X-Git-Url: https://melusine.eu.org/syracuse/G/git/?p=pst-eqdf.git;a=blobdiff_plain;f=gravitation%2Fpotentiel_coulombien_distiller.tex;h=c9121b717b9c8dba2a4d3a67d94943a73e99b140;hp=541a5b748d2a29a9487a542c748c380d111023bd;hb=7e364648d4b4d1d2f61a18e927fd3ece40621d50;hpb=eaffac5c916755ccf9a166830dd582f409502d8c diff --git a/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex index 541a5b7..c9121b7 100644 --- a/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex +++ b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex @@ -1,9 +1,14 @@ \documentclass[fleqn]{article} \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry} \usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[]{kpfonts}% f\"{u}r Mathezeichen +\usepackage{libertine}% f\"{u}r rm und sf \usepackage[distiller]{pstricks} +\usepackage{pst-slpe} \usepackage{pstricks-add,pst-eqdf,pst-func,pst-solides3d} \usepackage{array,amsmath} +\usepackage{url} %%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\datRoot{C:/Users/J\"{u}rgen/Desktop/gravitation/} @@ -11,9 +16,38 @@ \begin{document} \section{La d\'{e}couverte de la diffusion des particules $\alpha$ par le noyau d'or} + \subsection{L'exp\'{e}rience d'Ernest Rutherford en 1909} Rutherford bombarde avec des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et 2 protons) une mince feuille d'or. +\begin{center} +\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1) +\def\Kernradius{7.5pt} +\def\KernabstandHe{7.5pt} +\def\ColorProton{red} +\def\ColorNeutron{gray!20} + +\newpsstyle{proton}{linecolor={[rgb]{0.72 0 0}},slopebegin=red!50,sloperadius=0.15,linewidth=0.1pt,slopecenter=0.65 0.6,linestyle=solid} +\newpsstyle{neutron}{linecolor=gray!50,slopebegin=white,sloperadius=0.11,linewidth=0.1pt,slopecenter=0.65 0.6,linestyle=solid} + +\def\Proton{\psBall[style=proton](0,0){\ColorProton}{\Kernradius}} +\def\Neutron{\psBall[style=neutron](0,0){\ColorNeutron}{\Kernradius}} + +\def\AtomKernHe{% +\multido{\iAngle=40+180}{2}{% +\rput(\KernabstandHe;\iAngle){\Proton}% +}% +\multido{\iAngle=130+180}{2}{% +\rput(\KernabstandHe;\iAngle){\Neutron}% +}% +}% +\rput(0,0){\AtomKernHe} +\rput(1.5,0){$^{4}_{2}$He$^{2+}$} +\end{pspicture} +\end{center} + +\subsection{Montage exp\'{e}rimental} + \begin{center} \begin{pspicture}(-6,-4)(6,5) \psset{lightsrc=10 -20 50,viewpoint=10 -10 10,Decran=20} @@ -46,6 +80,21 @@ Rutherford bombarde avec des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutron \end{pspicture} \end{center} + +\textbf{Observation :} + +L'exp\'{e}rience est r\'{e}alis\'{e}e sous vide. De la mati\`{e}re radioactive \'{e}mettant des particules $\alpha$ (noyaux d'h\'{e}lium, He$^{2+}$) est plac\'{e}e dans une bo\^{\i}te et le faisceau de particule $\alpha$ est orient\'{e} en direction d'une fine feuille d'or (6000~{\AA}). Derri\`{e}re cette couche d'or, un \'{e}cran est plac\'{e} ; il est enrichi d'une substance chimique (sulfure de zinc: ZnS) permettant de visualiser, par un scintillement lumineux, la collision par les particules $\alpha$. + +Plusieurs minutes apr\`{e}s la disposition du mat\'{e}riel, diff\'{e}rents points lumineux apparaissent sur l'\'{e}cran et ces points ne sont pas dans l'orientation du faisceau, mais \'{e}tal\'{e}s sur de grands angles.\footnote{\textit{http://fr.wikipedia.org/wiki/Exp\'{e}rience\_de\_Rutherford}} + +\textbf{Interpretation :} + +La majorit\'{e} des particules $\alpha$ traversent la feuille d'or, sans \^{e}tre d\'{e}vi\'{e}es mais une partie de ces particules, de l'ordre de 0,01~\%, a \'{e}t\'{e} d\'{e}vi\'{e}e. De cette exp\'{e}rience, nous pouvons d\'{e}duire que la mati\`{e}re est une structure lacunaire. Elle est constitu\'{e}e essentiellement de vide c'est pour cela que la plupart des particules ne sont pas d\'{e}vi\'{e}es. Il existe de m\^{e}me des \^{\i}lots de charge positive qui repoussent les particules $\alpha$. L'ordre de grandeur de ces \^{\i}lots est tr\`{e}s petit par rapport \`{a} l'atome (de l'ordre de 100 000 fois plus petit). + +En fait, Rutherford a observ\'{e} la diffusion in\'{e}lastique en pensant que c'\'{e}tait la diffusion \'{e}lastique. Le taux de diffusion \'{e}lastique est supprim\'{e} par un facteur de forme qui prend en compte le mouvement du noyau comme un nuage positif (ou bien \emph{p\^{a}te}). En plus, la transmission de l'\'{e}nergie aux \emph{noyaux} li\'{e}s excite les atomes (diffusion in\'{e}lastique). Seulement la somme de tous les diff\'{e}rents \'{e}v\'{e}nements (avec participation des voisins donc) cr\'{e}e l'image d'un noyau ponctuel.\footnote{\textit{http://fr.wikipedia.org/wiki/Exp\'{e}rience\_de\_Rutherford}} + + + \def\eqRuth{% y[2]|y[3]|COU*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|COU*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}% @@ -154,7 +203,7 @@ r\sin\varphi\\ r^2 \dot{\varphi} \end{pmatrix} \] -Conservation du moment cin\'{e}tique demande que +Conservation du moment cin\'{e}tique demande que \[ \frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\vec{0} \] @@ -197,7 +246,7 @@ b(\vartheta)=\frac{k}{2E_0}\cot\left(\frac{\vartheta}{2}\right) \] \section{La distance minimale entre le particule $\alpha$ et le noyau d'or} -Le moment cin\'{e}tique en point $B$, qui a la distance minimale $r_B=r_\text{min}$ (l\`{a} $\vec{r}_B\perp \vec{v}_B$) est +Le moment cin\'{e}tique en point $B$, qui a la distance minimale $r_B=r_\text{min}$ (l\`{a} $\vec{r}_B\perp \vec{v}_B$) est \[ L_B=m_0r_Bv_B \] @@ -213,7 +262,7 @@ Avec $v_y(t_0)=0$, $v_y(t_B)=v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)$, $\varphi( \[ \left.\phantom{\frac{k}{bv_0}}m_0v_y\right|_0^{v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}=\left.\frac{k}{bv_0}\cos\varphi\right|_\pi^{\frac{\pi+\vartheta}{2}} \] -on re\c{c}oit +on re\c{c}oit \[ m_0v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)=\frac{k}{bv_0}\left[\cos\left(\frac{\pi+\vartheta}{2}\right)+1\right] \] @@ -232,7 +281,7 @@ Soit $b=0$, le particule $\alpha$ mouve directement vers le noyau d'or sur l'axe \[ \frac{1}{2}m_0v_0^2=\frac{k}{r_0}+\frac{1}{2}m_0\underbrace{v_C^2}_{=0} \] -\c{C}a donne +\c{C}a donne \[ r_C=\frac{2k}{m_0v_0^2} \] @@ -240,8 +289,53 @@ et avec la notation de l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{ \[ r_C=\frac{k}{E_0} \] + + +\section{L'enveloppe des trajectoires} + +\emph{La parabole est la courbe d'\'{e}quidistance entre un point (le foyer $F$) et une droite (la directrice $d$).} +\begin{center} +\begin{pspicture*}(-5,-4)(8,4) +\psaxes[ticks=none,labels=none,yAxis=false]{->}(0,0)(-4,-3.5)(7,3.5) +\psplot[linecolor=blue,plotpoints=500,polarplot]{-200}{200}{1 x cos sub 1 neg exp 2 mul} +\psdot(0,0) +\uput[135](0,0){$F$} +\psdot(-1,0) +\uput[135](-1,0){$C$} +\psline(-2,-3)(-2,3) +\uput[90](-2,3){Directrice $d$} +\psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](0,0)(0,-3) +\psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-1,0)(-1,-2.5) +\psline{<->}(0,-2.25)(-1,-2.25) +\uput[90](-0.5,-2.25){$\frac{p}{2}$} +\psline{<->}(-2,-2.25)(-1,-2.25) +\uput[90](-1.5,-2.25){$\frac{p}{2}$} +\psline{<->}(0,-2.75)(-2,-2.75) +\uput[-90](-1,-2.75){$p$} +\psline[linecolor=red](0,0)(1,2.8)(-2,2.8) +\rput(0.8,1.3){\textcolor{red}{$x$}} +\uput[-90](-0.7,2.8){\textcolor{red}{$x$}} +\psdot[linecolor=red](1,2.8) +\uput[135](1,2.8){\textcolor{red}{$M$}} +%\psgrid +\end{pspicture*} +\end{center} +Une parabole en nommation polaire : +\[ +r(\varphi)=\frac{p}{1-\cos\varphi} +\] +Le param\`{e}tre $p$ est la distance du foyer $F$ de la parabole \`{a} la directrice $d$. + +L'enveloppe des trajectoires hyperboles est une parabole avec $p=2r_C$ : +\[ +r(\varphi)=\frac{2r_C}{1-\cos\varphi} +\] + + \newpage + \section{Les trajectoires des particules $\alpha$} + Les param\`{e}tres suivants de l'exp\'{e}rience originale sont : \begin{align*} m_0&=6,64\cdot 10^{-27}\,\text{kg}\\ @@ -259,28 +353,29 @@ v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1} \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8) \uput[0](5,0){$x$} \uput[90](0,8){$y$} -\rput(3,1){Zone d'ombre} -\uput[135](-0.6,0){$C$} +\rput(3,0.3){Zone d'ombre} +%\uput[135](-0.6,0){$C$} \multido{\rA=-5+0.25}{41}{% \pstVerb{% /Pi 3.1415 def - /m0 6.64e-27 def +% /m0 6.64e-27 def + /m0 0.25 def /Z1 2 def /Z2 79 def /e0 1.6e-19 def /epsil 8.85e-12 def /COU1 Z1 Z2 mul e0 mul e0 mul 4 div Pi div epsil div m0 div def - /COU 7.5 def - /x0 6 neg def + /COU 5 m0 div def + /x0 200 neg def /y0 \rA\space def % /v0x 2.1e7 def - /v0x 5 def + /v0x 8 def /v0y 0 def /r1 COU 2 mul v0x 2 exp div neg def /facteur v0x dup mul COU div 4 div def }% \psequadiff[method=rk4, - plotpoints=1000, + plotpoints=2000, algebraic, whichabs=0, whichord=1, @@ -289,11 +384,8 @@ v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1} ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqRuth}% \listplot[linecolor=red]{XiYi aload pop} } -\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30,linewidth=0pt,opacity=0.5]{% -\psplot[linecolor=lightgray,plotpoints=500]{r1}{6}{x r1 sub sqrt 1.45 mul} -\psline(!6 6 r1 sub sqrt 1.45 mul)(!6 6 r1 sub sqrt 1.45 mul neg) -\psplot[linecolor=lightgray,plotpoints=500]{6}{r1}{x r1 sub sqrt 1.45 mul neg} -} +\psplot[linecolor=blue,plotpoints=500,polarplot,fillstyle=solid,fillcolor=blue!40,opacity=0.25]{200}{-200}{1 x cos sub 1 neg exp facteur div} + \pscircle*[linecolor=yellow](0,0){0.3} \psdot(!r1 0) \end{pspicture*}