X-Git-Url: https://melusine.eu.org/syracuse/G/git/?p=pst-eqdf.git;a=blobdiff_plain;f=gravitation%2Fpotentiel_coulombien_distiller.tex;h=c9121b717b9c8dba2a4d3a67d94943a73e99b140;hp=d6d7720be953dcd1ede3056c47b48c08d1420be4;hb=7e364648d4b4d1d2f61a18e927fd3ece40621d50;hpb=6934423fd5b1428d7f340ba7cb3952caa23cf783 diff --git a/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex index d6d7720..c9121b7 100644 --- a/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex +++ b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex @@ -1,19 +1,53 @@ \documentclass[fleqn]{article} \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry} \usepackage[latin1]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +\usepackage[]{kpfonts}% f\"{u}r Mathezeichen +\usepackage{libertine}% f\"{u}r rm und sf \usepackage[distiller]{pstricks} +\usepackage{pst-slpe} \usepackage{pstricks-add,pst-eqdf,pst-func,pst-solides3d} \usepackage{array,amsmath} +\usepackage{url} %%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\datRoot{C:/Users/J\"{u}rgen/Desktop/gravitation/} \begin{document} -\section{La d\'{e}couverte de la diffusion des particules $\alpha$ par le noyau} -\subsection{L'exp\'{e}riment d'Ernest Rutherford en 1909} +\section{La d\'{e}couverte de la diffusion des particules $\alpha$ par le noyau d'or} + +\subsection{L'exp\'{e}rience d'Ernest Rutherford en 1909} + +Rutherford bombarde avec des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et 2 protons) une mince feuille d'or. +\begin{center} +\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1) +\def\Kernradius{7.5pt} +\def\KernabstandHe{7.5pt} +\def\ColorProton{red} +\def\ColorNeutron{gray!20} + +\newpsstyle{proton}{linecolor={[rgb]{0.72 0 0}},slopebegin=red!50,sloperadius=0.15,linewidth=0.1pt,slopecenter=0.65 0.6,linestyle=solid} +\newpsstyle{neutron}{linecolor=gray!50,slopebegin=white,sloperadius=0.11,linewidth=0.1pt,slopecenter=0.65 0.6,linestyle=solid} + +\def\Proton{\psBall[style=proton](0,0){\ColorProton}{\Kernradius}} +\def\Neutron{\psBall[style=neutron](0,0){\ColorNeutron}{\Kernradius}} + +\def\AtomKernHe{% +\multido{\iAngle=40+180}{2}{% +\rput(\KernabstandHe;\iAngle){\Proton}% +}% +\multido{\iAngle=130+180}{2}{% +\rput(\KernabstandHe;\iAngle){\Neutron}% +}% +}% +\rput(0,0){\AtomKernHe} +\rput(1.5,0){$^{4}_{2}$He$^{2+}$} +\end{pspicture} +\end{center} + +\subsection{Montage exp\'{e}rimental} -Rutherford bombarde des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et 2 protons) au travers d'une feuille d'or. \begin{center} \begin{pspicture}(-6,-4)(6,5) \psset{lightsrc=10 -20 50,viewpoint=10 -10 10,Decran=20} @@ -38,7 +72,7 @@ Rutherford bombarde des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et linecolor=gray!50, opacity=0.7] \psPoint(0,7.5,1){emit} -\uput[u](emit){Emitteur des particules $\alpha$} +\uput[u](emit){\'{E}metteur de particules $\alpha$} \psPoint(45 sin 4.3 mul,45 cos 4.3 mul,0){fluor} \uput[r](fluor){\'{E}cran fluorescent} \psSolid[object=plan,definition=equation,args={[0 -1 0 0]},name=pro,action=none] @@ -46,18 +80,33 @@ Rutherford bombarde des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et \end{pspicture} \end{center} + +\textbf{Observation :} + +L'exp\'{e}rience est r\'{e}alis\'{e}e sous vide. De la mati\`{e}re radioactive \'{e}mettant des particules $\alpha$ (noyaux d'h\'{e}lium, He$^{2+}$) est plac\'{e}e dans une bo\^{\i}te et le faisceau de particule $\alpha$ est orient\'{e} en direction d'une fine feuille d'or (6000~{\AA}). Derri\`{e}re cette couche d'or, un \'{e}cran est plac\'{e} ; il est enrichi d'une substance chimique (sulfure de zinc: ZnS) permettant de visualiser, par un scintillement lumineux, la collision par les particules $\alpha$. + +Plusieurs minutes apr\`{e}s la disposition du mat\'{e}riel, diff\'{e}rents points lumineux apparaissent sur l'\'{e}cran et ces points ne sont pas dans l'orientation du faisceau, mais \'{e}tal\'{e}s sur de grands angles.\footnote{\textit{http://fr.wikipedia.org/wiki/Exp\'{e}rience\_de\_Rutherford}} + +\textbf{Interpretation :} + +La majorit\'{e} des particules $\alpha$ traversent la feuille d'or, sans \^{e}tre d\'{e}vi\'{e}es mais une partie de ces particules, de l'ordre de 0,01~\%, a \'{e}t\'{e} d\'{e}vi\'{e}e. De cette exp\'{e}rience, nous pouvons d\'{e}duire que la mati\`{e}re est une structure lacunaire. Elle est constitu\'{e}e essentiellement de vide c'est pour cela que la plupart des particules ne sont pas d\'{e}vi\'{e}es. Il existe de m\^{e}me des \^{\i}lots de charge positive qui repoussent les particules $\alpha$. L'ordre de grandeur de ces \^{\i}lots est tr\`{e}s petit par rapport \`{a} l'atome (de l'ordre de 100 000 fois plus petit). + +En fait, Rutherford a observ\'{e} la diffusion in\'{e}lastique en pensant que c'\'{e}tait la diffusion \'{e}lastique. Le taux de diffusion \'{e}lastique est supprim\'{e} par un facteur de forme qui prend en compte le mouvement du noyau comme un nuage positif (ou bien \emph{p\^{a}te}). En plus, la transmission de l'\'{e}nergie aux \emph{noyaux} li\'{e}s excite les atomes (diffusion in\'{e}lastique). Seulement la somme de tous les diff\'{e}rents \'{e}v\'{e}nements (avec participation des voisins donc) cr\'{e}e l'image d'un noyau ponctuel.\footnote{\textit{http://fr.wikipedia.org/wiki/Exp\'{e}rience\_de\_Rutherford}} + + + \def\eqRuth{% y[2]|y[3]|COU*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|COU*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}% -\section{Le potentiel coulombien -- donnant des trajectoires hyperboles} +\section{Le potentiel coulombien -- donnant des trajectoires hyperboliques} -Prenons un rep\`{e}re cart\'{e}sien. La masse $m_0$ d'un particule $\alpha$ a les coordonn\'{e}s $(x/y)$ et la vitesse $v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$. Le particule d'or est mis dans l'origine $O(0/0)$. Soit $r=\sqrt{x^2+y^2}$ la distance entre l'origine et la masse $m_0$. +Prenons un rep\`{e}re cart\'{e}sien. La masse $m_0$ d'une particule $\alpha$ a pour coordonn\'{e}s $(x/y)$ et vitesse $v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$. La particule d'or est plac\'{e}e dans l'origine $O(0/0)$. Soit $r=\sqrt{x^2+y^2}$ la distance entre l'origine et la masse $m_0$. -Pour l'en\'{e}rgie cin\'{e}tique on re\c{c}oit : +L'en\'{e}rgie cin\'{e}tique a pour expression : \[ T(\dot{x},\dot{y})=\frac{1}{2}m_0v^2=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2) \] -Le potentiel coulombien, ce qui est conservatif : +L'\'{e}nergie potentielle coulombienne : \[ U(x,y)=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+y^2}}=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad \text{dont} \quad k=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0} \] @@ -65,6 +114,7 @@ Le Lagrangien est : \[ L(x,y,\dot{x},\dot{y})=T-U=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}} \] +Les \'{e}quations de Lagrange s'\'{e}crivent : Pour $x,\,\dot{x}$ : \begin{align*} \frac{\partial L}{\partial x}&=k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}\\ @@ -75,23 +125,218 @@ Alors \[ m_0\ddot{x}-k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}=0 \] -Division par $m_0$ +En divisant par $m_0$ \[ \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{% \ddot{x}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3} } \] -Le Lagrangien est sym\'{e}trique en $x$ et $y$, alors : +Le Lagrangien \'{e}tant sym\'{e}trique en $x$ et $y$, alors : \[ \psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{% \ddot{y}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{y}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3} } \] +\section{La sym\'{e}trie des trajectoires} + +\begin{center} + +\begin{pspicture}(-5,-1)(5,4) +\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-0.5)(5,3) +\psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-5,1)(5,1) +\uput[0](5,0){$x$} +\uput[90](0,3){$y$} +\psline{<->}(-4.5,0)(-4.5,1) +\uput[180](-4.5,0.5){$b$} +\rput{20}(0,0){% +\psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-0.5,1)(5,1) +} +\psdot[dotsize=0.25cm,linecolor=yellow](0,0) +\psarc{->}(0,1){2}{0}{20} +\uput{1.25cm}[10](0,1){$\vartheta$} +\rput{10}(0,0){% +\pscurve[linecolor=blue](-5,2)(0,1.5)(5,2) +\psdot(0,1.5) +\rput(0,1.75){$B$} +} +%\psgrid +\psline[linecolor=red]{->}(0,0)(-0.3,1.5) +\uput[0](-0.15,0.75){\textcolor{red}{$\vec{r}_B=\vec{r}_{\text{min}}$}} +\psline{->}(0,0)(-3,1.2) +\uput[-90](-1.5,0.6){$\vec{r}$} +\psarc{->}(0,0){0.5}{0}{155} +\uput[45](0,0){$\varphi$} +\rput(7,2){\parbox{3cm}{Le vecteur $\vec{r}_B$ est l'axe de sym\'{e}trie de la hyperbole}} +\end{pspicture} +\end{center} +Prenons des coordonn\'{e}es polaires avec les transformations usuelles : +\[ +\vec{r}=\begin{pmatrix} + x\\y +\end{pmatrix} +=\begin{pmatrix} +r\cos\varphi\\ +r\sin\varphi +\end{pmatrix} +\] +\c{C}a donne pour la vitesse : +\[ +\vec{v}=\begin{pmatrix} +\dot{r}\cos\varphi-r\dot{\varphi}\sin\varphi\\ +\dot{r}\sin\varphi+r\dot{\varphi}\cos\varphi +\end{pmatrix} +\] +Le moment cin\'{e}tique : +\[ +\vec{L}=m_0\vec{r}\times \vec{v}=m_0\begin{pmatrix} +r\cos\varphi\\ +r\sin\varphi\\ +0 +\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} +\dot{r}\cos\varphi-r\dot{\varphi}\sin\varphi\\ +\dot{r}\sin\varphi+r\dot{\varphi}\cos\varphi\\ +0 +\end{pmatrix}=m_0\begin{pmatrix} +0\\ +0\\ +r^2 \dot{\varphi} +\end{pmatrix} +\] +Conservation du moment cin\'{e}tique demande que +\[ +\frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\vec{0} +\] +autrement dit : +\[ +r^2\dot{\varphi}=\text{cste}\quad \Rightarrow\quad \dot{\varphi}=\frac{1}{r^2}\cdot \text{cste} +\] +La transformation $\varphi=\arctan\frac{y}{x}$ se d\'{e}rive par rapport au temps : +\[ +\dot{\varphi}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\varphi=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\arctan\frac{y}{x}\right)=\frac{1}{r^2}(x\dot{y}-\dot{x}y) +\] +On peut d\'{e}duire que $x\dot{y}-\dot{x}y$ est constante pour chaque temps $t$, alors aussi pour le temps $t_0=0$ (les conditions initiales) : $x=x_0,\,y=b,\,\dot{x}=v_0,\,\dot{y}=0$ +\[ +\frac{1}{r^2}=-\frac{1}{bv_0}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} +\] +Prenons la composante $y$ de la force coulombienne : +\[ +F_y=m_0\frac{\text{d}v_y}{\text{d}t}=\frac{k}{r^2}\sin\varphi=-\frac{k}{bv_0}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin\varphi +\] +Int\'{e}grant l'\'{e}quation entre $t_0$ et $t_E$ (presque infini) +\[ +m_0\int\limits_{t_0}^{t_E}\frac{\text{d}v_y}{\text{d}t} \,\text{d}t=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{t_0}^{t_E}\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t}\sin\varphi\,\text{d}t +\] +Substitutions des limites de l'int\'{e}gral : +\[ +m_0\int\limits_{v_y(t_0)}^{v_y(t_E)}\,\text{d}v_y=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{\varphi(t_0)}^{\varphi(t_E)}\sin\varphi\,\text{d}\varphi +\] +Avec $v_y(t_0)=0$, $v_y(t_E)=v_0\sin\vartheta$, $\varphi(t_0)=\pi$ et $\varphi(t_E)=\vartheta$ +\[ +\left.\phantom{\frac{k}{bv_0}}m_0v_y\right|_0^{v_0\sin\vartheta}=\left.\frac{k}{bv_0}\cos\varphi\right|_\pi^\vartheta +\] +puis +\begin{align*} +m_0v_0\sin\vartheta&=\frac{k}{bv_0}(\cos\vartheta +1)\\ +b&=\frac{k}{m_0v_0^2}\frac{\cos\vartheta +1}{\sin\vartheta}=\frac{k}{m_0v_0^2}\cot\left(\frac{\vartheta}{2}\right) +\end{align*} +Nommons l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit : +\[ +b(\vartheta)=\frac{k}{2E_0}\cot\left(\frac{\vartheta}{2}\right) +\] +\section{La distance minimale entre le particule $\alpha$ et le noyau d'or} + +Le moment cin\'{e}tique en point $B$, qui a la distance minimale $r_B=r_\text{min}$ (l\`{a} $\vec{r}_B\perp \vec{v}_B$) est +\[ +L_B=m_0r_Bv_B +\] +Le moment cin\'{e}tique initiale est $L_0=m_0bv_0$. La conservation du moment cin\'{e}tique $L_B=L_0$ donne : +\[ +r_B=\frac{v_0}{v_B}b +\] +Prenons encore l'int\'{e}grale de la force coulombienne en direction $y$, mais seulement au point $B$ par le temps $t_B$ : +\[ +m_0\int\limits_{v_y(t_0)}^{v_y(t_B)}\,\text{d}v_y=-\frac{k}{bv_0}\int\limits_{\varphi(t_0)}^{\varphi(t_B)}\sin\varphi\,\text{d}\varphi +\] +Avec $v_y(t_0)=0$, $v_y(t_B)=v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)$, $\varphi(t_0)=\pi$ et $\varphi(t_B)=\frac{\pi+\vartheta}{2}$ +\[ +\left.\phantom{\frac{k}{bv_0}}m_0v_y\right|_0^{v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}=\left.\frac{k}{bv_0}\cos\varphi\right|_\pi^{\frac{\pi+\vartheta}{2}} +\] +on re\c{c}oit +\[ +m_0v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)=\frac{k}{bv_0}\left[\cos\left(\frac{\pi+\vartheta}{2}\right)+1\right] +\] +Avec la formule trigonom\'{e}trique $\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\vartheta}{2}\right)=-\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)$ : +\[ +v_B=\frac{k}{bm_0v_0}\frac{1-\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)} +\] +Substituant $r_B=\frac{v_0}{v_B}b$ et avec l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit : +\[ +r_\text{min}=r_B(\vartheta)=\frac{k}{2E_0}\frac{1+\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}=b(\vartheta)\frac{1+\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\vartheta}{2}\right)} +\] + +\section{Point de retour} + +Soit $b=0$, le particule $\alpha$ mouve directement vers le noyau d'or sur l'axe $x$ et \`{a} une distance $r_C$ du noyau d'or (point $C$) sa vitesse devient $v_C=0$. Prenons la conservation de l'\'{e}nergie : +\[ +\frac{1}{2}m_0v_0^2=\frac{k}{r_0}+\frac{1}{2}m_0\underbrace{v_C^2}_{=0} +\] +\c{C}a donne +\[ +r_C=\frac{2k}{m_0v_0^2} +\] +et avec la notation de l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{c}oit : +\[ +r_C=\frac{k}{E_0} +\] + + +\section{L'enveloppe des trajectoires} + +\emph{La parabole est la courbe d'\'{e}quidistance entre un point (le foyer $F$) et une droite (la directrice $d$).} +\begin{center} +\begin{pspicture*}(-5,-4)(8,4) +\psaxes[ticks=none,labels=none,yAxis=false]{->}(0,0)(-4,-3.5)(7,3.5) +\psplot[linecolor=blue,plotpoints=500,polarplot]{-200}{200}{1 x cos sub 1 neg exp 2 mul} +\psdot(0,0) +\uput[135](0,0){$F$} +\psdot(-1,0) +\uput[135](-1,0){$C$} +\psline(-2,-3)(-2,3) +\uput[90](-2,3){Directrice $d$} +\psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](0,0)(0,-3) +\psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-1,0)(-1,-2.5) +\psline{<->}(0,-2.25)(-1,-2.25) +\uput[90](-0.5,-2.25){$\frac{p}{2}$} +\psline{<->}(-2,-2.25)(-1,-2.25) +\uput[90](-1.5,-2.25){$\frac{p}{2}$} +\psline{<->}(0,-2.75)(-2,-2.75) +\uput[-90](-1,-2.75){$p$} +\psline[linecolor=red](0,0)(1,2.8)(-2,2.8) +\rput(0.8,1.3){\textcolor{red}{$x$}} +\uput[-90](-0.7,2.8){\textcolor{red}{$x$}} +\psdot[linecolor=red](1,2.8) +\uput[135](1,2.8){\textcolor{red}{$M$}} +%\psgrid +\end{pspicture*} +\end{center} +Une parabole en nommation polaire : +\[ +r(\varphi)=\frac{p}{1-\cos\varphi} +\] +Le param\`{e}tre $p$ est la distance du foyer $F$ de la parabole \`{a} la directrice $d$. + +L'enveloppe des trajectoires hyperboles est une parabole avec $p=2r_C$ : +\[ +r(\varphi)=\frac{2r_C}{1-\cos\varphi} +\] + + \newpage + \section{Les trajectoires des particules $\alpha$} -L'exp\'{e}riment original donne les param\`{e}tres suivants : +Les param\`{e}tres suivants de l'exp\'{e}rience originale sont : \begin{align*} m_0&=6,64\cdot 10^{-27}\,\text{kg}\\ e_0&=1,6\cdot10^{-19}\,\text{C}\\ @@ -105,29 +350,32 @@ v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1} \begin{pspicture*}(-6,-9)(6,9) %\psset{unit=2}% \psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-9)(6,9) -\pscircle*[linecolor=gray](0,0){0.3} \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8) \uput[0](5,0){$x$} \uput[90](0,8){$y$} +\rput(3,0.3){Zone d'ombre} +%\uput[135](-0.6,0){$C$} \multido{\rA=-5+0.25}{41}{% \pstVerb{% /Pi 3.1415 def - /m0 6.64e-27 def +% /m0 6.64e-27 def + /m0 0.25 def /Z1 2 def /Z2 79 def /e0 1.6e-19 def /epsil 8.85e-12 def /COU1 Z1 Z2 mul e0 mul e0 mul 4 div Pi div epsil div m0 div def - /COU 7.5 def - /x0 6 neg def + /COU 5 m0 div def + /x0 200 neg def /y0 \rA\space def % /v0x 2.1e7 def - /v0x 2 def + /v0x 8 def /v0y 0 def - /r1 COU 2 mul v0x 2 exp div def + /r1 COU 2 mul v0x 2 exp div neg def + /facteur v0x dup mul COU div 4 div def }% \psequadiff[method=rk4, - plotpoints=1000, + plotpoints=2000, algebraic, whichabs=0, whichord=1, @@ -136,7 +384,10 @@ v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1} ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqRuth}% \listplot[linecolor=red]{XiYi aload pop} } +\psplot[linecolor=blue,plotpoints=500,polarplot,fillstyle=solid,fillcolor=blue!40,opacity=0.25]{200}{-200}{1 x cos sub 1 neg exp facteur div} +\pscircle*[linecolor=yellow](0,0){0.3} +\psdot(!r1 0) \end{pspicture*} \end{center}