\documentclass{article}
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\title{Fonctions usuelles}
\author{Jean-Michel Sarlat}
\subject{Fonctions usuelles}
\keywords{LaTeX, hyperref, maths}

%\university{\fig{0.6}{logo.eps}}
\email{jm-sarlat@melusine.eu.org}
\version{1.2}
\copyrightyears{2000-2007}

%
% Insert some instruction on cover page
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\renewcommand\optionalpagematter{\vfill
    \begin{center}
    \fcolorbox{blue}{webyellow}{
    \begin{minipage}{.67\linewidth}
    \noindent\textcolor{red}{\textbf{Sommaire :}}
    Fonctions circulaires réciproques et
    fonctions hyperboliques.
    \end{minipage}}
    \end{center}
}

\parindent0pt
\begin{document}
\maketitle
\tableofcontents

%------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Rappels}
%------------------------------------------------------------------------------------------
Soit $f$ une bijection d'un intervalle $I$ de $\R$ sur un intervalle $J$ de
$\R$ et $f^{-1}$ son application réciproque.
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in I,\, f^{-1}\left(f(x)\right)=x$ et $\forall y\in J,\,
f\left(f^{-1}(y)\right)=y$\\ ie.  $f^{-1}\circ f=id_I$ et $f\circ
f^{-1}=id_J$
\item Dans un repère orthonormé, $C_f$ et $C_{f^{-1}}$ sont des courbes
symé\-triques l'une de l'autre par rapport à la première bissectrice des
axes.
\item Si $f$ est monotone sur $I$ alors $f$ est continue sur $I$, la
réciproque est vraie.  La fonction $f^{-1}$ est alors monotone et continue
sur $J$ avec une monotonie identique à celle de $f$.

\item Si $f$ est dérivable sur $I$ et si $f'$ ne s'annule pas sur $I$ alors
$f^{-1}$ est dérivable sur $J$ et~: $$\forall x\in J,\,
\left(f^{-1}\right)'(x)=\frac1{f'\left(f^{-1}(x)\right)}$$ ou encore~:
$$\left(f^{-1}\right)'=\frac1{f'\circ f^{-1}}$$
\end{enumerate}
\begin{definition}
$f$ étant une bijection de $I$ sur $J$, intervalles de $\R$, si $f$ et
$f^{-1}$ sont continues on dit que $f$ est un \textbf{homéo\-morphisme} de
$I$ sur $J$ et que les intervalles $I$ et $J$ sont \textbf{homéomorphes}.
\end{definition}
\begin{definition}
$f$ étant une bijection de $I$ sur $J$, intervalles de $\R$, si $f$ et
$f^{-1}$ sont dérivables et si $f'$ et ${f^{-1}}'$ sont des fonctions
continues on dit que $f$ est un \textbf{difféomorphisme} de $I$ sur $J$.
\end{definition}

\newpage
%------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Fonctions circulaires réciproques}
%------------------------------------------------------------------------------------------
%
\subsection{Arc Sinus}
%
La fonction $x\mapsto\sin x$ est une bijection de $\displaystyle
[-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2]$ sur $[-1,1]$, son application réciproque est
la fonction \textbf{Arc sinus}, notée $\arcsin$, elle est définie sur
$[-1,1]$ et à valeurs dans $\displaystyle [-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2]$.
$$\forall x\in [-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2],\,   \arcsin(\sin
x)=x$$ $$\forall x\in [-1,1],\,  \sin(\arcsin x)=x$$

La fonction $\arcsin$ (voir Figure~\ref{usuelles:arcsincos}) est continue et
croissante sur $[-1,1]$ et dérivable sur $]-1,1[$.\\
On a~:
$$\forall x\in ]-1,1[,\,  \arcsin'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}$$
puisque~:
$$\forall x\in [-1,1],\,  \cos(\arcsin x)=\sqrt{1-x^2}$$

%
\subsection{Arc Cosinus}
%
La fonction $x\mapsto\cos x$ est une bijection de $[0,\pi]$ sur $[-1,1]$,
son application réciproque est la fonction \textbf{Arc cosinus}, notée
$\arccos$, elle est définie sur $[-1,1]$ et à valeurs dans $[0,\pi]$.
$$\forall x\in [0,\pi],\,   \arccos(\cos x)=x$$
$$\forall x\in [-1,1],\,  \cos(\arccos x)=x$$

La fonction $\arccos$ (voir Figure~\ref{usuelles:arcsincos}) est continue et
décroissante sur $[-1,1]$ et dérivable sur $]-1,1[$.\\
On a~:
$$\forall x\in ]-1,1[,\,  \arccos'(x)=-\frac1{\sqrt{1-x^2}}$$
puisque~:
$$\forall x\in [-1,1],\,  \sin(\arccos x)=\sqrt{1-x^2}$$

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[scale=.5]{fctuarccos.pdf}
    \includegraphics[scale=.5]{fctuarcsin.pdf}
    \caption{Représentations de $\arcsin$ et $\arccos$}
    \label{usuelles:arcsincos}
\end{figure}
\newpage

%
\subsection{Arc Tangente}
%
La fonction $x\mapsto\tan x$ est une bijection de $\displaystyle
]-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2[$ sur $\R$, son
application réciproque est la fonction \textbf{Arc tangente}, notée $\arctan$,
elle est définie sur $\R$
et à valeurs dans $\displaystyle ]-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2[$.
$$\forall x\in ]-\frac{\pi}2,+\frac{\pi}2[,\,   \arctan(\tan x)=x$$
$$\forall x\in \R,\,  \tan(\arctan x)=x$$

\begin{figure}[ht]
        \centering
	\includegraphics[scale=.5]{fctuarctan.pdf}
        \caption{Représentation de $\arctan$}
       \label{usuelles:arctan}
\end{figure}

La fonction $\arctan$ (voir Figure~\ref{usuelles:arctan})est continue,
croissante et dérivable sur $\R$.\\
On a~:
$$\forall x\in \R,\,  \arctan'(x)=\frac1{1+x^2}$$

\newpage
%
\subsection{Formulaire}
%
\subsubsection{Parité}
\begin{enumerate}
\item $\arcsin$ est impaire~: $\forall x\in [-1,1],\,  \arcsin (-x)=-\arcsin (x)$
\item $\arctan$ est impaire~: $\forall x\in \R,\,  \arctan (-x)=-\arctan (x)$
\end{enumerate}

\subsubsection{Arcs complémentaires}
\begin{enumerate}
\item   $\displaystyle\forall x\in [-1,1],\,  \arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}2$
\item   $\displaystyle\forall x\in \R^*,\,  \arctan x+\arctan
\frac1x=\sysl{\displaystyle +\frac{\pi}2\hbox{ si }x>0\cr\cr
\displaystyle -\frac{\pi}2\hbox{ si }x<0}$
\end{enumerate}
\subsubsection{Arcs doubles}
\begin{enumerate}
\item $\forall x\in [-1,1],\,  \sin 2\arcsin x=\sin 2\arccos x= 2x\sqrt{1-x^2}$
\item $\forall x\in [-1,1],\,  \cos 2\arcsin x=-\cos 2\arccos x= 1-2x^2$
\item $\displaystyle\forall x\in\R\setminus\{-1,+1\},\,  \tan 2\arctan x=\frac{2x}{1-x^2}$
\end{enumerate}

%------------------------------------------------------------------------------------------
\section{Fonctions hyperboliques}
%------------------------------------------------------------------------------------------
%
\subsection{Définitions}
%
Les fonctions \textbf{cosinus hyperbolique}, \textbf{sinus
hyperbolique}, \textbf{tangente hyperbolique} notées respectivement
$ch$, $sh$ et $th$  sont définies
pour $x\in \R$ par~:
{\small
$$\ch x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\, \sh
x=\frac{e^x-e^{-x}}2,\, \th x=\frac{\sh x}{\ch
x}=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$$
}

\begin{figure}[ht]
        \centering
	\includegraphics[scale=.4]{fctuch.pdf}
	\includegraphics[scale=.4]{fctuch.pdf}
        \caption{Représentation de $\ch$ et $\sh$}
        \label{usuelles:shch}
\end{figure}
\begin{figure}[ht]
	\centering
	\includegraphics[scale=.4]{fctuth.pdf}
	\includegraphics[scale=.4]{fctuchsh.pdf}
	\caption{Représentation de $\th$ et comparaison de  $\ch$ et $\sh$}
\label{usuelles:thshch}
\end{figure}

$\ch$ est la {\em partie paire} de l'exponentielle, $\sh$ en est la {\em
partie impaire} (Voir Figure~\ref{usuelles:shch}).
La fonction $\th$ est une fonction impaire (Voir
Figure~\ref{usuelles:thshch}).  $$\forall
x\in\R,\, \sysl{\ch x+\sh x&=e^x\cr \ch x-\sh x&=e^{-x}}$$
On obtient ainsi l'identité fondamentale~:
$$\fbox{$\ch^2x-\sh^2x=1$}$$
Les fonctions $\ch,\sh$ et $\th$ sont indéfiniment dérivables sur
$\R$ et~:
{\small
$$\fbox{$\displaystyle\forall x\in\R,\, (\sh)'(x)=\ch x,\, (\ch)'(x)=\sh
x,\, (\th)'(x)=\frac1{\ch^2x}=1-\th^2x$}$$
}
Les limites à l'infini sont~:
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\ch x=\lim_{x\rightarrow+\infty}\sh
x=+\infty,\, \lim_{x\rightarrow+\infty}\th x=1$$
On retiendra aussi~:
$$\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ch x}{\displaystyle\frac{e^x}2} =
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sh x}{\displaystyle\frac{e^x}2}=1$$
$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sh x}x=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\th x}x
=1,\, \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ch x-1}{\displaystyle\frac{x^2}2}=1$$

\begin{figure}[ht]
        \centering
	\includegraphics[scale=.5]{fctuhyp.pdf}
        \caption{Hyperbole d'équation $x^2-y^2=1$}
	\label{usuelles:hyp}
\end{figure}

Le nom de {\em fonctions hyperboliques} est justifié par le fait que
$$(x=\ch t,y=\sh t)$$ est un paramétrage de la branche d'hyperbole
d'équation $x^2-y^2=1$ avec $x>0$ (Voir Figure~\ref{usuelles:hyp}).
%
\subsection{Formulaire}
%
$a,b,p,q,x$ désignent des réels.
\subsubsection{Addition}
\begin{enumerate}
\item $\ch (a+b)=\ch a\ch b+\sh a\sh b$
\item $\sh (a+b)=\sh a\ch b+\ch a\sh b$
\item $\displaystyle\th (a+b)=\frac{\th a+\th b}{1+\th a\th b}$
\end{enumerate}
\subsubsection{Duplication}
\begin{enumerate}
\item $\ch 2x=\ch^2 x+\sh^2 x=2\ch^2x-1=1+2\sh^2x$
\item $\displaystyle\sh^2x=\frac{\ch 2x-1}{2}\hbox{ et } \ch^2x=\frac{\ch 2x+1}2$
\item $\sh 2x=2\sh x\ch x$
\item $\displaystyle \th 2x=\frac{2\th x}{1+\th^2 x}$
\end{enumerate}
Si on pose $\displaystyle t=\th\frac{x}2$ alors~:
$$\ch x=\frac{1+t^2}{1-t^2},\,  \sh x=\frac{2t}{1-t^2},\,  \th x=\frac{2t}{1+t^2}$$
\subsubsection{Transformation de produit en somme}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle\ch a\ch b=\frac12\left(\ch (a+b)+\ch (a-b)\right)$
\item $\displaystyle\sh a\sh b=\frac12\left(\ch (a+b)-\ch (a-b)\right)$
\item $\displaystyle\sh a\ch b=\frac12\left(\sh (a+b)+\sh (a-b)\right)$
\end{enumerate}
\subsubsection{Transformation de somme en produit}
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \ch p + \ch q=2\ch\frac{p+q}2\ch\frac{p-q}2$
\item $\displaystyle \ch p - \ch q=2\sh\frac{p+q}2\sh\frac{p-q}2$
\item $\displaystyle \sh p + \sh q=2\sh\frac{p+q}2\ch\frac{p-q}2$
\item $\displaystyle \th p + \th q=\frac{\sh (p+q)}{\ch p\ch q}$
\end{enumerate}

\end{document}
