%@P:exocorcp %@Dif:3 $ABCD$ est un rectangle tel que $AB=\sqrt{2\,000}$ et $BC=\sqrt{1\,000}$. \begin{myenumerate} \item La longueur est-elle le double de la largeur ? Pourquoi ? \item Exprime $\sqrt{2\,000}$ sous la forme $a\sqrt5$ et $\sqrt{1\,000}$ sous la forme $b\sqrt{10}$, où $a$ et $b$ sont des entiers. \item Exprime l'aire du rectangle sous la forme $c\sqrt2$, où $c$ est un nombre entier. \item Montre que le périmètre du rectangle peut s'écrire sous la forme \[20\sqrt5\left(2+\sqrt2\right)\] \end{myenumerate} %@Correction: \begin{myenumerate} \item $2\times BC=2\times\sqrt{1\,000}$ et $AB=\sqrt{2\times1\,000}=\sqrt2\times\sqrt{1\,000}$. Donc la longueur n'est pas le double de la largeur. \item \[\Eqalign{ &\sqrt{2\,000}&&\sqrt{1\,000}\cr &\sqrt{400\times5}&&\sqrt{100\times10}\cr &\sqrt{400}\times\sqrt5&&\sqrt{100}\times\sqrt{10}\cr &20\sqrt5&&10\sqrt{10}\cr }\] \begin{multicols}{2} \item \[\Eqalign{ {\cal A}&=AB\times BC\cr {\cal A}&=20\sqrt5\times10\sqrt{10}\cr {\cal A}&=20\times10\times\sqrt5\times\sqrt{10}\cr {\cal A}&=200\times\sqrt5\times\sqrt{5\times2}\cr {\cal A}&=200\times\sqrt5\times\sqrt5\times\sqrt2\cr {\cal A}&=200\times5\times\sqrt2\cr {\cal A}&=1\,000\sqrt2\cr }\] \item \[\Eqalign{ {\cal P}&=2\times(AB+BC)\cr {\cal P}&=2\times(20\sqrt5+10\sqrt{10})\cr {\cal P}&=40\sqrt5+20\times\sqrt{5\times2}\cr {\cal P}&=40\sqrt5+20\sqrt5\times\sqrt2\cr {\cal P}&=20\sqrt5(2+\sqrt2)\cr }\] \end{multicols} \end{myenumerate} %@Commentaire: On relie les racines carrées avec la réduction et la factorisation. Exercice un peu difficile pour la dernière question.