exo6.tex

%@P:exocorcp
%@Dif:3
{\em Les questions sont indépendantes.}
\begin{myenumerate}
\item Soit $RST$ un triangle tel que $RS=\sqrt{45}$, $ST=3\sqrt5$,
$TR=\sqrt{90}$. Quelle est la nature de ce triangle ?
\item Calcule et donne le résultat sous la forme d'un entier relatif
ou d'une fraction irréductible :
\[A=\left(2+3\sqrt5\right)\left(2-3\sqrt5\right)\kern2cm B=\frac{3\sqrt{45}}{6\sqrt{20}}\]
\item \'Ecris le nombre $E$ sous la forme $a\sqrt b$, où $a$ et $b$ sont des nombres entiers.
\[E=\sqrt{75}-2\sqrt{12}+2\sqrt{27}\]
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item On a $RS=\sqrt{45}=\sqrt{9\times5}=\sqrt9\times\sqrt5=3\sqrt5$.\\Donc le triangle $RST$ est isocèle en $S$.
\par{\em Est-il rectangle ?} Dans le triangle $RST$, $[RT]$ est le plus grand côté.
\[\left.\begin{array}{l}
RT^2=\sqrt{90}^2=90\\
\\
RS^2+ST^2=\sqrt{45}^2+\left(3\sqrt5\right)^2=45+9\times5=45+45=90\\
\end{array}
\right\}RT^2=RS^2+ST^2
\]
Comme $RT^2=RS^2+ST^2$ alors le triangle $RST$ est rectangle en $S$ d'après la réciproque du théorème de Pythagore.
\item
\[
\Eqalign{
A&=\left(2+3\sqrt5\right)\left(2-3\sqrt5\right)\kern2cm&B&=\frac{3\sqrt{45}}{6\sqrt{20}}\cr
A&=2^2-\left(3\sqrt5\right)^2&B&=\frac{3\times\sqrt{9\times5}}{6\times\sqrt{4\times5}}\cr
A&=4-9\times5&B&=\frac{3\times\sqrt9\times\sqrt5}{6\times\sqrt4\times\sqrt5}\cr
A&=4-45&B&=\frac{3\times3\times\sqrt5}{6\times2\times\sqrt5}\cr
A&=-41&B&=\frac9{12}\cr
&&B&=\frac34\cr
}
\]
\item
\[\begin{array}{l}
\sqrt{75}=\sqrt{25\times3}=\sqrt{25}\times3=5\sqrt3\\
2\sqrt{12}=2\times\sqrt{4\times3}=2\sqrt4\times\sqrt3=2\times2\times\sqrt3=4\sqrt3\\
2\sqrt{27}=2\times\sqrt{9\times3}=2\times\sqrt9\times\sqrt3=2\times3\times\sqrt3=6\sqrt3\\
\end{array}
\]
Donc
\[
\Eqalign{
E&=\sqrt{75}-2\sqrt{12}+2\sqrt{27}\cr
E&=5\sqrt3-4\sqrt3+6\sqrt3\cr
E&=7\sqrt3\cr
}
\]
%@Commentaire: Exercice assez complet sur l'utilisation des racines carrées.
\end{myenumerate}