\documentclass{article} \usepackage{pst-solides3d,pst-node,multido} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[a4paper]{geometry} \usepackage[frenchle]{babel} \date{03 octobre 2\,007} \author{JPV \& ML} \title{Utilisation de la \\ grille et du parallélépipède} \begin{document} \maketitle \psset{lightsrc=100 20 50} %\section{La \textsf{grille} et son paramètre : \textsf{base}} Par défaut la grille au pas de 1 est dessinée sur le plan horizontal $Oxy$, elle supporte les mêmes options que les solides. \begin{verbatim} \psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5](0,0,0) \end{verbatim} {\psset{unit=0.5,viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100} \begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,3.5) \psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5,action=draw](0,0,0) \axesIIID(0,0,0)(4,5,3) \rput(0,-3){\textsf{action=draw}} \end{pspicture} \hfill \begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,3.5) \psSolid[object=grille,base=-4 4 -5 5,action=draw*,fillcolor=yellow](0,0,0) \axesIIID(0,0,0)(4,5,3) \rput(0,-3){\textsf{action=draw*,fillcolor=yellow}} \end{pspicture}} Dans le livre \textsc{géométrie} \textit{des cours complémentaires et enseignement secondaire court} de 1\,950 (éditeur Ligel), on trouve (page 459) la figure suivante, illustration du théorème : \begin{center} \psframebox[fillstyle=solid,linestyle=none,fillcolor=yellow!50]{% \begin{minipage}{0.8\linewidth} \textbf{Le nombre qui mesure le volume d'un parallélépipède rectangle est égal au produit des nombres qui mesurent ses trois dimensions.} \end{minipage}} \end{center} \begin{center} \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100} \begin{pspicture}(-6,-1.5)(6,5.5) \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4) \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2) \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5) \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,action=draw,linewidth=2\pslinewidth](0,0,c 2 div) \psPoint(2.5,-3,0){A} \psPoint(2.5,3,0){B} \psPoint(-2.5,-3,0){D} \psPoint(-2.5,3,0){C} \psPoint(2.5,-3,4){E} \psPoint(2.5,3,4){F} \psPoint(-2.5,3,4){G} \psPoint(-2.5,-3,4){H} \uput[d](A){A}\uput[d](B){B} \uput[dr](C){C}\uput[d](D){D} \uput[l](E){E}\uput[r](F){F} \uput[ur](G){G}\uput[u](H){H} \psPoint(2.5,-3,1){a} \psPoint(2.5,3,1){b} \psPoint(-2.5,-3,1){d} \psPoint(-2.5,3,1){c} \uput[l](a){$a$}\uput[r](b){$b$} \uput[r](c){$c$}\uput[l](d){$d$} \end{pspicture} \end{center} La démonstration donnée \textit{par une réunion de professeurs} est la suivante : Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle. Choisissons une unité $u$ qui puisse être portée un nombre exact de fois sur chaque dimension ; soit, par exemple, 6~fois sur AB, 5~fois sur AD, 4~fois sur AE. On a par \textit{hypothèse} : \[ \mathrm{AB=6}\ ;\qquad \mathrm{AD=5}\ ;\qquad\mathrm{AE=3}. \] \textit{Je dis que l'on a aussi :} \[ V=6\times 5\times 4 \] En effet, par les points de division de EA, menons des plans parallèles aux bases. \textit{Nous déterminons ainsi quatre parallélépipèdes égaux entre eux, comme ayant des bases égales et même hauteur}. Soit ABCD$abcd$ un de ces volumes partiels. Sa base est un rectangle qui peut être divisé en \[ 6\times5\textrm{ carrés-unité.} \] Sur chacun de ces carrés on peut construire \textbf{un cube qui est, par définition, l'unité de volume.} Dans un parallélépipède partiel l'unité est contenue : \[ 6\times5\textrm{ fois} \] Dans le parallélépipède donné elle est donc contenue : \[ 6\times5\times4\textrm{ fois} \] Et on a bien : \[ V=6\times 5\times 4 \] Ce dessin est construit en 6 étapes : \begin{enumerate} \item On place le parallélépipède qui est à la base du parallélépipède étudié : \begin{verbatim} \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1](0,0,c 2 div) \end{verbatim} en lui adjoignant, éventuellement, les options de couleur et d'éclairage : \begin{verbatim} [fillcolor=yellow] \end{verbatim} \begin{center} \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100} \begin{pspicture}(-6,-1)(6,2) \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div) \end{pspicture} \end{center} \item Ensuite, on dessine les quadrillages : \begin{itemize} \item sur la face supérieure du parallélépipède ``\textit{socle}'' ; \begin{verbatim} \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1) \end{verbatim} \begin{center} \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100} \begin{pspicture}(-6,-1)(6,2) \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1) \end{pspicture} \end{center} \item sur les faces latérales visibles de ce même parallélépipède : \begin{verbatim} \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2) \end{verbatim} \begin{center} \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100} \begin{pspicture}(-6,-1)(6,4) \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1) \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2) \end{pspicture} \end{center} \item sur la face supérieure du parallélépipède étudié. \begin{verbatim} \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4) \end{verbatim} \begin{center} \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100} \begin{pspicture}(-6,-1)(6,5) \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1) \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4) \end{pspicture} \end{center} \end{itemize} \item on dessine le cube unité : \begin{verbatim} \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5) \end{verbatim} \begin{center} \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100} \begin{pspicture}(-6,-1)(6,5) \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1) \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4) \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} \item on complète le dessin par le parallélépipède étudié, dessiné avec un trait plus épais : \begin{verbatim} \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,% linewidth=2\pslinewidth,% action=draw](0,0,c 2 div) \end{verbatim} \begin{center} \psset{viewpoint=100 20 20 rtp2xyz,Decran=100} \begin{pspicture}(-6,-1)(6,5) \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=1,fillcolor=yellow](0,0,c 2 div) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,1) \psSolid[object=grille,base=-2 2 -3 3,RotY=90,action=draw](2.5,0,2) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -2 2,RotX=-90,action=draw](0,3,2) \psSolid[object=grille,base=-2.5 2.5 -3 3,action=draw](0,0,4) \psSolid[object=cube,fillcolor=red,a=1](2,2.5,0.5) \psSolid[object=parallelepiped,a=5,b=6,c=4,linewidth=2\pslinewidth,action=draw](0,0,c 2 div) \end{pspicture} \end{center} \item Les étapes suivantes consistent à annoter le schéma : \begin{verbatim} \psPoint(2.5,-3,0){A} \psPoint(2.5,3,0){B} \uput[d](A){A}\uput[d](B){B} etc. \end{verbatim} \end{enumerate} \end{document}