\documentclass[12pt]{article} \usepackage[a4paper,margin=2cm]{geometry} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[garamond]{mathdesign} \usepackage{pst-anamorphosis-add} \usepackage{pst-solides3d} \usepackage[colorlinks=true]{hyperref} \def\Cadre{{% \multido{\n=-2.0+0.5}{9}{% \pnode(! \n\space 0){A} \pnode(! \n\space 5){B} \psline(A)(B) \pslineA(A)(B) } \multido{\N=0+0.5}{11}{% \pnode(!-2 \N){A} \pnode(!2 \N){B} \pslineA(A)(B) \psline(A)(B) }}} \makeatletter %% === Echelle pour l'image ----------------------------------------------- \define@key[psset]{pst-solides3d}{unitPicture}{\edef\psk@solides@unitPicture{#1 }} \psset{unitPicture=28.45} %% === nombre de divisions des segments ----------------------------------------------- \define@key[psset]{pst-solides3d}{divisions}{\edef\psk@solides@divisions{#1 }} \psset{divisions=10} %% \def\psImage{\pst@object{psImage}} \def\psImage@i{\@ifnextchar({\psImage@ii}{\psImage@ii(0,0)}} \def\psImage@ii(#1,#2){{% \ifPst@solidmemory\use@par\else\begin@ClosedObj\fi% \addto@pscode{ %% === adapté de Jean-Michel Sarlat dans pst-anamorphosis ---------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% === Capture de commandes de systemdict -------------------------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% /LINETO { systemdict /lineto get exec } def /MOVETO { systemdict /moveto get exec } def /CURVETO { systemdict /curveto get exec } def /CLOSEPATH { systemdict /closepath get exec } def /RLINETO { systemdict /rlineto get exec } def %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% === Transformation des commandes de construction des path(s) ---------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% /tx@projectionDict 20 dict def tx@projectionDict begin /moveto { /s@y ED /s@x ED /c@x s@x def /c@y s@y def s@x unit_image div s@y unit_image div 2 copy sinPhi mul neg exch cosPhi mul add % x' 3 1 roll cosPhi mul exch sinPhi mul add % y' /Ypoint exch def /Xpoint exch def projectionimage MOVETO } bind def /lineto { /c@yt ED /c@xt ED /dx c@xt c@x sub ND div def /dy c@yt c@y sub ND div def 1 1 ND {dup dx mul c@x add exch dy mul c@y add %/Ypoint exch unit_image div def %/Xpoint exch unit_image div def unit_image div exch unit_image div exch 2 copy sinPhi mul neg exch cosPhi mul add % x' 3 1 roll cosPhi mul exch sinPhi mul add % y' /Ypoint exch def /Xpoint exch def projectionimage LINETO} for /c@x c@xt def /c@y c@yt def } bind def /closepath { s@x s@y lineto CLOSEPATH } bind def /curveto { /c@yt ED /c@xt ED /c@yb ED /c@xb ED /c@ya ED /c@xa ED 1 1 NDC { NDC div /s ED 1 s sub /t ED t c@x mul 3 s c@xa mul mul add t mul 3 s s c@xb mul mul mul add t mul s 3 exp c@xt mul add t c@y mul 3 s c@ya mul mul add t mul 3 s s c@yb mul mul mul add t mul s 3 exp c@yt mul add unit_image div exch unit_image div exch 2 copy sinPhi mul neg exch cosPhi mul add % x' 3 1 roll cosPhi mul exch sinPhi mul add % y' /Ypoint exch def /Xpoint exch def projectionimage LINETO } for /c@x c@xt def /c@y c@yt def } bind def end %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fin %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% /Atan { /atan load stopped { pop pop 0 } if } def save \tx@optionssolides SolidesDict begin /cm {\pst@number\psunit mul } bind def /cm_1 {\pst@number\psunit div } bind def /unit_image \psk@solides@unitPicture def /fichier (\pst@solides@file) def /Normale {\pst@solides@normal\space unitaire3d } bind def /ND \psk@solides@divisions def /NDC {\psk@solides@divisions 3 mul} bind def /origin {\pst@solides@origin\space } def /cosPhi {phi cos} bind def /sinPhi {phi sin} bind def Normale /nz exch def /ny exch def /nx exch def /Phi {90 nz arccos sub} bind def /Theta {ny nx Atan} bind def /sinT {Theta sin} bind def /cosT {Theta cos} bind def /sinP {Phi sin} bind def /cosP {Phi cos} bind def origin /zO' exch def /yO' exch def /xO' exch def /projectionimage { % projection sur le plan Xpoint sinT mul neg Ypoint sinP cosT mul mul sub xO' add % x' Xpoint cosT mul Ypoint sinP mul sinT mul sub yO' add % y' Ypoint cosP mul zO' add % z' 3dto2d % } def projectionsifacevisible not origin Normale planvisible? or { /showpage {} def gsave tx@projectionDict begin #1 sinT mul neg #2 sinP cosT mul mul sub #1 cosT mul #2 sinP mul sinT mul sub #2 cosP mul 3dto2d translate fichier run end grestore } if end restore }% \ifPst@solidmemory\else\end@ClosedObj\fi}\ignorespaces% } \makeatother \parindent=0pt \title{Anamorphose cylindrique : l'image dans le cylindre est vue verticalement} \date{6 avril 2013} \begin{document} \maketitle C'est un complément au package `\textsf{pst-anamorphosis}'\footnote{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/G/pst-anamorphosis/doc/}} qui traite déjà de l'anamorphose cylindrique dans le cas où l'image vue est dans un plan horizontal. Les calculs sont identiques à ceux de l'anamorphose 3D\footnote{\url{http://manuel.luque.perso.neuf.fr/Anamorphoses/anamorphose3D/}}. Si l'on suppose que l'image doit être vue dans le plan $Oyz$ il suffit donc de faire $x_P=0$. Objet et image obéissent aux lois de la réflexion de l'optique géométrique : \begin{itemize} \item rayon incident et rayon réfléchi appartiennent à un même plan ; \item rayon incident et rayon réfléchi sont symétriques par rapport à la normale au miroir au point d'incidence. \end{itemize} L'image non déformée (celle qui est vue dans le miroir) est placée, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se réfléchit sur le miroir et après réflexion parvient à l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire mathématiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir.\par L'observateur est suffisamment éloigné du miroir pour pouvoir être considéré comme ponctuel. \section{Les calculs} Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Traçons un droite $PV$ et déterminons le point d'intersection $I$ avec le cylindre : c'est le point d'incidence.\par $V(x_V,y_V,z_V)$ et $P(x_P,y_P,z_P)$\par L'équation paramétrique de la droite $(PV)$ s'écrit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$: $$\left\lbrace \begin{array}{lcl} x_V-x_I&=&\rho x_V\\ y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\ z_V-z_I&=&\rho(z_V-z_P) \end{array} \right. \Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_I&=&x_V(1-\rho)\\ y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\ z_I&=&z_V(1-\rho)+\rho z_P \end{array} \right. $$ Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonnées vérifient la relation : $$x_I^2+y_I^2=R$$ Après développement, on obtient l'équation du second degré en $\rho$~: $$a\rho^2+2b'\rho+c=0$$ avec : $$\left\lbrace \begin{array}{l} a=x_V^2+(y_V+y_P)^2\\ b'=x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\ c=x_V^2+y_V^2-R^2 \end{array} \right. $$ La résolution de cette équation nous donne les solutions classiques: $$\left\lbrace \begin{array}{l} \rho'=\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\ \rho''=\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a} \end{array} \right. \qquad \Delta'=b'^2-ac $$ On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $\rho$. \par $IV$ représente le rayon réfléchi par le miroir. Le rayon incident est défini par la droite symétrique de $IV$ par rapport à la normale au miroir en $I$. Je cherche le symétrique de $V$, nommé $V'$ par rapport à cette normale $IN$. Ce point $V'$ remplit deux conditions : \begin{enumerate} \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$ \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$ \end{enumerate} La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$\\ La première condition se traduit par : $$\left\lbrace \begin{array}{l} x_V-x_I+x_{V'}-x_I=kx_I\\ y_V-x_I+y_{V'}-y_I=ky_I\\ z_V-z_I+z_{V'}-z_I=0 \end{array} \right. \Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{l} x_{V'}=kx_I+2x_I-x_V\\ y_{V'}=ky_I+2y_I-y_V\\ z_{V'}=2z_I-z_V \end{array} \right. $$ La deuxième par : $$(x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0$$ En remplaçant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tirés de la première condition dans la deuxième : $$k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0$$ $$kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)$$ $$k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I)$$ Les coordonnées de $V'$ s'en déduisent : $$ \left\lbrace \begin{array}{l} x_{V'}=(k+2)x_I-x_V\\ y_{V'}=(k+2)y_I-y_V\\ z_{V'}=z_V(1-2\rho) \end{array} \right. $$ Il reste à trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=0$.\par \'Equation paramétrique de $IV'$, M étant un point courant : $\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$ $$ \left\lbrace \begin{array}{l} x_{V}'-x=\alpha(x_{V'}-x_I)\\ y_{V'}-y=\alpha(y_{V'}-y_I)\\ z_{V'}-z=\alpha(z_{V'}-z_I) \end{array} \right. $$ $z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{V'}}{z_{V'}-z_I}$ soit $$\alpha=\dfrac{(1-2\rho)z_V+\rho z_P}{-\rho z_V+\rho z_P}$$ En remplaçant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonnées du point de l'objet anamorphique. $$ \left\lbrace \begin{array}{l} x=x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\ y=y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I) \end{array} \right. $$ Cette série de calculs doit être appliquée à tous les points de l'image « normale » afin d'obtenir l'objet anamorphique (déformé) dont le miroir « redressera » la forme. On notera que la position en hauteur de l'observateur $z_V$ intervient dans le coefficient $\alpha$. %\begin{verbatim} % /Zp exch s@@y mul t@@y add def /Xp exch s@@x mul t@@x add def % /a Xv Xp sub dup mul Yv dup mul add def % /b Xv Xp mul Xv dup mul sub Yv dup mul sub def % /c R neg Xv dup mul add Yv dup mul add def % /d b dup mul a c mul sub 0.5 exp def % /rho1 b neg d sub a div def % /rho2 b neg d add a div def % rho2 rho1 ge {/rho rho1 def}{/rho rho2 def} ifelse % /xi Xv dup Xp sub rho mul sub def % /yi Yv 1 rho sub mul def % /zi Zv dup Zp sub rho mul sub def % /alpha 2 zi mul Zv sub zi Zv sub div def % /k 2 Xv xi mul Yv yi mul add mul R div def % /xv k xi mul Xv sub def % /yv k yi mul Yv sub def % xv dup xi sub alpha mul sub % yv dup yi sub alpha mul sub %\end{verbatim} \begin{center} \begin{pspicture}(-8,-8)(10,6) \psframe(-8,-8)(10,6) \psset{viewpoint=100 -20 40 rtp2xyz,Decran=60,lightsrc=viewpoint} \psSolid[object=plan, definition=normalpoint, args={0 0 0 [1 0 0 90]}, action=draw,linecolor=red, % planmarks, % showBase, base=-11 11 0 6] \psSolid[object=plan, definition=normalpoint, args={0 0 0 [0 0 1 -90]}, action=draw,linecolor=red, % planmarks, % showBase, base=-11 11 -8 13] \psset{solidmemory} \psImage[file=sylvestreA4.eps,normal=0 0 1,origine=0 0 0,divisions=2,unitPicture=23](0,7) \defFunction[algebraic]{Cylindre}(t){2*cos(t)}{2*sin(t)}{0} \psSolid[object=cylindre,function=Cylindre,%unit=0.035, range=1.57 4.71, axe=0 0 1,h=6, ngrid=1 42,grid, incolor=yellow!50, linecolor=blue!20, fillcolor=blue!20](0,0,0) \multido{\n=-2.0+0.5}{9}{\psLineIIID(0,\n,0)(0,\n,5)} \multido{\nz=0.0+0.5}{11}{\psLineIIID(0,-2,\nz)(0,2,\nz)} \psImage[file=sylvestre.eps,normal=1 0 0,origine=0 0 0,divisions=5](0,2.5) \defFunction[algebraic]{Cylindre}(t){2*cos(t)}{2*sin(t)}{0} \psSolid[object=cylindre,function=Cylindre, range=-1.57 1.57,opacity=0.2, axe=0 0 1,h=6, ngrid=1 42,grid, incolor=yellow!50, linecolor=blue!20, fillcolor=blue!20](0,0,0) \psSolid[object=plan, definition=equation, args={[0 0 1 -6]}, action=none, name=monplan] \psProjection[object=cercle,plan=monplan, args=0 0 2, range=0 360] \psSolid[object=plan, definition=equation, args={[0 0 1 0]}, action=none, name=monPlan] \psProjection[object=cercle,plan=monPlan, linestyle=dotted, args=0 0 2, range=0 360] \psLineIIID[linecolor=red](0,-11,6)(0,11,6)%} \axesIIID(0,0,0)(14,14,7) \end{pspicture} \end{center} \section{Le nouveau paramètre} Pour garder la compatibilité avec le package `\textsf{pst-anamorphosis}', une nouvelle option a été rajoutée \colorbox{yellow}{\texttt{type=cylindricalV}}. \begin{center} \psscalebox{0.75}{ \begin{pspicture}(-11,-12)(11,7) \pscircle{2} \rput(0,6){\parbox{4cm}{Cette image est en \\ réalité perpendiculaire au plan de la figure}} \psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2} \Cadre \psanamorphosis[drawanamorphosis=true](0,2.5){sylvestre.eps} \end{pspicture}} \end{center} \begin{verbatim} \begin{pspicture}(-11,-12)(11,7) \pscircle{2} \rput(0,6){\parbox{4cm}{Cette image est en \\réalité perpendiculaire au plan de la figure}} \psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2} \Cadre \psanamorphosis[drawanamorphosis=true](0,2.5){sylvestre.eps} \end{pspicture} \end{verbatim} Une autre option a encore été rajoutée permettant de placer ou non l'image vue dans le cylindre : \colorbox{yellow}{\texttt{image}}. \newpage \section{Un autre exemple} La carte est extraite du jeu proposé par \url{http://sourceforge.net/projects/vector-cards/?source=dlp}. \begin{center} \psscalebox{0.66}{ \begin{pspicture}(-10,-12)(10,9) \pscircle[doubleline=true]{2} \psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2} \psanamorphosis[drawanamorphosis=true,scale=0.6 0.6](0,0){KH_2.eps} {% \psset{linestyle=dotted,linecolor=red} \multido{\n=-2+0.5}{9}{% \pnode(! \n\space 0){A} \pnode(! \n\space 5.5){B} \psline(A)(B) \pslineA(A)(B) } \multido{\N=0.0+0.5}{12}{% \pnode(!-2 \N){A} \pnode(!2 \N){B} \pslineA(A)(B) \psline(A)(B) }} \rput(0,6.5){\parbox{4cm}{Cette carte est en \\réalité perpendiculaire au plan de la figure}} \end{pspicture}} \end{center} \begin{verbatim} \begin{pspicture}(-10,-12)(10,12) \pscircle[doubleline=true]{2} \psset{Yv=-15,Xv=0,Zv=15,type=cylindricalV,Rmirror=2} \psanamorphosis[drawanamorphosis=true,scale=0.6 0.6](0,0){KH_2.eps} {% \psset{linestyle=dotted,linecolor=red} \multido{\n=-2+0.5}{9}{% \pnode(! \n\space 0){A} \pnode(! \n\space 5.5){B} \psline(A)(B) \pslineA(A)(B) } \multido{\N=0.0+0.5}{12}{% \pnode(!-2 \N){A} \pnode(!2 \N){B} \pslineA(A)(B) \psline(A)(B) }} \end{pspicture} \end{verbatim} \end{document}