%@P:exocorcp %@Titre: Construction de la racine carrée d'un nombre positif. %@Dif:3 \compo{1}{actiracinegeo}{1}{Considérons la figure ci-contre où $a$ est un nombre positif. $H$ est le point du segment $[AB]$ tel que $AH=1$ et $HB=a$. La perpendiculaire à la droite $(AB)$ passant par $H$ coupe le demi-cercle de diamètre $[AB]$ en $M$. } \begin{myenumerate} \item Applique le théorème de Pythagore au triangle $AHM$ rectangle en $H$. \item Applique le théorème de Pythagore au triangle $BHM$ rectangle en $H$. \item Explique pourquoi le triangle $AMB$ est rectangle en $M$ et prouve que \[(a+1)^2=AM^2+BM^2\] \item En utilisant les résultats des questions précédentes, montre que \[MH=\sqrt a\] \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item $AM^2=AH^2+HM^2$ ou $AM^2=1+HM^2$\rnode{C}{}. \item $BM^2=BH^2+HM^2$ ou $BM^2=a^2+HM^2$\rnode{D}{}. \item Comme $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$ alors le triangle $ABM$ est rectangle en $M$. On applique le théorème de Pythagore : \[\Eqalign{ AB^2&=AM^2+BM^2\cr (a+1)^2&=AM^2+BM^2\cr }\] \item \[\Eqalign{ (a+1)^2&=\overbrace{AM^2}^{\rnode{A}{}}+\overbrace{BM^2}^{\rnode{B}{}}\cr (a+1)^2&=1+HM^2+a^2+HM^2\cr a^2+2a+1&=a^2+1+2HM^2\cr 2a&=2HM^2\cr a&=HM^2\cr \sqrt{a}&=HM }\] \end{myenumerate} \ncarc[linecolor=gray,arcangle=-30]{->}{A}{C} \ncarc[linecolor=gray,arcangle=-30]{->}{B}{D} %@Commentaire: Application géométrique de la racine carrée. Construction intéressante : à rapprocher des constructions à la règle et au compas.