... potentiel coulombien -- l'expériment de RUTHERFORD ...

diff --git a/gravitation/LISTE.txt b/gravitation/LISTE.txt
index 5753434..4f8f8e3 100644 (file)
--- a/gravitation/LISTE.txt
+++ b/gravitation/LISTE.txt
@@ -6,6 +6,8 @@ gravitation_02.pdf
 == Exemples avec Adobe Distiller
 gravitation_01_distiller.tex
 gravitation_01_distiller.pdf
+potentiel_coulombien_distiller.tex
+potentiel_coulombien_distiller.pdf
 lancer_incline_distiller.tex
 lancer_incline_distiller.pdf
 == Animation du satellite

diff --git a/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.pdf b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.pdf
new file mode 100644 (file)
index 0000000..bac941c
Binary files /dev/null and b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.pdf differ

diff --git a/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex
new file mode 100644 (file)
index 0000000..d6d7720
--- /dev/null
+++ b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex
@@ -0,0 +1,144 @@
+\documentclass[fleqn]{article}
+\usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry}
+\usepackage[latin1]{inputenc}
+\usepackage[distiller]{pstricks}
+\usepackage{pstricks-add,pst-eqdf,pst-func,pst-solides3d}
+\usepackage{array,amsmath}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%
+\def\datRoot{C:/Users/J\"{u}rgen/Desktop/gravitation/}
+
+\begin{document}
+
+\section{La d\'{e}couverte de la diffusion des particules $\alpha$ par le noyau}
+\subsection{L'exp\'{e}riment d'Ernest Rutherford en 1909}
+
+Rutherford bombarde des particules $\alpha$ (noyau d'h\'{e}lium : 2 neutrons et 2 protons) au travers d'une feuille d'or.
+\begin{center}
+\begin{pspicture}(-6,-4)(6,5)
+\psset{lightsrc=10 -20 50,viewpoint=10 -10 10,Decran=20}
+\psSolid[object=cube,a=1,fillcolor=orange,incolor=red!20](0,7.5,0)
+\psLineIIID[linecolor=red](0,7,0)(0,0,0)
+\psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(45 sin 4 mul,45 cos 4 mul,0)
+\psPolygonIIID[fillcolor=yellow,fillstyle=solid,opacity=0.5](-1.2,0,-1.2)(1.2,0,-1.2)(1.2,0,1.2)(-1.2,0,1.2)
+\psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(140 sin 4 mul,140 cos 4 mul,0)
+\psLineIIID[linecolor=red](0,0,0)(160 sin 4 mul,160 cos 4 mul,0)
+\defFunction{G}(t)
+   {t sin 4 mul}
+   {t cos 4 mul}
+   {-0.5}
+\psSolid[object=cylindre,
+   range=10 350,
+   h=1,
+   function=G,
+   axe=0 0 1, %% valeur par d\'{e}faut
+   ngrid=4 108,
+   incolor=green!20,
+   fillcolor=green!20,
+   linecolor=gray!50,
+   opacity=0.7]
+\psPoint(0,7.5,1){emit}
+\uput[u](emit){Emitteur des particules $\alpha$}
+\psPoint(45 sin 4.3 mul,45 cos 4.3 mul,0){fluor}
+\uput[r](fluor){\'{E}cran fluorescent}
+\psSolid[object=plan,definition=equation,args={[0 -1 0 0]},name=pro,action=none]
+\psProjection[object=texte,text=Feuille d'or,plan=pro](0,0.7)
+\end{pspicture}
+\end{center}
+
+\def\eqRuth{%
+y[2]|y[3]|COU*y[0]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)|COU*y[1]/((sqrt(y[0]^2+y[1]^2))^3)}%
+
+\section{Le potentiel coulombien -- donnant des trajectoires hyperboles}
+
+Prenons un rep\`{e}re cart\'{e}sien. La masse $m_0$ d'un particule $\alpha$ a les coordonn\'{e}s $(x/y)$ et la vitesse $v=\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}$. Le particule d'or est mis dans l'origine $O(0/0)$. Soit $r=\sqrt{x^2+y^2}$ la distance entre l'origine et la masse $m_0$.
+
+Pour l'en\'{e}rgie cin\'{e}tique on re\c{c}oit :
+\[
+T(\dot{x},\dot{y})=\frac{1}{2}m_0v^2=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)
+\]
+Le potentiel coulombien, ce qui est conservatif :
+\[
+U(x,y)=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0 \sqrt{x^2+y^2}}=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad \text{dont} \quad k=\frac{Z_1Z_2e_0^2}{4\pi\epsilon_0}
+\]
+Le Lagrangien est :
+\[
+L(x,y,\dot{x},\dot{y})=T-U=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2}}
+\]
+Pour $x,\,\dot{x}$ :
+\begin{align*}
+\frac{\partial L}{\partial x}&=k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}\\
+\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\dot{x}\\
+\frac{\text{d}}{\text{d} t}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}&=m_0\ddot{x}
+\end{align*}
+Alors
+\[
+m_0\ddot{x}-k\frac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}=0
+\]
+Division par $m_0$
+\[
+\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
+\ddot{x}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{x}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
+}
+\]
+Le Lagrangien est sym\'{e}trique en $x$ et $y$, alors :
+\[
+\psframebox[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20]{%
+\ddot{y}=\dfrac{k}{m_0}\dfrac{y}{\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)^3}
+}
+\]
+
+\newpage
+\section{Les trajectoires des particules $\alpha$}
+
+L'exp\'{e}riment original donne les param\`{e}tres suivants :
+\begin{align*}
+m_0&=6,64\cdot 10^{-27}\,\text{kg}\\
+e_0&=1,6\cdot10^{-19}\,\text{C}\\
+\varepsilon_0&=8,85\cdot10^{-12}\,\frac{\text{A\,s}}{\text{kg\,m}^3}\\
+Z_1&=2\\
+Z_2&=79\\
+v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1}
+\end{align*}
+
+\begin{center}
+\begin{pspicture*}(-6,-9)(6,9)
+%\psset{unit=2}%
+\psgrid[subgriddiv=2,gridcolor=lightgray,subgridcolor=lightgray,gridlabels=8pt](-6,-9)(6,9)
+\pscircle*[linecolor=gray](0,0){0.3}
+\psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8)
+\uput[0](5,0){$x$}
+\uput[90](0,8){$y$}
+\multido{\rA=-5+0.25}{41}{%
+\pstVerb{%
+    /Pi 3.1415 def
+    /m0 6.64e-27 def
+    /Z1 2 def
+    /Z2 79 def
+    /e0 1.6e-19 def
+    /epsil 8.85e-12 def
+    /COU1 Z1 Z2 mul e0 mul e0 mul 4 div Pi div epsil div m0 div def
+    /COU 7.5 def
+    /x0 6 neg def
+    /y0 \rA\space def
+%   /v0x 2.1e7 def
+    /v0x 2 def
+    /v0y 0 def
+    /r1 COU 2 mul v0x 2 exp div def
+}%
+\psequadiff[method=rk4,
+            plotpoints=1000,
+            algebraic,
+            whichabs=0,
+            whichord=1,
+            tabname=XiYi
+%           ,saveData,filename=XiYi.dat
+]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqRuth}%
+\listplot[linecolor=red]{XiYi aload pop}
+}
+
+\end{pspicture*}
+\end{center}
+
+
+\end{document}