\listfiles \documentclass[a4paper,fleqn]{article} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[frenchb]{babel} %\usepackage{mathptmx} \usepackage[charter]{mathdesign} \usepackage[margin=2.5cm]{geometry} \usepackage{multicol} \usepackage{listings} \usepackage[svgnames]{xcolor} \usepackage{showexpl} \usepackage[nomessages]{fp} \usepackage{xspace} \usepackage{pst-plot,pst-solides3d,pst-anamorphosis-add,pst-3d} \usepackage{pst-grad} \usepackage[absolute,notitlepage]{pst-abspos} \usepackage{url} \psset{path=C:/Dokumente und Einstellungen/Besitzer/Desktop/bergen/bergen/} %\def\epsRoot{C:/Dokumente und Einstellungen/Besitzer/Desktop/bergen/bergen/} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \definecolor{syracuseGRIS}{HTML}{C1C1C1} \definecolor{syracuseVERT}{HTML}{029235} \definecolor{sepia}{rgb}{1,0.8,0.8} \definecolor{grisclair}{rgb}{0.8,0.8,0.8} \definecolor{BleuCiel}{cmyk}{0.2,0,0,0} \definecolor{OrangePale}{cmyk}{0,0.2,0.4,0} \lstset{% language=[LaTeX]TeX,% float=hbp,% basicstyle=\ttfamily\small, % texcsstyle=*\color{blue},% identifierstyle=\color{black}, % keywordstyle=\color{syracuseVERT}, % otherkeywords={$, \{, \}, \[, \]}, stringstyle=\color{syracuseVERT}, % commentstyle=\color{syracuseVERT}, % backgroundcolor=\color{syracuseGRIS!30},% columns=flexible, % tabsize=4, % frame=single, % %frame=shadowbox, % %rulesepcolor=\color{syracuseGRIS!30},% extendedchars=true, % showspaces=false, % showstringspaces=false, % numbers=left, numbersep=0.8em, numberstyle=\tiny, % breaklines=true, % breakautoindent=true,% captionpos=b,% xleftmargin=1em,% sensitive=true,% morekeywords=[6]{pspicture,center},% keywordstyle=[6]\color{FireBrick},% %morekeywords=[7]{(,)},% %keywordstyle=[7]\color{syracuseVERT} } \renewcommand{\lstlistingname}{Source} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$} \newcommand\cs[1]{\texttt{\char`\\#1}} \newcommand\file[1]{\texttt{#1}} \parindent0pt \parskip5pt \def\syracuseTitle{Les anamorphoses : pr\'{e}sentation th\'{e}orique} %\def\syracuseGraphic{eiffel2} \begin{document} %% === BEGIN == Page de garde ================================================= \thispagestyle{empty} \pstPutAbs(0,-29.7){% \begin{pspicture}(0,0)(21,29.7) \pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseVERT,fillcolor=syracuseVERT](0,0)(10.5,14.85)(21,0) \pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseGRIS,fillcolor=syracuseGRIS](0,0)(21,29.7)(0,29.7) \pspolygon[fillstyle=solid,linecolor=syracuseGRIS!50,fillcolor=syracuseGRIS!50](21,0)(10.5,14.85)(21,29.7) \end{pspicture} } \pstPutAbs(2.5,-3.75){% \includegraphics[scale=1]{pst-anamorphosis} } \pstPutAbs(2.5,-5.25){% \LARGE \textbf{\syracuseTitle} } \pstPutAbs(2.5,-13.5){% \begin{pspicture}(0,0)(12,12) \rput(4,4){\includegraphics[height=8cm]{Eiffel}} %\rput(4,4){\includegraphics[height=8cm]{\syracuseGraphic}} %\psframe(0,0)(8,8) \end{pspicture} } \pstPutAbs(12.5,-15){% \parbox{0.4\textwidth}{\Large\raggedleft {\LARGE\textbf{Contributeurs}}\\[0.2cm] J\"{u}rgen \textsc{Gilg}\\ Manuel \textsc{Luque}\\ Jean-Michel \textsc{Sarlat} }} \vfill \begin{center} \textcolor{white}{\textbf{\today}}\\[0.3cm] \textcolor{white}{\url{http://melusine.eu.org/syracuse/G/pst-anamorphosis/}}\\ \includegraphics[scale=0.4]{logo_syracuse} \end{center} %% == END == Page de garde ==================================================== \newpage \section{L'anamorphose cylindrique} On place \`{a} l'int\'{e}rieur du cylindre l'image telle qu'elle doit \^{e}tre vue par un observateur regardant dans le miroir cylindrique (on peut la placer \`{a} l'ext\'{e}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours le cylindre, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'{e}form\'{e}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'{e}elles. Objet et image ob\'{e}issent aux lois de la r\'{e}flexion de l'optique g\'{e}om\'{e}trique : \begin{itemize} \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi appartiennent \`{a} un m\^{e}me plan ; \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi sont sym\'{e}triques par rapport \`{a} la normale au miroir au point d'incidence. \end{itemize} \input{fig3d-anacyl.tex} L'image non d\'{e}form\'{e}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'{e}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'{e}fl\'{e}chit sur le miroir et apr\`{e}s r\'{e}flexion parvient \`{a} l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire math\'{e}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir. L'observateur est suffisamment \'{e}loign\'{e} du miroir pour pouvoir \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel. Soit $P$ un point de l'image(not\'{e} $A'$ dans le sch\'{e}ma ci-apr\`{e}s), $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Tra\c{c}ons un droite $(PV)$ et d\'{e}terminons le point d'intersection $I$ avec le cylindre : c'est le point d'incidence. \[ V(x_V,y_V,z_V)\quad\text{ et }\quad P(x_P,y_P,0) \] L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\rho\overrightarrow{PV}$: \begin{equation}\label{eq:paracyl} \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_V-x_I&=&\rho(x_V-x_P)\\ y_V-y_I&=&\rho(y_V-y_P)\\ z_V-z_I&=&\rho(z_V-0) \end{array} \right. \Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_I&=&x_V(1-\rho)+\rho x_P\\ y_I&=&y_V(1-\rho)+\rho y_P\\ z_I&=&z_V(1-\rho) \end{array} \right. \end{equation} \begin{center} \begin{pspicture}(-4,-0.5)(6.5,8) \pnode(6,7){V} \uput[0](V){$V$} \pnode(3,6.5){S} \pnode(-3,6.5){S'} \pnode(3,2.8){I} \pnode(1,0){P} \pnode(5,0){P'} \uput[45](P'){$P'$} \pnode(3,0){G} \pnode(-3,0){G'} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S)(S') \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(6.5,7.5) \uput[0](6.5,0){$x$} \uput[90](0,7.5){$z$} \uput[135](P){$P$} \uput[-45](G){$G$} \uput[135](I){$I$} \psline(V)(P) \psline(S)(G) \rput(I){% \psline[linestyle=dashed](3;0)% \uput[0](3;0){$N$}% \psarc[doubleline=true](0,0){1}{-90}{-54.46}% \psarc[doubleline=true](0,0){1}{54.46}{90} \uput[72](1.2;72){$\varepsilon$}% \uput[-72](1.2;-72){$\varepsilon$}% \rput{-90}(0,0){\psframe(0.3,0.3)} } \psline[linecolor=red](V)(I)(P') \pcline[nodesepB=1.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(P')(I) \pcline[nodesepB=2.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V) \qdisk(I){2pt} \qdisk(P){2pt} \qdisk(V){2pt} \qdisk(P'){2pt} \qdisk(G){2pt} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.2)(1,-0.2) \uput[-90](0.5,-0.2){$r_P$} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(0,2.8)(3,2.8) \uput[-90](1.5,2.8){$r_I=R$} \end{pspicture} \end{center} Le point $I$ appartenant au cylindre, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation : \begin{equation}\label{eq:cylindre} x_I^2+y_I^2=R^2 \end{equation} (\ref{eq:paracyl}) en (\ref{eq:cylindre}) et apr\`{e}s d\'{e}veloppement, on obtient l'\'{e}quation du second degr\'{e} en $\rho$: \begin{gather*} \left(x_V(1-\rho)+\rho x_P\right)^2+\left(y_V(1-\rho)+\rho y_P\right)^2=R^2\\ x_V^2(1-2\rho+\rho^2)+2(1-\rho)\rho x_Vx_P+\rho^2 x_P^2+y_V^2(1-2\rho+\rho^2)+2(1-\rho)\rho y_Vy_P+\rho^2 y_P^2=R^2\\ (x_V^2+y_V^2-2x_Vx_P-2y_Vy_P)\rho^2+2(-x_V^2+x_Vx_P-y_V^2+y_Vy_P)\rho+x_V^2+y_V^2=R^2 \end{gather*} Comparaison avec \[ a\rho^2+2b'\rho+c=0 \] donne : \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} a&=&(x_V-x_P)^2+(y_V-y_P)^2\\ 2b'&=&x_Vx_P+y_Vy_P-x_V^2-y_V^2\\ c&=&x_V^2+y_V^2-R^2 \end{array} \right. \] La r\'{e}solution de cette \'{e}quation nous donne les solutions classiques: \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} \rho'&=&\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\[0.5cm] \rho''&=&\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a} \end{array} \right. \qquad \Delta'=b'^2-ac \] On retiendra la plus petite valeur positive des deux, que par la suite j'appelle $\rho$. $(IV)$ repr\'{e}sente le rayon r\'{e}fl\'{e}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'{e}fini par la droite sym\'{e}trique de $(IV)$ par rapport \`{a} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'{e}trique de $V$, nomm\'{e} $V'$ par rapport \`{a} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions : \begin{enumerate} \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$ \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$ \end{enumerate} La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,0)$ La premi\`{e}re condition se traduit par : \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_V-x_I+x_{V'}-x_I&=&kx_I\\ y_V-x_I+y_{V'}-y_I&=&ky_I\\ z_V-z_I+z_{V'}-z_I&=&0 \end{array} \right. \Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_{V'}&=&kx_I+2x_I-x_V\\ y_{V'}&=&ky_I+2y_I-y_V\\ z_{V'}&=&2z_I-z_V \end{array} \right. \] La deuxi\`{e}me par : \[ (x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I=0 \] En rempla\c{c}ant $x_{V'}$ et $y_{V'}$ tir\'{e}s de la premi\`{e}re condition dans la deuxi\`{e}me : \begin{gather*} k(x_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I=0\\ kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I)\\ k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I) \end{gather*} Les coordonn\'{e}es de $V'$ s'en d\'{e}duisent : \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_{V'}&=&(k+2)x_I-x_V\\ y_{V'}&=&(k+2)y_I-y_V\\ z_{V'}&=&z_V(1-2\rho) \end{array} \right. \] Il reste \`{a} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=0$. \'Equation param\'{e}trique de $(IV')$, $M$ \'{e}tant un point courant : $\overrightarrow{MV'}=\alpha\overrightarrow{IV'}$ \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_{V'}-x&=&\alpha(x_{V'}-x_I)\\ y_{V'}-y&=&\alpha(y_{V'}-y_I)\\ z_{V'}-z&=&\alpha(z_{V'}-z_I) \end{array} \right. \] $z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{V'}}{z_{V'}-z_I}$ soit \[ \alpha=\dfrac{1-2\rho}{-\rho} \] En rempla\c{c}ant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'{e}es du point $P'$ de l'objet anamorphique. \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_{P'}&=&x_{V'}-\alpha(x_{V'}-x_I)\\ y_{P'}&=&y_{V'}-\alpha(y_{V'}-y_I) \end{array} \right. \] Cette s\'{e}rie de calculs doit \^{e}tre appliqu\'{e}e \`{a} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'{e}form\'{e}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme. On notera que \textit{la cote de l'observateur $z_V$ n'intervient pas}. On le comprend ais\'{e}ment en faisant un dessin du plan vertical passant par l'\oe{}il et l'axe du cylindre miroir. La position de la projection horizontale \'{e}tant fix\'{e}e $(x_V,y_V)$, quelle que soit la valeur de $z_V$, $A$ et $A'$ \'{e}tant sym\'{e}triques par rapport \`{a} la g\'{e}n\'{e}ratrice du miroir appartenant au plan vertical choisi, si $A'$ est donn\'{e} alors $A$ est fix\'{e} quelque soit~$z_V$. \newpage \section{L'anamorphose conique} Le principe est identique \`{a} celui de l'anamorphose cylindrique : imaginons un rayon lumineux provenant de l'objet <<~anamorphique~>>, se r\'{e}fl\'{e}chissant sur le miroir conique et parvenant \`{a} l'{\oe}il de l'observateur plac\'{e} au-dessus et dans l'axe du c\^{o}ne \`{a} une position suffisamment haute pour que l'observateur puisse \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel. Ainsi l'observateur aura l'illusion d'observer l'image reconstitu\'{e}e par le miroir conique. Image et objet sont dans le plan horizontal. \input{fig3d-anacon.tex} Il s'agit de d\'{e}terminer en premier, l'intersection de $(VP)$ avec le c\^{o}ne, qu'on appelle $I$ (point d'incidence). Les coordonn\'{e}es de $V$, $S$ et $P$ sont not\'{e}es : $V(0,0,z_V)$, $S(0,0,z_S)$ et $P(x_P,y_P,0)$. L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$: \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} 0-x_I&=&\lambda(0-x_P)\\ 0-y_I&=&\lambda(0-y_P)\\ z_V-z_I&=&\lambda(z_V-0) \end{array} \right. \Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_I&=&\lambda x_P\\ y_I&=&\lambda y_P\\ z_I&=&(1-\lambda)z_V \end{array} \right. \] On pose : \[ r_I^2=x_I^2+y_I^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2\quad\textrm{et}\quad |\overrightarrow{OG}|=R \] Le point $I$ appartenant au c\^{o}ne, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation (th\'{e}or\`{e}me de Thal\`{e}s): \begin{align*} \frac{R}{z_S}&=\frac{r_I}{z_S-z_I}\\ \frac{R}{z_S}&=\frac{\lambda r_P}{z_S-(1-\lambda)z_P}\\ \lambda&=\frac{R(z_S-z_V)}{r_Pz_S-R z_V} \end{align*} \begin{center} \begin{pspicture}(-4,-1)(6.5,7.75) \pnode(0,10){V} \uput[0](V){$V$} \pnode(0,5){S} \uput[0](S){$S$} \pnode(1.5,2.5){I} \pnode(2,0){P} \pnode(4.545,0){P'} \uput[45](P'){$P'$} \psdots[dotstyle=|](P') \pnode(3,0){G} \pnode(-3,0){G'} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](G')(G)(S) \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,0)(5.5,10.25) \uput[0](5.5,0){$x$} \uput[90](0,10.25){$z$} \uput[45](P){$P$} \uput[-45](G){$G$} \uput[70](I){$I$} \psline(V)(P) \psline(S)(G) \rput(I){% \psline[linestyle=dashed](4;30.96) \uput[15.5](4;30.1){$N$} \rput{-59.036}(0,0){\psframe(0.5,0.5)} \psarc[doubleline=true](0,0){1}{101.31}{120.964} %\psarc[doubleline=true](0,0){1}{-79.09}{-59.036} \psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{-59.036}{-39.38} \pnode(1.2;-50){I1} \pnode(1.2;112){I2} \uput[-50](I1){$\varepsilon$} \uput[112](I2){$\varepsilon$} } \rput(P'){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0){1}{140.175}{180} \uput[160](1;160){$\varepsilon'$}} \rput(S){\psarc[linecolor=gray,linewidth=2\pslinewidth](0,0){1}{-90}{-59.036} \uput[-75](1;-75){$\theta$}} \rput(V){\psarc(0,0){2}{-90}{-78.69} \uput[-80](2;-85){$\beta$}} \psline[linecolor=red](V)(I)(P') \pcline[nodesepB=1.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(P')(I) \pcline[nodesepB=4,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V) \qdisk(I){2pt} \qdisk(P){2pt} \qdisk(S){2pt} \qdisk(V){2pt} \qdisk(P'){2pt} \qdisk(G){2pt} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.2)(2,-0.2) \uput[-90](1,-0.2){$r_P$} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.8)(3,-0.8) \uput[-90](1.5,-0.8){$R$} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(1.5,2.5)(0,2.5) \uput[-90](0.75,2.5){$r_I$} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->|}(-0.2,0)(-0.2,5) \uput[180](-0.2,2.5){$z_S$} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->|}(-1,0)(-1,10) \uput[180](-1,5){$z_V$} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linestyle=dashed](1.5,2.5)(1.5,0) \end{pspicture} \end{center} Pour construire le rayon incident, $(P'I)$, $(IV)$ est le rayon r\'{e}fl\'{e}chi, d\'{e}terminons~$\varepsilon'$. Un raisonnement g\'{e}om\'{e}trique \'{e}l\'{e}mentaire nous montre que : \[ \varepsilon'=90^\circ-2\theta+\beta \] avec \[ \beta=\arctan\frac{r_P}{z_V} \] et \[ \theta=\arctan\frac{R}{z_S}\quad\textrm{demi-angle au sommet du c\^{o}ne } \] Dans le plan horizontal, les coordonn\'{e}es de $P'$ sont : \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_{P'}&=&x_I+\dfrac{z_I}{\tan \varepsilon'}\\[0.5cm] y_{P'}&=&y_I+\dfrac{z_I}{\tan \varepsilon'}\\ \end{array} \right. \] \newpage \section{L'anamorphose sph\'{e}rique} On place \`{a} l'int\'{e}rieur de la demi-sph\`{e}re l'image telle qu'elle doit \^{e}tre vue par un observateur regardant dans le miroir sph\'{e}rique (on peut la placer \`{a} l'ext\'{e}rieur, mais il faut que les rayons lumineux rencontrent toujours la sph\`{e}re, il faut donc veiller aux dimensions). L'objet anamorphique est <<~l'objet d\'{e}form\'{e}~>> dont le miroir reconstituera les proportions r\'{e}elles.\par Objet et image ob\'{e}issent aux lois de la r\'{e}flexion de l'optique g\'{e}om\'{e}trique : \begin{itemize} \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi appartiennent \`{a} un m\^{e}me plan ; \item rayon incident et rayon r\'{e}fl\'{e}chi sont sym\'{e}triques par rapport \`{a} la normale au miroir au point d'incidence. \end{itemize} \input{fig3d-anasphere.tex} L'image non d\'{e}form\'{e}e (celle qui est vue dans le miroir) est plac\'{e}e, dans cet exemple, au centre du miroir. Un rayon incident partant de l'objet anamorphique se r\'{e}fl\'{e}chit sur le miroir et apr\`{e}s r\'{e}flexion parvient \`{a} l'{\oe}il de notre observateur. L'observateur a l'illusion que le rayon provient du point image. Il faut donc reconstruire math\'{e}matiquement la marche d'un tel rayon lumineux en partant de l'image dans le miroir. L'observateur est suffisamment \'{e}loign\'{e} du miroir pour pouvoir \^{e}tre consid\'{e}r\'{e} comme ponctuel. Soit $P$ un point de l'image, $V$ l'{\oe}il de l'observateur. Tra\c{c}ons un droite $PV$ et d\'{e}terminons le point d'intersection $I$ avec la sph\`{e}re : c'est le point d'incidence. \[ V(x_V,y_V,z_V)\quad\text{ et }\quad P(x_P,y_P,0) \] \begin{center} \shorthandoff{!} \begin{pspicture}(-4,-0.5)(8,5.5) \pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30](0,0){2}{0}{180} \psaxes[labels=none,ticks=none]{->}(0,0)(-3,0)(7.5,5) \uput[0](7.5,0){$x$} \uput[90](0,5){$z$} \pnode(1.5,0){P} \pnode(0,0){O}\uput[dl](O){$O$} \pnode(!/alpha 15 def /xI 2 alpha cos mul def /yI 2 alpha sin mul def /beta yI xI 1.5 sub atan def xI yI){I} \psline(P)(I) \rput(I){\pnode(!beta cos 5 mul beta sin 5 mul){V}} \psline[linecolor=red](I)(V) \rput(I){\psarc[doubleline=true](0,0){1}{!alpha}{!beta} \psarc[doubleline=true](0,0){1.2}{!2 alpha mul beta sub}{!alpha}} \uput{1.2}[!alpha beta add 2 div](I){$\varepsilon$} \uput{1.4}[!3 alpha mul beta sub 2 div](I){$\varepsilon$} \pnode(!yI neg xI 2 alpha mul beta sub tan mul add 2 alpha mul beta sub tan div 0){M} \psline[linecolor=red](M)(I) \pcline[nodesepB=0.5,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(M)(I) \pcline[nodesepB=2,linecolor=red,arrowsize=0.175,arrowinset=0.075]{->>}(I)(V) \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(O)(I) \uput[75](1;15){$R$} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{<->}(O)(V) \uput[75](3,2.7){$r_V$} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth]{|<->|}(0,-0.3)(1.5,-0.3) \uput[-90](0.75,-0.3){$r_P$} \rput(I){% \psline[linestyle=dashed](5;15) \uput[15](5;15){$N$} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linecolor=gray](1.5;105) \uput[105](1.5;105){$T$} \psline[linewidth=0.5\pslinewidth,linecolor=gray](1.25;-75) \rput{-75}(0,0){\psframe(0.3,0.3)} } \uput[-45](P){$P$} \uput[-45](M){$P'$} \uput[70](I){$I$} \uput[u](V){$V$} \psdot(P) \psdot(I) \psdot(V) \psdot(M) \end{pspicture} \end{center} L'\'{e}quation param\'{e}trique de la droite $(PV)$ s'\'{e}crit $\overrightarrow{IV}=\lambda\overrightarrow{PV}$: \begin{equation}\label{eq:para} \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_V-x_I&=&\lambda(x_V-x_P)\\ y_V-y_I&=&\lambda(y_V-y_P)\\ z_V-z_I&=&\lambda(z_V-0) \end{array} \right. \Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_I&=&x_V(1-\lambda)+\lambda x_P\\ y_I&=&y_V(1-\lambda)+\lambda y_P\\ z_I&=&z_V(1-\lambda) \end{array} \right. \end{equation} On pose : \[ r_V^2=x_V^2+y_V^2+z_V^2\quad\textrm{et}\quad r_P^2=x_P^2+y_P^2 \] Le point $I$ appartenant \`{a} la sph\`{e}re, ses coordonn\'{e}es v\'{e}rifient la relation : \begin{equation}\label{eq:sphere} x_I^2+y_I^2+z_I^2=R^2 \end{equation} (\ref{eq:para}) en (\ref{eq:sphere}) \begin{gather*} \left(x_V+\lambda(x_P-x_V)\right)^2+\left(y_V+\lambda(y_P-y_V)\right)^2+\left((1-\lambda)z_V\right)^2=R^2\\ x_V^2+2\lambda x_V(x_P-x_V)+\lambda^2(x_P-x_V)^2+y_V^2+2\lambda y_V(y_P-y_V) +\lambda^2(y_P-y_V)^2+(1-2\lambda+\lambda^2)z_V^2=R^2 \end{gather*} Apr\`{e}s d\'{e}veloppement, on obtient l'\'{e}quation du second degr\'{e} en $\lambda$: \begin{gather*} \lambda^2\left((x_P-x_V)^2+(y_P-y_V)^2+z_V^2\right)+2\lambda\left(x_V(x_P-x_V)+y_V(y_P-y_V)-z_V^2\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2- R^2=0\\ \lambda^2\left(x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\right)+2\lambda\left(-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\right)+x_V^2+y_V^2+z_V^2- R^2=0 \end{gather*} Comparaison avec \[ a\lambda^2+2b'\lambda+c=0 \] donne pour le coefficient $a$ de $\lambda^2$ : \[ a=x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V \] Pour le coefficient $2b'$ de $\lambda$ : \[ 2b'=-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V \] Pour le coefficient $c$ : \[ c=x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2 \] Alors \[ a\lambda^2+2b'\lambda+c=0 \] avec : \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} a&=&x_V^2+y_V^2+z_V^2+x_P^2+y_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\ 2b'&=&-x_V^2-y_V^2-z_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\ c&=&x_V^2+y_V^2+z_V^2-R^2 \end{array} \right. \] \[\left\lbrace \begin{array}{lcl} a&=&r_V^2+r_P^2-2x_Px_V-2y_Py_V\\ 2b'&=&-r_V^2+x_Px_V+y_Py_V\\ c&=&r_V^2-R^2 \end{array} \right. \] La r\'{e}solution de cette \'{e}quation nous donne les solutions classiques: \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} \lambda'&=&\dfrac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}\\[0.5cm] \lambda''&=&\dfrac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a} \end{array} \right. \qquad \Delta'=b'^2-ac \] On retiendra la valeur positive.% et \texttt{Coeff1} dans le programme. $(IV)$ repr\'{e}sente le rayon r\'{e}fl\'{e}chi par le miroir. Le rayon incident est d\'{e}fini par la droite sym\'{e}trique de $(IV)$ par rapport \`{a} la normale au miroir en $I$. Je cherche le sym\'{e}trique de $V$, nomm\'{e} $V'$ par rapport \`{a} cette normale $(IN)$. Ce point $V'$ remplit deux conditions : \begin{enumerate} \item $\overrightarrow{IV}+\overrightarrow{IV'}=k\overrightarrow{IN}$ \item $\overrightarrow{VV'}.\overrightarrow{IN}=0$ \end{enumerate} La normale $(IN)$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{IN}(x_I,y_I,z_I)$ La premi\`{e}re condition se traduit par : \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_V-x_I+x_{V'}-x_I&=&kx_I\\ y_V-x_I+y_{V'}-y_I&=&ky_I\\ z_V-z_I+z_{V'}-z_I&=&kz_I \end{array} \right. \Longrightarrow \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_{V'}&=&kx_I+2x_I-x_V\\ y_{V'}&=&ky_I+2y_I-y_V\\ z_{V'}&=&kz_I+2z_I-z_V \end{array} \right. \] La deuxi\`{e}me par : \[ (x_{V'}-x_V)x_I+(y_{V'}-y_V)y_I+(z_{V'}-z_V)z_I=0 \] En rempla\c{c}ant $x_{V'}$, $y_{V'}$ et $z_{V'}$ tir\'{e}s de la premi\`{e}re condition dans la deuxi\`{e}me : \begin{gather*} k(x_I^2+y_I^2+y_I^2)+2x_I^2-2x_Vx_I+2y_I^2-2y_Vy_I+2z_I^2-2z_Vz_I=0\\ kR^2+2R^2=2(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I)\\ k+2=\dfrac{2}{R^2}(x_Vx_I+y_Vy_I+z_Vz_I) \end{gather*} Les coordonn\'{e}es de $V'$ s'en d\'{e}duisent : \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_{V'}&=&(k+2)x_I-x_V\\ y_{V'}&=&(k+2)y_I-y_V\\ z_{V'}&=&(k+2)z_I-z_V \end{array} \right. \] Il reste \`{a} trouver l'intersection de $(IV')$ avec le plan horizontal $z=0$. \'Equation param\'{e}trique de $(IV')$, $M$ \'{e}tant un point courant : $\overrightarrow{MI}=\alpha\overrightarrow{V'I}$ \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_I-x&=&\alpha(x_I-x_{V'})\\ y_I-y&=&\alpha(y_I-y_{V'})\\ z_I-z&=&\alpha(z_I-z_{V'}) \end{array} \right. \] $z=0\Longrightarrow \alpha=\dfrac{z_{I}}{z_I-z_{V'}}$. En rempla\c{c}ant $\alpha$ par son expression, nous obtenons les coordonn\'{e}es du point $P'$ de l'objet anamorphique. \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} x_{P'}&=&x_I-\alpha(x_I-x_{V'})\\ y_{P'}&=&y_I-\alpha(y_I-y_{V'})\\ z_{P'}&=&0 \end{array} \right. \] Cette s\'{e}rie de calculs doit \^{e}tre appliqu\'{e}e \`{a} tous les points de l'image <<~normale~>> afin d'obtenir l'objet anamorphique (d\'{e}form\'{e}) dont le miroir <<~redressera~>> la forme. \textbf{Remarque} : l'image doit se former du c\^{o}t\'{e} de l'observateur \`{a} l'int\'{e}rieur du miroir, plus pr\`{e}s du bord du miroir que du centre. Si on d\'{e}place le point $P$ vers $O$, il arrive un moment o\`{u} le rayon r\'{e}fl\'{e}chi part au-dessus de l'horizontale et ne rencontre plus le plan horizontal. L'anamorphose n'est plus possible et pour les calculs c'est le CRASH ! \newpage \section{La perspective} Dans le livre de Jurgis Baltru\v{s}a\"{\i}tis\footnote{ \textit{Anamorphoses : les perspectives d\'{e}prav\'{e}es} en livre de poche chez Flammarion.}, on trouve le principe de la <<~\textit{costruzione legittima}~>> avec un sch\'{e}ma de L\'{e}onard de Vinci (1492) et des sch\'{e}mas anamorphiques de Niceron (1658). Je cite page 58 : \begin{quote}\itshape <<~Rappelons en quelques mots quels ont \'{e}t\'{e} le proc\'{e}d\'{e}s utilis\'{e}s par les artistes pour l'ordonnancement de leurs tableaux en perspective normale. La premi\`{e}re ligne trac\'{e}e est celle de l'horizon \`{a} la hauteur de l'\oe{}il. Deux points y sont ensuite fix\'{e}s : au milieu le point principal vers o\`{u} convergent toutes les lignes droites parall\`{e}les qui s'\'{e}loignent en profondeur ; sur la m\^{e}me horizontale et \`{a} la m\^{e}me distance du point principal que l'\oe{}il, en face de la composition -- le point de distance, vers lequel convergent les diagonales.~>> \end{quote} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-3)(5,14.25) \psset{ua=2,F=10,D=4,type=perspective} \psframe*[linecolor=BleuCiel](-5,10)(5,13) \psframe*[linecolor=OrangePale](-5,2)(5,10) \psline[arrowinset=0,arrowsize=2mm]{->}(0,14) \psline[arrowinset=0,arrowsize=2mm]{->}(7,0) \uput[0](7,0){$x$} \uput[90](0,14){$y$} \psline(-5,2)(5,2) \pnode(4,10){F'} \pnode(0,10){F} \uput[ul](F){${F}$} \uput[ur](F'){${F'}$} \rput(0,12){\multido{\n=22.5+45.0}{8}{% \psline[linecolor=yellow](1;\n)}% \pscircle[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradmidpoint=0,gradend=yellow,gradbegin=gray]{0.5}} \multido{\i=-2+1}{5}{% \pnode(! \i\space -2){A} \pnode(! \i\space 2){B} \psline(A)(B) \pslineA(A)(B) }% \multido{\i=-2+1}{5}{% \pnode(!-2 \i){A} \pnode(!2 \i){B} \pslineA[linecolor=blue](A)(B) \psline[linecolor=blue](A)(B) }% \pnode(0,0){O} \pnodeA(0,0){O'} \pnode(-2,2){A} \pnodeA(-2,2){A'} \pnode(2,2){B} \pnodeA(2,2){B'} \pnode(-2,-2){C} \pnodeA(-2,-2){C'} \pnode(2,-2){D} \pnodeA(2,-2){D'} \pnode(-1,-1){M1} \pnodeA(-1,-1){M1'} \pnode(-1,1){M2} \pnodeA(-1,1){M2'} \pnode(-1,0){N1} \pnodeA(-1,0){N1'} \pnode(-1,2){P} \pnodeA(-1,2){P'} \pnode(-2,0){N2} \pnodeA(-2,0){N2'} \pnode(-2,1){N3} \pnodeA(-2,1){N3'} \pnodeA(-2,-1){S'} \pnode(0,2){Q} \pnode(1,2){R} \psline(A)(F)(B) \psline[linecolor=red](A)(F') \psline[linecolor=red](P)(F) \psline[linecolor=lightgray](P)(F') \psline[linecolor=lightgray](Q)(F') \psline[linecolor=lightgray](R)(F') \psline[linecolor=lightgray](S')(F') \psline[linecolor=lightgray](N2')(F') \psline[linecolor=lightgray](N3')(F') \uput[dl](A){${A}$} \uput[dr](B){${B}$} \uput[ul](A'){${A'}$} \uput[ur](B'){${B'}$} \uput[dl](C){${C}$} \uput[dr](D){${D}$} \uput[ul](P){${P}$} \uput[u](P'){${P'}$} \uput[ul](C'){${C'}$} \uput[ur](D'){${D'}$} \uput[dl](O){${O}$} \uput[dr](O'){${O'}$} \psline{<->|}(-3,2)(-3,10) \uput[l](-3,6){$f$} \pcline{|<->|}(F)(F') \uput[u](2,10){$e$} \psdots(A)(B)(C)(D)(A')(B')(C')(D')(P)(P')(F)(F')(O)(O') \psdots[linecolor=blue](N1)(N1') \uput[dl](N1){$\blue {N_1}$} \uput[dl](N1'){$\blue {N_1'}$} \psdots[linecolor=gray](M2)(M2') \uput[dr](M2){\tiny $\gray {(X,Y)}$} \uput[dr](M2'){\tiny $\gray {(x',y')}$} \psdots[linecolor=red](M1') \uput[dr](M1'){\tiny $\red {(\alpha_1,\beta_1)}$} \end{pspicture} \end{center} \newpage Exemples : \begin{itemize} \item $A\longrightarrow A'$ \item $B\longrightarrow B'$ \item $C\longrightarrow C'$ \item $D\longrightarrow D'$ \item $O\longrightarrow O'$ \item $M_1\longrightarrow M_1'$ \item $M_2\longrightarrow M'_2$ \end{itemize} D\'{e}terminons les coordonn\'{e}es $(\alpha_1,\beta_1)$ de l'intersection de $(PF)$ avec $(AF')$. Posons que les coordonn\'{e}es des points essentiels sont : \begin{itemize} \item $F(0,f)$ \item $F'(e,f)$ \item $A(-a,a)$ \item $B(a,a)$ \item $C(a,-a)$ \item $D(-a,-a)$ \item $P(X,a)$ \end{itemize} \'Equation de $(AF')$ : \[ \frac{y-f}{x-e}=\frac{a-f}{-a-e}\Longrightarrow x(a-f)+y(a+e)-a(f+e)=0 \] \'Equation de $(PF)$ : \[ \frac{x-0}{y-f}=\frac{X-0}{a-f}\Longrightarrow x(a-f)-yX+fX=0 \] Intersection $(PF)\bigcap (AF')$ \[ \alpha_1=\frac{Xe}{X+a+e}\qquad\beta_1=\frac{a(f+e)+fX}{X+a+e} \] Si on prend maintenant, un point d'ordonn\'{e}e $Y\neq X$ par exemple $N_1$ dont l'image $N'_1$ se situe toujours sur $(PF)$, mais \`{a} l'intersection de $PF$ avec la parall\`{e}le \`{a} $x'Ox$ men\'{e}e par le point-image du point de coordonn\'{e}e $(Y,Y)$ (ici $O'$ qui est l'image de $O(0,0)$). Il s'agit de d\'{e}terminer l'intersection de $(PF)$ avec la droite d'\'{e}quation : \[ y=\beta_2=\frac{a(f+e)+fY}{Y+a+e} \] Apr\`{e}s calculs et simplifications, on trouve pour l'abscisse : \[ \alpha_2=\frac{Xe}{Y+a+e} \] En r\'{e}sum\'{e} si dans le rep\`{e}re $Oxy$, on appelle $({\red X},{\red Y})$ les coordonn\'{e}es d'un point-objet et $({\blue x'},{\blue y'})$ les coordonn\'{e}es du point image dans la transformation \textit{anamorphose oblique} ou \textit{perspective}, les formules qui permettent de passer de l'objet \`{a} l'image s'\'{e}crivent : \[ \left\lbrace \begin{array}{lcl} {\blue x'}&=&\displaystyle\frac{{\red X}e}{{\red Y}+a+e}\\[0.5cm] {\blue y'}&=&\displaystyle\frac{a(f+e)+f{\red Y}}{{\red Y}+a+e} \end{array} \right. \] \end{document}