\documentclass{article}
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\date{03 octobre 2\,007}
\author{JPV \& ML}
\title{Utilisation de la \\
grille et du parallélépipède}

\begin{document}
\maketitle
\psset{lightsrc=100 20 50}
%\section{La \textsf{grille} et son paramètre : \textsf{base}}
Par défaut la grille au pas de 1 est dessinée sur le plan horizontal $Oxy$, elle supporte les mêmes options que les solides.
\begin{verbatim}
\psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5](0,0,0)
\end{verbatim}
{\psset{unit=0.5,viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
\begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,3.5)
\psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5,action=draw](0,0,0)
 \axesIIID(0,0,0)(4,5,3)
\rput(0,-3){\textsf{action=draw}}
\end{pspicture}
\hfill
\begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,3.5)
\psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5,action=draw*,fillcolor=yellow](0,0,0)
 \axesIIID(0,0,0)(4,5,3)
\rput(0,-3){\textsf{action=draw*,fillcolor=yellow}}
\end{pspicture}}

Dans le livre \textsc{géométrie} \textit{des cours complémentaires et enseignement secondaire court} de 1\,950 (éditeur Ligel), on trouve
(page 459) la figure suivante, illustration du théorème :
\begin{center}
 \psframebox[fillstyle=solid,linestyle=none,fillcolor=yellow!50]{%
 \begin{minipage}{0.8\linewidth}
 \textbf{Le nombre qui mesure le volume d'un parallélépipède rectangle est égal
 au produit des nombres qui mesurent ses trois dimensions.}
\end{minipage}}
\end{center}
\begin{center}
\psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
\begin{pspicture}(-6,-1.5)(6,5.5)
\psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
\psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
\psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
\psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,action=draw,linewidth=2\pslinewidth](0,0,c 2 div)
\psPoint(2.5,-3,0){A}
\psPoint(2.5,3,0){B}
\psPoint(-2.5,-3,0){D}
\psPoint(-2.5,3,0){C}
\psPoint(2.5,-3,4){E}
\psPoint(2.5,3,4){F}
\psPoint(-2.5,3,4){G}
\psPoint(-2.5,-3,4){H}
\uput[d](A){A}\uput[d](B){B}
\uput[dr](C){C}\uput[d](D){D}
\uput[l](E){E}\uput[r](F){F}
\uput[ur](G){G}\uput[u](H){H}
\psPoint(2.5,-3,1){a}
\psPoint(2.5,3,1){b}
\psPoint(-2.5,-3,1){d}
\psPoint(-2.5,3,1){c}
\uput[l](a){$a$}\uput[r](b){$b$}
\uput[r](c){$c$}\uput[l](d){$d$}
\end{pspicture}
\end{center}
La démonstration donnée \textit{par une réunion de professeurs} est la suivante :

Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle. Choisissons une unité $u$ qui puisse être portée un nombre exact de fois
sur chaque dimension ; soit, par exemple, 6~fois sur AB, 5~fois sur AD, 4~fois sur AE.

On a par \textit{hypothèse} :
\[
\mathrm{AB=6}\ ;\qquad \mathrm{AD=5}\ ;\qquad\mathrm{AE=3}.
\]
\textit{Je dis que l'on a aussi :}
\[
V=6\times 5\times 4
\]
En effet, par les points de division de EA, menons des plans parallèles aux bases. \textit{Nous déterminons
ainsi quatre parallélépipèdes égaux entre eux, comme ayant des bases égales et même hauteur}.

Soit ABCD$abcd$ un de ces volumes partiels. Sa base est un rectangle qui peut être divisé en
\[
6\times5\textrm{ carrés-unité.}
\]
Sur chacun de ces carrés on peut construire \textbf{un cube qui est, par définition, l'unité de volume.}

Dans un parallélépipède partiel l'unité est contenue :
\[
6\times5\textrm{ fois}
\]
Dans le parallélépipède donné elle est donc contenue :
\[
6\times5\times4\textrm{ fois}
\]
Et on a bien :
\[
V=6\times 5\times 4
\]
Ce dessin est construit en 6 étapes :
\begin{enumerate}
  \item On place le parallélépipède qui est à la base du parallélépipède étudié :
     \begin{verbatim}
\psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1](0,0,c 2 div)
    \end{verbatim}
  en lui adjoignant, éventuellement, les options de couleur et d'éclairage :
     \begin{verbatim}
  [fillcolor=yellow]
    \end{verbatim}
\begin{center}
\psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,2)
\psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
\end{pspicture}
\end{center}
  \item Ensuite, on dessine les quadrillages :
  \begin{itemize}
    \item sur la face supérieure du parallélépipède ``\textit{socle}'' ;
    \begin{verbatim}
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
    \end{verbatim}
\begin{center}
\psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,2)
\psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
\end{pspicture}
\end{center}
    \item sur les faces latérales visibles de ce même parallélépipède :
     \begin{verbatim}
\psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
    \end{verbatim}
\begin{center}
\psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,4)
\psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
\psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
\end{pspicture}
\end{center}
    \item sur la face supérieure du parallélépipède étudié.
    \begin{verbatim}
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
    \end{verbatim}
\begin{center}
\psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,5)
\psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
\psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
\end{pspicture}
\end{center}
  \end{itemize}
\item on dessine le cube unité :
    \begin{verbatim}
\psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
    \end{verbatim}
\begin{center}
\psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,5)
\psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
\psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
\psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
  \item on complète le dessin par le parallélépipède étudié, dessiné avec un trait plus épais :
    \begin{verbatim}
\psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,%
         linewidth=2\pslinewidth,%
         action=draw](0,0,c 2 div)
    \end{verbatim}
\begin{center}
\psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,5)
\psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1)
\psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2)
\psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4)
\psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5)
\psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,linewidth=2\pslinewidth,action=draw](0,0,c 2 div)
\end{pspicture}
\end{center}
  \item Les étapes suivantes consistent à annoter le schéma :
    \begin{verbatim}
\psPoint(2.5,-3,0){A}
\psPoint(2.5,3,0){B}
\uput[d](A){A}\uput[d](B){B}
etc.
    \end{verbatim}
\end{enumerate}
\end{document}