X-Git-Url: https://melusine.eu.org/syracuse/G/git/?a=blobdiff_plain;f=gravitation%2Fgravitation_01_distiller.tex;fp=gravitation%2Fgravitation_01_distiller.tex;h=5049dc3f9ff78c81576a75b7b1769c1d20ee99f8;hb=be8718baa5658e074feaefd6af07caef1a501f4a;hp=0000000000000000000000000000000000000000;hpb=3554b86c2df0c7aab0905e3c1ff08ad066781986;p=pst-eqdf.git

diff --git a/gravitation/gravitation_01_distiller.tex b/gravitation/gravitation_01_distiller.tex
new file mode 100644
index 0000000..5049dc3
--- /dev/null
+++ b/gravitation/gravitation_01_distiller.tex
@@ -0,0 +1,473 @@
+\documentclass{article}
+\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
+\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage{pstricks-add,pst-eqdf,pst-func}
+\usepackage{array,amsmath}
+%\usepackage{listings}
+\newpsstyle{vecteurA}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.125,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
+\newpsstyle{vecteurB}{arrowinset=0.05,arrowsize=0.1,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}}}
+\newpsstyle{vecteurC}{arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{1 0.5 0}}}
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\def\datRoot{C:/Users/J\"{u}rgen/Desktop/gravitation/}
+\title{Interaction gravitationnelle avec PSTricks}
+\date{19 juin 2\,012}
+\begin{document}
+\maketitle
+\def\eqsatellite{%
+y[2]|y[3]|-GM*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|-GM*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%
+\section{Mise en orbite d'un satellite}
+\begin{figure}[htbp]
+  \begin{center}
+\psset{unit=2}
+\begin{pspicture}(-6,-2)(2,5)
+\pstVerb{
+    /GM 1 def
+    /theta0 -35 def
+    /r0 1 def
+    /x0 r0 theta0 cos mul def
+    /y0 r0 theta0 sin mul def
+    /v0 1.3 def
+    /v0x v0 theta0 sin mul neg def
+    /v0y v0 theta0 cos mul def
+    /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
+    /par Lc dup mul GM div def % param\`{e}tre de l'ellipse
+% excentricit\'{e}
+    /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
+%%%%%%%%%%%%%%
+    /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
+    /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
+    /periode 2 3.1416 mul a_2 3 exp GM div sqrt mul def
+% vitesse \`{a} l'apog\'{e}e
+    /vA GM par div sqrt 1 exc sub mul def
+% vitesse au p\'{e}rig\'{e}e
+    /vP GM par div sqrt 1 exc add mul def
+% coordonn\'{e}es de vA
+    /vAx vA theta0 90 add cos mul neg def
+    /vAy vA theta0 90 add sin mul neg def
+% coordonn\'{e}es de vP
+    /vPx vP theta0 90 add cos mul def
+    /vPy vP theta0 90 add sin mul def
+% Apog\'{e}e
+    /xA par 1 exc sub div theta0 cos mul neg def
+    /yA par 1 exc sub div theta0 sin mul neg def
+% P\'{e}rig\'{e}e
+   /xP par 1 exc add div theta0 cos mul def
+   /yP par 1 exc add div theta0 sin mul def
+% Centre
+   /xO xP xA add 2 div def
+   /yO yP yA add 2 div def
+}%
+\pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.3}
+\psdot[dotstyle=+](0,0)
+\uput[d](0,0){O}
+\psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-2)(2,5)
+\rput(1,4){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white]{T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{0000}s}}
+\parametricplot[linecolor=red,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
+ radius t cos mul
+ radius t sin mul}
+\pscircle*(!x0 y0){0.05}
+\pnode(!xP yP){P} % p\'{e}rig\'{e}e
+\pnode(!xA yA){A} % Apog\'{e}e
+\pnode(!xO yO){O} % centre
+\rput(!x0 y0){\psline[style=vecteurB]{->}(!v0x v0y)\uput[ur](!v0x v0y){$\overrightarrow{v_0}$}}
+\psline[linestyle=dashed](A)(P)
+\pscircle*(A){0.05}
+\uput[ul](A){$A$}
+\uput[dr](P){$P$}
+% position du satellite \`{a} un instant quelconque
+\pstVerb{/theta_i 170 def
+ /radius par 1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
+ /xS radius theta_i cos mul def
+ /yS radius theta_i sin mul def
+ /ux theta_i cos 1 mul def
+ /uy theta_i sin 1 mul def
+ /xi xS ux sub def
+ /yi yS uy sub def
+ /xi2 xS ux 2 div sub def
+ /yi2 yS uy 2 div sub def}%
+\pnode(!xi2 yi2){Mi2}
+\pnode(!xi yi){Mi}
+\pnode(!xS yS){S}
+\pscircle*(S){0.05}
+\psline[linestyle=dotted](S)(0,0)
+\psline[style=vecteurA]{->}(S)(Mi)
+\uput[l](S){S}
+\uput[u](Mi2){$\overrightarrow{F}$}
+\psarcn{->}(0,0){0.4}{0}{!theta0}
+\uput{0.5}[!theta0 2 div](0,0){$\theta_0$}
+\rput(A){\psline[style=vecteurB]{->}(!vAx vAy)}
+%\rput(P){\psline[style=vecteurB]{->}(!vPx vPy)}
+\psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(2,0)(0,0)(0,5)
+\uput[r](0,4.9){$y$}\uput[u](1.9,0){$x$}
+\psdot(O)\uput[r](O){$\Omega$}
+\rput{!90 theta0 add}(O){\psline[linestyle=dashed](!b_2 neg 0)(!b_2 0)}
+\end{pspicture}
+\caption{Mouvement d'un satellite}
+  \end{center}
+\end{figure}
+Soit (M) la masse de l'astre et (m) celle du satellite avec $m\ll M$. Le centre de masse du syst\`{e}me \{M,m\} est confondu avec le centre de l'astre attracteur. La mise en orbite s'effectue \`{a} partir du point $M_0(x_0,y_0)$ avec une vitesse $\overrightarrow{v_0}(v_{0_x},v_{0_x})$. $\theta_0$ est l'angle que fait $\overrightarrow{Ox}$ avec $\overrightarrow{OM_0}$. Le satellite (S), suppos\'{e} ponctuel, subit de la part de l'astre une force d'attraction gravitationnelle :
+\[
+\overrightarrow{F}=-\mathcal{G}\frac{Mm}{r^2}\overrightarrow{u}\qquad \text{avec}\quad \overrightarrow{u}=\frac{\overrightarrow{r}}{r}\quad \text{et}\quad \overrightarrow{r}=\overrightarrow{OS}
+\]
+Tous les \textit{bons} livres de m\'{e}canique\footnote{Comme celui, par exemple, de Jos\'{e}-Philippe P\'{e}rez, aux \'{e}ditions Masson.} \'{e}tablissent les relations suivantes :
+\[
+r=\frac{p}{1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0)}
+\]
+Param\`{e}tres et excentricit\'{e} ont pour expressions respectives, avec les notations suivantes : $K=\mathcal{G}Mm$, $\mathcal{E}$ l'\'{e}nergie du syst\`{e}me et $L$ le moment cin\'{e}tique.
+\[
+\mathrm{e}=\sqrt{1+\frac{2\mathcal{E}L^2}{mK^2}}\qquad p=\frac{L^2}{mK}
+\]
+On choisit une vitesse initiale $\overrightarrow{v_0}$ perpendiculaire \`{a} $\overrightarrow{OM_0}$, dans ces conditions le moment cin\'{e}tique et l'\'{e}nergie, qui restent constants, valent :
+\[
+L=mr_0v_0\qquad \mathcal{E}=-\frac{K}{r_0}+\frac{1}{2}mv_0^2
+\]
+En rempla\c{c}ant $L$ et $\mathcal{E}$, on obtient pour l'excentricit\'{e} et le param\`{e}tre les expressions suivantes :
+\[
+\mathrm{e}=\sqrt{1+\frac{1}{\mathcal{G}^2M^2}\Big(\frac{1}{2}v_0^4r_0^2-\mathcal{G}Mr_0v_0^2\Big)}
+\]
+\[
+p=\frac{v_0^2r_0^2}{\mathcal{G}M}
+\]
+On se limite au cas du mouvement elliptique, avec, en cons\'{e}quence, la condition :
+\[
+\mathcal{E}=-\frac{K}{r_0}+\frac{1}{2}mv_0^2 < 0
+\]
+Le demi-grand axe $a$, le demi-petit axe $b$ sont :
+\[
+a=\frac{p}{1-\mathrm{e}^2}\qquad b=\frac{p}{\sqrt{1-\mathrm{e}^2}}
+\]
+La p\'{e}riode $T$ qui ob\'{e}it \`{a} la troisi\`{e}me loi de K\'{e}pler :
+\[
+T^2=\frac{4\pi^2a^3}{\mathcal{G}M}
+\]
+La vitesse, en un point de l'ellipse, se calcule par :
+\[
+v^2=\mathcal{G}M\Big( \frac{2}{r}-\frac{1}{a}\Big)
+\]
+Sachant que $r_p=\dfrac{p}{1+\mathrm{e}}$ et $r_A=\dfrac{p}{1-\mathrm{e}}$, on en d\'{e}duit les vitesses au p\'{e}rig\'{e}e et \`{a} l'apog\'{e}e :
+\[
+v_P=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{p}}(1+\mathrm{e})\qquad v_A=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{p}}(1-\mathrm{e})
+\]
+
+\section{L'\'{e}tude avec PSTricks}
+\subsection{La trajectoire}
+\def\parametres{
+    /GM 1 def % 4e14 def % GxM
+    /x0 6.5e6 def % position initiale
+    /y0 0 def
+    /vx0 0 def    % vitesse initiale
+    /vy0 1e4 def
+}
+%  x0   y0   x'0   y'0
+% y[0] y[1] y[2]  y[3]
+\[
+\left\{
+\begin{array}{rcl}
+\ddot{x}&=&-\dfrac{GM}{r^3}x\\[1em]
+\ddot{y}&=&-\dfrac{GM}{r^3}y\\
+\end{array}
+\right.
+\label{eq1}
+\qquad r=\sqrt{x^2+y^2}
+\]
+
+On peut dessiner la trajectoire du satellite et de ses caract\'{e}ristiques de deux fa\c{c}ons :
+\begin{itemize}
+  \item par l'utilisation de \verb+\parametricplot+ ;
+  \item ou celle de \verb+\psplotDiffEqn+.
+\end{itemize}
+\verb+\parametricplot+ utilise l'expression exacte de l'\'{e}quation de la trajectoire en coordonn\'{e}es polaires :
+\begin{verbatim}
+   \parametricplot[linecolor=red,unit=2,plotpoints=360]{0}{360}{%
+     /radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
+      radius t cos mul
+      radius t sin mul}
+\end{verbatim}
+L'excentricit\'{e}, la p\'{e}riode, demi-grand axe et demi-petit axe sont calcul\'{e}s par quelques lignes de code \textsf{postscript}. Il faut s'assurer que les conditions initiales choisies v\'{e}rifient bien la condition d'une trajectoire elliptique, pour cela il faut que l'\'{e}nergie initiale $\mathcal{E}_0<0$, sinon cela entra\^{\i}nera une erreur lors du passage \`{a} l'interpr\'{e}teur \textsf{postscript}.
+\begin{verbatim}
+\pstVerb{
+    /GM 1 def
+    /theta0 -45 def
+    /r0 0.5 def
+    /x0 r0 theta0 cos mul def
+    /y0 r0 theta0 sin mul def
+    /v0 1.92 def
+    /v0x v0 theta0 sin mul neg def
+    /v0y v0 theta0 cos mul def
+    /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
+    /par Lc dup mul GM div def % param\`{e}tre de l'ellipse
+% excentricit\'{e}
+    /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul
+         v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
+%demi-grand axe
+    /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
+%demi-petit axe
+    /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
+% p\'{e}riode
+    /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def
+}%
+\end{verbatim}
+\verb+\psplotDiffEqn+ utilise les \'{e}quations diff\'{e}rentielles du mouvement, en notation alg\'{e}brique :
+\begin{verbatim}
+%  x0   y0   x'0   y'0
+% y[0] y[1] y[2]  y[3]
+\def\eqsatellite{%
+y[2]|y[3]|-GM*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|-GM*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}
+ \psplotDiffEqn[unit=2,whichabs=0,whichord=1,%
+                linecolor=blue,linewidth=0.1,%
+                method=rk4,plotpoints=1000,%
+                algebraic]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
+\end{verbatim}
+Ce qui permet, par ailleurs de v\'{e}rifier la qualit\'{e} du trac\'{e} par la m\'{e}thode num\'{e}rique, en bleu, tandis que le trac\'{e} \`{a} partir de l'expression exacte est en trait fin en rouge.
+%
+\begin{center}
+\begin{pspicture}(-12,-2)(4,10)
+\pstVerb{
+    /GM 1 def
+    /theta0 -45 def
+    /r0 0.5 def
+    /x0 r0 theta0 cos mul def
+    /y0 r0 theta0 sin mul def
+    /v0 1.92 def
+    /v0x v0 theta0 sin mul neg def
+    /v0y v0 theta0 cos mul def
+    /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
+    /par Lc dup mul GM div def % param\`{e}tre de l'ellipse
+% excentricit\'{e}
+    /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
+%%%%%%%%%%%%%%
+    /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
+    /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
+    /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def
+}%
+\psframe*[linecolor=white](-3,-0.2)(0,0.2)
+\pscircle[fillcolor=blue!50,fillstyle=solid](0,0){0.5}
+\psgrid[unit=2,subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-1)(2,5)
+\rput(-2,0){T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{00000}s}
+  \psplotDiffEqn[unit=2,whichabs=0,whichord=1,linecolor=blue,linewidth=0.1,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{37.8}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
+\parametricplot[linecolor=red,unit=2,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
+ radius t cos mul
+ radius t sin mul}
+\psdot[unit=2,dotsize=0.12](!x0 y0)
+\rput(!x0 2 mul y0 2 mul){\psline[style=vecteurC]{->}(!v0x v0y)}
+\end{pspicture}
+\end{center}
+\subsection{La vitesse}
+\verb+\psplotDiffEqn+ permet de voir comment varie la vitesse sur l'ellipse :
+\begin{verbatim}
+%  x0   y0   x'0   y'0
+% y[0] y[1] y[2]  y[3]
+ \psplotDiffEqn[xunit=0.2,yunit=5,%
+                plotfuncy=dup 2 get dup mul exch 3 get dup mul add sqrt,
+                linecolor=red,method=rk4,plotpoints=1000,
+                algebraic]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
+\end{verbatim}
+\begin{center}
+\begin{pspicture}(0,-1)(10,7)
+\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,griddots=10,gridlabels=0pt]
+\pstVerb{/GM 1 def
+    /theta0 -35 def
+    /r0 1 def
+    /x0 r0 theta0 cos mul def
+    /y0 r0 theta0 sin mul def
+    /v0 1.3 def
+    /v0x v0 theta0 sin mul neg def
+    /v0y v0 theta0 cos mul def}%
+\psplotDiffEqn[xunit=0.2,yunit=5,
+  plotfuncy=dup 2 get dup mul exch 3 get dup mul add sqrt,
+  ,linecolor=red,method=rk4,plotpoints=1000,algebraic]{0}{50}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
+ \multido{\i=1+1,\I=5+5}{9}{\uput[u](\i,0){\I}}
+\pnode(! 36.4 5 div 0){P}
+\psdot(P)\uput[d](P){P\'{e}rig\'{e}e}
+\psline[linestyle=dashed](P)(! 36.4 5 div 7)
+\pnode(! 36.4 10 div 0){A}
+\psdot(A)\uput[d](A){Apog\'{e}e}
+\psline[linestyle=dashed](A)(! 36.4 10 div 7)
+\uput[l](0,6.5){$v$}
+\psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2]{<->}(10,0)(0,0)(0,7)
+\uput[u](10,0){$t$(s)}
+\uput[ul](0,0){0}
+\end{pspicture}
+\end{center}
+On peut obtenir les caract\'{e}ristiques de la vitesse en un point quelconque, car le moment cin\'{e}tique $L=mr\dot{\theta}$ \'{e}tant constant, pour chaque valeur de $\theta$, on en d\'{e}duit $r$ puis $\dot{\theta}$. En coordonn\'{e}es polaires, la vitesse s'exprime par :
+\[
+\overrightarrow{v}=\dot{r}\overrightarrow{u_r}+r\dot{\theta}\overrightarrow{u_{\theta}}
+\]
+$\dot{\theta}$ et $\dot{r}$ s'obtiennent par les relations suivantes :
+\[
+\dot{\theta}=\frac{r_0v_0}{r^2}
+\]
+\[
+\dot{r}=-\frac{p(-\dot{\theta}\sin(\theta-\theta_0)}{(1+\mathrm{e}\cos(\theta-\theta_0))^2}=\frac{r_0v_0}{p}\sin(\theta-\theta_0)
+\]
+La cha\^{\i}ne de calculs est la suivante : $\theta\Longrightarrow r\Longrightarrow \dot{\theta}\Longrightarrow \dot{r}\Longrightarrow \overrightarrow{v}$.
+
+Le package `\textsf{pst-eqdf}' comprend la commande \verb+\psequadiff+ qui est une version simplifi\'{e}e de \verb+\psplotDiffEqn+, dont elle ne reprend que la m\'{e}thode Runge-Kutta~4. Elle permet de sauvegarder sous forme de tableaux et/ou de fichiers toutes les variables et les d\'{e}riv\'{e}es de la fonction \'{e}tudi\'{e}e, cette possibilit\'{e} est int\'{e}ressante pour d\'{e}terminer les caract\'{e}ristiques de la vitesse au cours du temps et elle est particuli\`{e}rement utile pour cr\'{e}er une animation. Nous allons l'utiliser pour dessiner le vecteur-vitesse \`{a} quelques instants.
+
+On sauve successivement le tableau des positions et celui des vitesses.
+\begin{verbatim}
+\psequadiff[method=rk4,plotpoints=1000,
+            algebraic,
+            whichabs=0,whichord=1,
+            tabname=XiYi]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
+\end{verbatim}
+\begin{verbatim}
+\psequadiff[method=rk4,plotpoints=1000,
+            algebraic,
+            whichabs=2,whichord=3,
+            tabname=vxvy]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
+\end{verbatim}
+
+Pour ensuite dessiner la trajectoire et les vecteurs-vitesse.
+\begin{verbatim}
+%\listplot[unit=1]{vxvy aload pop}
+% on dessine la vitesse un point sur 100
+\pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.3}
+\multido{\i=0+100}{20}{%
+\pstVerb{/vX vxvy \i\space get def
+         /vY vxvy \i\space 1 add get def
+         /xi XiYi \i\space get def
+         /yi XiYi \i\space 1 add get def}%
+\rput(!xi yi){\psline[style=vecteurA]{->}(! vX 2 mul vY 2 mul)}}
+\end{verbatim}
+\begin{center}
+\begin{pspicture}(-10,-10)(6,7)
+\psset{unit=2}%
+\pstVerb{/GM 1 def
+    /theta0 30 def
+    /r0 2 def
+    /x0 r0 theta0 cos mul def
+    /y0 r0 theta0 sin mul def
+    /v0 0.85 def
+    /v0x v0 theta0 sin mul neg def
+    /v0y v0 theta0 cos mul def
+    /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
+    /par Lc dup mul GM div def % param\`{e}tre de l'ellipse
+% excentricit\'{e}
+    /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
+%%%%%%%%%%%%%%
+    /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
+    /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
+    /periode 2 3.1416 dup mul a_2 3 exp mul GM div sqrt mul def}%
+\rput(-2,0){T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{00000}s}
+\psequadiff[method=rk4,
+            plotpoints=1000,
+            algebraic,
+            whichabs=0,
+            whichord=1,
+            tabname=XiYi
+%           ,saveData,filename=XiYi.dat
+]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
+\listplot{XiYi aload pop}
+\psequadiff[method=rk4,
+            plotpoints=1000,
+            algebraic,
+            whichabs=2,
+            whichord=3,
+            tabname=vxvy
+%           ,saveData,filename=vxvy.dat
+]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqsatellite}%
+%\listplot[unit=1]{vxvy aload pop}
+% on dessine la vitesse un point sur 100
+\pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.3}
+\multido{\i=0+100}{20}{%
+\pstVerb{/vX vxvy \i\space get def
+         /vY vxvy \i\space 1 add get def
+         /xi XiYi \i\space get def
+         /yi XiYi \i\space 1 add get def}%
+\rput(!xi yi){\psline[style=vecteurA]{->}(! vX 2 mul vY 2 mul)}}
+\psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-5,-5)(3,3)
+\end{pspicture}
+\end{center}
+
+
+
+\section{Mouvement circulaire}
+ \begin{center}
+\psset{unit=1}
+\begin{pspicture}(-5,-5.5)(5,5.5)
+\pstVerb{
+    /GM 1 def
+    /theta0 60 def
+    /r0 5 def
+    /x0 r0 theta0 cos mul def
+    /y0 r0 theta0 sin mul def
+    /v0 GM r0 div sqrt def
+    /v0x v0 theta0 sin mul neg def
+    /v0y v0 theta0 cos mul def
+    /Lc r0 v0 mul def % moment cinetique
+    /par Lc dup mul GM div def % param\`{e}tre de l'ellipse
+% excentricit\'{e}
+    /exc 1 0.5 v0 4 exp mul r0 dup mul mul GM r0 mul v0 dup mul mul sub GM dup mul div 2 mul add sqrt def
+%%%%%%%%%%%%%%
+    /a_2 par 1 exc dup mul sub div def % demi-grand axe
+    /b_2 par 1 exc dup mul sub sqrt div def % demi-petit axe
+    /periode 2 3.1416 mul a_2 3 exp GM div sqrt mul def
+% vitesse \`{a} l'apog\'{e}e
+    /vA GM par div sqrt 1 exc sub mul def
+% vitesse au p\'{e}rig\'{e}e
+    /vP GM par div sqrt 1 exc add mul def
+% coordonn\'{e}es de vA
+    /vAx vA theta0 90 add cos mul neg def
+    /vAy vA theta0 90 add sin mul neg def
+% coordonn\'{e}es de vP
+    /vPx vP theta0 90 add cos mul def
+    /vPy vP theta0 90 add sin mul def
+}%
+\pscircle[fillcolor=gray!70,fillstyle=solid](0,0){0.75}
+\psdot[dotstyle=+](0,0)
+\uput[d](0,0){O}
+\psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-5,-5)(5,5)
+\rput(0,-2){\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=white]{T=\psPrintValue[decimals=2]{periode}\hphantom{000000}s}}
+\parametricplot[linecolor=red,plotpoints=360]{0}{360}{/radius par 1 exc t theta0 sub cos mul add div def
+ radius t cos mul
+ radius t sin mul}
+\pscircle*(!x0 y0){0.1}
+%\pnode(!par 1 exc add div theta0 cos mul par 1 exc add div theta0 sin mul){P} % p\'{e}rig\'{e}e
+%\pnode(!par 1 exc sub div theta0 cos mul neg par 1 exc sub div theta0 sin mul neg){A} % Apog\'{e}e
+\rput(!x0 y0){\psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2,linecolor={[rgb]{0 0.5 1}},unit=4]{->}(!v0x v0y)\uput[ur](!v0x 2 mul v0y 2 mul){$\overrightarrow{v_0}$}}
+\uput[ur](!x0 y0){$M_0$}
+\psline[linestyle=dashed](0,0)(!x0 y0)
+% position du satellite \`{a} un instant quelconque
+\pstVerb{/theta_i 170 def
+ /radius par 1 exc theta_i theta0 sub cos mul add div def
+ /xS radius theta_i cos mul def
+ /yS radius theta_i sin mul def
+ /ux theta_i cos 1 mul def
+ /uy theta_i sin 1 mul def
+ /xi xS ux sub def
+ /yi yS uy sub def
+ /xi2 xS ux 2 div sub def
+ /yi2 yS uy 2 div sub def}%
+\pnode(!xi2 yi2){Mi2}
+\pnode(!xi yi){Mi}
+\pnode(!xS yS){S}
+\pscircle*(S){0.1}
+\psline[linestyle=dotted](S)(0,0)
+\psline[style=vecteurC]{->}(S)(Mi)
+\uput[l](S){S}
+\uput[u](Mi2){$\overrightarrow{F}$}
+\psarc{->}(0,0){1}{0}{!theta0}
+\uput{1.1}[!theta0 2 div](0,0){$\theta_0$}
+\psline[arrowinset=0.1,arrowsize=0.2]{<->}(5,0)(0,0)(0,5)
+\psline[arrowinset=0.05,arrowsize=0.1]{<->}(5,0)(0,0)(0,5)
+\uput[u](0,5){$y$}\uput[r](5,0){$x$}
+\end{pspicture}
+ \end{center}
+Il s'obtient tr\`{e}s facilement \`{a} partir de l'\'{e}tude pr\'{e}c\'{e}dente si on sait que dans ce cas :
+\[
+v_0=\sqrt{\frac{\mathcal{G}M}{r_0}}
+\]
+\begin{verbatim}
+\pstVerb{
+    /GM 1 def
+    /theta0 60 def
+    /r0 5 def
+    /x0 r0 theta0 cos mul def
+    /y0 r0 theta0 sin mul def
+    /v0 GM r0 div sqrt def
+    /v0x v0 theta0 sin mul neg def
+    /v0y v0 theta0 cos mul def }%
+\end{verbatim}
+
+\end{document}