Retour

Source de exo8.tex

Fichier TeX
Image PNG
%@P:exocorcp
%@Auteur:d'après \url{http://serge.mehl.free.fr/exos/proba2.html}\par 
Un sac opaque contient 10 jetons numérotés de 0 à 9, indiscernables au
toucher : c'est dire que chaque jeton tiré du sac à {\em la même probabilité} d'apparaître.
 
En procédant à trois tirages successifs d'un jeton en remettant un
jeton précédemment tiré, on s'intéresse à la formation de nombres de 3
chiffres : le chiffre des centaines étant le 1er jeton tiré, le
chiffre des dizaines est le second, le chiffre des unités est le
dernier. Par exemple, si on sort le 8 puis le 1 puis le 4, on formera
814.
\begin{myenumerate}
  \item Recopie et complète les phrases suivantes (aucune
    justification n'est demandée) :
    \begin{quote}
      Au 1\ier\ tirage, il y a \dotfill possibilités pour le chiffre
      des \dotfill
 
      \`A chacun de ces \dotfill cas je peux associer \hbox to4cm{\dotfill}
      possibilités pour le choix des dizaines car on \dotfill le
      1\ier\ jeton dans le \dotfill
 
      Ceci me donne déjà $\ldots\ldots\times\ldots\ldots=\ldots\ldots$
      possibilités de formation des deux premiers chiffres.
 
      Au 3\ieme\ tirage, il me reste \hbox to2cm{\dotfill} jetons dans le sac. Par conséquent à chacun des \dotfill cas déjà dénombrés, je peux associer \dotfill tirages possibles. J'ai donc en tout $\ldots\times\ldots=\ldots$ possibilités de former un nombre de \dotfill chiffres.
      \end{quote}
 
{\em \textdbend Dans toute la suite, on donnera les probabilités sous forme
de fractions irréductibles.}
 
\item Les deux premiers tirages ont donné deux chiffres
  impairs. Quelle est la probabilité de tirer un nombre pair au
  3\ieme\ tirage ?
\item Karim a procédé à un tirage des trois jetons et s'étonne d'avoir
  tiré 1-2-3 dans cet ordre. Quelle est donc la probabilité de tirer
  successivement trois chiffres consécutifs en croissant ou
  décroissant ?
\item \`A quelle condition un nombre est-il divisible par 5 ? Quelle
  est la probabilité de former un nombre divisible par 5 ?
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
\item Au 1\ier\ tirage, il y a 10 possibilités pour le chiffre des
  centaines.
 
  \`A chacun de ces 10 cas je peux associer 10 possibilités
  pour le choix des dizaines car on remet le 1\ier\ jeton
  dans le sac.
 
  Ceci me donne déjà $10\times10=100$ possibilités de formation des
  deux premiers chiffres.
 
  Au 3\ieme\ tirage, il me reste 10 jetons dans le sac. Par
  conséquent à chacun des 100 cas déjà dénombrés, je peux associer 10
  tirages possibles. J'ai donc en tout $10\times100=1\,000$ possibilités
  de former un nombre de 3 chiffres.
 
\item Au 3\ieme\ tirage, il reste 10 jetons dans le sac. Comme
  chiffre pair, il reste : 0 2 4 6 8. Les jetons sont indiscernables au toucher. La probabilité cherchée est donc :
  \[p =\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas possibles}}=\frac5{10}=\frac12\]
\item Dénombrons les cas (favorables) où l'on obtient des chiffres
  consécutifs : il peuvent commencer par 0, ou 1, ou 2, ou 3,
  ou\ldots, ou 7 en croissant : de 0 1 2 à 7 8 9 : 8 cas ou bien en sens inverse : 8 autres cas de 9 8 7 à 3 2 0 . La probabilité cherchée est donc :
  \[p=\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas
      possibles}}=\frac{16}{1\,000}=\frac2{125}\]
\item Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5. Il
  y a zéro dans le sac. Par conséquent le dernier chiffre
  tiré :
  \begin{itemize}
  \item est soit le 5 : le même raisonnement qu'à la question 1
    conduit à dire qu'il y a $10\times10=100$ façons de tirer les
    deux premiers jetons ($10\times10$ car les jetons tirés sont
    remis). On peut donc former 100 nombres se terminant par 5.
  \item est soit le 0 : le même raisonnement qu'à la question 1
    conduit à dire qu'il y a $10\times10=100$ façons de tirer les
    deux premiers jetons ($10\times10$ car les jetons tirés sont
    remis). On peut donc former 100 nombres se terminant par 0.
  \end{itemize}
  La probabilité cherchée est donc :
  \[p=\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas
      possibles}}=\frac{200}{1\,000}=\frac15\]
\end{myenumerate}