saisons2.tex

%&latex
%% Auteur : Jean-Michel Sarlat - 9 juin 2002
%% Reprise 29 janvier 2005 (fourier+pdflatex)
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\def\degre{\textrm{°}}
\everymath{\displaystyle}
\begin{document}
\begin{center}
    \textbf{Détermination des saisons (2)}\\
    \Large
    \textsf{Équation de Kepler}
\end{center}
 
Il est temps, maintenant, d'introduire le temps... C'est la deuxième 
loi de \textsc{Kepler} qui le permet, on note $\mathcal{S}$ l'aire de
l'ellipse  et $\mathcal{A}$ la durée d'une révolution sidérale du soleil
(année), la  vitesse aréolaire est égale à
 
\[\frac{\mathcal{S}}{\mathcal{A}}\]
 
% Question 3
\cadre{\linewidth}{10pt}{1pt}{\it\textbf{ Question 3 }}{
Montrer que $\mathcal{S}=\pi ab$
}
 
Soit $t_{0}$ l'instant du passage du soleil au périgée ($P$), à 
chaque instant $t$ l'aire du secteur d'ellipse $PTS$ est égale à
$$\mathcal{S}_{t}=\frac{\mathcal{S}}{\mathcal{A}}(t-t_{0})$$
\begin{center}
    \includegraphics[scale=0.75]{saisons2A-1.pdf}
\end{center}
Je vous propose maintenant d'exprimer l'aire $\mathcal{S}_{t}$ d'une autre 
façon en comparant l'aire du secteur d'ellipse $OSP$ et l'aire du 
secteur circulaire $OS'P$ puis en évaluant l'aire du triangle $OTS$.
% Question 4
\cadre{\linewidth}{10pt}{1pt}{\it\textbf{ Question 4 }}{
Montrer 
$$\mathcal{S}_{OSP} =\frac{b}{a}\mathcal{S}_{OS'P}=\frac12abu,\quad
\mathcal{S}_{OTS} =\frac{b}{a}\left(\frac12a^2e\sin 
u\right)=\frac12abe\sin u$$
}
 
Vous remarquerez le caractère particulier de ces aires, la première 
est «~cumulative~» et la seconde «~relative~» (elle tient compte de 
l'orientation du triangle $OTS$). En tout état de cause, nous 
disposons maintenant de l'égalité
$$\mathcal{S}_{t}=\frac12ab(u-e\sin u)$$
Ceci nous permet d'écrire l'équation de \textsc{Kepler} en tenant 
compte des différentes égalités connues:
\begin{center}
    \framebox{$u-e\sin u =\frac{2\pi}{\mathcal{A}}(t-t_{0})$}
\end{center}
Cette équation est fondamentale, pour un instant $t$ donné, la 
résoudre en $u$ permet de préciser $r$ et $v$ donc de localiser le 
soleil.
 
Avant de poursuivre, un peu de vocabulaire et une convention:
\begin{itemize}
    \item  Les angles seront exprimés en degré ($\degre$), minute ($'$), 
    seconde ($''$). $$2\pi \textrm{rad}=1 296 000''$$
    \item  Le facteur $\frac{2\pi}{\mathcal{A}}$ sera noté $n$, c'est 
    la vitesse angulaire moyenne du soleil autour de la terre, on lui 
    donne le nom de \emph{moyen mouvement}.
    $$n=\frac{1296000''}{365.256}\approx3548.196''\approx0.98561\degre\quad 
    \textrm{(par jour)}$$
    \item  Les angles $v$ et $u$ sont, respectivement, l'\emph{anomalie 
    vraie} et l'\emph{anomalie excentrique} du soleil.
    \item La quantité $n(t-t_{0})$, autrement dit l'angle qu'aurait 
    parcouru le soleil depuis son passage au périgée si son mouvement 
    était uniforme, est l'\emph{anomalie moyenne} du soleil, on la 
    note $M$.\\
    L'équation de \textsc{Kepler} trouve alors sa forme
    «~canonique~»:
    $$u-e\sin u =M$$
\end{itemize}
À ce point de l'exposé, il faut considérer trois soleils (rien que 
çà !):
\begin{enumerate}
    \item  Le soleil moyen $S''$ dont la trajectoire est le cercle 
    principal et dont le mouvement est uniforme (en conformité 
    avec les lois de Kepler), sa position à chaque instant est 
    mesurée par l'anomalie moyenne.
    \item  Le soleil excentré $S'$ dont la trajectoire est toujours le 
    cercle principal mais dont la position est mesurée par 
    l'anomalie excentrique. Il se déduit de $S''$ par la résolution 
    de l'équation de \textsc{Kepler}.
    \item  Le soleil vrai $S$ dont la trajectoire est l'ellipse et la 
    position mesurée par l'anomalie vraie (vue de $T$). Sa position 
    se déduit de celle $S'$ par l'affinité d'axe $(Ox)$ et de rapport 
    $b/a$.
\end{enumerate}
Maintenant effectuons une première résolution de l'équation de Kepler~:
% Question 5
\cadre{\linewidth}{10pt}{1pt}{\it\textbf{ Question 5 }}{
Pour une valeur de $t$ fixée, on considère la suite $(u_{n})$ définie 
par:
$$u_{0}=M\quad\mathrm{et}\quad\forall n\in \N, u_{n+1}=M+e\sin(u_{n})$$
Montrer que cette suite converge vers la solution de l'équation de 
\textsc{Kepler}.\\
Déterminer approximativement l'anomalie vraie du soleil, 30 jours, 60 
jours et 90 jours après son passage au périgée.
}
 
\begin{center}
    Prochain épisode (3) : Dates et durées des saisons.
\end{center}
 
\end{document}