\section {L'objet \texttt{plan}}

\subsection {Présentation~: type \textsl{plan\/} et type \textsl {solid} }

Le statut de l'objet \verb+plan+ est tout à fait particulier dans
\verb+pst-solides3d+. En effet, tous les objets vus jusqu'à présents
ont une structure commune~: ils sont de type \textsl{solid}. Autrement
dit ils sont entièrement définis par une liste de sommets, de faces et
de couleurs. 
Or pour de nombreuses applications, il est nécessaire d'avoir des
renseignements complémentaires pour un plan~: une origine, une
orientation, une base de référence, etc... 

Pour pouvoir répondre à ces exigences, il a été créé une autre
structure de données, dite de type \textsl {plan}, qui permet de
stocker toutes les informations nécessaires. Toutes les
manipulations de plan vont transiter par un tel objet. Ce n'est qu'au
moment de la représentation que l'objet de type \textsl {plan\/} sera
converti en un objet de type \textsl {solid\/} représentable par la
macro \verb+\psSolid+.

Un objet de type \textsl{plan\/} permet donc de décrire une portion de
plan affine orienté. Pour une définition complète d'un tel objet, il
nous faut une origine 
$I$, une base vectorielle $(\vec u, \vec v)$ de ce
plan, une étendue sur l'axe $(I, \vec u)$ et une étendue sur l'axe
$(I, \vec v)$.
De plus, on pourra spécifier le maillage souhaité, autrement dit le
nombre de facettes utilisées pour représenter cette portion de plan
affine lors de la transformation en objet de type \textsl{solid}.

Ce type d'objet peut être utilisé pour définir des sections
planes, et il est obligatoire pour définir un plan de projection. 

Son utilisation est transparente pour l'utilisateur PSTricks. La seule
chose à savoir, c'est que lorsque l'on manipule un
\verb+[object=plan]+ avec la macro \verb+\psSolid+, on manipule en
fait deux objets en même temps~: l'un de type \textsl{plan\/} et
l'autre de type \textsl{solid}. Et lorsque l'on demande une sauvegarde
de cet objet (voir le chapitre <<\textsl {Utilisation avancée}>>) sous
le nom $monplan$ par exemple avec l'option \verb+[name=monplan]+, ce
sont en fait $2$ sauvegardes qui sont effectuées. La première, sous le
nom $monplan$, est l'objet de type \textsl{plan}, et la deuxième, sous
le nom $monplan\_s$, est l'objet de type \textsl {solid}.


\subsection {Définir un plan orienté}

Pour créer un tel objet, on utilise \Cadre{[object=plan]} qui
utilise plusieurs arguments~:

\begin{itemize}

\item \Cadre{[definition=...]} qui permet de spécifier la méthode
  choisie pour définir le plan

\item \Cadre{[args=...]} qui permet de spécifier les arguments
  nécessaires à la méthode choisie précédemment

\item \Cadre{[bases=$xmin$ $xmax$ $ymin$ $ymax$]} qui permet de
  spécifier l'étendue sur chacun des axes.

\item \Cadre{[phi]} (valeur $0$ par défaut) qui spécifie l'angle de
  rotation (en degrés) du plan autour de sa normale après sa
  définition première. 


\end{itemize}

\subsection {Options spécifiques}

L'objet \verb+plan+ possède plusieurs options spécifiques d'affichage~:
\Cadre{[planmarks]} qui projette l'impression des axes et graduations,
\Cadre{[plangrid]} qui projette l'impression d'un quadrillage,
\Cadre{[showbase]} qui projette l'impression des vecteurs de base du
plan, et
\Cadre{[showBase]} (noter la majuscule) qui projette l'impression des
vecteurs de base du plan et qui dessine le vecteur normal associé.

Ces options sont valables quelque soit le mode de définition choisi
pour le plan.

\begin{center}
\psset{unit=0.4}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(6,4)
\psframe(-5,-4)(5,3)
\psSolid[object=plan,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 0]},
   fillcolor=Aquamarine,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
]
\end{pspicture*}
%%
\psset{unit=1}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(6,4)
\psframe(-5,-4)(5,3)
\psSolid[object=plan,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 0]},
   fillcolor=Aquamarine,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   planmarks,
]
\end{pspicture*}
%%
\psset{unit=1}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(6,4)
\psframe(-5,-4)(5,3)
\psSolid[object=plan,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 0]},
   fillcolor=Aquamarine,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   plangrid,
]
\end{pspicture*}
%%
\psset{unit=1}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(6,4)
\psframe(-5,-4)(5,3)
\psSolid[object=plan,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 0]},
   fillcolor=Aquamarine,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   showbase,
]
\end{pspicture*}
%%
\psset{unit=1}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(6,4)
\psframe(-5,-4)(5,3)
\psSolid[object=plan,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 0]},
   fillcolor=Aquamarine,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   showBase,
]
\end{pspicture*}
%%
\psset{unit=1}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(6,4)
\psframe(-5,-4)(5,3)
\psSolid[object=plan,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 0]},
   fillcolor=Aquamarine,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   plangrid,
   showBase,
   action=none
]
\end{pspicture*}
\end{center}

Ces options peuvent être utilisées, même si le plan n'est pas
représenté.

\subsection {Définir un plan à partir d'une équation cartésienne}

On appelle \textsl{équation cartésienne} d'un plan affine une équation
du type
\[
   ax+by+cz+d=0
\]
La donnée des coefficients $a$, $b$, $c$ et $d$ permet de définir un
plan affine.

\subsubsection {Utilisation avec l'orientation et l'origine par défaut}

Pour définir un plan affine, on peut utiliser
\Cadre{[definition=equation]}, et \Cadre{[args=\{[$a$ $b$ $c$
$d$]\}]}. L'orientation et l'origine du plan affine sont alors choisis
par le package.

Par exemple, le quadruplet $(a, b, c, d) = (0, 0, 1, 0)$ désigne le
plan d'équation $z=0$~:

\begin{multicols}{2}
%\begin{center}
\psset{unit=0.65}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(5,4)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psSolid[object=plan,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 0]},
   fillcolor=Aquamarine,
   planmarks,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   showbase,
]
\axesIIID(0,0,0)(2.2,3.2,4)
\end{pspicture*}
%\end{center}

\columnbreak

\begin{verbatim}
         \psSolid[object=plan,
            definition=equation,
            args={[0 0 1 0]},
            fillcolor=Aquamarine,
            planmarks,
            base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
            showbase,
         ]
\end{verbatim}
\end{multicols}

Le paramètre \Cadre{[base=xmin xmax ymin ymax]} permet de spécifier
l'étendue sur chacun des axes.

\subsubsection {Spécification de l'origine}

Le paramètre \Cadre{[origine=$x_0$ $y_0$ $z_0$]} permet de spécifier
l'origine du plan affine. Si le point $(x_0, y_0, z_0)$ proposé ne
vérifie pas l'équation du plan, alors on ne tient pas compte de cette
origine.

Par exemple, voici une représentation du plan d'équation $z=0$ pour
laquelle on a spécifié $(1, 2, 0)$ comme origine~:

\begin{multicols}{2}
\psset{unit=0.65}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-4,-5.5)(6,4)
\psframe(-4,-5.5)(6,4)
\psSolid[object=plan,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 0]},
   fillcolor=Aquamarine,
   origine=1 2 0,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   planmarks,
]
\axesIIID(0,0,0)(2.2,3.2,4)
\end{pspicture*}

\columnbreak

\begin{verbatim}
            \psSolid[object=plan,
               definition=equation,
               args={[0 0 1 0]},
               origine=1 2 0,
               fillcolor=Aquamarine,
               base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
               planmarks,
            ]
\end{verbatim}
\end{multicols}



\subsubsection {Spécification de l'orientation}

Si l'orientation proposée ne convient pas, on peut spécifier un angle
de rotation $\alpha $ (en degrés) autour de la normale avec la syntaxe
\Cadre{[args=\{[a b c d] $\alpha $\}]}.

\begin{multicols}{2}

\psset{unit=0.65}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(5,4)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psSolid[object=plan,
   definition=equation,
   args={[0 0 1 0] 90},
   fillcolor=Aquamarine,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   planmarks,
]
\axesIIID(0,0,0)(3.2,2.2,4)
\end{pspicture*}

\columnbreak
\begin{verbatim}
            \psSolid[object=plan,
               definition=equation,
               args={[0 0 1 0] 90},
               fillcolor=Aquamarine,
               base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
               planmarks,
            ]
\end{verbatim}
\end{multicols}

\subsection {Définir un plan à partir d'un vecteur normal et d'un point}

Il est possible de définir un plan affine à partir d'un point et d'un
vecteur normal. On utilise pour cela le paramètre
\Cadre{[definition=normalpoint]}.

On peut ensuite préciser ou non l'orientation.

\subsubsection {Méthode 1~: Sans préciser l'orientation}

On utilise \Cadre{[args=\{$x_0$ $y_0$ $z_0$ [$a$ $b$ $c$]\}]} où $(x_0,
y_0, z_0)$ est l'origine du plan affine, et $(a, b, c)$ un vecteur normal à
ce plan.

\begin{multicols}{2}

\psset{unit=0.65}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(5,4)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psSolid[object=plan,
   definition=normalpoint,
   args={0 0 0 [0 0 1]},
   fillcolor=Aquamarine,
   planmarks,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   showbase,
]
\axesIIID(0,0,0)(2.2,3.2,4)
\end{pspicture*}

\columnbreak

\begin{verbatim}
            \psSolid[object=plan,
               definition=normalpoint,
               args={0 0 0 [0 0 1]},
               fillcolor=Aquamarine,
               planmarks,
               base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
               showbase,
            ]
\end{verbatim}
\end{multicols}

\subsubsection {Méthode 2~: préciser un angle de rotation}

On utilise \Cadre{[args=\{$x_0$ $y_0$ $z_0$ [$a$ $b$ $c$ $\alpha
$]\}]} où $(x_0, y_0, z_0)$ est l'origine du plan affine, $(a, b,
c)$ un vecteur normal à ce plan, et $\alpha $ l'angle de rotation (en
degrés) autour de l'axe normal.

%\newpage

\begin{multicols}{2}

\psset{unit=0.65}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10, fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(5,4)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psSolid[object=plan,
   definition=normalpoint,
   args={0 0 0 [0 0 1 45]},
   fillcolor=Aquamarine,
   planmarks,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   showbase,
]
\axesIIID(0,0,0)(2.2,3.2,4)
\end{pspicture*}

\columnbreak

\begin{verbatim}
            \psSolid[object=plan,
               definition=normalpoint,
               args={0 0 0 [0 0 1 45]},
               fillcolor=Aquamarine,
               planmarks,
               base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
               showbase,
            ]
\end{verbatim}
\end{multicols}

\subsubsection {Méthode 3~: préciser le premier vecteur de la base}

On utilise \Cadre{[args=\{$x_0$ $y_0$ $z_0$ [$u_x$ $u_y$ $u_z$ $a$ $b$
$c$ ]\}]} où $(x_0, y_0, z_0)$ est l'origine du plan affine,
$(a, b, c)$ un vecteur normal à ce plan, et $(u_x, u_y, u_z)$ le
premier vecteur d'une base de ce plan.

\begin{multicols}{2}

\psset{unit=0.65}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(5,4)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psSolid[object=plan,
   definition=normalpoint,
   args={0 0 0 [1 1 0 0 0 1]},
   fillcolor=Aquamarine,
   planmarks,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   showbase,
]
\axesIIID(0,0,0)(2.2,3.2,4)
\end{pspicture*}

\columnbreak

\begin{verbatim}
            \psSolid[object=plan,
               definition=normalpoint,
               args={0 0 0 [1 1 0 0 0 1]},
               fillcolor=Aquamarine,
               planmarks,
               base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
               showbase,
            ]
\end{verbatim}
\end{multicols}

\subsubsection {Méthode 4~: préciser le premier vecteur de la base et
  un angle de rotation}

On utilise \Cadre{[args=\{$x_0$ $y_0$ $z_0$ [$u_x$ $u_y$ $u_z$ $a$ $b$
$c$ $\alpha $]\}]} où $(x_0, y_0, z_0)$ est l'origine du plan affine,
$(a, b, c)$ un vecteur normal à ce plan, et $(u_x, u_y, u_z)$ le
premier vecteur d'une base de ce plan, auquel on fait subir une
rotation de $\alpha $ (en degrés) autour de l'axe normal.

\begin{multicols}{2}

\psset{unit=0.65}
\psset{viewpoint=10 18 60 rtp2xyz,Decran=10,fontsize=10}
\begin{pspicture*}(-5,-4)(5,4)
\psframe(-5,-4)(5,4)
\psSolid[object=plan,
   definition=normalpoint,
   args={0 0 0 [1 1 0 0 0 1 45]},
   fillcolor=Aquamarine,
   planmarks,
   base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
   showbase,
]
\axesIIID(0,0,0)(2.2,3.2,4)
\end{pspicture*}

\columnbreak

\begin{verbatim}
            \psSolid[object=plan,
               definition=normalpoint,
               args={0 0 0 [1 1 0 0 0 1 45]},
               fillcolor=Aquamarine,
               planmarks,
               base=-2.2 2.2 -3.2 3.2,
               showbase,
            ]
\end{verbatim}
\end{multicols}

\subsection {Définition d'un plan à partir d'une face de solide}

On utilise \Cadre{[definition=solidface]} avec les arguments
\Cadre{[args=$name$ $i$]} où $name$ est un nom désignant le solide et
$i$ est l'indice de la face considérée. On prend pour origine le
centre de la face considérée.

Dans l'exemple ci-dessous, on définit le plan par la face d'indice $0$
du cube nommé $A$.

\begin{multicols}{2}

\begin{pspicture*}(-4,-2)(4,2.3)
\psframe(-4,-2)(4,2.3)
\psset{viewpoint=10 18 20 rtp2xyz,Decran=10}
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=cube,a=2,fontsize=20,numfaces=all,name=A]
\psSolid[object=plan,
   definition=solidface,
   args=A 0,
   showBase,
]
\composeSolid
\end{pspicture*}

\columnbreak

\begin{verbatim}
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=cube,a=2,fontsize=20,numfaces=all,
   name=A]
\psSolid[object=plan,
   definition=solidface,
   args=A 0,
   showBase,
]
\end{verbatim}
\end{multicols}

Si l'utilisateur précise les coordonnées $(x, y, z)$ dans la macro
\verb+\psSolid[...](+$x,y,z$\verb+)+, alors le plan construit est
parallèle à la face d'indice $i$ du solide $name$, et il passe par le
point $(x, y, z)$ qui est pris pour origine.

\begin{multicols}{2}

\begin{pspicture*}(-4,-2)(4,3.5)
\psframe(-4,-2)(4,3.5)
\psset{viewpoint=10 18 25 rtp2xyz,Decran=10}
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=cube,a=2,fontsize=20,numfaces=all,name=A]
\psSolid[object=plan,
   definition=solidface,
   args=A 0,
   showBase,
](0,0,2)
\composeSolid
\end{pspicture*}

\columnbreak

\begin{verbatim}
\psset{solidmemory}
\psSolid[object=cube,a=2,fontsize=20,numfaces=all,
   name=A]
\psSolid[object=plan,
   definition=solidface,
   args=A 0,
   showBase,
](0,0,2)
\end{verbatim}
\end{multicols}


%% Le paramètre \verb+[base=+$x{min}$ ${x{max}}$ ${y{min}}$
%% ${y{max}}$\verb+]+ permet de spécifier la taille de la grille.
%%
%% \begin{multicols}{2}
%% \psset{unit=1}
%% \psset{viewpoint=50 50 20 rtp2xyz,Decran=30}
%% \begin{pspicture}(-4,-2)(3,3)
%% \psframe(-4,-2)(3,3)
%% \psSolid[object=grille,
%%    base=0 4 -3 3,
%%    linecolor=gray](0,0,0)
%% \axesIIID(0,0,0)(4,3,3)
%% \end{pspicture}
%%
%% \columnbreak
%%
%% \begin{verbatim}
%% \psSolid[object=grille,
%%    base=0 4 -3 3,
%%    linecolor=gray](0,0,0)
%% \end{verbatim}
%% \end{multicols}
%%
%% Le paramètre \verb+[ngrid=+$n_1$ $n_2$\verb+]+ permet de spécifier le
%% maillage de la grille. Si $n_2$ est absent, on considère que $n_2 =
%% n_1$.
%%
%% Si $n_1$ est entier, il représente le nombre de mailles sur l'axe
%% $Ox$. S'il est réel, il représente le pas de maillage sur l'axe
%% $Ox$. Par exemple, le nombre codé \verb+1+ est entier, alors que celui
%% codé \verb+1.+ est réel (noter le point).
%%
%%
%% \begin{multicols}{2}
%% \psset{unit=1}
%% \psset{viewpoint=50 50 20 rtp2xyz,Decran=30}
%% \begin{pspicture}(-4,-2)(3,3)
%% \psframe(-4,-2)(3,3)
%% \psSolid[object=grille,
%%    ngrid=1,
%%    base=0 4 -3 3,
%%    linecolor=gray](0,0,0)
%% \axesIIID(0,0,0)(3,3,3)
%% \end{pspicture}
%%
%% \columnbreak
%%
%% \begin{verbatim}
%% \psSolid[object=grille,
%%    ngrid=1,
%%    base=0 4 -3 3,
%%    linecolor=gray](0,0,0)
%% \end{verbatim}
%% \end{multicols}
%%
%% \begin{multicols}{2}
%% \psset{unit=1}
%% \psset{viewpoint=50 50 20 rtp2xyz,Decran=30}
%% \begin{pspicture}(-4,-2)(3,3)
%% \psframe(-4,-2)(3,3)
%% \psSolid[object=grille,
%%    ngrid=1. 1,
%%    base=0 4 -3 3,
%%    linecolor=gray](0,0,0)
%% \axesIIID(0,0,0)(3,3,3)
%% \end{pspicture}
%%
%% \columnbreak
%%
%% \begin{verbatim}
%% \psSolid[object=grille,
%%    ngrid=1. 1,
%%    base=0 4 -3 3,
%%    linecolor=gray](0,0,0)
%% \end{verbatim}
%% \end{multicols}
%%
%%