X-Git-Url: https://melusine.eu.org/syracuse/G/git/?a=blobdiff_plain;f=doc%2Fpst-anamorphosis-doc-part1.tex;h=6c797e6fc11e18a7cf76f17895c61cc5d3de913c;hb=49f8f6eef8c14b3f12467e8960fcb43d2700f87e;hp=06482298890bfeb8e5d6c3094f9c51530334ae6e;hpb=b5bff73d413bccd45ba53b356f64421234755f4a;p=pst-anamorphosis.git diff --git a/doc/pst-anamorphosis-doc-part1.tex b/doc/pst-anamorphosis-doc-part1.tex index 0648229..6c797e6 100644 --- a/doc/pst-anamorphosis-doc-part1.tex +++ b/doc/pst-anamorphosis-doc-part1.tex @@ -1,25 +1,164 @@ -\documentclass[12pt]{article} -\usepackage{pst-anamorphosis-add,pst-plot,pst-3d} -\usepackage{pst-grad} -\usepackage[nomessages]{fp} +\listfiles +\documentclass[a4paper,fleqn]{article} +\usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} -\usepackage[ansinew]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb} -\usepackage[a4paper]{geometry} -%\pagestyle{empty} +\usepackage[frenchb]{babel} +%\usepackage{mathptmx} +\usepackage[charter]{mathdesign} +\usepackage[margin=2.5cm]{geometry} +\usepackage{multicol} +\usepackage{listings} +\usepackage[svgnames]{xcolor} +\usepackage{showexpl} +\usepackage[nomessages]{fp} +\usepackage{xspace} +\usepackage{pst-plot,pst-solides3d,pst-anamorphosis-add,pst-3d} +\usepackage{pst-grad} +\usepackage[absolute,notitlepage]{pst-abspos} +\usepackage{url} + +\def\epsRoot{C:/Dokumente und Einstellungen/Besitzer/Desktop/bergen/bergen/} + +\renewcommand{\ttdefault}{lmtt} + +\definecolor{syracuseGRIS}{HTML}{C1C1C1} +\definecolor{syracuseVERT}{HTML}{029235} + \definecolor{sepia}{rgb}{1,0.8,0.8} \definecolor{grisclair}{rgb}{0.8,0.8,0.8} \definecolor{BleuCiel}{cmyk}{0.2,0,0,0} \definecolor{OrangePale}{cmyk}{0,0.2,0.4,0} -\title{Les anamorphoses : présentation théorique} -\author{Jürgen Gilg, Manuel Luque, Jean-Michel Sarlat} -\date{15 octobre 2011} + +\lstset{% + language=[LaTeX]TeX,% + float=hbp,% + basicstyle=\ttfamily\small, % + texcsstyle=*\color{blue},% + identifierstyle=\color{black}, % + keywordstyle=\color{syracuseVERT}, % + otherkeywords={$, \{, \}, \[, \]}, + stringstyle=\color{syracuseVERT}, % + commentstyle=\color{syracuseVERT}, % + backgroundcolor=\color{syracuseGRIS!30},% + columns=flexible, % + tabsize=4, % + frame=single, % + %frame=shadowbox, % + %rulesepcolor=\color{syracuseGRIS!30},% + extendedchars=true, % + showspaces=false, % + showstringspaces=false, % + numbers=left, + numbersep=0.8em, + numberstyle=\tiny, % + breaklines=true, % + breakautoindent=true,% + captionpos=b,% + xleftmargin=1em,% + sensitive=true,% + morekeywords=[6]{pspicture,center},% + keywordstyle=[6]\color{FireBrick},% + %morekeywords=[7]{(,)},% + %keywordstyle=[7]\color{syracuseVERT} +} + +\renewcommand{\lstlistingname}{Source} +\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$} + + +\newcommand\cs[1]{\texttt{\char`\\#1}} +\newcommand\file[1]{\texttt{#1}} + +\parindent0pt +\parskip5pt + +\def\syracuseTitle{Les anamorphoses : pr\'{e}sentation th\'{e}orique} +%\def\syracuseGraphic{eiffel2} + + \begin{document} -\maketitle + +%% === BEGIN == Page de garde ================================================= + +\thispagestyle{empty} + +\pstPutAbs(0,-29.7){% +\begin{pspicture}(0,0)(21,29.7) +\pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseVERT,fillcolor=syracuseVERT](0,0)(10.5,14.85)(21,0) +\pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseGRIS,fillcolor=syracuseGRIS](0,0)(21,29.7)(0,29.7) +\pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseGRIS!50,fillcolor=syracuseGRIS!50](21,0)(10.5,14.85)(21,29.7) +\end{pspicture} +} +\pstPutAbs(2.5,-3.75){% +\includegraphics[scale=1]{pst-anamorphosis} +} +\pstPutAbs(2.5,-5.25){% +\LARGE \textbf{\syracuseTitle} +} +\pstPutAbs(2.5,-13.5){% +\begin{pspicture}(0,0)(12,12) +\rput(4,4){\includegraphics[height=8cm]{Eiffel}} +%\rput(4,4){\includegraphics[height=8cm]{\syracuseGraphic}} +%\psframe(0,0)(8,8) +\end{pspicture} +} +\pstPutAbs(12.5,-15){% +\parbox{0.4\textwidth}{\Large\raggedleft + {\LARGE\textbf{Contributeurs}}\\[0.2cm] + J\"{u}rgen \textsc{Gilg}\\ + Manuel \textsc{Luque}\\ + Jean-Michel \textsc{Sarlat} +}} +\vfill +\begin{center} +\textcolor{white}{\textbf{\today}}\\[0.3cm] +\textcolor{white}{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/}}\\ +\includegraphics[scale=0.4]{logo_syracuse} +\end{center} + +%% == END == Page de garde ==================================================== + +\newpage + \section{L'anamorphose cylindrique} + +On place \`{a} l'int\'{e}rieur du cylindre l'image telle qu'elle doit \^{e}tre vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique (on peut la placer \`{a} l'ext\'{e}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'{e}form\'{e}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'{e}elles. + +Objet et image ob\'{e}issent aux lois de la r\'{e}flexion de l'optique g\'{e}om\'{e}trique : +\begin{itemize} + \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi appartiennent \`{a} un m\^{e}me plan ; + \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi sont sym\'{e}triques par rapport \`{a} la normale au miroir au point d'incidence. +\end{itemize} \input{fig3d-anacyl.tex} +L'image non d\'{e}form\'{e}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'{e}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'{e}fl\'{e}chit sur le miroir et apr\`{e}s r\'{e}flexion parvient \`{a} l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire math\'{e}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir. + +L'observateur est suffisamment \'{e}loign\'{e} du miroir pour pouvoir \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel. + +Soit $P$ un point de l'image(not\'{e} $A'$ dans le sch\'{e}ma ci-apr\`{e}s), $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Tra\c{c}ons un droite $(PV)$ et d\'{e}terminons le point d'intersection $I$ avec le cylindre : c'est le point d'incidence. +\[ +V(x_V,y_V,z_V)\quad\text{ et }\quad P(x_P,y_P,0) +\] +L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$: +\begin{equation}\label{eq:paracyl} +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + x_V-x_I&=&\rho(x_V-x_P)\\ + y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\ + z_V-z_I&=&\rho(z_V-0) + \end{array} + \right. + \Longrightarrow + \left\lbrace + \begin{array}{lcl} + x_I&=&x_V(1-\rho)+\rho x_P\\ + y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\ + z_I&=&z_V(1-\rho) + \end{array} + \right. +\end{equation} \begin{center} -\begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,7.5) +\begin{pspicture}(-4,-0.5)(6.5,8) \pnode(6,7){V} \uput[0](V){$V$} \pnode(3,6.5){S} @@ -32,6 +171,8 @@ \pnode(-3,0){G'} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)(S') \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(6.5,7.5) +\uput[0](6.5,0){$x$} +\uput[90](0,7.5){$z$} \uput[135](P){$P$} \uput[-45](G){$G$} \uput[135](I){$I$} @@ -42,8 +183,8 @@ \uput[0](3;0){$N$}% \psarc[doubleline=true](0,0){1}{-90}{-54.46}% \psarc[doubleline=true](0,0){1}{54.46}{90} -\uput[72](1.2;72){$\alpha$}% -\uput[-72](1.2;-72){$\alpha$}% +\uput[72](1.2;72){$\varepsilon$}% +\uput[-72](1.2;-72){$\varepsilon$}% \rput{-90}(0,0){\psframe(0.3,0.3)} } \psline[linecolor=red](V)(I)(P') @@ -60,162 +201,127 @@ \uput[-90](1.5,2.8){$r_I=R$} \end{pspicture} \end{center} -On place à l'intérieur du cylindre l'image telle qu'elle doit -être vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique -(on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.\par -Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique -géométrique : -\begin{itemize} - \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même - plan ; - \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par - rapport à la normale au miroir au point d'incidence. -\end{itemize} -L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est -placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de -l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion -parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a -l'illusion que le rayon provient du point image. -Il faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel -rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par -L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être -considéré comme ponctuel. - -Soit $P$ un point de l'image(noté $A'$ dans le schéma ci-après), $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un -droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec le -cylindre : c'est le point d'incidence.\par -$V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,0)$\par -L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$: -$$\left\lbrace +Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation : +\begin{equation}\label{eq:cylindre} +x_I^2+y_I^2=R^2 +\end{equation} +(\ref{eq:paracyl}) en (\ref{eq:cylindre}) et apr\`{e}s d\'{e}veloppement, on obtient l'\'{e}quation du second degr\'{e} en $\rho$: +\begin{gather*} +\left(x_V(1-\rho)+\rho x_P\right)^2+\left(y_V(1-\rho)+\rho y_P\right)^2=R^2\\ +x_V^2(1-2\rho+\rho^2)+2(1-\rho)\rho x_Vx_P+\rho^2 x_P^2+y_V^2(1-2\rho+\rho^2)+2(1-\rho)\rho y_Vy_P+\rho^2 y_P^2=R^2\\ +(x_V^2+y_V^2-2x_Vx_P-2y_Vy_P)\rho^2+2(-x_V^2+x_Vx_P-y_V^2+y_Vy_P)\rho+x_V^2+y_V^2=R^2 +\end{gather*} +Comparaison avec +\[ +a\rho^2+2b'\rho+c=0 +\] +donne : +\[ +\left\lbrace \begin{array}{lcl} - x_V-x_I&=&\rho(x_V-x_P)\\ - y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\ - z_V-z_I&=&\rho(z_V-0) + a&=&(x_V-x_P)^2+(y_V-y_P)^2\\ + 2b'&=&x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\ + c&=&x_V^2+y_V^2-R^2 \end{array} \right. - \Longrightarrow - \left\lbrace +\] +La r\'{e}solution de cette \'{e}quation nous donne les solutions classiques: +\[ +\left\lbrace \begin{array}{lcl} - x_I&=&x_V(1-\rho)+\rho x_P\\ - y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\ - z_I&=&z_V(1-\rho) - \end{array} - \right. - $$ -Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonnées vérifient la -relation : -$$x_I^2+y_I^2=R$$ -Après développement, on obtient l'équation du second degré en -$\rho$: -$$a\rho^2+2b'\rho+c=0$$ avec : - $$\left\lbrace - \begin{array}{l} - a=(x_V-x_P)^2+(y_V+y_P)^2\\ - b'=x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\ - c=x_V^2+y_V^2-R^2 - \end{array} - \right. - $$ -La résolution de cette équation nous donne les solutions -classiques: -$$\left\lbrace - \begin{array}{l} - \rho'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\ - \rho''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a} + \rho'&=&\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\[0.5cm] + \rho''&=&\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a} \end{array} \right. \qquad \Delta'=b'^2-ac - $$ +\] On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $\rho$. -\par -$IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est -défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale -au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à -cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions : + +$(IV)$ repr\'{e}sente le rayon r\'{e}fl\'{e}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'{e}fini par la droite sym\'{e}trique de $(IV)$ par rapport \`{a} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'{e}trique de $V$, nomm\'{e} $V'$ par rapport \`{a} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions : \begin{enumerate} \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$ \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$ \end{enumerate} -La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur -$\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$\\ -La première condition se traduit par : -$$\left\lbrace - \begin{array}{l} - x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\ - y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\ - z_V-z_I+z_{V'}-z_I=0 +La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$ + +La premi\`{e}re condition se traduit par : +\[ +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + x_V-x_I+x_{V'}-x_I&=&kx_I\\ + y_V-x_I+y_{V'}-y_I&=&ky_I\\ + z_V-z_I+z_{V'}-z_I&=&0 \end{array} \right. \Longrightarrow \left\lbrace - \begin{array}{l} - x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\ - y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\ - z_{V'}=2z_I-z_V + \begin{array}{lcl} + x_{V'}&=&kx_I+2x_I-x_V\\ + y_{V'}&=&ky_I+2y_I-y_V\\ + z_{V'}&=&2z_I-z_V \end{array} \right. - $$ -La deuxième par : -$$(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0$$ -En remplaçant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tirés de la première condition -dans la deuxième : -$$k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0$$ -$$kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)$$ -$$k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)$$ -Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent : -$$ \left\lbrace - \begin{array}{l} - x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\ - y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\ - z_{V'}=z_V(1-2\rho) +\] +La deuxi\`{e}me par : +\[ +(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0 +\] +En rempla\c{c}ant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tir\'{e}s de la premi\`{e}re condition dans la deuxi\`{e}me : +\begin{gather*} +k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0\\ +kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)\\ +k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I) +\end{gather*} +Les coordonn\'{e}es de $V'$ s'en d\'{e}duisent : +\[ +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + x_{V'}&=&(k+2)x_I-x_V\\ + y_{V'}&=&(k+2)y_I-y_V\\ + z_{V'}&=&z_V(1-2\rho) \end{array} \right. - $$ -Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan -horizontal $z=0$.\par -\'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant : -$\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$ -$$ \left\lbrace - \begin{array}{l} - x_{V'}-x=\alpha(x_{V'}-x_I)\\ - y_{V'}-y=\alpha(y_{V'}-y_I)\\ - z_{V'}-z=\alpha(z_{V'}-z_I) +\] +Il reste \`{a} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=0$. + +\'Equation param\'{e}trique de $(IV')$, $M$ \'{e}tant un point courant : $\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$ +\[ +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + x_{V'}-x&=&\alpha(x_{V'}-x_I)\\ + y_{V'}-y&=&\alpha(y_{V'}-y_I)\\ + z_{V'}-z&=&\alpha(z_{V'}-z_I) \end{array} \right. - $$ +\] $z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{V'}}{z_{V'}-z_I}$ soit -$$\alpha=\dfrac{1-2\rho}{-\rho}$$ -En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet -anamorphique. -$$ \left\lbrace - \begin{array}{l} - x=x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\ - y=y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I) +\[ +\alpha=\dfrac{1-2\rho}{-\rho} +\] +En rempla\c{c}ant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'{e}es du point $P'$ de l'objet anamorphique. +\[ +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + x_{P'}&=&x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\ + y_{P'}&=&y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I) \end{array} \right. - $$ -Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de -l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé) -dont le miroir « redressera » la forme. +\] +Cette s\'{e}rie de calculs doit \^{e}tre appliqu\'{e}e \`{a} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'{e}form\'{e}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme. + +On notera que \textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas}. On le comprend ais\'{e}ment en faisant un dessin du plan vertical passant par l'\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale \'{e}tant fix\'{e}e $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ \'{e}tant sym\'{e}triques par rapport \`{a} la g\'{e}n\'{e}ratrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donn\'{e} alors $A$ est fix\'{e} quelque soit~$z_V$. + +\newpage -On notera que \textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas}. On le comprend aisément en faisant un dessin du plan vertical passant par l'\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale étant fixée $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ étant symétriques par rapport à la génératrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donné alors $A$ est fixé quelque soit~$z_V$. \section{L'anamorphose conique} -Le principe est identique à celui de l'anamorphose cylindrique : -imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet « anamorphique », -se réfléchissant sur le miroir conique et parvenant à l'{\oe}il de -l'observateur placé au-dessus et dans l'axe du cône à une position -suffisamment haute pour que l'observateur puisse être considéré -comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer -l'image reconstituée par le miroir conique. Image et objet sont -dans le plan horizontal. + +Le principe est identique \`{a} celui de l'anamorphose cylindrique : imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet <<~anamorphique~>>, se r\'{e}fl\'{e}chissant sur le miroir conique et parvenant \`{a} l'{\oe}il de l'observateur plac\'{e} au-dessus et dans l'axe du c\^{o}ne \`{a} une position suffisamment haute pour que l'observateur puisse \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer l'image reconstitu\'{e}e par le miroir conique. Image et objet sont dans le plan horizontal. \input{fig3d-anacon.tex} -Il s'agit de d\'{e}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec -le c\^{o}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'{e}es de -$V$, $S$ et $P$ sont not\'{e}es : $V(0,0,Z_V)$, $S(0,0,Z_S)$ et -$P(X_P,Y_P,0)$. +Il s'agit de d\'{e}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec le c\^{o}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'{e}es de $V$, $S$ et $P$ sont not\'{e}es : $V(0,0,z_V)$, $S(0,0,z_S)$ et $P(x_P,y_P,0)$. L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$: -\[\left\lbrace +\[ +\left\lbrace \begin{array}{lcl} 0-x_I&=&\lambda(0-x_P)\\ 0-y_I&=&\lambda(0-y_P)\\ @@ -235,20 +341,14 @@ On pose : \[ r_I^2=x_I^2+y_I^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2\quad\textrm{et}\quad |\overrightarrow{OG}|=R \] -Le point $I$ appartenant au c\^{o}ne, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la -relation (th\'{e}or\^{e}me de Thalès): -\[ - \frac{R}{z_S}=\frac{r_I}{z_S-z_I} -\] -% -\[ - \frac{R}{z_S}=\frac{\lambda r_P}{z_S-(1-\lambda)z_P} -\] -\[ - \lambda=\frac{R(z_S-z_V)}{r_Pz_S-R z_V} -\] +Le point $I$ appartenant au c\^{o}ne, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation (th\'{e}or\`{e}me de Thal\`{e}s): +\begin{align*} + \frac{R}{z_S}&=\frac{r_I}{z_S-z_I}\\ + \frac{R}{z_S}&=\frac{\lambda r_P}{z_S-(1-\lambda)z_P}\\ + \lambda&=\frac{R(z_S-z_V)}{r_Pz_S-R z_V} +\end{align*} \begin{center} -\begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,10) +\begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,7.75) \pnode(0,10){V} \uput[0](V){$V$} \pnode(0,5){S} @@ -261,7 +361,9 @@ relation (th\'{e}or\^{e}me de Thal \pnode(3,0){G} \pnode(-3,0){G'} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S) -\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(5.5,10.5) +\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(5.5,10.25) +\uput[0](5.5,0){$x$} +\uput[90](0,10.25){$z$} \uput[45](P){$P$} \uput[-45](G){$G$} \uput[70](I){$I$} @@ -276,11 +378,11 @@ relation (th\'{e}or\^{e}me de Thal \psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{-59.036}{-39.38} \pnode(1.2;-50){I1} \pnode(1.2;112){I2} -\uput[-50](I1){$\alpha$} -\uput[112](I2){$\alpha$} +\uput[-50](I1){$\varepsilon$} +\uput[112](I2){$\varepsilon$} } \rput(P'){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1}{140.175}{180} -\uput[160](1;160){$\alpha'$}} +\uput[160](1;160){$\varepsilon'$}} \rput(S){\psarc[linecolor=gray,linewidth=2\pslinewidth](0,0){1}{-90}{-59.036} \uput[-75](1;-75){$\theta$}} \rput(V){\psarc(0,0){2}{-90}{-78.69} @@ -307,12 +409,11 @@ relation (th\'{e}or\^{e}me de Thal \psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linestyle=dashed](1.5,2.5)(1.5,0) \end{pspicture} \end{center} -Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon -r\'{e}fl\'{e}chi, d\'{e}terminons~$\alpha'$. +Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon r\'{e}fl\'{e}chi, d\'{e}terminons~$\varepsilon'$. Un raisonnement g\'{e}om\'{e}trique \'{e}l\'{e}mentaire nous montre que : \[ - \alpha'=90^\circ-2\theta+\beta + \varepsilon'=90^\circ-2\theta+\beta \] avec \[ @@ -326,24 +427,47 @@ Dans le plan horizontal, les coordonn\'{e}es de $P'$ sont : \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} - x_{P'}&=&x_I+\dfrac{z_I}{\tan \alpha'}\\[0.5cm] - y_{P'}&=&y_I+\dfrac{z_I}{\tan \alpha'}\\ + x_{P'}&=&x_I+\dfrac{z_I}{\tan \varepsilon'}\\[0.5cm] + y_{P'}&=&y_I+\dfrac{z_I}{\tan \varepsilon'}\\ \end{array} \right. \] -\section{L'anamorphose sphérique} + +\newpage + +\section{L'anamorphose sph\'{e}rique} + +On place \`{a} l'int\'{e}rieur de la demi-sph\`{e}re l'image telle qu'elle doit \^{e}tre vue par un observateur regardant dans le miroir sph\'{e}rique (on peut la placer \`{a} l'ext\'{e}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sph\`{e}re, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'{e}form\'{e}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'{e}elles.\par Objet et image ob\'{e}issent aux lois de la r\'{e}flexion de l'optique g\'{e}om\'{e}trique : +\begin{itemize} + \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi appartiennent \`{a} un m\^{e}me plan ; + \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi sont sym\'{e}triques par rapport \`{a} la normale au miroir au point d'incidence. +\end{itemize} +\input{fig3d-anasphere.tex} +L'image non d\'{e}form\'{e}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'{e}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'{e}fl\'{e}chit sur le miroir et apr\`{e}s r\'{e}flexion parvient \`{a} l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire math\'{e}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir. + +L'observateur est suffisamment \'{e}loign\'{e} du miroir pour pouvoir \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel. + +Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Tra\c{c}ons un droite $PV$ et d\'{e}terminons le point d'intersection $I$ avec la sph\`{e}re : c'est le point d'incidence. +\[ +V(x_V,y_V,z_V)\quad\text{ et }\quad P(x_P,y_P,0) +\] \begin{center} -\begin{pspicture}(-4,-1)(8,5) +\shorthandoff{!} +\begin{pspicture}(-4,-0.5)(8,5.5) \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](0,0){2}{0}{180} \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3,0)(7.5,5) +\uput[0](7.5,0){$x$} +\uput[90](0,5){$z$} \pnode(1.5,0){P} -\pnode(0,0){O} +\pnode(0,0){O}\uput[dl](O){$O$} \pnode(!/alpha 15 def /xI 2 alpha cos mul def /yI 2 alpha sin mul def /beta yI xI 1.5 sub atan def xI yI){I} \psline(P)(I) \rput(I){\pnode(!beta cos 5 mul beta sin 5 mul){V}} \psline[linecolor=red](I)(V) \rput(I){\psarc[doubleline=true](0,0){1}{!alpha}{!beta} - \psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{!2 alpha mul beta sub}{!alpha}} +\psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{!2 alpha mul beta sub}{!alpha}} +\uput{1.2}[!alpha beta add 2 div](I){$\varepsilon$} +\uput{1.4}[!3 alpha mul beta sub 2 div](I){$\varepsilon$} \pnode(!yI neg xI 2 alpha mul beta sub tan mul add 2 alpha mul beta sub tan div 0){M} \psline[linecolor=red](M)(I) \pcline[nodesepB=0.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(M)(I) @@ -372,34 +496,9 @@ Dans le plan horizontal, les coordonn\'{e}es de $P'$ sont : \psdot(M) \end{pspicture} \end{center} - -On place à l'intérieur de la demi-sphère l'image telle qu'elle doit -être vue par un observateur regardant dans le miroir sphérique. -(on peut la placer à l'extérieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sphère, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est «~l'objet déformé~» dont le miroir reconstituera les proportions réelles.\par -Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique -géométrique : -\begin{itemize} - \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même - plan ; - \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par - rapport à la normale au miroir au point d'incidence. -\end{itemize} -L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est -placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de -l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion -parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a -l'illusion que le rayon provient du point image. -Il faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel -rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par -L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être -considéré comme ponctuel. - -Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un -droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec la -sphère : c'est le point d'incidence.\par -$V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,0)$\par -L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$: -$$\left\lbrace +L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$: +\begin{equation}\label{eq:para} +\left\lbrace \begin{array}{lcl} x_V-x_I&=&\lambda(x_V-x_P)\\ y_V-y_I&=&\lambda(y_V-y_P)\\ @@ -414,34 +513,33 @@ $$\left\lbrace z_I&=&z_V(1-\lambda) \end{array} \right. - $$ -Le point $I$ appartenant à la sphère, ses coordonnées vérifient la -relation : -$$x_I^2+y_I^2+z_I^2=R^2$$ +\end{equation} On pose : \[ - r_V^2=x_V^2+y_V^2+z_V^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2 +r_V^2=x_V^2+y_V^2+z_V^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2 \] -\[ -\left(x_V+\lambda(x_P-x_V)\right)^2+\left(y_V+\lambda(y_P-y_V)\right)^2+\left((1-\lambda)z_V\right)^2=R^2 -\] -\[ +Le point $I$ appartenant \`{a} la sph\`{e}re, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation : +\begin{equation}\label{eq:sphere} +x_I^2+y_I^2+z_I^2=R^2 +\end{equation} +(\ref{eq:para}) en (\ref{eq:sphere}) +\begin{gather*} +\left(x_V+\lambda(x_P-x_V)\right)^2+\left(y_V+\lambda(y_P-y_V)\right)^2+\left((1-\lambda)z_V\right)^2=R^2\\ x_V^2+2\lambda x_V(x_P-x_V)+\lambda^2(x_P-x_V)^2+y_V^2+2\lambda y_V(y_P-y_V) +\lambda^2(y_P-y_V)^2+(1-2\lambda+\lambda^2)z_V^2=R^2 -\] -Après développement, on obtient l'équation du second degré en +\end{gather*} +Apr\`{e}s d\'{e}veloppement, on obtient l'\'{e}quation du second degr\'{e} en $\lambda$: -\[ +\begin{gather*} \lambda^2\left((x_P-x_V)^2+(y_P-y_V)^2+z_V^2\right)+2\lambda\left(x_V(x_P-x_V)+y_V(y_P-y_V)-z_V^2\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2- -R^2=0 -\] -\[ +R^2=0\\ \lambda^2\left(x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\right)+2\lambda\left(-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2- R^2=0 -\] +\end{gather*} +Comparaison avec \[ a\lambda^2+2b'\lambda+c=0 \] -Pour le coefficient $a$ de $\lambda^2$ +donne pour le coefficient $a$ de $\lambda^2$ : \[ a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V \] @@ -453,128 +551,123 @@ Pour le coefficient $c$ : \[ c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2 \] +Alors \[ a\lambda^2+2b'\lambda+c=0 \] avec : -\[\left\lbrace - \begin{array}{l} - a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\ - b'=-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\ - c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2 +\[ +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + a&=&x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\ + 2b'&=&-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\ + c&=&x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2 \end{array} \right. \] \[\left\lbrace - \begin{array}{l} - a=r_V^2+r_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\ - b'=-r_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\ - c=r_V^2-R^2 + \begin{array}{lcl} + a&=&r_V^2+r_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\ + 2b'&=&-r_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\ + c&=&r_V^2-R^2 \end{array} \right. \] -La résolution de cette équation nous donne les solutions -classiques: -$$\left\lbrace - \begin{array}{l} - \lambda'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\ - \lambda''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a} +La r\'{e}solution de cette \'{e}quation nous donne les solutions classiques: +\[ +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + \lambda'&=&\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\[0.5cm] + \lambda''&=&\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a} \end{array} \right. \qquad \Delta'=b'^2-ac - $$ +\] On retiendra la valeur positive.% et \texttt{Coeff1} dans le programme. -\par -$IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est -défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale -au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à -cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions : + +$(IV)$ repr\'{e}sente le rayon r\'{e}fl\'{e}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'{e}fini par la droite sym\'{e}trique de $(IV)$ par rapport \`{a} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'{e}trique de $V$, nomm\'{e} $V'$ par rapport \`{a} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions : \begin{enumerate} \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$ \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$ \end{enumerate} -La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur -$\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,z_I)$\\ -La première condition se traduit par : -$$\left\lbrace - \begin{array}{l} - x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\ - y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\ - z_V-z_I+z_{V'}-z_I=kz_I +La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,z_I)$ + +La premi\`{e}re condition se traduit par : +\[ +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + x_V-x_I+x_{V'}-x_I&=&kx_I\\ + y_V-x_I+y_{V'}-y_I&=&ky_I\\ + z_V-z_I+z_{V'}-z_I&=&kz_I \end{array} \right. \Longrightarrow \left\lbrace - \begin{array}{l} - x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\ - y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\ - z_{V'}=kz_I+2z_I-z_V + \begin{array}{lcl} + x_{V'}&=&kx_I+2x_I-x_V\\ + y_{V'}&=&ky_I+2y_I-y_V\\ + z_{V'}&=&kz_I+2z_I-z_V \end{array} \right. - $$ -La deuxième par : -\[ -(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I+(z_{V'}-z_V)z_I=0 \] -En remplaçant $x_{V'}$, $y_{V'}$ et $z_{V'}'$ tirés de la première condition -dans la deuxième : +La deuxi\`{e}me par : \[ -k(x_I^2+y_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I+2z_I^2-2z_Vz_I=0 -\] -\[ -kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I) +(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I+(z_{V'}-z_V)z_I=0 \] +En rempla\c{c}ant $x_{V'}$, $y_{V'}$ et $z_{V'}$ tir\'{e}s de la premi\`{e}re condition dans la deuxi\`{e}me : +\begin{gather*} +k(x_I^2+y_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I+2z_I^2-2z_Vz_I=0\\ +kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)\\ +k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I) +\end{gather*} +Les coordonn\'{e}es de $V'$ s'en d\'{e}duisent : \[ -k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)+z_Vz_I -\] -Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent : -$$ \left\lbrace - \begin{array}{l} - x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\ - y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\ - z_{V'}=(k+2)z_I-z_V +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + x_{V'}&=&(k+2)x_I-x_V\\ + y_{V'}&=&(k+2)y_I-y_V\\ + z_{V'}&=&(k+2)z_I-z_V \end{array} \right. - $$ -Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan -horizontal $z=0$.\par -\'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant : -$\overrightarrow{MI}=\alpha\overrightarrow{V'I}$ -$$ \left\lbrace - \begin{array}{l} - x_I-x=\alpha(x_I-x_{V'})\\ - y_I-y=\alpha(y_I-y_{V'})\\ - z_I-z=\alpha(z_I-z_{V'}) +\] +Il reste \`{a} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=0$. + +\'Equation param\'{e}trique de $(IV')$, $M$ \'{e}tant un point courant : $\overrightarrow{MI}=\alpha\overrightarrow{V'I}$ +\[ +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + x_I-x&=&\alpha(x_I-x_{V'})\\ + y_I-y&=&\alpha(y_I-y_{V'})\\ + z_I-z&=&\alpha(z_I-z_{V'}) \end{array} \right. - $$ +\] $z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{I}}{z_I-z_{V'}}$. -En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet -anamorphique. -$$ \left\lbrace - \begin{array}{l} - x=x_I-\alpha(x_I-x_{V'})\\ - y=y_I-\alpha(y_I-y_{V'})\\ - z=0 +En rempla\c{c}ant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'{e}es du point $P'$ de l'objet anamorphique. +\[ +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + x_{P'}&=&x_I-\alpha(x_I-x_{V'})\\ + y_{P'}&=&y_I-\alpha(y_I-y_{V'})\\ + z_{P'}&=&0 \end{array} \right. - $$ -Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de -l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé) -dont le miroir « redressera » la forme. +\] +Cette s\'{e}rie de calculs doit \^{e}tre appliqu\'{e}e \`{a} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'{e}form\'{e}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme. + +\textbf{Remarque} : l'image doit se former du c\^{o}t\'{e} de l'observateur \`{a} l'int\'{e}rieur du miroir, plus pr\`{e}s du bord du miroir que du centre. Si on d\'{e}place le point $P$ vers $O$, il arrive un moment o\`{u} le rayon r\'{e}fl\'{e}chi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH ! -\textbf{Remarque} : l'image doit se former du côté de l'observateur à l'intérieur du miroir, plus près du bord du miroir que du centre. -Si on déplace le point $P$ vers $O$, il arrive un moment où le rayon réfléchi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan -horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH ! +\newpage \section{La perspective} -Dans le livre de Jurgis Baltrušaïtis\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives dépravées} en livre de poche chez Flammarion.}, on trouve le principe de la « \textit{costruzione legittima} » avec un schéma de Léonard de Vinci (1492) et des schémas anamorphiques de Niceron (1658). Je cite page 58 : -<< Rappelons en quelques mots quels ont été le procédés utilisés par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La première ligne tracée est celle de l'horizon à la hauteur de l'\oe{}il. Deux points y sont ensuite fixés : au milieu le point principal vers où convergent toutes les lignes droites parallèles qui s'éloignent en profondeur ; sur la même horizontale et à la même distance du point principal que l'\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales. ->> +Dans le livre de Jurgis Baltru\v{s}a\"{\i}tis\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives d\'{e}prav\'{e}es} en livre de poche chez Flammarion.}, on trouve le principe de la <<~\textit{costruzione legittima}~>> avec un sch\'{e}ma de L\'{e}onard de Vinci (1492) et des sch\'{e}mas anamorphiques de Niceron (1658). Je cite page 58 : +\begin{quote}\itshape +<<~Rappelons en quelques mots quels ont \'{e}t\'{e} le proc\'{e}d\'{e}s utilis\'{e}s par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La premi\`{e}re ligne trac\'{e}e est celle de l'horizon \`{a} la hauteur de l'\oe{}il. Deux points y sont ensuite fix\'{e}s : au milieu le point principal vers o\`{u} convergent toutes les lignes droites parall\`{e}les qui s'\'{e}loignent en profondeur ; sur la m\^{e}me horizontale et \`{a} la m\^{e}me distance du point principal que l'\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales.~>> +\end{quote} \begin{center} -\begin{pspicture}(-5,-3)(5,15) +\begin{pspicture}(-5,-3)(5,14.25) \psset{ua=2,F=10,D=4,type=perspective} \psframe*[linecolor=BleuCiel](-5,10)(5,13) \psframe*[linecolor=OrangePale](-5,2)(5,10) @@ -663,6 +756,9 @@ Dans le livre de Jurgis Baltru \uput[dr](M1'){\tiny $\red {(\alpha_1,\beta_1)}$} \end{pspicture} \end{center} + +\newpage + Exemples : \begin{itemize} \item $A\longrightarrow A'$ @@ -673,10 +769,9 @@ Exemples : \item $M_1\longrightarrow M_1'$ \item $M_2\longrightarrow M'_2$ \end{itemize} -Déterminons les coordonnées $(\alpha_1,\beta_1)$ de l'intersection -de $(PF)$ avec $(AF')$. +D\'{e}terminons les coordonn\'{e}es $(\alpha_1,\beta_1)$ de l'intersection de $(PF)$ avec $(AF')$. -Posons que les coordonnées des points essentiels sont : +Posons que les coordonn\'{e}es des points essentiels sont : \begin{itemize} \item $F(0,f)$ \item $F'(e,f)$ @@ -687,34 +782,34 @@ Posons que les coordonn \item $P(X,a)$ \end{itemize} \'Equation de $(AF')$ : -$$\frac{y-f}{x-e}=\frac{a-f}{-a-e}\Longrightarrow -x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=0$$ +\[ +\frac{y-f}{x-e}=\frac{a-f}{-a-e}\Longrightarrow x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=0 +\] \'Equation de $(PF)$ : -$$\frac{x-0}{y-f}=\frac{X-0}{a-f}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=0$$ +\[ +\frac{x-0}{y-f}=\frac{X-0}{a-f}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=0 +\] Intersection $(PF)\bigcap (AF')$ -$$\alpha_1=\frac{Xe}{X+a+e}\qquad\beta_1=\frac{a(f+e)+fX}{X+a+e}$$ -Si on prend maintenant, un point d'ordonnée $Y\neq X$ par exemple -$N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais à -l'intersection de $PF$ avec la parallèle à $x'Ox$ menée par le -point-image du point de coordonnée $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est -l'image de $O(0,0)$). - -Il s'agit de déterminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'équation : -$$y=\beta_2=\frac{a(f+e)+fY}{Y+a+e}$$ -Après calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse : -$$\alpha_2=\frac{Xe}{Y+a+e}$$ -En résumé si dans le repère $Oxy$, on appelle $(X,Y)$ les -coordonnées d'un point-objet et $(x',y')$ les coordonnées du point -image dans la transformation \textbf{anamorphose oblique} ou -\textbf{perspective}, les formules qui permettent de passer de -l'objet à l'image s'écrivent : -\boldmath -\[\left\lbrace - \begin{array}{l} - {\blue x'}=\displaystyle\frac{{\red X}e}{{\red Y}+a+e}\\[0.5cm] - {\blue y'}=\displaystyle\frac{a(f+e)+f{\red Y}}{{\red Y}+a+e} +\[ +\alpha_1=\frac{Xe}{X+a+e}\qquad\beta_1=\frac{a(f+e)+fX}{X+a+e} +\] +Si on prend maintenant, un point d'ordonn\'{e}e $Y\neq X$ par exemple $N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais \`{a} l'intersection de $PF$ avec la parall\`{e}le \`{a} $x'Ox$ men\'{e}e par le point-image du point de coordonn\'{e}e $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est l'image de $O(0,0)$). + +Il s'agit de d\'{e}terminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'\'{e}quation : +\[ +y=\beta_2=\frac{a(f+e)+fY}{Y+a+e} +\] +Apr\`{e}s calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse : +\[ +\alpha_2=\frac{Xe}{Y+a+e} +\] +En r\'{e}sum\'{e} si dans le rep\`{e}re $Oxy$, on appelle $({\red X},{\red Y})$ les coordonn\'{e}es d'un point-objet et $({\blue x'},{\blue y'})$ les coordonn\'{e}es du point image dans la transformation \textit{anamorphose oblique} ou \textit{perspective}, les formules qui permettent de passer de l'objet \`{a} l'image s'\'{e}crivent : +\[ +\left\lbrace + \begin{array}{lcl} + {\blue x'}&=&\displaystyle\frac{{\red X}e}{{\red Y}+a+e}\\[0.5cm] + {\blue y'}&=&\displaystyle\frac{a(f+e)+f{\red Y}}{{\red Y}+a+e} \end{array} \right. \] - \end{document} \ No newline at end of file