From: Juergen Gilg <gilg@acrotex.net>
Date: Thu, 28 Jun 2012 14:53:11 +0000 (+0200)
Subject: ... la parabole comme enveloppe est calculée!!!
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... la parabole comme enveloppe est calculée!!!

Hooray!!!
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index 3fd7abe..cdbc2af 100644
Binary files a/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.pdf and b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.pdf differ
diff --git a/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex
index 541a5b7..78c4fd1 100644
--- a/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex
+++ b/gravitation/potentiel_coulombien_distiller.tex
@@ -154,7 +154,7 @@ r\sin\varphi\\
 r^2 \dot{\varphi}
 \end{pmatrix}
 \]
-Conservation du moment cin\'{e}tique demande que 
+Conservation du moment cin\'{e}tique demande que
 \[
 \frac{\text{d}\vec{L}}{\text{d}t}=\vec{0}
 \]
@@ -197,7 +197,7 @@ b(\vartheta)=\frac{k}{2E_0}\cot\left(\frac{\vartheta}{2}\right)
 \]
 \section{La distance minimale entre le particule $\alpha$ et le noyau d'or}
 
-Le moment cin\'{e}tique en point $B$, qui a la distance minimale $r_B=r_\text{min}$ (l\`{a} $\vec{r}_B\perp \vec{v}_B$) est  
+Le moment cin\'{e}tique en point $B$, qui a la distance minimale $r_B=r_\text{min}$ (l\`{a} $\vec{r}_B\perp \vec{v}_B$) est
 \[
 L_B=m_0r_Bv_B
 \]
@@ -213,7 +213,7 @@ Avec $v_y(t_0)=0$, $v_y(t_B)=v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)$, $\varphi(
 \[
 \left.\phantom{\frac{k}{bv_0}}m_0v_y\right|_0^{v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)}=\left.\frac{k}{bv_0}\cos\varphi\right|_\pi^{\frac{\pi+\vartheta}{2}}
 \]
-on re\c{c}oit 
+on re\c{c}oit
 \[
 m_0v_B\sin\left(\frac{\vartheta}{2}\right)=\frac{k}{bv_0}\left[\cos\left(\frac{\pi+\vartheta}{2}\right)+1\right]
 \]
@@ -232,7 +232,7 @@ Soit $b=0$, le particule $\alpha$ mouve directement vers le noyau d'or sur l'axe
 \[
 \frac{1}{2}m_0v_0^2=\frac{k}{r_0}+\frac{1}{2}m_0\underbrace{v_C^2}_{=0}
 \]
-\c{C}a donne 
+\c{C}a donne
 \[
 r_C=\frac{2k}{m_0v_0^2}
 \]
@@ -240,8 +240,53 @@ et avec la notation de l'\'{e}nergie initiale $E_0=\frac{1}{2}m_0v_0^2$ on re\c{
 \[
 r_C=\frac{k}{E_0}
 \]
+
+
+\section{L'enveloppe des trajectoires}
+
+\emph{La parabole est la courbe d'\'{e}quidistance entre un point (le foyer $F$) et une droite (la directrice $d$).}
+\begin{center}
+\begin{pspicture*}(-5,-4)(8,4)
+\psaxes[ticks=none,labels=none,yAxis=false]{->}(0,0)(-4,-3.5)(7,3.5)
+\psplot[linecolor=blue,plotpoints=500,polarplot]{-200}{200}{1 x cos sub 1 neg exp 2 mul}
+\psdot(0,0)
+\uput[135](0,0){$F$}
+\psdot(-1,0)
+\uput[135](-1,0){$A$}
+\psline(-2,-3)(-2,3)
+\uput[90](-2,3){Directrice $d$}
+\psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](0,0)(0,-3)
+\psline[linestyle=dashed,linecolor=lightgray](-1,0)(-1,-2.5)
+\psline{<->}(0,-2.25)(-1,-2.25)
+\uput[90](-0.5,-2.25){$\frac{p}{2}$}
+\psline{<->}(-2,-2.25)(-1,-2.25)
+\uput[90](-1.5,-2.25){$\frac{p}{2}$}
+\psline{<->}(0,-2.75)(-2,-2.75)
+\uput[-90](-1,-2.75){$p$}
+\psline[linecolor=red](0,0)(1,2.8)(-2,2.8)
+\rput(0.8,1.3){\textcolor{red}{$x$}}
+\uput[-90](-0.7,2.8){\textcolor{red}{$x$}}
+\psdot[linecolor=red](1,2.8)
+\uput[135](1,2.8){\textcolor{red}{$M$}}
+%\psgrid
+\end{pspicture*}
+\end{center}
+Une parabole en nommation polaire :
+\[
+r(\varphi)=\frac{p}{1-\cos\varphi}
+\]
+Le param\`{e}tre $p$ est la distance du foyer $F$ de la parabole \`{a} la directrice $d$.
+
+L'enveloppe des trajectoires hyperboles est une parabole avec $p=2r_C$ :
+\[
+r(\varphi)=\frac{2r_C}{1-\cos\varphi}
+\]
+
+
 \newpage
+
 \section{Les trajectoires des particules $\alpha$}
+
 Les param\`{e}tres suivants de l'exp\'{e}rience originale sont :
 \begin{align*}
 m_0&=6,64\cdot 10^{-27}\,\text{kg}\\
@@ -259,28 +304,29 @@ v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1}
 \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-5,-8)(5,8)
 \uput[0](5,0){$x$}
 \uput[90](0,8){$y$}
-\rput(3,1){Zone d'ombre}
-\uput[135](-0.6,0){$C$}
+\rput(3,0.3){Zone d'ombre}
+%\uput[135](-0.6,0){$C$}
 \multido{\rA=-5+0.25}{41}{%
 \pstVerb{%
     /Pi 3.1415 def
-    /m0 6.64e-27 def
+%    /m0 6.64e-27 def
+    /m0 0.25 def
     /Z1 2 def
     /Z2 79 def
     /e0 1.6e-19 def
     /epsil 8.85e-12 def
     /COU1 Z1 Z2 mul e0 mul e0 mul 4 div Pi div epsil div m0 div def
-    /COU 7.5 def
-    /x0 6 neg def
+    /COU 5 m0 div def
+    /x0 200 neg def
     /y0 \rA\space def
 %   /v0x 2.1e7 def
-    /v0x 5 def
+    /v0x 8 def
     /v0y 0 def
     /r1 COU 2 mul v0x 2 exp div neg def
     /facteur v0x dup mul COU div 4 div def
 }%
 \psequadiff[method=rk4,
-            plotpoints=1000,
+            plotpoints=2000,
             algebraic,
             whichabs=0,
             whichord=1,
@@ -289,11 +335,8 @@ v_{0x}&=2,1\cdot 10^7\,\text{m\,s}^{-1}
 ]{0}{43}{x0 y0 v0x v0y}{\eqRuth}%
 \listplot[linecolor=red]{XiYi aload pop}
 }
-\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30,linewidth=0pt,opacity=0.5]{%
-\psplot[linecolor=lightgray,plotpoints=500]{r1}{6}{x r1 sub sqrt 1.45 mul}
-\psline(!6 6 r1 sub sqrt 1.45 mul)(!6 6 r1 sub sqrt 1.45 mul neg)
-\psplot[linecolor=lightgray,plotpoints=500]{6}{r1}{x r1 sub sqrt 1.45 mul neg}
-}
+\psplot[linecolor=blue,plotpoints=500,polarplot,fillstyle=solid,fillcolor=blue!40,opacity=0.25]{200}{-200}{1 x cos sub 1 neg exp facteur div}
+
 \pscircle*[linecolor=yellow](0,0){0.3}
 \psdot(!r1 0)
 \end{pspicture*}