exo6.tex

%@P:exocorcp
Soit $ABC$ un triangle quelconque et une droite $(d)$ qui coupe les
droites $(AB)$, $(AC)$ et $(BC)$ respectivement en $I$, $J$, $K$.
\\La perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par $A$ coupe la droite
$(d)$ en $A'$.
\\La perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par $B$ coupe la droite
$(d)$ en $B'$.
\\La perpendiculaire à la droite $(d)$ passant par $C$ coupe la droite
$(d)$ en $C'$.
\begin{myenumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montre que $\dfrac{KB}{KC}=\dfrac{BB'}{CC'}$
\item Montre que $\dfrac{JC}{JA}=\dfrac{CC'}{AA'}$
\item Montre que $\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{AA'}{BB'}$
\end{enumerate}
\item Déduis-en que
\[\frac{KB}{KC}\times\frac{JC}{JA}\times\frac{IA}{IB}=1\]
\end{myenumerate}
%@Correction:
\begin{myenumerate}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Comme les droites $(BB')$ et $(CC')$ sont perpendiculaires à
      la droite $(d)$ alors les droites $(BB')$ et $(CC')$ sont
      parallèles.
      \par \Thales KB{B'}C{C'}
    \item Comme les droites $(AA')$ et $(CC')$ sont perpendiculaires à
      la droite $(d)$ alors les droites $(AA')$ et $(CC')$ sont
      parallèles.
      \par \Thales JA{A'}C{C'}
    \item Comme les droites $(BB')$ et $(AA')$ sont perpendiculaires à
      la droite $(d)$ alors les droites $(BB')$ et $(AA')$ sont
      parallèles.
      \par \Thales IB{B'}A{A'}
    \end{enumerate}
  \item
\[\frac{KB}{KC}\times\frac{JC}{JA}\times\frac{IA}{IB}=\frac{BB'}{CC'}\times\frac{CC'}{AA'}\times\frac{AA'}{BB'}=\frac{BB'\times
  CC'\times AA'}{CC'\times AA'\times BB'}=1\]
\end{myenumerate}