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\title{Continuité des fonctions numériques}
\author{Jean-Michel Sarlat}
\subject{Exercices portant sur la continuité des fonctions numériques}
\keywords{maths,continuité,exercices}

%\university{\includegraphics[scale=.45]{logo.pdf}}
\email{jm-sarlat@melusine.eu.org}
\version{1.2}
\copyrightyears{1999-2007}

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\renewcommand\optionalpagematter{\vfill
    \begin{center}
    \fcolorbox{blue}{webyellow}{
    \begin{minipage}{.7\linewidth}
    \noindent\textcolor{red}{\textbf{Sommaire :}}
    Exercices corrigés portant sur la continuité.
    \end{minipage}}
    \end{center}
}

\parindent0pt

\begin{document}

\maketitle

\tableofcontents

\section{Énoncés}

\begin{exercise}
     Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $[0,1]$.  Montrer que $f$
     admet un point fixe.\\ i.e.  $$\exists x\in[0,1], f(x)=x$$
     \begin{solution}
        Soit la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)-x$. $g$ est définie et
        continue sur $[0,1]$. On a~:
        $$g(0)=f(0)\ge0\hbox{ et }g(1)=f(1)-1\le 0\hbox{ donc }g(0)g(1)\le 0$$
        En application du corollaire du théorème des valeurs intermédiares,
        la fonction $g$ s'annule entre $0$ et $1$.\\
        Or $g(x)=0\iff f(x)=x$, la fonction $f$ admet donc un point fixe
        entre $0$ et $1$.
    \end{solution}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $f$ une fonction continue de $\R$ dans $\R$ admettant des limites
    finies en $+\infty$ et $-\infty$.  Montrer que $f$ est bornée.
    \begin{solution}
        Deux méthodes :
        \begin{enumerate}
            \item  Soient $l_{1}$ et $l_{2}$ les limites respectives de $f$
            en $-\infty$ et $+\infty$. Il existe  deux réels $A_{1}$ et
            $A_{2}$ tels que
            $$x<A_{1}\Rightarrow \abs{f(x)-l_{1}}<1\hbox{ et }
            x>A_{2}\Rightarrow \abs{f(x)-l_{2}}<1$$
            Ceci prouve que $f$ est bornée sur $]-\infty, A_{1}[$ et
            $]A_{2},+\infty[$. Par ailleurs elle est bornée sur le segment
            dont les bornes sont $A_{1}$ et $A_{2}$ ($f$ continue sur $\R$
            donc sur ce segment),
            elle est donc bornée sur la réunion de ces trois intervalles qui est,
            dans tous les cas de figure, l'ensemble $\R$.
            \item  On considère un \href{../continuite/continuite#homeomorphisme}{homéomorphisme}
            $\varphi$ de $]0,1[$ sur $\R$,
            on peut choisir, par exemple, l'application réciproque de
            $$x\longmapsto \frac12\left(\frac{x}{\abs{x}+1}+1\right)$$
            L'application $f\circ\varphi$ est définie et continue sur
            $]0,1[$, elle admet une limite finie en $0$ et en $1$, elle est
            donc prolongeable par continuité en $0$ et en $1$. L'application
            ainsi obtenue est bornée. Puisque
            $$f(\R)=f\circ\varphi(]0,1[)\hbox{ et }f\circ\varphi(]0,1[)
            \hbox{ contenu dans un borné}$$
            l'ensemble $f(\R)$ est nécessairement borné.\\
            Cette démonstration, retracée dans ces grandes lignes, est plus
            subtile que la précédente et montre l'usage que l'on peut faire
            des homéomorphismes. On y est confronté à une \emph{réduction} de
            l'infini au fini intéressante.
        \end{enumerate}
    \end{solution}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R$ telle que : $$\exists k>0,\quad
    \forall(x,y)\in\R^2,\quad \abs{f(x)-f(y)}\le k\abs{x-y}$$ Montrer que $f$
    est continue sur $\R$.
    \begin{solution}
        Soit $a\in\R$, la fonction $x\mapsto f(x)-f(a)$ est dominée
        par $x\mapsto x-a$ au voisinage de $a$. Cette dernière à pour limite $0$ en $a$,
        il en est donc de même de la première. Ceci se traduit par
        $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)$ ou encore~: $f$ est continue
        en $a$. Ceci s'applique à tout $a$ de $\R$.
    \end{solution}
\end{exercise}

\end{document}
