exo41.tex

%@P:exocorcp
%@Dif:4
On pose
\[a=\sqrt{181+52\sqrt3}\kern2cm\mbox{et}\kern2cm b=\sqrt{181-52\sqrt3}\]
\begin{myenumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Vérifie à l'aide d'une calculatrice que $181-52\sqrt3>0$.\\Ensuite, démontre le, en sachant que $\sqrt3<3$.
    \item Justifie l'existence du nombre $b$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Calcule $a^2$ et $b^2$ puis $ab$ (on demande des valeurs exactes simplifiées).
    \item Déduis-en $(a+b)^2$ puis la valeur exacte de $a+b$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Développe $(13+2\sqrt3)^2$ et déduis-en une écriture simplifiée de $a$.
    \item Développe $(13-2\sqrt3)^2$ et déduis-en une écriture simplifiée de $b$.
    \item Retrouve, grâce aux deux questions précédentes, la valeur exacte de $a+b$ obtenue au 2/b.
    \end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item \[\Eqalign{
\sqrt3&<3\cr
-52\sqrt3&>-52\times3\cr
-52\sqrt3&>-156\cr
181-52\sqrt3&>181-156\cr
181-52\sqrt3&>25\cr
}\]
Donc $181-52\sqrt3$ est bien un nombre positif.
\item Comme $181-52\sqrt3$ est un nombre positif alors $b$ existe.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item \[\Eqalign{
a^2&=\sqrt{181+52\sqrt3}^2\kern1.5cm&b^2&=\sqrt{181-52\sqrt3}^2\kern1.5cm&ab&=\sqrt{181+52\sqrt3}\times\sqrt{181-52\sqrt3}\cr
a^2&=181+52\sqrt3&b^2&=181-52\sqrt3&ab&=\sqrt{\left(181+52\sqrt3\right)\times\left(181-52\sqrt3\right)}\cr
&&&&ab&=\sqrt{181^2-\left(52\sqrt3\right)^2}\cr
&&&&ab&=\sqrt{32761-52^2\times3}\cr
&&&&ab&=\sqrt{32\,761-8\,112}\cr
&&&&ab&=\sqrt{24\,649}\cr
&&&&ab&=157\cr
}\]
\item \[\Eqalign{
(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\cr
(a+b)^2&=181+52\sqrt3+2\times157+181-52\sqrt3\cr
(a+b)^2&=676\cr
}\]
Comme $a$ et $b$ sont deux nombres positifs alors $a+b$ aussi et $a+b=\sqrt{676}=26$.
    \end{enumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $(13+2\sqrt3)^2=13^2+2\times13\times2\sqrt3+\left(2\sqrt3\right)^2=169+52\sqrt3+12=181+52\sqrt3=a^2$. Comme $a$ est un nombre positif alors $a=13+2\sqrt3$.
      \item $(13-2\sqrt3)^2=13^2-2\times13\times2\sqrt3+\left(2\sqrt3\right)^2=169-52\sqrt3+12=181-52\sqrt3=b^2$. Comme $b$ est un nombre positif alors $b=13-2\sqrt3$.
        \item $a+b=13+2\sqrt3+13-2\sqrt3=26$.
    \end{enumerate}
\end{myenumerate}
%@Commentaire: Exercice difficile où on recherche la racine carrée d'un nombre écrit avec des racines carrées. Inhabituel pour les élèves. C'est de l'approfondissement.