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INTRODUCTION
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Pour les détails mathématiques voir mon article :

    PARAMÉTRISATION PAR LA (VARIATION ABSOLUE DE LA) DIRECTION DE DÉPLACEMENT

disponible en PDF.

Les explications ici se concentrent sur ce qui entre en jeu dans le fait de
faire un GIF animé. Pour l'implémentation pratique voir :

    LISMOI-anim-pratique.txt

THÉORIE
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1. Formule pour choix de ΔT est eta R/v avec R le rayon de courbure et v
   la vitesse ; cette dernière bien sûr suivant la paramétrisation
   initiale de la courbe.

   Cela veut dire que les points successifs obtenus sont censés
   approcher une densité locale sur la courbe proportionnelle à la
   courbure.

   Avec l'idée que c'est la bonne manière de fournir des points au
   mécanisme d'interpolation fait par PSTricks avec plotstyle=curve (ou
   cspline).

   Le paramètre eta, typiquement 0.1 semble a priori sans unité. Mais en
   fait ΔT n'a pas les dimensions d'un temps, c'est plutôt une unité
   d'image, et donc eta est en s^-1. Il est d'ailleurs plus commode de le
   considérer en rad/s (voir la suite).

1a.
   
   En utilisant la courbure k = 1/R, c'est eta / kv, et de toute façon
   comme on doit vérifier si la courbure est nulle, autant calculer
   d'abord le produit kv. Il a l'avantage d'être (v x a)/v^2 donc pas
   de racine carrée.

   Mais de toute façon avec le paramètre Vmax (voir plus loin) on est
   obligé d'avoir v = racine carrée de v^2 pour faire Vmax / v.

2. Dans le cadre d'une animation, si à chaque ΔT on fait une nouvelle
   image, le choix "ΔT = eta R/v" a pour effet qu'à chaque image le vecteur
   vitesse tourne d'environ eta radians (dans le mesure où pendant ce
   laps de temps on peut considérer que l'approximation par le cercle
   osculateur est fiable). Cela approxime une
   paramétrisation qui ferait tourner le vecteur vitesse à exactement
   eta radian par unité de temps, et on montre que module de la
   (nouvelle) vitesse est alors partout eta fois le rayon de courbure R.

   En effet on peut estimer qu'avec ce choix de ΔT, d'une image à
   l'autre le point se déplace de ΔP = v ΔT = eta R, ce qui signifie
   donc que sa vitesse V est eta R, par rapport à l'unité de temps
   séparant deux images.

   Numériquement ce V est donc aussi v ΔT. Parfois on doit modifier v ΔT
   car s'il est trop grand on a moins confiance de ne pas avoir rater un
   tournant de la courbe... Il y a un paramètre alpha qui joue ce rôle v
   ΔT ne doit pas dépasser alpha. A priori alpha représente une distance
   mais au final voit qu'il représente plutôt une vitesse Vmax (de même
   que eta qui semble sans unité devient en fait une vitesse angulaire
   en radians par image) mais le Vmax est à voir comme en unité de
   distance par image. L'unité de distance étant le cm pour les calculs
   de PSTricks, on visualise V et Vmax en cm/image.

   On voudrait représenter le vrai mouvement idéal qui aurait V
   exactement égal à eta R, mais cela devient infini aux points
   d'inflexions. Par manque ce chance on peut tomber exactement sur un
   point avec R infini, on peut aussi avoir R très grand, et le
   représenter graphiquement n'a pas de sens.

   Donc finalement c'est commode de représenter le vrai V choisi
   numériquement, que ce soit eta R ou alpha = Vmax, V = min(eta R,
   Vmax), et de ne pas chercher à tout prix à représenter celui de la
   paramétrisation idéale. Le ΔT étant donc ce V divisé par v, vitesse
   originelle de la paramétrisation.

   ΔT = min( eta R, Vmax ) / v

   Les unités de ΔT sont donc en "secondes" par image, la seconde ici
   étant celle de la paramétrisation initiale, ce n'est pas un temps
   physique mais un temps mathématique.

   Et puis ça veut dire que le V représenté correspond au déplacement du
   point sur l'écran. Bien que les zones avec V = Vmax passent très
   vite, puisque typiquement ça va être disons 2cm par image (l'unité de
   longueur pour les coordonnées PSTricks étant le centimètre), donc
   avec une fréquence typique de 10 images par seconde, ça fait 20cm/s,
   le vecteur vitesse devient plus grand que la taille de la figure
   (mais pas immensément plus grand), et dès qu'il dépasse la taille de
   la figure, c'est comme s'il était infini.

   (ce paragraphe anticipe sur l'item suivant)

3. Pour les GIF animés, l'intervalle entre deux images est
   obligatoirement un multiple entier Delay de la centième de seconde.
   Cela correspond au paramètre -delay de convert de ImageMagick. Le
   nombre d'images par seconde (frames per second, frame rate) est alors
   100/Delay.

%% You can specify a different scale for the time delay by specifying a 'x'
%% scaling (giving in ticks per second). For example '10x1' is 10, 1 second
%% ticks, while '10x100' is 10, one hundredth of a second ticks.

%% Basically the 'x' is equivalent to a fraction '/' sign. For example if you
%% specify '1x160' will set a delay that is appropriate for 160 frames per
%% second.

%% GIF animation delays must be specified in hundredths of a second for correct
%% working, which is why that is the default time unit. The 'x' factor is used
%% more for generating other more movie like formats, such a MNG's, and AVI's.

   Donc l'unité de temps est Delay/100 en secondes. Les vitesses du
   paragraphe précédent, que ce soit la vitesse angulaire de rotation du
   vecteur vitesse, ou son module, doivent être multipliées par 100/Delay
   (le Frame Rate), c'est surtout important pour le module puisqu'on le
   représente graphiquement : 

   - vitesse angulaire = eta rad/image * 100/Delay image/s
                       = eta * 100/Delay en radians par seconde

   - module de la vitesse = V * 100/Delay
                          = min(Vmax, eta R) * 100/Delay

   - pour l'accélération il y aurait le carré de ce facteur, mais on ne
     représentera que sa direction.


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Le fait de faire une animation oblige donc à penser sérieusement aux
dimensions des quantités manipulées.

On fait trop facilement l'erreur, puisque que l'on parle de vitesse à
propos du vecteur (x'(t),y'(t)), de lui assigner une réalité physique.
Mais ici "t" est juste la variable mathématique paramétrisant
initialement la courbe et n'a absolument aucun lien avec un temps
physique. On pourrait décider que c'est le temps physique, mais tout
notre procédé cherche un parcours canonique remarquable de la courbe
avec une vitesse égale au rayon de courbure, donc c'est l'animation qui
crée le vrai temps, uniquement après avoir fixé le Delay ou 100/Delay
qui est le Frame Rate, le nombre d'images par (vraies) secondes.

Pour eta, ce qui se passe aussi c'est qu'en fait on ne le distingue pas
vraiment de 2 Arcsin(eta/2), donc parfois on le voit en radians par
image, parfois en image^{-1}. Uniquement après avoir fixé le Delay, eta
devient une véritable vitesse angulaire, correspond à la vitesse
angulaire du mouvement de rotation de la tangente, sur l'écran de
l'ordinateur, lorsque l'on représente un mouvement qui est une
approximation du mouvement idéal.

De même Vmax (aka alpha) est en fait en cm/image, et devient une vraie
vitesse physique après avoir fixé le Frame Rate.

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