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\parskip5pt

\def\syracuseTitle{Les anamorphoses : pr\'{e}sentation th\'{e}orique}
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\begin{document}

%% === BEGIN == Page de garde =================================================

\thispagestyle{empty}

\pstPutAbs(0,-29.7){%
\begin{pspicture}(0,0)(21,29.7)
\pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseVERT,fillcolor=syracuseVERT](0,0)(10.5,14.85)(21,0)
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\end{pspicture}
}
\pstPutAbs(2.5,-3.75){%
\includegraphics[scale=1]{pst-anamorphosis}
}
\pstPutAbs(2.5,-5.25){%
\LARGE \textbf{\syracuseTitle}
}
\pstPutAbs(2.5,-13.5){%
\begin{pspicture}(0,0)(8,8)
\rput(4,4){\includegraphics[height=8cm]{eiffel}}
%\rput(4,4){\includegraphics[height=8cm]{\syracuseGraphic}}
%\psframe(0,0)(8,8)
\end{pspicture}
}
\pstPutAbs(12.5,-15){%
\parbox{0.4\textwidth}{\Large\raggedleft
   {\LARGE\textbf{Contributeurs}}\\[0.2cm]
   J\"{u}rgen \textsc{Gilg}\\
   Manuel \textsc{Luque}\\
   Jean-Michel \textsc{Sarlat}
}}
\vfill
\begin{center}
\textcolor{white}{\textbf{\today}}\\[0.3cm]
\textcolor{white}{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/G/pstricks/}}\\
\includegraphics[scale=0.4]{logo_syracuse}
\end{center}

%% == END == Page de garde ====================================================

\newpage

\section{L'anamorphose cylindrique}

On place \`{a} l'int\'{e}rieur du cylindre l'image telle qu'elle doit \^{e}tre vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique (on peut la placer \`{a} l'ext\'{e}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'{e}form\'{e}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'{e}elles.

Objet et image ob\'{e}issent aux lois de la r\'{e}flexion de l'optique g\'{e}om\'{e}trique :
\begin{itemize}
  \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi appartiennent \`{a} un m\^{e}me plan ;
  \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi sont sym\'{e}triques par rapport \`{a} la normale au miroir au point d'incidence.
\end{itemize}

\def\oeil{\psarc[linewidth=2pt](0,2.5){2.5}{215}{270}%
\psarc[linewidth=2pt](0,-2.5){2.5}{90}{140}%
\psarc(-2.5,0){1}{-30}{30}%
\psarc(0,0){1.75}{160}{200}
\psclip{%
\pscircle[linestyle=none](0,0){1.75}}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-2.5,0){0.9}
\endpsclip}%
\begin{center}
\psscalebox{0.7}{
\begin{pspicture}(-2,-6)(15,6)
\psset{Xv=0,Yv=-100}
\newcommand\Rmirror{3}
\psset{viewpoint=-1 -1 1}
\ThreeDput[normal=0 0 1](0,0,0){%
\psaxes{->}(8,4)
\pscircle[doubleline=true]{\Rmirror}
\multido{\i=-2+1,\I=-2+1}{5}{%
    \pnode(! \i\space -2){A}
    \pnode(! \i\space 2){B}
    \psline(A)(B)
    \pslineA(A)(B)
    \pnode(!-2 \I){A}
    \pnode(!2 \I){B}
    \pslineA(A)(B)
    \psline(A)(B)
    }
\input{LouisXIII.pst}
\input{ALouisXIII.pst}
\pstextA[fontsize=28,linecolor=red,fillstyle=solid,fillcolor=yellow!50](0,2){LouisXIII}
    }
\FPmul{\largeur}{\Rmirror}{0.1745}
\newcount\n \n=135
     \loop
     \FPmul{\tempa}{\FPpi}{\the\n}
     \FPdiv{\angle}{\tempa}{180}
     \FPsin{\SIN}{\angle}\FPcos{\COS}{\angle}
     \FPmul{\xc}{\COS}{\Rmirror}
     \FPmul{\yc}{\SIN}{\Rmirror}
      \ThreeDput[normal={\COS} {\SIN} 0.0001](\xc,\yc,0){%
        \psframe[fillstyle=vlines,hatchangle=0,linestyle=none,hatchcolor=BleuCiel,](0,0)(\largeur,5)}
     \ifnum\n<315 \advance\n by 10
\repeat
\ThreeDput[normal=0.707 -0.707 0.001](2.121,-2.121,0){%
\psline[linewidth=2\pslinewidth](0,5)}
\ThreeDput[normal=0.707 -0.707 0.001](-2.121,2.121,0){%
\psline[linewidth=2\pslinewidth](0,5)}
\ThreeDput[normal=0 0 1](0,0,5){%
\pscircle[doubleline=true]{\Rmirror}
}
\ThreeDput[normal=-1 0 0](0,0,0){%
\psaxes(15,5)
\rput{26.5}(21.5,10.8){\oeil}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](20,10)%
\psset{arrowsize=0.5,linecolor=red,linewidth=2\pslinewidth}
\psline{->}(3,1.5)(10,5)
\psline(3,1.5)(20,10)
\psline{->}(6,0)(4.5,0.75)
\psline(6,0)(3,1.5)
\uput[ur](20,10){\color{red}{$V$}}
\uput[u](3,1.5){\color{red}{$I$}}
\uput[u](6,0){\color{red}{$P'$}}
}
\end{pspicture}
}
\end{center}
L'image non d\'{e}form\'{e}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'{e}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'{e}fl\'{e}chit sur le miroir et apr\`{e}s r\'{e}flexion parvient \`{a} l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il  faut donc reconstruire math\'{e}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.

L'observateur est suffisamment \'{e}loign\'{e} du miroir pour pouvoir \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel.

Soit $P$ un point de l'image(not\'{e} $A'$ dans le sch\'{e}ma ci-apr\`{e}s), $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Tra\c{c}ons un droite $(PV)$ et d\'{e}terminons le point d'intersection $I$ avec le cylindre : c'est le point d'incidence.
\[
V(x_V,y_V,z_V)\quad\text{ et }\quad P(x_P,y_P,0)
\]
L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$:
\begin{equation}\label{eq:paracyl}
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_V-x_I&=&\rho(x_V-x_P)\\
      y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\
      z_V-z_I&=&\rho(z_V-0)
      \end{array}
      \right.
      \Longrightarrow
    \left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_I&=&x_V(1-\rho)+\rho x_P\\
      y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\
      z_I&=&z_V(1-\rho)
      \end{array}
      \right.
\end{equation}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(6.5,8)
\pnode(6,7){V}
\uput[0](V){$V$}
\pnode(3,6.5){S}
\pnode(-3,6.5){S'}
\pnode(3,2.8){I}
\pnode(1,0){P}
\pnode(5,0){P'}
\uput[45](P'){$P'$}
\pnode(3,0){G}
\pnode(-3,0){G'}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)(S')
\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(6.5,7.5)
\uput[0](6.5,0){$x$}
\uput[90](0,7.5){$z$}
\uput[135](P){$P$}
\uput[-45](G){$G$}
\uput[135](I){$I$}
\psline(V)(P)
\psline(S)(G)
\rput(I){%
\psline[linestyle=dashed](3;0)%
\uput[0](3;0){$N$}%
\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-90}{-54.46}%
\psarc[doubleline=true](0,0){1}{54.46}{90}
\uput[72](1.2;72){$\varepsilon$}%
\uput[-72](1.2;-72){$\varepsilon$}%
\rput{-90}(0,0){\psframe(0.3,0.3)}
}
\psline[linecolor=red](V)(I)(P')
\pcline[nodesepB=1.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(P')(I)
\pcline[nodesepB=2.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
\qdisk(I){2pt}
\qdisk(P){2pt}
\qdisk(V){2pt}
\qdisk(P'){2pt}
\qdisk(G){2pt}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.2)(1,-0.2)
\uput[-90](0.5,-0.2){$r_P$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(0,2.8)(3,2.8)
\uput[-90](1.5,2.8){$r_I=R$}
\end{pspicture}
\end{center}
Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation :
\begin{equation}\label{eq:cylindre}
x_I^2+y_I^2=R^2
\end{equation}
(\ref{eq:paracyl}) en (\ref{eq:cylindre}) et apr\`{e}s d\'{e}veloppement, on obtient l'\'{e}quation du second degr\'{e} en $\rho$:
\begin{gather*}
\left(x_V(1-\rho)+\rho x_P\right)^2+\left(y_V(1-\rho)+\rho y_P\right)^2=R^2\\
x_V^2(1-2\rho+\rho^2)+2(1-\rho)\rho x_Vx_P+\rho^2 x_P^2+y_V^2(1-2\rho+\rho^2)+2(1-\rho)\rho y_Vy_P+\rho^2 y_P^2=R^2\\
(x_V^2+y_V^2-2x_Vx_P-2y_Vy_P)\rho^2+2(-x_V^2+x_Vx_P-y_V^2+y_Vy_P)\rho+x_V^2+y_V^2=R^2
\end{gather*}
Comparaison avec
\[
a\rho^2+2b'\rho+c=0
\]
donne :
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      a&=&(x_V-x_P)^2+(y_V-y_P)^2\\
      2b'&=&x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\
      c&=&x_V^2+y_V^2-R^2
      \end{array}
      \right.
\]
La r\'{e}solution de cette \'{e}quation nous donne les solutions classiques:
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      \rho'&=&\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\[0.5cm]
      \rho''&=&\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
      \end{array}
      \right.
      \qquad \Delta'=b'^2-ac
\]
On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $\rho$.

$(IV)$ repr\'{e}sente le rayon r\'{e}fl\'{e}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'{e}fini par la droite sym\'{e}trique de $(IV)$ par rapport \`{a} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'{e}trique de $V$, nomm\'{e} $V'$ par rapport \`{a} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
\begin{enumerate}
  \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
  \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
\end{enumerate}
La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$

La premi\`{e}re condition se traduit par :
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_V-x_I+x_{V'}-x_I&=&kx_I\\
      y_V-x_I+y_{V'}-y_I&=&ky_I\\
      z_V-z_I+z_{V'}-z_I&=&0
      \end{array}
      \right.
    \Longrightarrow
  \left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_{V'}&=&kx_I+2x_I-x_V\\
      y_{V'}&=&ky_I+2y_I-y_V\\
      z_{V'}&=&2z_I-z_V
      \end{array}
      \right.
\]
La deuxi\`{e}me par :
\[
(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0
\]
En rempla\c{c}ant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tir\'{e}s de la premi\`{e}re condition dans la deuxi\`{e}me :
\begin{gather*}
k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0\\
kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)\\
k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)
\end{gather*}
Les coordonn\'{e}es de $V'$ s'en d\'{e}duisent :
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_{V'}&=&(k+2)x_I-x_V\\
      y_{V'}&=&(k+2)y_I-y_V\\
      z_{V'}&=&z_V(1-2\rho)
      \end{array}
      \right.
\]
Il reste \`{a} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=0$.

\'Equation param\'{e}trique de $(IV')$, $M$ \'{e}tant un point courant : $\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_{V'}-x&=&\alpha(x_{V'}-x_I)\\
      y_{V'}-y&=&\alpha(y_{V'}-y_I)\\
      z_{V'}-z&=&\alpha(z_{V'}-z_I)
      \end{array}
      \right.
\]
$z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{V'}}{z_{V'}-z_I}$ soit
\[
\alpha=\dfrac{1-2\rho}{-\rho}
\]
En rempla\c{c}ant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'{e}es du point $P'$ de l'objet anamorphique.
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_{P'}&=&x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\
      y_{P'}&=&y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I)
      \end{array}
      \right.
\]
Cette s\'{e}rie de calculs doit \^{e}tre appliqu\'{e}e \`{a} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'{e}form\'{e}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme.

On notera que \textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas}. On le comprend ais\'{e}ment en faisant un dessin du plan vertical passant par l'\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale \'{e}tant fix\'{e}e $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ \'{e}tant sym\'{e}triques par rapport \`{a} la g\'{e}n\'{e}ratrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donn\'{e} alors $A$ est fix\'{e} quelque soit~$z_V$.

\newpage

\section{L'anamorphose conique}

Le principe est identique \`{a} celui de l'anamorphose cylindrique : imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet <<~anamorphique~>>, se r\'{e}fl\'{e}chissant sur le miroir conique et parvenant \`{a} l'{\oe}il de l'observateur plac\'{e} au-dessus et dans l'axe du c\^{o}ne \`{a} une position suffisamment haute pour que l'observateur puisse \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer l'image reconstitu\'{e}e par le miroir conique. Image et objet sont dans le plan horizontal.

\begin{center}
\psscalebox{0.7}{
\begin{pspicture}(-7,-8)(7,9)
\newcommand\R{3}
\newcommand\hauteur{5}
\newcommand\pas{10}
\FPeval{\pasrad}{\pas*\FPpi/180}
 \FPmul{\Largeur}{\R}{\pasrad}
 \FPdiv{\largeur}{\Largeur}{2}
%Les coordonn\'{e}es de viewpoint
\def\vx{1}\def\vy{-0.8}\def\vz{1}
\FPeval{\RH}{(\R)/(\hauteur)}
 \FParctan{\phy}{\RH}
 \FPeval{\OH}{sin(\phy)*\hauteur}
 \FPeval{\zH}{sin(\phy)*\OH}
 \FPeval{\OK}{cos(\phy)*\OH}
 \FPeval{\generatrice}{root(2,(\hauteur*\hauteur)+(\R*\R))}
\psset{viewpoint={\vx} {\vy} {\vz}}
\ThreeDput[normal=0 0 1](0,0,0){%%
\psframe*[linecolor=lightgray!25](-10,-10)(10,10)
\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,gridlabels=0pt](-10,-10)(10,10)
\psaxes(0,0)(-10,-10)(10,10)
\pscircle[doubleline=true]{3}
\psset{type=conical}
\multido{\n=-1.50+0.50}{7}{%
    \pnode(! \n\space -2.50){A}
    \pnode(! \n\space -0.50){B}
    \psline[linecolor=green](A)(B)
    \pslineA[linecolor=green](A)(B)
    }
\multido{\N=-2.50+0.50}{5}{%
    \pnode(!-1.50 \N){A}
    \pnode(!1.50 \N){B}
    \pslineA[linecolor=green](A)(B)
    \psline[linecolor=green](A)(B)
    }
%
\multido{\n=-1.50+0.50}{7}{%
    \pnode(! \n\space 2.50){A}
    \pnode(! \n\space 0.50){B}
    \psline[linecolor=green](A)(B)
    \pslineA[linecolor=green](A)(B)
    }
\multido{\N=2.50+-0.50}{5}{%
    \pnode(!-1.50 \N){A}
    \pnode(!1.50 \N){B}
    \pslineA[linecolor=green](A)(B)
    \psline[linecolor=green](A)(B)
    }
\multido{\n=-1.50+0.50}{7}{%
    \pnode(! \n\space -2.50){A}
    \pnode(! \n\space -0.50){B}
    \psline(A)(B)
    \pslineA(A)(B)
    }
\multido{\N=-2.50+0.50}{5}{%
    \pnode(!-1.50 \N){A}
    \pnode(!1.50 \N){B}
    \pslineA(A)(B)
    \psline(A)(B)
    }
\multido{\n=-1.50+0.50}{7}{%
    \pnode(! \n\space 2.50){A}
    \pnode(! \n\space 0.50){B}
    \psline(A)(B)
    \pslineA(A)(B)
    }
\multido{\N=2.50+-0.50}{5}{%
    \pnode(!-1.50 \N){A}
    \pnode(!1.50 \N){B}
    \pslineA(A)(B)
    \psline(A)(B)
    }
\psanamorphosis[type=conical,scale=-0.7 -0.7](0,1.5){tiger.eps}
\pstextA[fontsize=15,fillcolor=green,scale=1 -1](0,-0.5){Anamorphose}
\pscircle[doubleline=true]{3}}
\newcount\n \n=0
     \loop
     \FPmul{\tempa}{\FPpi}{\the\n}
     \FPdiv{\angle}{\tempa}{180}
     \FPsin{\SIN}{\angle}\FPcos{\COS}{\angle}
     \FPmul{\xH}{\COS}{\OK}
     \FPmul{\yH}{\SIN}{\OK}
     \FPdiv{\grise}{\the\n}{360}
     \FPsub{\gris}{1}{\grise}
     \FPdiv{\teinte}{\grise}{2}
\definecolor{gris}{cmyk}{\teinte,\teinte,\teinte,0}
%tester les faces visibles
%le produit scalaire du vecteur viewpoint et du vecteur normal \`{a} la face >0 ?
\FPeval{\costest}{(\vx)*\xH+(\vy)*\yH+(\vz)*\zH}
   \FPifpos{\costest}
   \ThreeDput[normal={\xH} {\yH} \zH](0,0,\hauteur){%
        \pspolygon[linecolor=BleuCiel]%[fillstyle=solid,fillcolor=gris,dimen=outer]%
        (0,0)(-\largeur,-\generatrice)(\largeur,-\generatrice)}\else{}\fi
   \FPifneg{\costest}
   \ThreeDput[normal={\xH} {\yH} \zH](0,0,\hauteur){%
   \psline[linestyle=dashed,linecolor=gray](0,0)(\largeur,-\generatrice)}\else{}\fi
     \ifnum\n<360 \advance\n by \pas
\repeat
%Dessin des faces de dessus et de dessous
%\FPifneg\vz
%face de dessous
%\ThreeDput[normal=0 0 -1](0,0,0){%
%\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){\R}\rput(0,0){\Large\textbf{\textsf{Dessous}}}}\fi
\ThreeDput[normal=1 0 0](0,0,0){%
\psaxes(1,10)
\rput{90}(0,12){\oeil}%
{\boldmath
\red
\pnode(0,10){V}
\uput[0](V){$V$}
\pnode(0,5){S}
\uput[0](S){$S$}
\pnode(-1.5,2.5){I}
\uput[180](I){$I$}
\qdisk(I){2pt}
\pnode(-2,0){P}
\uput[135](P){$P$}
\pnode(-4.545,0){P'}
\uput[135](P'){$P'$}
\psset{linecolor=red}
\psline(V)(I)(P')
\pcline[nodesepB=2,nodesepA=1,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->}(P')(I)
\pcline[nodesepB=4,nodesepA=1,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->}(I)(V)
\psline[linestyle=dashed](I)(P)}}%
\end{pspicture}
}
\end{center}
Il s'agit de d\'{e}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec le c\^{o}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'{e}es de $V$, $S$ et $P$ sont not\'{e}es : $V(0,0,z_V)$, $S(0,0,z_S)$ et $P(x_P,y_P,0)$.

L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$:
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      0-x_I&=&\lambda(0-x_P)\\
      0-y_I&=&\lambda(0-y_P)\\
      z_V-z_I&=&\lambda(z_V-0)
      \end{array}
      \right.
      \Longrightarrow
    \left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_I&=&\lambda x_P\\
      y_I&=&\lambda y_P\\
      z_I&=&(1-\lambda)z_V
      \end{array}
      \right.
\]
On pose :
\[
    r_I^2=x_I^2+y_I^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2\quad\textrm{et}\quad |\overrightarrow{OG}|=R
\]
Le point $I$ appartenant au c\^{o}ne, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation (th\'{e}or\^{e}me de Thal\`{e}s):
\begin{align*}
    \frac{R}{z_S}&=\frac{r_I}{z_S-z_I}\\
    \frac{R}{z_S}&=\frac{\lambda r_P}{z_S-(1-\lambda)z_P}\\
    \lambda&=\frac{R(z_S-z_V)}{r_Pz_S-R z_V}
\end{align*}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,7.75)
\pnode(0,10){V}
\uput[0](V){$V$}
\pnode(0,5){S}
\uput[0](S){$S$}
\pnode(1.5,2.5){I}
\pnode(2,0){P}
\pnode(4.545,0){P'}
\uput[45](P'){$P'$}
\psdots[dotstyle=|](P')
\pnode(3,0){G}
\pnode(-3,0){G'}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)
\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(5.5,10.25)
\uput[0](5.5,0){$x$}
\uput[90](0,10.25){$z$}
\uput[45](P){$P$}
\uput[-45](G){$G$}
\uput[70](I){$I$}
\psline(V)(P)
\psline(S)(G)
\rput(I){%
\psline[linestyle=dashed](4;30.96)
\uput[15.5](4;30.1){$N$}
\rput{-59.036}(0,0){\psframe(0.5,0.5)}
\psarc[doubleline=true](0,0){1}{101.31}{120.964}
%\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-79.09}{-59.036}
\psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{-59.036}{-39.38}
\pnode(1.2;-50){I1}
\pnode(1.2;112){I2}
\uput[-50](I1){$\varepsilon$}
\uput[112](I2){$\varepsilon$}
}
\rput(P'){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1}{140.175}{180}
\uput[160](1;160){$\varepsilon'$}}
\rput(S){\psarc[linecolor=gray,linewidth=2\pslinewidth](0,0){1}{-90}{-59.036}
\uput[-75](1;-75){$\theta$}}
\rput(V){\psarc(0,0){2}{-90}{-78.69}
\uput[-80](2;-85){$\beta$}}
\psline[linecolor=red](V)(I)(P')
\pcline[nodesepB=1.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(P')(I)
\pcline[nodesepB=4,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
\qdisk(I){2pt}
\qdisk(P){2pt}
\qdisk(S){2pt}
\qdisk(V){2pt}
\qdisk(P'){2pt}
\qdisk(G){2pt}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.2)(2,-0.2)
\uput[-90](1,-0.2){$r_P$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.8)(3,-0.8)
\uput[-90](1.5,-0.8){$R$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(1.5,2.5)(0,2.5)
\uput[-90](0.75,2.5){$r_I$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->|}(-0.2,0)(-0.2,5)
\uput[180](-0.2,2.5){$z_S$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->|}(-1,0)(-1,10)
\uput[180](-1,5){$z_V$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linestyle=dashed](1.5,2.5)(1.5,0)
\end{pspicture}
\end{center}
Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon r\'{e}fl\'{e}chi, d\'{e}terminons~$\varepsilon'$.

Un raisonnement g\'{e}om\'{e}trique \'{e}l\'{e}mentaire nous montre que :
\[
    \varepsilon'=90^\circ-2\theta+\beta
\]
avec
\[
    \beta=\arctan\frac{r_P}{z_V}
\]
et
\[
    \theta=\arctan\frac{R}{z_S}\quad\textrm{demi-angle au sommet du c\^{o}ne }
\]
Dans le plan horizontal, les coordonn\'{e}es de $P'$ sont :
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_{P'}&=&x_I+\dfrac{z_I}{\tan \varepsilon'}\\[0.5cm]
      y_{P'}&=&y_I+\dfrac{z_I}{\tan \varepsilon'}\\
    \end{array}
\right.
\]

\newpage

\section{L'anamorphose sph\'{e}rique}

On place \`{a} l'int\'{e}rieur de la demi-sph\`{e}re l'image telle qu'elle doit \^{e}tre vue par un observateur regardant dans le miroir sph\'{e}rique (on peut la placer \`{a} l'ext\'{e}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sph\`{e}re, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'{e}form\'{e}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'{e}elles.\par Objet et image ob\'{e}issent aux lois de la r\'{e}flexion de l'optique g\'{e}om\'{e}trique :
\begin{itemize}
  \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi appartiennent \`{a} un m\^{e}me plan ;
  \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi sont sym\'{e}triques par rapport \`{a} la normale au miroir au point d'incidence.
\end{itemize}
\begin{center}
\psscalebox{0.67}{
\begin{pspicture}(-4,-7)(12,4.5)
\psset{lightsrc=viewpoint}
\psset{viewpoint=-100 -100 100,Decran=173.2}
\ThreeDput[normal=0 0 1](0,0,0){%%
\psframe*[linecolor=lightgray!25](-5,-14)(5,5)
\psgrid[subgriddiv=0,gridcolor=lightgray,gridlabels=0pt](-5,-14)(5,5)
\psaxes(0,0)(-5,-14)(5,5)
\psset{type=spherical,Rmirror=5}
\pscircle[doubleline=true]{5}
\multido{\n=-1.00+0.20}{11}{%
    \pnode(! \n\space -4.80){A}
    \pnode(! \n\space -3.40){B}
    \psline(A)(B)
    \pslineA(A)(B)
    }%
\multido{\N=-4.80+0.20}{8}{%
    \pnode(!-1.0 \N){A}
    \pnode(!1.0 \N){B}
    \pslineA(A)(B)
    \psline(A)(B)
    }%
\psanamorphosis[scale=0.4 0.4](0,-4){tiger.eps}
\pnode(0,-4){A}
\pnodeA(0,-4){A'}
%\psline(A)(A')
    }
\ThreeDput[normal=-1 0 0](0,0,0){%
\pnode(15,5){OE}
\pnode(13.2,4.2){OE'}
\pnode(5,0.4545){I}
\rput{26.5}(OE){\oeil}
}
\psSolid[object=calottesphere,r=5,opacity=0.5,
    ngrid=24 36,fillcolor=cyan!50,grid,hollow,
    incolor=yellow,theta=90,phi=0,action=draw,linecolor=BleuCiel,linewidth=0.5pt](0,0,0)
\psline[linecolor=red](A')(I)(OE')
\pcline[nodesepB=2.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(OE')
\pcline[nodesepB=1,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(A')(I)
\psline(I)(A)
\end{pspicture}
}
\end{center}
L'image non d\'{e}form\'{e}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'{e}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'{e}fl\'{e}chit sur le miroir et apr\`{e}s r\'{e}flexion parvient \`{a} l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il  faut donc reconstruire math\'{e}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.

L'observateur est suffisamment \'{e}loign\'{e} du miroir pour pouvoir \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel.

Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Tra\c{c}ons un droite $PV$ et d\'{e}terminons le point d'intersection $I$ avec la sph\`{e}re : c'est le point d'incidence.
\[
V(x_V,y_V,z_V)\quad\text{ et }\quad P(x_P,y_P,0)
\]
\begin{center}
\shorthandoff{!}
\begin{pspicture}(-4,-0.5)(8,5.5)
\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](0,0){2}{0}{180}
\psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3,0)(7.5,5)
\uput[0](7.5,0){$x$}
\uput[90](0,5){$z$}
\pnode(1.5,0){P}
\pnode(0,0){O}\uput[dl](O){$O$}
\pnode(!/alpha 15 def /xI 2 alpha  cos mul def /yI 2 alpha  sin mul def /beta yI xI 1.5 sub atan def xI yI){I}
\psline(P)(I)
\rput(I){\pnode(!beta cos 5 mul beta sin 5 mul){V}}
\psline[linecolor=red](I)(V)
\rput(I){\psarc[doubleline=true](0,0){1}{!alpha}{!beta}
\psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{!2 alpha mul beta sub}{!alpha}}
\uput{1.2}[!alpha beta add 2 div](I){$\varepsilon$}
\uput{1.4}[!3 alpha mul beta sub 2 div](I){$\varepsilon$}
\pnode(!yI neg xI 2 alpha mul beta sub tan mul add 2 alpha mul beta sub tan div 0){M}
\psline[linecolor=red](M)(I)
\pcline[nodesepB=0.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(M)(I)
\pcline[nodesepB=2,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V)
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(O)(I)
\uput[75](1;15){$R$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(O)(V)
\uput[75](3,2.7){$r_V$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.3)(1.5,-0.3)
\uput[-90](0.75,-0.3){$r_P$}
\rput(I){%
\psline[linestyle=dashed](5;15)
\uput[15](5;15){$N$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linecolor=gray](1.5;105)
\uput[105](1.5;105){$T$}
\psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linecolor=gray](1.25;-75)
\rput{-75}(0,0){\psframe(0.3,0.3)}
}
\uput[-45](P){$P$}
\uput[-45](M){$P'$}
\uput[70](I){$I$}
\uput[u](V){$V$}
\psdot(P)
\psdot(I)
\psdot(V)
\psdot(M)
\end{pspicture}
\end{center}
L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$:
\begin{equation}\label{eq:para}
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_V-x_I&=&\lambda(x_V-x_P)\\
      y_V-y_I&=&\lambda(y_V-y_P)\\
      z_V-z_I&=&\lambda(z_V-0)
      \end{array}
      \right.
      \Longrightarrow
    \left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_I&=&x_V(1-\lambda)+\lambda x_P\\
      y_I&=&y_V(1-\lambda)+\lambda y_P\\
      z_I&=&z_V(1-\lambda)
      \end{array}
      \right.
\end{equation}
On pose :
\[
r_V^2=x_V^2+y_V^2+z_V^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2
\]
Le point $I$ appartenant \`{a} la sph\`{e}re, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation :
\begin{equation}\label{eq:sphere}
x_I^2+y_I^2+z_I^2=R^2
\end{equation}
(\ref{eq:para}) en (\ref{eq:sphere})
\begin{gather*}
\left(x_V+\lambda(x_P-x_V)\right)^2+\left(y_V+\lambda(y_P-y_V)\right)^2+\left((1-\lambda)z_V\right)^2=R^2\\
x_V^2+2\lambda x_V(x_P-x_V)+\lambda^2(x_P-x_V)^2+y_V^2+2\lambda y_V(y_P-y_V) +\lambda^2(y_P-y_V)^2+(1-2\lambda+\lambda^2)z_V^2=R^2
\end{gather*}
Apr\`{e}s d\'{e}veloppement, on obtient l'\'{e}quation du second degr\'{e} en
$\lambda$:
\begin{gather*}
\lambda^2\left((x_P-x_V)^2+(y_P-y_V)^2+z_V^2\right)+2\lambda\left(x_V(x_P-x_V)+y_V(y_P-y_V)-z_V^2\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2-
R^2=0\\
\lambda^2\left(x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\right)+2\lambda\left(-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2-
R^2=0
\end{gather*}
Comparaison avec
\[
a\lambda^2+2b'\lambda+c=0
\]
donne pour le coefficient $a$ de $\lambda^2$ :
\[
a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V
\]
Pour le coefficient $2b'$ de $\lambda$ :
\[
2b'=-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V
\]
Pour le coefficient $c$ :
\[
c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2
\]
Alors
\[
a\lambda^2+2b'\lambda+c=0
\]
avec :
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      a&=&x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
      2b'&=&-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
      c&=&x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2
      \end{array}
      \right.
\]
\[\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      a&=&r_V^2+r_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\
      2b'&=&-r_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\
      c&=&r_V^2-R^2
      \end{array}
      \right.
\]
La r\'{e}solution de cette \'{e}quation nous donne les solutions classiques:
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      \lambda'&=&\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\[0.5cm]
      \lambda''&=&\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}
      \end{array}
      \right.
      \qquad \Delta'=b'^2-ac
\]
On retiendra la valeur positive.% et \texttt{Coeff1} dans le programme.

$(IV)$ repr\'{e}sente le rayon r\'{e}fl\'{e}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'{e}fini par la droite sym\'{e}trique de $(IV)$ par rapport \`{a} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'{e}trique de $V$, nomm\'{e} $V'$ par rapport \`{a} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions :
\begin{enumerate}
  \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$
  \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$
\end{enumerate}
La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,z_I)$

La premi\`{e}re condition se traduit par :
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_V-x_I+x_{V'}-x_I&=&kx_I\\
      y_V-x_I+y_{V'}-y_I&=&ky_I\\
      z_V-z_I+z_{V'}-z_I&=&kz_I
      \end{array}
      \right.
    \Longrightarrow
  \left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_{V'}&=&kx_I+2x_I-x_V\\
      y_{V'}&=&ky_I+2y_I-y_V\\
      z_{V'}&=&kz_I+2z_I-z_V
      \end{array}
      \right.
\]
La deuxi\`{e}me par :
\[
(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I+(z_{V'}-z_V)z_I=0
\]
En rempla\c{c}ant $x_{V'}$, $y_{V'}$ et $z_{V'}$ tir\'{e}s de la premi\`{e}re condition dans la deuxi\`{e}me :
\begin{gather*}
k(x_I^2+y_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I+2z_I^2-2z_Vz_I=0\\
kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)\\
k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)
\end{gather*}
Les coordonn\'{e}es de $V'$ s'en d\'{e}duisent :
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_{V'}&=&(k+2)x_I-x_V\\
      y_{V'}&=&(k+2)y_I-y_V\\
      z_{V'}&=&(k+2)z_I-z_V
      \end{array}
      \right.
\]
Il reste \`{a} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=0$.

\'Equation param\'{e}trique de $(IV')$, $M$ \'{e}tant un point courant : $\overrightarrow{MI}=\alpha\overrightarrow{V'I}$
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_I-x&=&\alpha(x_I-x_{V'})\\
      y_I-y&=&\alpha(y_I-y_{V'})\\
      z_I-z&=&\alpha(z_I-z_{V'})
      \end{array}
      \right.
\]
$z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{I}}{z_I-z_{V'}}$.

En rempla\c{c}ant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'{e}es du point $P'$ de l'objet anamorphique.
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
      x_{P'}&=&x_I-\alpha(x_I-x_{V'})\\
      y_{P'}&=&y_I-\alpha(y_I-y_{V'})\\
      z_{P'}&=&0
      \end{array}
      \right.
\]
Cette s\'{e}rie de calculs doit \^{e}tre appliqu\'{e}e \`{a} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'{e}form\'{e}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme.

\textbf{Remarque} : l'image doit se former du c\^{o}t\'{e} de l'observateur \`{a} l'int\'{e}rieur du miroir, plus pr\`{e}s du bord du miroir que du centre. Si on d\'{e}place le point $P$ vers $O$, il arrive un moment o\`{u} le rayon r\'{e}fl\'{e}chi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH !

\newpage

\section{La perspective}

Dans le livre de Jurgis Baltru\v{s}a\"{\i}tis\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives d\'{e}prav\'{e}es} en livre de poche chez Flammarion.}, on trouve le principe de la <<~\textit{costruzione legittima}~>> avec un sch\'{e}ma de L\'{e}onard de Vinci (1492) et des sch\'{e}mas anamorphiques de Niceron (1658). Je cite page 58 :
\begin{quote}\itshape
<<~Rappelons en quelques mots quels ont \'{e}t\'{e} le proc\'{e}d\'{e}s utilis\'{e}s par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La premi\`{e}re ligne trac\'{e}e est celle de l'horizon \`{a} la hauteur de l'\oe{}il. Deux points y sont ensuite fix\'{e}s : au milieu le point principal vers o\`{u} convergent toutes les lignes droites parall\`{e}les qui s'\'{e}loignent en profondeur ; sur la m\^{e}me horizontale et \`{a} la m\^{e}me distance du point principal que l'\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales.~>>
\end{quote}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5,-3)(5,14.25)
\psset{ua=2,F=10,D=4,type=perspective}
\psframe*[linecolor=BleuCiel](-5,10)(5,13)
\psframe*[linecolor=OrangePale](-5,2)(5,10)
\psline[arrowinset=0,arrowsize=2mm]{->}(0,14)
\psline[arrowinset=0,arrowsize=2mm]{->}(7,0)
\uput[0](7,0){$x$}
\uput[90](0,14){$y$}
\psline(-5,2)(5,2)
\pnode(4,10){F'}
\pnode(0,10){F}
\uput[ul](F){${F}$}
\uput[ur](F'){${F'}$}
\rput(0,12){\multido{\n=22.5+45.0}{8}{%
\psline[linecolor=yellow](1;\n)}%
\pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=0,gradend=yellow,gradbegin=gray]{0.5}}
\multido{\i=-2+1}{5}{%
    \pnode(! \i\space -2){A}
    \pnode(! \i\space 2){B}
    \psline(A)(B)
    \pslineA(A)(B)
    }%
\multido{\i=-2+1}{5}{%
    \pnode(!-2 \i){A}
    \pnode(!2 \i){B}
    \pslineA[linecolor=blue](A)(B)
    \psline[linecolor=blue](A)(B)
    }%
\pnode(0,0){O}
\pnodeA(0,0){O'}
\pnode(-2,2){A}
\pnodeA(-2,2){A'}
\pnode(2,2){B}
\pnodeA(2,2){B'}
\pnode(-2,-2){C}
\pnodeA(-2,-2){C'}
\pnode(2,-2){D}
\pnodeA(2,-2){D'}
\pnode(-1,-1){M1}
\pnodeA(-1,-1){M1'}
\pnode(-1,1){M2}
\pnodeA(-1,1){M2'}
\pnode(-1,0){N1}
\pnodeA(-1,0){N1'}
\pnode(-1,2){P}
\pnodeA(-1,2){P'}
\pnode(-2,0){N2}
\pnodeA(-2,0){N2'}
\pnode(-2,1){N3}
\pnodeA(-2,1){N3'}
\pnodeA(-2,-1){S'}
\pnode(0,2){Q}
\pnode(1,2){R}
\psline(A)(F)(B)
\psline[linecolor=red](A)(F')
\psline[linecolor=red](P)(F)
\psline[linecolor=lightgray](P)(F')
\psline[linecolor=lightgray](Q)(F')
\psline[linecolor=lightgray](R)(F')
\psline[linecolor=lightgray](S')(F')
\psline[linecolor=lightgray](N2')(F')
\psline[linecolor=lightgray](N3')(F')
\uput[dl](A){${A}$}
\uput[dr](B){${B}$}
\uput[ul](A'){${A'}$}
\uput[ur](B'){${B'}$}
\uput[dl](C){${C}$}
\uput[dr](D){${D}$}
\uput[ul](P){${P}$}
\uput[u](P'){${P'}$}
\uput[ul](C'){${C'}$}
\uput[ur](D'){${D'}$}
\uput[dl](O){${O}$}
\uput[dr](O'){${O'}$}
\psline{<->|}(-3,2)(-3,10)
\uput[l](-3,6){$f$}
\pcline{|<->|}(F)(F')
\uput[u](2,10){$e$}
\psdots(A)(B)(C)(D)(A')(B')(C')(D')(P)(P')(F)(F')(O)(O')
\psdots[linecolor=blue](N1)(N1')
\uput[dl](N1){$\blue {N_1}$}
\uput[dl](N1'){$\blue {N_1'}$}
\psdots[linecolor=gray](M2)(M2')
\uput[dr](M2){\tiny $\gray {(X,Y)}$}
\uput[dr](M2'){\tiny $\gray {(x',y')}$}
\psdots[linecolor=red](M1')
\uput[dr](M1'){\tiny $\red {(\alpha_1,\beta_1)}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

Exemples :
\begin{itemize}
  \item $A\longrightarrow A'$
  \item $B\longrightarrow B'$
  \item $C\longrightarrow C'$
  \item $D\longrightarrow D'$
  \item $O\longrightarrow O'$
  \item $M_1\longrightarrow M_1'$
  \item $M_2\longrightarrow M'_2$
\end{itemize}
D\'{e}terminons les coordonn\'{e}es $(\alpha_1,\beta_1)$ de l'intersection de $(PF)$ avec $(AF')$.

Posons que les coordonn\'{e}es des points essentiels sont :
\begin{itemize}
  \item $F(0,f)$
  \item $F'(e,f)$
  \item $A(-a,a)$
  \item $B(a,a)$
  \item $C(a,-a)$
  \item $D(-a,-a)$
  \item $P(X,a)$
\end{itemize}
\'Equation de $(AF')$ :
\[
\frac{y-f}{x-e}=\frac{a-f}{-a-e}\Longrightarrow x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=0
\]
\'Equation de $(PF)$ :
\[
\frac{x-0}{y-f}=\frac{X-0}{a-f}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=0
\]
Intersection $(PF)\bigcap (AF')$
\[
\alpha_1=\frac{Xe}{X+a+e}\qquad\beta_1=\frac{a(f+e)+fX}{X+a+e}
\]
Si on prend maintenant, un point d'ordonn\'{e}e $Y\neq X$ par exemple $N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais \`{a} l'intersection de $PF$ avec la parall\`{e}le \`{a} $x'Ox$ men\'{e}e par le point-image du point de coordonn\'{e}e $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est l'image de $O(0,0)$).

Il s'agit de d\'{e}terminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'\'{e}quation :
\[
y=\beta_2=\frac{a(f+e)+fY}{Y+a+e}
\]
Apr\`{e}s calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse :
\[
\alpha_2=\frac{Xe}{Y+a+e}
\]
En r\'{e}sum\'{e} si dans le rep\`{e}re $Oxy$, on appelle $({\red X},{\red Y})$ les coordonn\'{e}es d'un point-objet et $({\blue x'},{\blue y'})$ les coordonn\'{e}es du point image dans la transformation \textit{anamorphose oblique} ou \textit{perspective}, les formules qui permettent de passer de l'objet \`{a} l'image s'\'{e}crivent :
\[
\left\lbrace
    \begin{array}{lcl}
     {\blue x'}&=&\displaystyle\frac{{\red X}e}{{\red Y}+a+e}\\[0.5cm]
     {\blue y'}&=&\displaystyle\frac{a(f+e)+f{\red Y}}{{\red Y}+a+e}
    \end{array}
\right.
\]
\end{document} 