1 \documentclass{article}
2 \usepackage{pst-solides3d,pst-node,multido}
3 \usepackage[latin1]{inputenc}
4 \usepackage[T1]{fontenc}
5 \usepackage[a4paper]{geometry}
6 \usepackage[frenchle]{babel}
10 \date{03 octobre 2\,007}
12 \title{Utilisation de la \\
13 grille et du parallélépipède}
17 \psset{lightsrc=100 20 50}
18 %\section{La \textsf{grille} et son paramètre : \textsf{base}}
19 Par défaut la grille au pas de 1 est dessinée sur le plan horizontal $Oxy$, elle supporte les mêmes options que les solides.
21 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5](0,0,0)
23 {\psset{unit=0.5,viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
24 \begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,3.5)
25 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5,action=draw](0,0,0)
26 \axesIIID(0,0,0)(4,5,3)
27 \rput(0,-3){\textsf{action=draw}}
30 \begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,3.5)
31 \psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5,action=draw*,fillcolor=yellow](0,0,0)
32 \axesIIID(0,0,0)(4,5,3)
33 \rput(0,-3){\textsf{action=draw*,fillcolor=yellow}}
36 Dans le livre \textsc{géométrie} \textit{des cours complémentaires et enseignement secondaire court} de 1\,950 (éditeur Ligel), on trouve
37 (page 459) la figure suivante, illustration du théorème :
39 \psframebox[fillstyle=solid,linestyle=none,fillcolor=yellow!50]{%
40 \begin{minipage}{0.8\linewidth}
41 \textbf{Le nombre qui mesure le volume d'un parallélépipède rectangle est égal
42 au produit des nombres qui mesurent ses trois dimensions.}
46 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
47 \begin{pspicture}(-6,-1.5)(6,5.5)
48 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
49 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
50 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
51 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
52 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
53 \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
54 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,action=draw,linewidth=2\pslinewidth](0,0,c 2 div)
57 \psPoint(-2.5,-3,0){D}
62 \psPoint(-2.5,-3,4){H}
63 \uput[d](A){A}\uput[d](B){B}
64 \uput[dr](C){C}\uput[d](D){D}
65 \uput[l](E){E}\uput[r](F){F}
66 \uput[ur](G){G}\uput[u](H){H}
69 \psPoint(-2.5,-3,1){d}
71 \uput[l](a){$a$}\uput[r](b){$b$}
72 \uput[r](c){$c$}\uput[l](d){$d$}
75 La démonstration donnée \textit{par une réunion de professeurs} est la suivante :
77 Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle. Choisissons une unité $u$ qui puisse être portée un nombre exact de fois
78 sur chaque dimension ; soit, par exemple, 6~fois sur AB, 5~fois sur AD, 4~fois sur AE.
80 On a par \textit{hypothèse} :
82 \mathrm{AB=6}\ ;\qquad \mathrm{AD=5}\ ;\qquad\mathrm{AE=3}.
84 \textit{Je dis que l'on a aussi :}
88 En effet, par les points de division de EA, menons des plans parallèles aux bases. \textit{Nous déterminons
89 ainsi quatre parallélépipèdes égaux entre eux, comme ayant des bases égales et même hauteur}.
91 Soit ABCD$abcd$ un de ces volumes partiels. Sa base est un rectangle qui peut être divisé en
93 6\times5\textrm{ carrés-unité.}
95 Sur chacun de ces carrés on peut construire \textbf{un cube qui est, par définition, l'unité de volume.}
97 Dans un parallélépipède partiel l'unité est contenue :
99 6\times5\textrm{ fois}
101 Dans le parallélépipède donné elle est donc contenue :
103 6\times5\times4\textrm{ fois}
109 Ce dessin est construit en 6 étapes :
111 \item On place le parallélépipède qui est à la base du parallélépipède étudié :
113 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1](0,0,c 2 div)
115 en lui adjoignant, éventuellement, les options de couleur et d'éclairage :
120 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
121 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,2)
122 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
125 \item Ensuite, on dessine les quadrillages :
127 \item sur la face supérieure du parallélépipède ``\textit{socle}'' ;
129 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
132 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
133 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,2)
134 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
135 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
138 \item sur les faces latérales visibles de ce même parallélépipède :
140 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
141 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
144 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
145 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,4)
146 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
147 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
148 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
149 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
152 \item sur la face supérieure du parallélépipède étudié.
154 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
157 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
158 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,5)
159 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
160 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
161 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
162 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
163 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
167 \item on dessine le cube unité :
169 \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
172 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
173 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,5)
174 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
175 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
176 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
177 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
178 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
179 \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
182 \item on complète le dessin par le parallélépipède étudié, dessiné avec un trait plus épais :
184 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,%
185 linewidth=2\pslinewidth,%
186 action=draw](0,0,c 2 div)
189 \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
190 \begin{pspicture}(-6,-1)(6,5)
191 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
192 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
193 \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
194 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
195 \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
196 \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
197 \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,linewidth=2\pslinewidth,action=draw](0,0,c 2 div)
200 \item Les étapes suivantes consistent à annoter le schéma :
202 \psPoint(2.5,-3,0){A}
204 \uput[d](A){A}\uput[d](B){B}