1 \section {Les géodes et leurs duales
}
3 \subsection{Présentation mathématique
}
5 D'excellentes études sur les géodes et leurs duales sont disponibles
6 sur les sites suivants~:
8 \centerline{\url{http://fr.wikipedia.org/wiki/G\%C3\%A9ode
}}
10 Le paramétrage d'une géode est fidèle aux indications de la page :
12 \centerline{\url{http://hypo.ge-dip.etat-ge.ch/www/math/html/amch104.html
}}
14 <<
\textit{On peut définir une géode à partir de deux paramètres : un
15 numéro $N$ indiquant le type de polyèdre initial ($N =
3$ pour le
16 tétraèdre, $N =
4$ pour l'octaèdre et $N =
5$ pour l'icosaèdre) et
17 un nombre $n$ indiquant le nombre de divisions le long de l'arête.
}
20 L'article
\textit{Indexing the Sphere with the Hierarchical Triangular Mesh
}
21 décrit une méthode permettant d'obtenir une représentation des géodes :
23 \centerline{\url{http://research.microsoft.com/research/pubs/view.aspx?msr_tr_id=MSR-TR-
2005-
123}}
25 \subsection{Construction avec pst-solides3d
}
27 Deux approches sont possibles pour construire une géode ou sa duale~:
28 soit
\textsl{via\/
} \verb+
\codejps+, soit en utilisant les objets de
31 Pour une géode, les codes
33 \codejps{N n newgeode drawsolid**
}
37 \psSolid[object=geode,ngrid=N n
]
39 sont équivalents. Et pour sa duale, les codes
40 Pour une géode, les codes
42 \codejps{N n newdualgeode drawsolid**
}
46 \psSolid[object=geode,dualreg,ngrid=N n
]
52 \subsection{Quelques exemples de géodes et de duales
}
54 \begin{LTXexample
}[pos=t
]
55 \psset{viewpoint=
50 -
20 30 rtp2xyz,Decran=
100}
56 \begin{pspicture
}(-
3,-
3)(
3,
3)
58 \psSolid[object=geode,
60 %\codejps{5 0 newgeode drawsolid**}
61 \psframe*(-
2,-
2.8)(
2,-
2.2)
62 \rput(
0,-
2.5)
{\textcolor{white
}{\textsf{N=
5 n=
0}}}
65 \begin{pspicture
}(-
3,-
3)(
3,
3)
67 \psSolid[object=geode,
70 %\codejps{5 0 newdualgeode drawsolid**}
71 \psframe*(-
2,-
2.8)(
2,-
2.2)
72 \rput(
0,-
2.5)
{\textcolor{white
}{\textsf{N=
5 n=
0}}}
76 \begin{LTXexample
}[pos=t
]
77 \psset{viewpoint=
50 -
20 30 rtp2xyz,Decran=
100}
78 \begin{pspicture
}(-
3,-
3)(
3,
3)
80 \psSolid[object=geode,
82 %\codejps{5 1 newgeode drawsolid**}
83 \psframe*(-
2,-
2.8)(
2,-
2.2)
84 \rput(
0,-
2.5)
{\textcolor{white
}{\textsf{N=
5 n=
1}}}
87 \begin{pspicture
}(-
3,-
3)(
3,
3)
89 \psSolid[object=geode,
92 %\codejps{5 1 newdualgeode drawsolid**}
93 \psframe*(-
2,-
2.8)(
2,-
2.2)
94 \rput(
0,-
2.5)
{\textcolor{white
}{\textsf{N=
5 n=
1}}}
98 \subsection{Les paramètres des géodes
}
100 Le rayon de la sphère est fixé à
1, pour augmenter la taille des
101 géodes on jouera sur l'un ou l'autre des deux paramètres suivants~:
103 \item l'unité :
\verb+
\psset{unit=
2}+
104 \item la position de l'écran :
105 \verb+viewpoint=
50 -
20 30,Decran=
100+, si la distance de l'écran
106 est deux fois plus grande que la distance
107 à laquelle se trouve l'observateur l'échelle de la scène est multipliée par~
2.
110 \encadre{En jps, le paramétrages'effectue pour
111 la géode dans le
\textbackslash{}codejps\
{\textbf{N n newgeode
}\
} et
112 pour sa duale dans
\textbackslash{}codejps\
{\textbf{N n
115 \encadre{Avec
\textbackslash{}psSolid, les paramètres $N$ et $n$ sont transmis
116 via l'argument
\texttt{ngrid
}}
118 Les options de couleurs et de transparence sont bien sûr possibles avec les géodes.
120 \begin{LTXexample
}[pos=t
]
122 \psset{viewpoint=
50 -
20 30 rtp2xyz,Decran=
100,linewidth=
2pt
}
123 \begin{pspicture
}(-
3,-
3)(
3,
3)
124 \psframe*(-
3,-
3)(
3,
3)
126 /geode42
{4 2 newdualgeode
} def
132 dup (orange) inputcolors
133 dup
[.1 .9] solidputhuecolors
} def
139 \subsection{Conseils pour la construction `rapide' des géodes
}
141 Le temps de calcul des géodes et de leurs duales dépend du nombre de
142 divisions sur une arête (le deuxième paramètre $n$) et il devient
143 rapidement très grand, ce qui est vraiment une gêne lorsqu'on est
144 obligé d'attendre, plus ou moins patiemment, le résultat de la
145 transformation
\Cadre{dvips->ps2pdf
}.
147 Comme pour tous les autres solides, il est possible de sauvegarder la
148 structure calculée dans des fichiers externes, ce qui permettra un
149 gain de temps appréciable si on doit faire des essais de couleurs ou
152 Il faut opérer en deux étapes :
154 \subsubsection {Sauvegarde en fichier
\texttt{.dat
} des paramètres de la géode
}
157 \documentclass{article
}
158 \usepackage{pst-solides3d
}
162 dup
{[.5 .6]} exec solidputhuecolors
163 (geodedual44) writesolidfile
167 \Cadre{LaTeX->
dvips->GSview (Windows)ou gv (Linux)
}
169 Cette dernière opération va créer
4 fichiers :
171 \item \texttt{geodedual44.dat
} -> les couleurs des faces ;
172 \item \texttt{geodedual44.dat
} -> la liste des faces ;
173 \item \texttt{geodedual44.dat
} -> la liste des sommets ;
174 \item \texttt{geodedual44-io.dat
} -> le nombre de faces et de sommets.
177 \encadre{Par défaut, sous Windows et Linux, la protection des fichiers
178 du disque dur est activée et ne permet donc pas l'écriture sur le
179 disque. Pour désactiver cette protection, tout au moins
180 temporairement, voici les deux procédures correspondantes :
184 \item[Linux :
] le conseil de Jean-Michel Sarlat : le plus
185 simple est donc d'utiliser ghostscript directement, en console. Comme
186 il n'y a rien à attendre comme image :
188 \$> gs -dNOSAFER lissatest.ps quit.ps
189 \item[Windows :
] dans le menu
\textsf{Options
}, l'option
\textsf{Protection des fichiers
} ne doit pas être cochée.
192 \subsubsection {Lecture des données et dessin de la géode
}
194 %% \begin{LTXexample}[pos=t]
196 %% \psset{lightsrc=10 0 10,viewpoint=50 -20 30 rtp2xyz,Decran=100}
197 %% \begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
198 %% \psframe(-2,-2)(2,2)
199 %% \psSolid[object=datfile,file=geodedual44]
203 L'avantage de cette méthode vous paraîtra plus évident en faisant la
204 comparaison suivante : compilation de deux fichiers qui produisant le
205 même résultat avec les deux méthodes en concurrence.
207 Le fichier
\texttt{geode42
\_direct.tex
} fait le calcul du solide et
208 son affichage. Le fichier
\texttt{geode42
\_precalcul.tex
} utilise les
209 fichiers
\texttt{.dat
} de données pré-calculées par
210 \texttt{calc
\_geode42.tex
}.
212 \subsection{D'autres exemples
}
214 \begin{LTXexample
}[pos=t
]
215 \psset{viewpoint=
50 -
20 30 rtp2xyz,Decran=
100}
216 \begin{pspicture
}(-
3,-
3)(
3,
3)
218 \psSolid[object=datfile,file=geode51,deactivatecolor
]
219 \psframe*(-
2,-
2.8)(
2,-
2.2)
220 \rput(
0,-
2.5)
{\textcolor{white
}{\textsf{N=
5 n=
1}}}
223 \begin{pspicture
}(-
3,-
3)(
3,
3)
225 \psSolid[object=datfile,file=geodedual51,deactivatecolor
]
226 \psframe*(-
2,-
2.8)(
2,-
2.2)
227 \rput(
0,-
2.5)
{\textcolor{white
}{\textsf{N=
5 n=
1}}}
231 \begin{LTXexample
}[pos=t
]
232 \psset{viewpoint=
50 -
20 30 rtp2xyz,Decran=
100}
233 \begin{pspicture
}(-
3,-
3)(
3,
3)
235 \psSolid[object=datfile,file=geode52,deactivatecolor
]
236 \psframe*(-
2,-
2.8)(
2,-
2.2)
237 \rput(
0,-
2.5)
{\textcolor{white
}{\textsf{N=
5 n=
2}}}
240 \begin{pspicture
}(-
3,-
3)(
3,
3)
242 \psSolid[object=datfile,file=geodedual52,deactivatecolor
]
243 \psframe*(-
2,-
2.8)(
2,-
2.2)
244 \rput(
0,-
2.5)
{\textcolor{white
}{\textsf{N=
5 n=
2}}}
248 \begin{LTXexample
}[pos=t
]
249 \psset{viewpoint=
50 -
20 30 rtp2xyz,Decran=
100}
250 \begin{pspicture
}(-
3,-
3)(
3,
3)
252 \psSolid[object=datfile,file=geode53,deactivatecolor
]
253 \psframe*(-
2,-
2.8)(
2,-
2.2)
254 \rput(
0,-
2.5)
{\textcolor{white
}{\textsf{N=
5 n=
3}}}
257 \begin{pspicture
}(-
3,-
3)(
3,
3)
259 \psSolid[object=datfile,file=geodedual53,deactivatecolor
]
260 \psframe*(-
2,-
2.8)(
2,-
2.2)
261 \rput(
0,-
2.5)
{\textcolor{white
}{\textsf{N=
5 n=
3}}}