\section {Solide anneau}

Cette partie traite des anneaux cylindriques. Dans la commande
\verb+\psSolid+, cet objet est tracé avec l'option :
\verb+[object=anneau]+, dont il faut fixer 3 paramètres :
\begin{itemize}
  \item le rayon intérieur \verb+[r=1.5]+ (valeur par défaut) ;
  \item le rayon extérieur \verb+[R=4]+ (valeur par défaut)
  \item la hauteur \verb+[h=6]+ (valeur par défaut).
\end{itemize}

En option, l'argument \verb+ngrid+ permet de définir le nombre de
sections utilisées pour faire une rotation complète de
$360$~degrés. Sa valeur par défaut est $24$.

La section de l'anneau dont la forme \texttt{rectangulaire} a été
choisie par défaut, peut être redessinée par l'utilisateur.
Nous allons détailler différents exemples de section.

\subsection{Commande pré-définie~: l'anneau à section rectangulaire.}

Cette section est définie dans le plan $Oyz$, elle est paramétrée par le
triplet $(r, R, h)$. Les valeurs du rayon
extérieur $R$, du rayon intérieur $r$ et de la hauteur $h$ sont
passées dans les options de \verb+\psSolid+. Par défaut, on a donc un
anneau à section rectangulaire variable, et la définition se fait au
moment de la transmission des valeurs pour $(r, R, h)$ dans les
options de \verb+\psSolid+.

Si l'utilisateur redéfinit la macro \TeX{} \verb+\Section+ avec des
valeurs numériques plutôt que les paramètres $r$, $R$ et $h$, alors
l'anneau n'est plus variable et il n'est plus besoin de transmettre
des valeurs pour $r$, $R$, et $h$ dans les options de \verb+\psSolid+.

%\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{lstlisting}[basicstyle=\footnotesize\ttfamily]
\def\Section{% y z
  Rad1 height 2 div neg  % S1 (R,-h/2) sommet 1
  Rad1 height 2 div      % S2 (r,h/2)  sommet 2
  rad2 height 2 div      % S3 (r,h/2)  sommet 3
  rad2 height 2 div neg }% S4 (r,-h/2) sommet 4
\end{lstlisting}

\begin{LTXexample}[width=5cm]
\psset{unit=0.5}\begin{pspicture}(-5,-3)(5,3)
\pstVerb{/Rad1 4 def /rad2 2 def /height 2 def}%
\def\RectangularSection{%
   \pspolygon[fillstyle=vlines,linewidth=2\pslinewidth]%
   (!Rad1 height 2 div neg)(!Rad1 height 2 div)%
   (!rad2 height 2 div)(!rad2 height 2 div neg)}
\rput(0,0){\RectangularSection}\rput(-6,0){\RectangularSection}
\psline(-2,1)(2,1)\psline(-2,-1)(2,-1)
\psline[linestyle=dashed,dash=1 0.2 0.05 0.2]{->}(0,-3)(0,3)
\psline[linestyle=dashed]{->}(-4,0)(4.2,0)
\uput[u](0,3){$z$}\uput[r](4.1,0){$y$}\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,1.5)(2,1.5)\uput[u](1,1.5){$r$}
\psline{->}(0,2.5)(4,2.5)\uput[u](2,2.5){$R$}
\psline{<->}(5,-1)(5,1)\uput[r](5,0){$h$}
\uput[dr](!Rad1 height 2 div neg){1}\uput[ur](!Rad1 height 2 div ){2}
\uput[ul](!rad2 height 2 div ){3}   \uput[dl](!rad2 height 2 div neg){4}
\end{pspicture}
\end{LTXexample}


\begin{center}
\begingroup
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psset{viewpoint=50 20 40 rtp2xyz,Decran=25,lightsrc=10 20 20}
\psSolid[object=anneau,fillcolor=cyan,h=3,R=8,r=6,ngrid=4,RotX=10](0,0,0)
\end{pspicture}
\qquad
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psset{viewpoint=50 -20 -40 rtp2xyz,Decran=25,lightsrc=-10 -20 -20}
\psSolid[object=anneau,fillcolor=yellow,h=3,R=8,r=6,RotX=90,RotZ=10](0,0,0)
\end{pspicture}
\endgroup
\end{center}

\begin{lstlisting}[basicstyle=\footnotesize\ttfamily]
\psSolid[object=anneau,fillcolor=cyan,h=3,R=8,r=6,ngrid=4,RotX=10](0,0,0)
\psSolid[object=anneau,fillcolor=yellow,h=3,R=8,r=6,RotX=90,RotZ=10](0,0,0)
\end{lstlisting}

\subsection{Un simple anneau à section triangulaire}

Ci-dessous un anneau très simple, à section triangulaire fixe. La
section est définie par la donnée des $3$~points $(6, -2)$, (10, 0)
et $(6, 2)$ dans l'option \texttt{section} de \verb+\psSolid+.

\begin{LTXexample}[width=5cm]
\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(5,4)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psset{viewpoint=50 20 40 rtp2xyz,Decran=25,
   lightsrc=10 20 20}
\psSolid[object=anneau,section=6 -2 10 0 6 2,
   fillcolor=cyan,RotX=10]
\end{pspicture}
\end{LTXexample}


\subsection{Un anneau variable à section triangulaire}

\begin{lstlisting}[basicstyle=\footnotesize\ttfamily]
\newcommand\SectionTriangulaire{% y <----z---->
  Rad1 height 2 div neg            % S1 (R,-h/2)
  Rad1 rad2 add 2 div height 2 div % S2 ((R+r)/2,h/2)
  rad2 height 2 div neg }          % S3 (r,-h/2)
\end{lstlisting}

\def\TriangularSection{%
  \pspolygon[fillstyle=vlines,linewidth=1.5pt](!Rad1 height 2 div neg)%
    (!Rad1 rad2 add 2 div height 2 div)(!rad2 height 2 div neg)}
\begin{LTXexample}[width=5cm]
\psset{unit=0.5cm}\pstVerb{/Rad1 4 def /rad2 2 def /height 2 def }%
\begin{pspicture}(-5,-3)(5,3)
\rput(0,0){\TriangularSection}\rput(-6,0){\TriangularSection}
\psline(-3,1)(3,1)\psline(-4,-1)(4,-1)
\psline[linestyle=dashed,dash=1 0.2 0.05 0.2]{->}(0,-3)(0,3)
\uput[u](0,3){$z$}\uput[r](4.1,0){$y$}\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,1.5)(2,1.5)\uput[u](1,1.5){$r$}
\psline{->}(0,2.5)(4,2.5)\uput[u](2,2.5){$R$}
\psline{<->}(5,-1)(5,1)\uput[r](5,0){$h$}
\uput[dr](! Rad1 height 2 div neg){1}
\uput[u](! Rad1 rad2 add 2 div height 2 div){2}
\uput[dl](! rad2 height 2 div neg){3}\psset{linestyle=dashed}
\psline(2,-1)(2,1.5)\psline(4,-1)(4,2.5)\psline{->}(-4,0)(4.2,0)
\end{pspicture}
\end{LTXexample}


\begin{center}
\psset{unit=0.5cm}
\def\SectionTriangulaire{
 R h 2 div neg         % sommet 1
 R r add 2 div h 2 div % sommet 2
 r h 2 div neg }       % sommet 3
\begin{pspicture}(-5,-6)(5,6)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psset{viewpoint=50 20 40 rtp2xyz,Decran=25,lightsrc=10 20 20}
\psSolid[object=anneau,section=\SectionTriangulaire,fillcolor=cyan,h=3,R=8,r=4,RotX=10]%
\end{pspicture}
\qquad
\begin{pspicture}(-5,-6)(5,5)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psset{viewpoint=50 -20 -40 rtp2xyz,Decran=25,lightsrc=-10 -20 -20}
\psSolid[object=anneau,section=\SectionTriangulaire,fillcolor=yellow,h=3,R=8,r=4,RotX=-90,RotZ=10]%
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{lstlisting}[basicstyle=\footnotesize\ttfamily]
\psSolid[object=anneau,section=\SectionTriangulaire,
    fillcolor=cyan,h=3,R=8,r=4,RotX=10](0,0,0)
\psSolid[object=anneau,section=\SectionTriangulaire,
    fillcolor=yellow,h=3,R=8,r=4,RotX=-90,RotZ=10](0,0,0)
\end{lstlisting}

\clearpage
\subsection[L'anneau à section ``pneu'']%
  {L'anneau à section ``pneu'' : anneau cylindrique à arêtes chanfreinées.}


\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\begin{lstlisting}[basicstyle=\footnotesize\ttfamily]
\def\SectionPneu{
  /MM { 90 4 div} bind def
  /Scos {MM cos 2 MM mul cos add 3 MM mul cos add} bind def
  /Z0 {h 4 div} bind def
  /c {Z0 Scos div} bind def
  /Z1 {Z0 c MM cos mul add} bind def
  /Z2 {Z1 c MM 2 mul cos mul add} bind def
  /R1 {R c MM sin mul sub} bind def
  /R2 {R1 c MM 2 mul sin mul sub} bind def
  /R3 {R2 c MM 3 mul sin mul sub} bind def
  R h 4 div neg % 1
  R h 4 div % 2
  R1 Z1 % 3
  R2 Z2 % 4
  R3 h 2 div % 5
  r h 2 div  % 6
  r h 2 div neg  % 7
  R3 h 2 div neg % 8
  R2 Z2 neg % 9
  R1 Z1 neg % 10
}
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,6)
\pstVerb{/Rad1 4 def /rad2 2 def /height 2 def
  /MM {90 4 div} bind def
  /Scos {MM cos 2 MM mul cos add 3 MM mul cos add} bind def
  /Z0 {height 4 div} bind def
  /c {Z0 Scos div} bind def
  /Z1 {Z0 c MM cos mul add} bind def
  /Z2 {Z1 c MM 2 mul cos mul add} bind def
  /R1 {Rad1 c MM sin mul sub} bind def
  /R2 {R1 c MM 2 mul sin mul sub} bind def
  /R3 {R2 c MM 3 mul sin mul sub} bind def}%
\pnode(!Rad1 height 4 div neg){S1}\pnode(!Rad1 height 4 div){S2}
\pnode(!R1 Z1){S3}                \pnode(!R2 Z2){S4}
\pnode(!R3 height 2 div){S5}      \pnode(!rad2 height 2 div){S6}
\pnode(!rad2 height 2 div neg){S7}\pnode(!R3 height 2 div neg){S8}
\pnode(!R2 Z2 neg){S9}            \pnode(!R1 Z1 neg){S10}
\newcommand\pneuSection{\pspolygon[fillstyle=vlines,linewidth=2\pslinewidth]%
 (S1)(S2)(S3)(S4)(S5)(S6)(S7)(S8)(S9)(S10)}
\rput(0,0){\pneuSection}\rput{180}{\pspolygon[fillstyle=vlines,linewidth=2\pslinewidth]%
  (!Rad1 height 4 div neg)(!Rad1 height 4 div)(!R1 Z1)(!R2 Z2)%
  (!R3 height 2 div)(!rad2 height 2 div)(!rad2 height 2 div neg)(!R3 height 2 div neg)(!R2 Z2 neg)(!R1 Z1 neg)}
\psline(-3,1)(3,1)\psline(-3,-1)(3,-1)
\psline[linestyle=dashed,dash=1 0.2 0.05 0.2]{->}(0,-3)(0,3)
\uput[u](0,3){$z$}\uput[r](4.1,0){$y$}\uput[dl](0,0){$O$}
\psline[linestyle=dashed](2,-1)(2,1.5)\psline[linestyle=dashed](4,-1)(4,2.5)
\psline[linestyle=dashed]{->}(-4,0)(4.2,0)\psline{->}(0,1.5)(2,1.5)\uput[u](1,1.5){$r$}
\psline{->}(0,2.5)(4,2.5)\uput[u](2,2.5){$R$}\psline{<->}(5,-1)(5,1)\uput[r](5,0){$h$}
\uput[r](S1){1}\uput[r](S2){2}\uput[u](S3){3}\uput[u](S4){4}
\uput[u](S5){5}\uput[ul](S6){6}\uput[dl](S7){7}\uput[dl](S8){8}
\uput[dr](S9){9}\uput[r](S10){10}
\psdots[linecolor=red](S1)(S2)(S3)(S4)(S5)(S6)(S7)(S8)(S9)(S10)
\end{pspicture}
\end{minipage}

\begin{center}
\def\SectionPneu{
   /MM { 90 4 div } def
   /Scos { MM cos 2 MM mul cos add 3 MM mul cos add } def
   /Z0 { h 4 div } def
   /c {Z0 Scos div} def
   /Z1 { Z0 c MM cos mul add } def
   /Z2 { Z1 c MM 2 mul cos mul add } def
   /R1 { R c MM sin mul sub } def
   /R2 { R1 c MM 2 mul sin mul sub } def
   /R3 { R2 c MM 3 mul sin mul sub } def
   R h 4 div neg % 1
   R h 4 div % 2
   R1 Z1 % 3
   R2 Z2 % 4
   R3 h 2 div % 5
   r h 2 div  % 6
   r h 2 div neg  % 7
   R3 h 2 div neg % 8
   R2 Z2 neg % 9
   R1 Z1 neg % 10
}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,4)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psset{viewpoint=50 20 40 rtp2xyz,Decran=25,lightsrc=10 20 20}
\psSolid[object=anneau,section=\SectionPneu,fillcolor=cyan,h=3,R=8,r=4,RotX=10]%
\end{pspicture}
\qquad
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,4)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psset{viewpoint=50 -20 -40 rtp2xyz,Decran=25,lightsrc=-10 -20 -20}
\psSolid[object=anneau,section=\SectionPneu,fillcolor=yellow,h=3,R=8,r=4,RotX=-90,RotZ=10]%
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{verbatim}
\psSolid[object=anneau,section=\SectionPneu,fillcolor=cyan,h=3,R=8,r=4,RotX=10](0,0,0)
\psSolid[object=anneau,section=\SectionPneu,fillcolor=yellow,h=3,R=8,r=4,RotX=-90,RotZ=10]
\end{verbatim}



\endinput