\documentclass[fleqn]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\datRoot{C:/Users/J\"{u}rgen/Desktop/gravitation/}

\begin{document}

\section{La d\'{e}couverte de la diffusion des particules $\alpha$ par le noyau}
\subsection{L'exp\'{e}riment d'Ernest Rutherford en 1909}

Rutherford bombarde des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et 2 protons) au travers d'une feuille d'or.
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-4)(6,5)
\psset{lightsrc=10 -20 50,viewpoint=10 -10 10,Decran=20}
\psSolid[object=cube,a=1,fillcolor=orange,incolor=red!20](0,7.5,0)
\psLineIIID[linecolor=red](0,7,0)(0,0,0)
\psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(45 sin 4 mul,45 cos 4 mul,0)
\psPolygonIIID[fillcolor=yellow,fillstyle=solid,opacity=0.5](-1.2,0,-1.2)(1.2,0,-1.2)(1.2,0,1.2)(-1.2,0,1.2)
\psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(140 sin 4 mul,140 cos 4 mul,0)
\psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(160 sin 4 mul,160 cos 4 mul,0)
\defFunction{G}(t)
   {t sin 4 mul}
   {t cos 4 mul}
   {-0.5}
\psSolid[object=cylindre,
   range=10 350,
   h=1,
   function=G,
   axe=0 0 1, %% valeur par d\'{e}faut
   ngrid=4 108,
   incolor=green!20,
   fillcolor=green!20,
   linecolor=gray!50,
   opacity=0.7]
\psPoint(0,7.5,1){emit}
\uput[u](emit){Emitteur des particules $\alpha$}
\psPoint(45 sin 4.3 mul,45 cos 4.3 mul,0){fluor}
\uput[r](fluor){\'{E}cran fluorescent}
\psSolid[object=plan,definition=equation,args={[0 -1 0 0]},name=pro,action=none]
\psProjection[object=texte,text=Feuille d'or,plan=pro](0,0.7)
\end{pspicture}
\end{center}

\def\eqRuth{%
y[2]|y[3]|COU*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|COU*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%

\section{Le potentiel coulombien -- donnant des trajectoires hyperboles}

Prenons un rep\`{e}re cart\'{e}sien. La masse $m_0$ d'un particule $\alpha$ a les coordonn\'{e}s $(x/y)$ et la vitesse $v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$. Le particule d'or est mis dans l'origine $O(0/0)$. Soit $r=\sqrt{x^2+y^2}$ la distance entre l'origine et la masse $m_0$.

Pour l'en\'{e}rgie cin\'{e}tique on re\c{c}oit :
\[
T(\dot{x},\dot{y})=\frac{1}{2}m_0v^2=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)
\]
Le potentiel coulombien, ce qui est conservatif :
\[
U(x,y)=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+y^2}}=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad \text{dont} \quad k=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0}
\]
Le Lagrangien est :
\[
L(x,y,\dot{x},\dot{y})=T-U=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}
\]
Pour $x,\,\dot{x}$ :
\begin{align*}
\frac{\partial L}{\partial x}&=k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}\\
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\dot{x}\\
\frac{\text{d}}{\text{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\ddot{x}
\end{align*}
Alors
\[
m_0\ddot{x}-k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}=0
\]
Division par $m_0$
\[
\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
\ddot{x}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
}
\]
Le Lagrangien est sym\'{e}trique en $x$ et $y$, alors :
\[
\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
\ddot{y}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{y}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
}
\]

\newpage
\section{Les trajectoires des particules $\alpha$}

L'exp\'{e}riment original donne les param\`{e}tres suivants :
\begin{align*}
m_0&=6,64\cdot 10^{-27}\,\text{kg}\\
e_0&=1,6\cdot10^{-19}\,\text{C}\\
\varepsilon_0&=8,85\cdot10^{-12}\,\frac{\text{A\,s}}{\text{kg\,m}^3}\\
Z_1&=2\\
Z_2&=79\\
v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1}
\end{align*}

\begin{center}
\begin{pspicture*}(-6,-9)(6,9)
%\psset{unit=2}%
\psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-9)(6,9)
\pscircle*[linecolor=gray](0,0){0.3}
\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8)
\uput[0](5,0){$x$}
\uput[90](0,8){$y$}
\multido{\rA=-5+0.25}{41}{%
\pstVerb{%
    /Pi 3.1415 def
    /m0 6.64e-27 def
    /Z1 2 def
    /Z2 79 def
    /e0 1.6e-19 def
    /epsil 8.85e-12 def
    /COU1 Z1 Z2 mul e0 mul e0 mul 4 div Pi div epsil div m0 div def
    /COU 7.5 def
    /x0 6 neg def
    /y0 \rA\space def
%   /v0x 2.1e7 def
    /v0x 2 def
    /v0y 0 def
    /r1 COU 2 mul v0x 2 exp div def
}%
\psequadiff[method=rk4,
            plotpoints=1000,
            algebraic,
            whichabs=0,
            whichord=1,
            tabname=XiYi
%           ,saveData,filename=XiYi.dat
]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqRuth}%
\listplot[linecolor=red]{XiYi aload pop}
}

\end{pspicture*}
\end{center}


\end{document}
