\documentclass{article}
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\title{Continuité des fonctions numériques}
\author{Jean-Michel Sarlat}
\subject{Continuite des fonctions numeriques}
\keywords{LaTeX,hyperref,PDF,maths}

%\university{\includegraphics[scale=.45]{logo.pdf}}
\email{jm-sarlat@melusine.eu.org}
\version{1.2}
\copyrightyears{1999-2007}

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\renewcommand\optionalpagematter{\vfill
    \begin{center}
    \fcolorbox{blue}{webyellow}{
    \begin{minipage}{.67\linewidth}
    \noindent\textcolor{red}{\textbf{Sommaire :}}
    Les définitions et théorèmes en rapport avec la continuité des
    fonctions numériques enseignée en \textbf{PTSI}.
    \end{minipage}}
    \end{center}
}

\parindent0pt
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

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\section{Continuité en un point}
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\begin{definition}
    Soit $a$ un réel et $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle
    $I$ de $\R$ contenant $a$.  $f$ est \emph{continue} en $a$ si, et seulement
    si $f$ admet une limite en $a$, celle ci étant alors égale à $f(a)$.
\end{definition}

On définit de la même façon la continuité à droite et la continuité à
gauche de $f$ en considérant la restriction de $f$ à des voisinages à
droite ou à gauche de $a$.

\textbf{Remarques}
\begin{enumerate}
 \item Si $f$ est définie à droite et à gauche de $a$ alors elle est
 continue en $a$ si, et seulement si elle y est continue à gauche et à
 droite.
 \item Si $f$ n'est pas définie à droite (resp. à gauche ) de  $a$,
 dire qu'elle est continue en $a$ c'est dire qu'elle y  est continue à
 gauche (resp. à droite).
 \item Si $I$ est réduit à $a$, la continuité de $f$ en $a$ n'a pas
 d'intérêt, on peut convenir que $f$ est continue en $a$.
\end{enumerate}

\begin{theoreme}
    Soient $(u_{n})_{n\in I}$ une suite numérique et $f$ une fonction numérique
    définie sur un intervalle $I$ de $\R$ telles que~:
    \begin{itemize}
        \item  $(\forall n\in I,\enspace u_{n}\in I)$  et $(u_{n})$ converge vers
        $a\in I$.
        \item $f$ est continue en $a$.  \end{itemize} Alors $(f(u_{n}))_{n\in
        I}$ converge vers $f(a)$
\end{theoreme}
Démonstration~: déjà vue\footnote{Caractérisation séquentielle des
limites}... sous une autre forme. Ce théorème est
utile pour déterminer les limites des suites \emph{images} ou pour
démontrer qu'une fonction n'est pas continue en un point.

\newpage
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\section{Prolongement par continuité}
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\begin{definition}
    Soient $I$ un intervalle de $\R$, $a$ un élément de $I$ et $f$ une fonction
    numérique définie sur $I\setminus \{a\}$.  Un \textbf{prolongement par
    continuité de $f$ en $a$} est une fonction $\tilde{f}$ définie sur
    $V\cup\{a\}$ telle que~:
    \begin{itemize}
        \item $\forall x\in I,\enspace \tilde{f}(x)=f(x)$.
        \item $\tilde{f}$ est continue en $a$.
    \end{itemize}
\end{definition}

\textbf{Remarque.} On peut définir un prolongement par continuité à
gauche de $a$, à droite de $a$.

\begin{theoreme}
    Soit $a$ un réel et $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$
    contenant $a$ (éventuellement voisinage à droite ou à gauche de $a$), sauf
    en $a$.\\ Si $\displaystyle\lim_{{}_{x\ne a}^{x\rightarrow a}}f(x)=l$ avec
    $l\in\R$ alors la fonction $\tilde{f}$ définie par~:
    $$\tilde{f}(x)=\sysl{f(x)&\hbox{ si }&x\in V\hfill\cr l&\hbox{ si }&x=a\hfill}$$
    est un prolongement par continuité de $f$ en $a$.
\end{theoreme}

\textbf{Exemple.} Soit $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}x$ pour $x\in\R^*$.\\
On a~: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=1$ d'où~:
$\displaystyle\tilde{f}(x)= \sysl{\displaystyle\frac{\sin x}{x}&\hbox{si}&
x\ne 0\cr\cr 1&\hbox{si}&x=0}$ est définie sur $\R$ et continue en 0.

\textbf{Unicité.} Il est facile de vérifier que lorsqu'une fonction
admet un prolongement par continuité en un point, celui-ci est unique.
Lorsqu'il n'y a pas de risque d'ambiguité, on désigne la fonction et
son prolongement  par une même lettre.

\newpage

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\section{Continuité sur un intervalle}
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\begin{definition}
    Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.  \textbf{$f$
    est continue sur $I$} si, et seulement si $f$ est continue en tout point de
    $I$.\\
    Ou encore~:
    \begin{center}
        $f$ est continue sur $I$ $\iff$
        $\displaystyle\forall a\in I,\enspace \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$
    \end{center}
\end{definition}

\textbf{Notation~: } $\mathcal{C}(I,\R)$ ou encore $\mathcal{C}(I)$ est
l'ensemble des fonctions continues sur $I$.

\begin{proposition}
        Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ alors sa restriction à
        tout intervalle contenu dans $I$ est continue.
\end{proposition}

\newpage
\textbf{Exemples}
\begin{itemize}
    \item Une fonction polynôme est continue sur $\R$.
    \item Une fonction rationnelle est continue sur les intervalles de son
    ensemble de définition.
    \item Les fonctions $\sin$, $\cos$ sont continues sur $\R$.
    \item La fonction $\tan$ est continue sur les intervalles de la forme
    $$]-\frac\pi2+n\pi,\frac\pi2+n\pi[\hbox{ où }n\in\Z$$
    \item La fonction $\ln$ est continue sur $]0,+\infty[$.
    \item La fonction exponentielle est continue sur $\R$.
    \item La fonction valeur absolue est continue sur $\R$.
\end{itemize}

\newpage
%------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Opérations sur les fonctions continues}
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\begin{proposition}
    Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$ de
    $\R$ et $\lambda$ un réel. Alors~:
    \begin{enumerate}
        \item $f_{+}$, $f_{-}$ sont continues sur $I$.
        \item $f+g$ est continue sur $I$.
        \item $\lambda f$ est continue sur $I$.
        \item $f\times g$ est continue sur $I$.
        \item $\sup(f,g)$ et $\inf(f,g)$  sont continues sur $I$.
    \end{enumerate}
\end{proposition}

$\left(\mathcal{C}(I),+,\times\right)$ est une structure d'anneau
commutatif.\\
$\left(\mathcal{C}(I),+,.\right)$ est une structure d'espace vectoriel
sur $\R$.\\
$\left(\mathcal{C}(I),+,\times,.\right)$ est une structure d'algèbre
réelle.

\begin{proposition}
    Soit $f$ une fonction définie, continue et ne s'annulant pas sur un
    intervalle~$I$.
    \begin{center}
        $\displaystyle\frac1{f}$ est définie et continue sur $I$
    \end{center}
\end{proposition}

\begin{proposition}
    Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $I$ et $J$ deux intervalles de
    $\R$ tels que~:
    \begin{itemize}
        \item $f$ continue sur $I$ et $f(I)\subset J$
        \item $g$ continue sur $J$
    \end{itemize}
    Alors $g\circ f$ est continue sur $I$.
\end{proposition}

\newpage
%------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Théorème des valeurs intermédiaires}
%------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{theoreme}
    L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
\end{theoreme}
Ce théorème, fondamental pour ce cours, est \textbf{admis}, il peut aussi
s'énoncer~:

\begin{theoreme}[Valeurs intermédiaires]
    Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ de $\R$, si
    $\alpha$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe
    $c\in[a,b]$ tel que~: $$f(c)=\alpha$$
\end{theoreme}

Ce théorème permet de prouver l'existence de solutions à l'équation
$f(x)=\alpha$ et justifie la réso\-lution de cette équation par la méthode
de \textbf{dichotomie}.

\begin{corollaire}
    Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $[a,b]$ de
    $\R$ et si $f(a)f(b)\le 0$ alors il existe $c\in[a,b]$ tel que~:
    $$f(c)=0$$
\end{corollaire}

Il existe un théorème plus précis encore que les
précédents~:

\begin{theoreme}
    L'image d'un segment\footnote{Un segment de $\R$ est un intervalle
    fermé et borné de $\R$ (ie. du type $[a,b]$).} par une fonction
    continue est un segment.
\end{theoreme}

Ce théorème exprime le fait que si $f$ est continue sur $[a,b]$, il existe
alors deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que~:
$$f([a,b])=[\alpha,\beta]$$
Donc~:

\begin{corollaire}
    Si $f$ est continue sur un segment $[a,b]$ de $\R$ alors $f$ est bornée sur
    ce segment et les bornes sont atteintes.  C'est à dire~:
    $$\exists(c,d)\in[a,b]^2,\enspace f(c)=\Sup{x\in[a,b]}f(x),\enspace
    f(d)=\Inf{x\in[a,b]}f(x)$$
\end{corollaire}

\textbf{Remarque.} Les {\em réciproques} des théorèmes précédents sont
fausses, on peut citer des fonctions définies sur un intervalle (segment)
$I$ telles que l'image de $I$ est un intervalle (un segment) sans que la
fonction soit continue sur $I$.\\
Il existe toutefois un cas où l'on peut énoncer une réciproque~:

\begin{theoreme}
    Si $f$ est une fonction numérique définie et \underbar{monotone}
    sur un intervalle $I$ de $\R$ et si $f(I)$ est un intervalle
    alors $f$ est continue sur $I$.
\end{theoreme}
\newpage
%------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Théorème de l'application réciproque}
%------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{theoreme}
        Soit $f$ une fonction strictement monotone et continue sur un
        intervalle $I$. $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)$ et son
        application réciproque $f^{-1}$ est continue sur $f(I)$.
\end{theoreme}

Ce théorème est un classique, il permet
d'introduire la notion suivante.

\begin{definition}
    Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\R$. $f$ est un
    \hypertarget{homeomorphisme}{}\textbf{homéo\-morphisme de $I$ et $J$} si,
    et seulement si~:
    \begin{center}
        ($f$ est bijective de $I$ sur $J$) et ($f$ continue sur $I$,
        $f^{-1}$ continue sur $J$)
   \end{center}
\end{definition}

\begin{theoreme}
    Soient $I$ et $J$ deux intervalles de $\R$ et $f$ une fonction numérique.\\
    Si $f$ est bijective de $I$ sur $J$ et continue sur $I$ alors $f$ est
    strictement monotone sur $I$ et est un homéomorphisme de $I$ sur $J$.
\end{theoreme}

\begin{corollaire}
    Soit $I$ et $J$ deux intervalles de $\R$ et $f$ une bijection de $I$ sur $J$.
    \begin{center}
        ($f$ strictement monotone sur $I$) $\iff$ ($f$ continue sur $I$)
    \end{center}
\end{corollaire}

\end{document}
