\documentclass[12pt]{article}
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\title{Les anamorphoses : présentation théorique}
\author{Jürgen Gilg, Manuel Luque, Jean-Michel Sarlat}
\date{15 octobre 2011}
\begin{document}
\maketitle
\section{L'anamorphose cylindrique}
\input{fig3d-anacyl.tex}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,7.5)
\pnode(6,7){V}
\uput[0](V){$V$}
\pnode(3,6.5){S}
\pnode(-3,6.5){S'}
\pnode(3,2.8){I}
\pnode(1,0){P}
\pnode(5,0){P'}
\uput[45](P'){$P'$}
\pnode(3,0){G}
\pnode(-3,0){G'}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)(S')
\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(6.5,7.5)
\uput[135](P){$P$}
\uput[-45](G){$G$}
\uput[135](I){$I$}
\psline(V)(P)
\psline(S)(G)
\rput(I){%
\psline[linestyle=dashed](3;0)%
\uput[0](3;0){$N$}%
\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-90}{-54.46}%
\psarc[doubleline=true](0,0){1}{54.46}{90}
\uput[72](1.2;72){$\alpha$}%
\uput[-72](1.2;-72){$\alpha$}%
\rput{-90}(0,0){\psframe(0.3,0.3)}
}
\psline[linecolor=red](V)(I)(P')
\pcline[nodesepB=1.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(P')(I)
\pcline[nodesepB=2.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
\qdisk(I){2pt}
\qdisk(P){2pt}
\qdisk(V){2pt}
\qdisk(P'){2pt}
\qdisk(G){2pt}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.2)(1,-0.2)
\uput[-90](0.5,-0.2){$r_P$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(0,2.8)(3,2.8)
\uput[-90](1.5,2.8){$r_I=R$}
\end{pspicture}
\end{center}
On place à l'intérieur du cylindre l'image telle qu'elle doit
être vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique
(on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.\par
Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique
géométrique :
\begin{itemize}
  \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
  plan ;
  \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
  rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
\end{itemize}
L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
l'illusion que le rayon provient du point image.
Il  faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par
L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
considéré comme ponctuel.

Soit $P$ un point de l'image(noté $A'$ dans le schéma ci-après), $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un
droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec le
cylindre : c'est le point d'incidence.\par
$V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,0)$\par
L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$:
$$\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_V-x_I&=&\rho(x_V-x_P)\\
      y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\
      z_V-z_I&=&\rho(z_V-0)
      \end{array}
      \right.
      \Longrightarrow
    \left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_I&=&x_V(1-\rho)+\rho x_P\\
      y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\
      z_I&=&z_V(1-\rho)
      \end{array}
      \right.
      $$
Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonnées vérifient la
relation :
$$x_I^2+y_I^2=R$$
Après développement, on obtient l'équation du second degré en
$\rho$:
$$a\rho^2+2b'\rho+c=0$$ avec :
    $$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      a=(x_V-x_P)^2+(y_V+y_P)^2\\
      b'=x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\
      c=x_V^2+y_V^2-R^2
      \end{array}
      \right.
      $$
La résolution de cette équation nous donne les solutions
classiques:
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      \rho'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\
      \rho''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
      \end{array}
      \right.
      \qquad \Delta'=b'^2-ac
      $$
On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $\rho$.
\par
$IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
\begin{enumerate}
  \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
  \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
\end{enumerate}
La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
$\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$\\
La première condition se traduit par :
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\
      y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\
      z_V-z_I+z_{V'}-z_I=0
      \end{array}
      \right.
    \Longrightarrow
  \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\
      y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\
      z_{V'}=2z_I-z_V
      \end{array}
      \right.
      $$
La deuxième par :
$$(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0$$
En remplaçant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tirés de la première condition
dans la deuxième :
$$k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0$$
$$kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
$$k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)$$
Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
$$ \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\
      y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\
      z_{V'}=z_V(1-2\rho)
      \end{array}
      \right.
      $$
Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
horizontal $z=0$.\par
\'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
$\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$
$$ \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x_{V'}-x=\alpha(x_{V'}-x_I)\\
      y_{V'}-y=\alpha(y_{V'}-y_I)\\
      z_{V'}-z=\alpha(z_{V'}-z_I)
      \end{array}
      \right.
      $$
$z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{V'}}{z_{V'}-z_I}$ soit
$$\alpha=\dfrac{1-2\rho}{-\rho}$$
En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
anamorphique.
$$ \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x=x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\
      y=y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I)
      \end{array}
      \right.
      $$
Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
dont le miroir « redressera » la forme.

On notera que \textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas}. On le comprend aisément en faisant un dessin du plan vertical passant par l'\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale étant fixée $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ étant symétriques par rapport à la génératrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donné alors $A$ est fixé quelque soit~$z_V$.
\section{L'anamorphose conique}
Le principe est identique à celui de l'anamorphose cylindrique :
imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet « anamorphique »,
se réfléchissant sur le miroir conique et parvenant à l'{\oe}il de
l'observateur placé au-dessus et dans l'axe du cône à une position
suffisamment haute pour que l'observateur puisse être considéré
comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer
l'image reconstituée par le miroir conique. Image et objet sont
dans le plan horizontal.
\input{fig3d-anacon.tex}
Il s'agit de d\'{e}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec
le c\^{o}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'{e}es de
$V$, $S$ et $P$ sont not\'{e}es : $V(0,0,Z_V)$, $S(0,0,Z_S)$ et
$P(X_P,Y_P,0)$.

L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$:
\[\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      0-x_I&=&\lambda(0-x_P)\\
      0-y_I&=&\lambda(0-y_P)\\
      z_V-z_I&=&\lambda(z_V-0)
      \end{array}
      \right.
      \Longrightarrow
    \left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_I&=&\lambda x_P\\
      y_I&=&\lambda y_P\\
      z_I&=&(1-\lambda)z_V
      \end{array}
      \right.
\]
On pose :
\[
    r_I^2=x_I^2+y_I^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2\quad\textrm{et}\quad |\overrightarrow{OG}|=R
\]
Le point $I$ appartenant au c\^{o}ne, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la
relation (th\'{e}or\^{e}me de Thalès):
\[
    \frac{R}{z_S}=\frac{r_I}{z_S-z_I}
\]
%
\[
    \frac{R}{z_S}=\frac{\lambda r_P}{z_S-(1-\lambda)z_P}
\]
\[
    \lambda=\frac{R(z_S-z_V)}{r_Pz_S-R z_V}
\]
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,10)
\pnode(0,10){V}
\uput[0](V){$V$}
\pnode(0,5){S}
\uput[0](S){$S$}
\pnode(1.5,2.5){I}
\pnode(2,0){P}
\pnode(4.545,0){P'}
\uput[45](P'){$P'$}
\psdots[dotstyle=|](P')
\pnode(3,0){G}
\pnode(-3,0){G'}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)
\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(5.5,10.5)
\uput[45](P){$P$}
\uput[-45](G){$G$}
\uput[70](I){$I$}
\psline(V)(P)
\psline(S)(G)
\rput(I){%
\psline[linestyle=dashed](4;30.96)
\uput[15.5](4;30.1){$N$}
\rput{-59.036}(0,0){\psframe(0.5,0.5)}
\psarc[doubleline=true](0,0){1}{101.31}{120.964}
%\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-79.09}{-59.036}
\psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{-59.036}{-39.38}
\pnode(1.2;-50){I1}
\pnode(1.2;112){I2}
\uput[-50](I1){$\alpha$}
\uput[112](I2){$\alpha$}
}
\rput(P'){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1}{140.175}{180}
\uput[160](1;160){$\alpha'$}}
\rput(S){\psarc[linecolor=gray,linewidth=2\pslinewidth](0,0){1}{-90}{-59.036}
\uput[-75](1;-75){$\theta$}}
\rput(V){\psarc(0,0){2}{-90}{-78.69}
\uput[-80](2;-85){$\beta$}}
\psline[linecolor=red](V)(I)(P')
\pcline[nodesepB=1.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(P')(I)
\pcline[nodesepB=4,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
\qdisk(I){2pt}
\qdisk(P){2pt}
\qdisk(S){2pt}
\qdisk(V){2pt}
\qdisk(P'){2pt}
\qdisk(G){2pt}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.2)(2,-0.2)
\uput[-90](1,-0.2){$r_P$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.8)(3,-0.8)
\uput[-90](1.5,-0.8){$R$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(1.5,2.5)(0,2.5)
\uput[-90](0.75,2.5){$r_I$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->|}(-0.2,0)(-0.2,5)
\uput[180](-0.2,2.5){$z_S$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->|}(-1,0)(-1,10)
\uput[180](-1,5){$z_V$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linestyle=dashed](1.5,2.5)(1.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon
r\'{e}fl\'{e}chi, d\'{e}terminons~$\alpha'$.

Un raisonnement g\'{e}om\'{e}trique \'{e}l\'{e}mentaire nous montre que :
\[
    \alpha'=90^\circ-2\theta+\beta
\]
avec
\[
    \beta=\arctan\frac{r_P}{z_V}
\]
et
\[
    \theta=\arctan\frac{R}{z_S}\quad\textrm{demi-angle au sommet du c\^{o}ne }
\]
Dans le plan horizontal, les coordonn\'{e}es de $P'$ sont :
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_{P'}&=&x_I+\dfrac{z_I}{\tan \alpha'}\\[0.5cm]
      y_{P'}&=&y_I+\dfrac{z_I}{\tan \alpha'}\\
    \end{array}
\right.
\]
\section{L'anamorphose sphérique}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-1)(8,5)
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](0,0){2}{0}{180}
\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3,0)(7.5,5)
\pnode(1.5,0){P}
\pnode(0,0){O}
\pnode(!/alpha 15 def /xI 2 alpha  cos mul def /yI 2 alpha  sin mul def /beta yI xI 1.5 sub atan def xI yI){I}
\psline(P)(I)
\rput(I){\pnode(!beta cos 5 mul beta sin 5 mul){V}}
\psline[linecolor=red](I)(V)
\rput(I){\psarc[doubleline=true](0,0){1}{!alpha}{!beta}
         \psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{!2 alpha mul beta sub}{!alpha}}
\pnode(!yI neg xI 2 alpha mul beta sub tan mul add 2 alpha mul beta sub tan div 0){M}
\psline[linecolor=red](M)(I)
\pcline[nodesepB=0.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(M)(I)
\pcline[nodesepB=2,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(O)(I)
\uput[75](1;15){$R$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(O)(V)
\uput[75](3,2.7){$r_V$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.3)(1.5,-0.3)
\uput[-90](0.75,-0.3){$r_P$}
\rput(I){%
\psline[linestyle=dashed](5;15)
\uput[15](5;15){$N$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linecolor=gray](1.5;105)
\uput[105](1.5;105){$T$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linecolor=gray](1.25;-75)
\rput{-75}(0,0){\psframe(0.3,0.3)}
}
\uput[-45](P){$P$}
\uput[-45](M){$P'$}
\uput[70](I){$I$}
\uput[u](V){$V$}
\psdot(P)
\psdot(I)
\psdot(V)
\psdot(M)
\end{pspicture}
\end{center}

On place à l'intérieur de la demi-sphère l'image telle qu'elle doit
être vue par un observateur regardant dans le miroir sphérique.
(on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sphère, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.\par
Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique
géométrique :
\begin{itemize}
  \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même
  plan ;
  \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par
  rapport à la normale au miroir au point d'incidence.
\end{itemize}
L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est
placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de
l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion
parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a
l'illusion que le rayon provient du point image.
Il  faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel
rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par
L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être
considéré comme ponctuel.

Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un
droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec la
sphère : c'est le point d'incidence.\par
$V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,0)$\par
L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$:
$$\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_V-x_I&=&\lambda(x_V-x_P)\\
      y_V-y_I&=&\lambda(y_V-y_P)\\
      z_V-z_I&=&\lambda(z_V-0)
      \end{array}
      \right.
      \Longrightarrow
    \left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_I&=&x_V(1-\lambda)+\lambda x_P\\
      y_I&=&y_V(1-\lambda)+\lambda y_P\\
      z_I&=&z_V(1-\lambda)
      \end{array}
      \right.
      $$
Le point $I$ appartenant à la sphère, ses coordonnées vérifient la
relation :
$$x_I^2+y_I^2+z_I^2=R^2$$
On pose :
\[
    r_V^2=x_V^2+y_V^2+z_V^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2
\]
\[
\left(x_V+\lambda(x_P-x_V)\right)^2+\left(y_V+\lambda(y_P-y_V)\right)^2+\left((1-\lambda)z_V\right)^2=R^2
\]
\[
x_V^2+2\lambda x_V(x_P-x_V)+\lambda^2(x_P-x_V)^2+y_V^2+2\lambda y_V(y_P-y_V) +\lambda^2(y_P-y_V)^2+(1-2\lambda+\lambda^2)z_V^2=R^2
\]
Après développement, on obtient l'équation du second degré en
$\lambda$:
\[
\lambda^2\left((x_P-x_V)^2+(y_P-y_V)^2+z_V^2\right)+2\lambda\left(x_V(x_P-x_V)+y_V(y_P-y_V)-z_V^2\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2-
R^2=0
\]
\[
\lambda^2\left(x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\right)+2\lambda\left(-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2-
R^2=0
\]
\[
a\lambda^2+2b'\lambda+c=0
\]
Pour le coefficient $a$ de $\lambda^2$
\[
a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V
\]
Pour le coefficient $2b'$ de $\lambda$ :
\[
2b'=-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V
\]
Pour le coefficient $c$ :
\[
c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2
\]
\[
a\lambda^2+2b'\lambda+c=0
\]
avec :
\[\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
      b'=-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
      c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2
      \end{array}
      \right.
\]
\[\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      a=r_V^2+r_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
      b'=-r_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
      c=r_V^2-R^2
      \end{array}
      \right.
\]
La résolution de cette équation nous donne les solutions
classiques:
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      \lambda'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\
      \lambda''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
      \end{array}
      \right.
      \qquad \Delta'=b'^2-ac
      $$
On retiendra la valeur positive.% et \texttt{Coeff1} dans le programme.
\par
$IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est
défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale
au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à
cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
\begin{enumerate}
  \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
  \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
\end{enumerate}
La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur
$\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,z_I)$\\
La première condition se traduit par :
$$\left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\
      y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\
      z_V-z_I+z_{V'}-z_I=kz_I
      \end{array}
      \right.
    \Longrightarrow
  \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\
      y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\
      z_{V'}=kz_I+2z_I-z_V
      \end{array}
      \right.
      $$
La deuxième par :
\[
(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I+(z_{V'}-z_V)z_I=0
\]
En remplaçant $x_{V'}$, $y_{V'}$ et $z_{V'}'$ tirés de la première condition
dans la deuxième :
\[
k(x_I^2+y_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I+2z_I^2-2z_Vz_I=0
\]
\[
kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)
\]
\[
k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)+z_Vz_I
\]
Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent :
$$ \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\
      y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\
      z_{V'}=(k+2)z_I-z_V
      \end{array}
      \right.
      $$
Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan
horizontal $z=0$.\par
\'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant :
$\overrightarrow{MI}=\alpha\overrightarrow{V'I}$
$$ \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x_I-x=\alpha(x_I-x_{V'})\\
      y_I-y=\alpha(y_I-y_{V'})\\
      z_I-z=\alpha(z_I-z_{V'})
      \end{array}
      \right.
      $$
$z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{I}}{z_I-z_{V'}}$.

En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet
anamorphique.
$$ \left\lbrace
    \begin{array}{l}
      x=x_I-\alpha(x_I-x_{V'})\\
      y=y_I-\alpha(y_I-y_{V'})\\
      z=0
      \end{array}
      \right.
      $$
Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de
l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé)
dont le miroir « redressera » la forme.

\textbf{Remarque} : l'image doit se former du côté de l'observateur à l'intérieur du miroir, plus près du bord du miroir que du centre.
Si on déplace le point $P$ vers $O$, il arrive un moment où le rayon réfléchi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan
horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH !

\section{La perspective}
Dans le livre de Jurgis Baltrušaïtis\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives dépravées} en livre de poche chez Flammarion.}, on trouve le principe de la « \textit{costruzione legittima} » avec un schéma de Léonard de Vinci (1492) et des schémas anamorphiques de Niceron (1658). Je cite page 58 :

<< Rappelons en quelques mots quels ont été le procédés utilisés par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La première ligne tracée est celle de l'horizon à la hauteur de l'\oe{}il. Deux points y sont ensuite fixés : au milieu le point principal vers où convergent toutes les lignes droites parallèles qui s'éloignent en profondeur ; sur la même horizontale et à la même distance du point principal que l'\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales.
>>
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-3)(5,15)
\psset{ua=2,F=10,D=4,type=perspective}
\psframe*[linecolor=BleuCiel](-5,10)(5,13)
\psframe*[linecolor=OrangePale](-5,2)(5,10)
\psline[arrowinset=0,arrowsize=2mm]{->}(0,14)
\psline[arrowinset=0,arrowsize=2mm]{->}(7,0)
\uput[0](7,0){$x$}
\uput[90](0,14){$y$}
\psline(-5,2)(5,2)
\pnode(4,10){F'}
\pnode(0,10){F}
\uput[ul](F){${F}$}
\uput[ur](F'){${F'}$}
\rput(0,12){\multido{\n=22.5+45.0}{8}{%
\psline[linecolor=yellow](1;\n)}%
\pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=0,gradend=yellow,gradbegin=gray]{0.5}}
\multido{\i=-2+1}{5}{%
    \pnode(! \i\space -2){A}
    \pnode(! \i\space 2){B}
    \psline(A)(B)
    \pslineA(A)(B)
    }%
\multido{\i=-2+1}{5}{%
    \pnode(!-2 \i){A}
    \pnode(!2 \i){B}
    \pslineA[linecolor=blue](A)(B)
    \psline[linecolor=blue](A)(B)
    }%
\pnode(0,0){O}
\pnodeA(0,0){O'}
\pnode(-2,2){A}
\pnodeA(-2,2){A'}
\pnode(2,2){B}
\pnodeA(2,2){B'}
\pnode(-2,-2){C}
\pnodeA(-2,-2){C'}
\pnode(2,-2){D}
\pnodeA(2,-2){D'}
\pnode(-1,-1){M1}
\pnodeA(-1,-1){M1'}
\pnode(-1,1){M2}
\pnodeA(-1,1){M2'}
\pnode(-1,0){N1}
\pnodeA(-1,0){N1'}
\pnode(-1,2){P}
\pnodeA(-1,2){P'}
\pnode(-2,0){N2}
\pnodeA(-2,0){N2'}
\pnode(-2,1){N3}
\pnodeA(-2,1){N3'}
\pnodeA(-2,-1){S'}
\pnode(0,2){Q}
\pnode(1,2){R}
\psline(A)(F)(B)
\psline[linecolor=red](A)(F')
\psline[linecolor=red](P)(F)
\psline[linecolor=lightgray](P)(F')
\psline[linecolor=lightgray](Q)(F')
\psline[linecolor=lightgray](R)(F')
\psline[linecolor=lightgray](S')(F')
\psline[linecolor=lightgray](N2')(F')
\psline[linecolor=lightgray](N3')(F')
\uput[dl](A){${A}$}
\uput[dr](B){${B}$}
\uput[ul](A'){${A'}$}
\uput[ur](B'){${B'}$}
\uput[dl](C){${C}$}
\uput[dr](D){${D}$}
\uput[ul](P){${P}$}
\uput[u](P'){${P'}$}
\uput[ul](C'){${C'}$}
\uput[ur](D'){${D'}$}
\uput[dl](O){${O}$}
\uput[dr](O'){${O'}$}
\psline{<->|}(-3,2)(-3,10)
\uput[l](-3,6){$f$}
\pcline{|<->|}(F)(F')
\uput[u](2,10){$e$}
\psdots(A)(B)(C)(D)(A')(B')(C')(D')(P)(P')(F)(F')(O)(O')
\psdots[linecolor=blue](N1)(N1')
\uput[dl](N1){$\blue {N_1}$}
\uput[dl](N1'){$\blue {N_1'}$}
\psdots[linecolor=gray](M2)(M2')
\uput[dr](M2){\tiny $\gray {(X,Y)}$}
\uput[dr](M2'){\tiny $\gray {(x',y')}$}
\psdots[linecolor=red](M1')
\uput[dr](M1'){\tiny $\red {(\alpha_1,\beta_1)}$}
\end{pspicture}
\end{center}
Exemples :
\begin{itemize}
  \item $A\longrightarrow A'$
  \item $B\longrightarrow B'$
  \item $C\longrightarrow C'$
  \item $D\longrightarrow D'$
  \item $O\longrightarrow O'$
  \item $M_1\longrightarrow M_1'$
  \item $M_2\longrightarrow M'_2$
\end{itemize}
Déterminons les coordonnées $(\alpha_1,\beta_1)$ de l'intersection
de $(PF)$ avec $(AF')$.

Posons que les coordonnées des points essentiels sont :
\begin{itemize}
  \item $F(0,f)$
  \item $F'(e,f)$
  \item $A(-a,a)$
  \item $B(a,a)$
  \item $C(a,-a)$
  \item $D(-a,-a)$
  \item $P(X,a)$
\end{itemize}
\'Equation de $(AF')$ :
$$\frac{y-f}{x-e}=\frac{a-f}{-a-e}\Longrightarrow
x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=0$$
\'Equation de $(PF)$ :
$$\frac{x-0}{y-f}=\frac{X-0}{a-f}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=0$$
Intersection $(PF)\bigcap (AF')$
$$\alpha_1=\frac{Xe}{X+a+e}\qquad\beta_1=\frac{a(f+e)+fX}{X+a+e}$$
Si on prend maintenant, un point d'ordonnée $Y\neq X$ par exemple
$N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais à
l'intersection de $PF$ avec la parallèle à $x'Ox$ menée par le
point-image du point de coordonnée $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est
l'image de $O(0,0)$).

Il s'agit de déterminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'équation :
$$y=\beta_2=\frac{a(f+e)+fY}{Y+a+e}$$
Après calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse :
$$\alpha_2=\frac{Xe}{Y+a+e}$$
En résumé si dans le repère $Oxy$, on appelle $(X,Y)$ les
coordonnées d'un point-objet et $(x',y')$ les coordonnées du point
image dans la transformation \textbf{anamorphose oblique} ou
\textbf{perspective}, les formules qui permettent de passer de
l'objet à l'image s'écrivent :
\boldmath
\[\left\lbrace
    \begin{array}{l}
     {\blue x'}=\displaystyle\frac{{\red X}e}{{\red Y}+a+e}\\[0.5cm]
     {\blue y'}=\displaystyle\frac{a(f+e)+f{\red Y}}{{\red Y}+a+e}
    \end{array}
\right.
\]

\end{document} 