le nombre de diviseurs de 648. \item Par lecture graphique, déterminer le $PGCD$ de 144 et 648. \item Retrouver ce $PGCD$ par le calcul. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Dans le repère, placer le point $D$ représentant le nombre $2^5\times3^5$. \item Calculer les nombres représentés par les points du quadrillage situés sur le segment $[OD]$. \item Quelle remarque peut-on faire sur ces nombres? Justifier. \end{enumerate} \end{myenumerate} %@Correction: \[\includegraphics{pbnum304exo003.1}\] \begin{myenumerate} \item \begin{enumerate} \item $2^2\times3^3=4\times27=108$. \item $144=2\times72=2\times2\times36=2\times2\times4\times9=2^2\times2^2\times3^2=2^4\times3^2$. Donc les coordonnées de $B$ sont $(4;2)$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item 144 est divisible par 1; 2; 3; 4; 6; 8; 9; 12; 16; 18; 24; 36; 48; 72; 144. \item $1=2^0\times3^0$; $2=2^1\times3^0$; $3=2^0\times3^1$; $4=2^2\times3^0$; $6=2^1\times3^1$; $8=2^3\times3^0$; $9=2^0\times3^2$; $12=2^2\times3^1$; $16=2^4\times3^0$; $18=2^1\times3^2$; $24=2^3\times3^1$; $36=2^2\times3^2$; $48=2^4\times3^1$; $72=2^3\times3^2$; $144=2^4\times3^2$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item 108 est divisible par 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 27; 36; 54; 108. \item $27=2^0\times3^3$; $54=2^1\times3^3$; $108=2^2\times3^3$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Ce sont les points en vert et noir : 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36. \item Le $PGCD$ de 108 et 144 est donc 36. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Comme $648=2\times324=2\times2\times162=2^2\times2^1\times3^4=2^3\times3^4$ alors $C$ a pour coordonnées $(3;4)$. \item 648 a $4\times5=20$ diviseurs. Ce sont tous les points à coordonnées entières inférieures ou égales à celles de $C$. \item Par lecture graphique, on trouve que le $PGCD$ de 648 et 144 est donné par le point de coordonnées $(3;2)$ donc c'est $2^3\times3^2=8\times9=72$. \item\subitem{}\par \begin{center} \begin{tabular}{cccl} $a$&$b$&$r$&car\ldots\\ \hline 648&144&72&$648=144\times4+72$\\ 144&72&0&$144=72\times2+0$\\ \end{tabular} \end{center} \par Le $\pgcd(648;144)$ est 72. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item {\em Voir repère.} \item Il s'agit des points de coordonnées $(0;0)$; $(1;1)$; $(2;2)$; $(3;3)$; $(4;4)$; $(5;5)$. Ce sont donc les nombres 1; 6; 36; 216; 1\,296 et 7\,776. \item Ce sont les premières puissances de 6.\\Car tous les points s'écrivent sous la forme $2^a\times3^a=(2\times3)^a=6^a$. \end{enumerate} \end{myenumerate}