%@P:exocorcp %@Geogebra:3thalesexo2.ggb \paragraph{Partie 1 : Nouveau théorème}\subitem{}\par Soit $ABC$ un triangle quelconque. La bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe la droite $(BC)$ en $D$. La parallèle à la droite $(AD)$ passant par $C$ coupe la droite $(AB)$ en $E$.\par Démontre que \[\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\] \emph{ Pour cela, on suivra le cheminement suivant : \begin{itemize} \item expliquer pourquoi le triangle $ACE$ est isocèle en $A$; \item en posant $k=\dfrac{BD}{BC}$, expliquer pourquoi $DC=BC\times(1-k)$ et $AC=BE\times(1-k)$; \item conclure. \end{itemize} } \paragraph{Partie 2 : Application du théorème}\subitem{}\par Soit un triangle $ABC$ tel que $AB=24$~cm, $AC=56$~cm et $BC=40$~cm. \par La bissectrice de l'angle $\widehat{BAC}$ coupe la droite $(CB)$ en $D$. La bissectrice de l'angle $\widehat{ABC}$ coupe la droite $(AC)$ en $E$. La bissectrice de l'angle $\widehat{BCA}$ coupe la droite $(AB)$ en $F$. \begin{myenumerate} \item Calcule les longueurs $DB$, $DC$, $EA$, $EC$, $FA$ et $FB$. \item On appelle $I$ le centre du cercle inscrit au triangle $ABC$.\\\'Evalue les rapports $\dfrac{ID}{IA}$, $\dfrac{IE}{IB}$ et $\dfrac{IF}{IC}$. Calcule leur produit. \end{myenumerate} %@Commentaire:Reprise de l'exercice \verb+exo2+ pour en faire un exercice un peu plus abordable au niveau de la première question. %@Correction: \paragraph{Partie 1 : Nouveau théorème}\subitem{}\par \begin{itemize} \item Comme $(AD)$ est la bissectrice de $\widehat{BAC}$ alors $\widehat{CAD}=\widehat{DAB}$.\\Les angles $\widehat{DAC}$ et $\widehat{ACE}$ sont des angles alternes-internes formés par les droites $(AD)$, $(CE)$ et la sécante $(AC)$. De même, les angles $\widehat{BAD}$ et $\widehat{AEC}$ sont correspondants. Or, les droites $(AD)$ et $(CE)$ sont parallèles. Donc les angles $\widehat{DAC}$ et $\widehat{ACE}$ sont égaux ainsi que les angles $\widehat{BAD}$ et $\widehat{AEC}$.\\Comme les angles $\widehat{AEC}$ et $\widehat{ACE}$ sont égaux alors le triangle $AEC$ est isocèle en $A$. \item Dans le triangle $BEC$, $A$ appartient à la droite $(BE)$; $D$ appartient à la droite $(BC)$ et les droites $(AD)$ et $(EC)$ sont parallèles. Le théorème de Thalès permet d'écrire : \[\frac{BA}{BE}=\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{EC}\] En posant $k=\dfrac{BA}{BE}$, on a également $k=\dfrac{BD}{BC}$. Donc $BD=k\times BC$ et $BA=k\times BE$. \par On a \[\Eqalign{ DC&=BC-BD\kern0.1\linewidth&AC&=EA\cr DC&=BC-k\times BC&AC&=BE-AB\cr DC&=BC\times(1-k)&AC&=BE-k\times BE\cr &&AC&=BE\times(1-k)\cr }\] \item On a donc \[\Eqalign{ \frac{DB}{DC}&\kern0.1\linewidth&\frac{AB}{AC}\cr \frac{k\times BC}{(1-k)\times BC}&&\frac{k\times BE}{(1-k)\times BE}\cr \frac{k}{1-k}&&\frac{k}{1-k}\cr }\] Donc \[\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}.\] \end{itemize} \paragraph{Partie 2 : Application du théorème}\subitem{}\par \begin{myenumerate} \item D'après le théorème du paragraphe précédent, on a \[\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\kern0.1\linewidth\frac{EA}{EC}=\frac{BA}{BC}\kern0.1\linewidth\frac{FA}{FB}=\frac{CA}{CB}\] Donc \begin{multicols}{3} \[\Eqalign{ \frac{DB}{DC}&=\frac{24}{56}\cr \frac{DB}{40-DB}&=\frac37\cr 7\times DB&=3\times(40-DB)\cr 7DB&=120-3DB\cr 10DB&=120\cr DB&=12~\mbox{cm}\cr }\] D'où $DC=28$~cm. \par\columnbreak \[\Eqalign{ \frac{EA}{EC}&=\frac{24}{40}\cr \frac{EA}{56-EA}&=\frac35\cr 5\times EA&=3\times(56-EA)\cr 5EA&=168-3EA\cr 8EA&=168\cr EA&=21~\mbox{cm}\cr }\] D'où $EC=35$~cm. \par\columnbreak \[\Eqalign{ \frac{FA}{FB}&=\frac{56}{40}\cr \frac{FA}{24-FA}&=\frac75\cr 5\times FA&=7\times(24-FA)\cr 5FA&=168-7FA\cr 12FA&=168\cr FA&=14~\mbox{cm}\cr }\] D'où $FB=10$~cm. \end{multicols} \item On a, toujours d'après le théorème du paragraphe précédent : \[\Eqalign{ \frac{ID}{IA}&=\frac{CD}{CA}\kern0.1\linewidth&\frac{IE}{IB}&=\frac{AE}{AB}\kern0.1\linewidth&\frac{IF}{IC}&=\frac{BF}{BC}\cr \frac{ID}{IA}&=\frac{28}{56}&\frac{IE}{IB}&=\frac{21}{24}&\frac{IF}{IC}&=\frac{10}{40}\cr }\] Leur produit est \[\Eqalign{ \ell&=\frac{ID}{IA}\times\frac{IE}{IB}\times\frac{IF}{IC}\cr \ell&=\frac{28}{56}\times\frac{21}{24}\times\frac{10}{40}\cr \ell&=\frac12\times\frac78\times\frac14\cr \ell&=\frac7{64}\cr }\] \end{myenumerate}