\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{url,graphicx,geometry,typearea} \geometry{a4paper,margin=2cm} % \pagestyle{empty} \usepackage{amsmath,amssymb,amsthm,enumitem} \usepackage{ifpdf} \everymath{\displaystyle} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tt \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{slashbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{array} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} %\usepackage[dvips]{color} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree} \usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm} \usepackage{amsmath,amsthm,amscd,amssymb,color,fancybox,graphicx,pst-plot,pst-3d,multicol} \usepackage{makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{ulem} \usepackage{dcolumn} \usepackage{textcomp} \newlength{\larg} \setlength{\larg}{17cm} \usepackage{pifont} \setlength{\parindent}{0cm} \usepackage{typearea} \usepackage{fancyhdr,lscape} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} % ss \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %tt \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{fancybox} \usepackage{slashbox} \usepackage{tabularx} \usepackage{array} \def\Oij{$\left(\text{O},\overrightarrow{\imath},\overrightarrow{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath},~ \overrightarrow{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\overrightarrow{u},~\overrightarrow{v}\right)$} \usepackage{color,url} %Mise en forme des théorèmes proposition et autres, compilation ps,sans bclogo \newsavebox{\contenu} \newsavebox{\titre}\newlength{\tailletitre} \newenvironment{theoreme}[1]{% \vspace{1em}% \begin{lrbox}{\titre}#1\end{lrbox}% \begin{lrbox}{\contenu}% \begin{minipage}{0.8\linewidth}}% {\end{minipage}\end{lrbox}\par% \tailletitre=\wd\titre% \addtolength{\tailletitre}{2.4cm}% \boxput*(-1,1)% {\hspace{\tailletitre}\psshadowbox{\usebox{\titre}}}% {\psshadowbox[fillstyle=solid, fillcolor=yellow,framesep=10pt]{% \usebox{\contenu}}}} %Numérotation \newcounter{numero} \newcommand{\prop}{ \addtocounter{numero}{1} \textsc{\textbf{Propriété \arabic{numero}: }}} \newcounter{numero1} \newcommand{\defi}{ \addtocounter{numero1}{1} \textbf{Définition \arabic{numero1}: }} \newcounter{numero2} \newcommand{\propo}{ \addtocounter{numero2}{1} \textsc{\textbf{Proposition \arabic{numero2}: }}} \newcounter{numero3} \newcommand{\exem}{ \addtocounter{numero3}{1} \textbf{Exemple \arabic{numero3}: }} \newcounter{numero4} \newcommand{\theo}{ \addtocounter{numero4}{1} \textsc{\textbf{Théorème \arabic{numero4} }}} \newcounter{numero5} \newcommand{\ex}{ \addtocounter{numero5}{1} \textsc{\textbf{Exercice \arabic{numero5}: }}} \newcounter{numero6} \newcommand{\coro }{ \addtocounter{numero6}{1} \textsc{\textbf{Corollaire \arabic{numero6}: }}} \def\R{{\mathbb R}} % les réels \def\Q{{\mathbb Q}} % les rationnels \def\Z{{\mathbb Z}} % les entiers relatifs \def\D{{\mathbb D}} % les décimaux \def\N{{\mathbb N}} % les entiers naturels \def\C{{\mathbb C}} % les complexes \def\c{{\mathcal C}} % pour les courbes \def\demo{\underline{Démonstration :} } \renewcommand{\thesection}{\Roman{section}} \renewcommand{\thesubsection}{\thesection .\Alph{subsection}} %mise en forme théorèmes etc.... environnement bclogo \usepackage{bclogo} \renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$} %titre éventuellement \title{ {\rule{\larg}{2mm}}\vspace{7mm} \begin{tabular}{p{2cm} r} & {\Huge {\bf {Cours de mathématiques}}} \\ & \\ & {\Huge \bf Terminale S1} \end{tabular}\\ \vspace{2mm} {\rule{\larg}{2mm}} \vspace{2mm} \\ \begin{tabular}{p{11cm} r} & {\large \bf Année scolaire 2008-2009} \\ & {\large mise à jour \today} \end{tabular}\\ \vspace{5.5cm} } \author{\psshadowbox*[fillcolor=green,framearc=.50]{% \begin{minipage}{\textwidth} \smallskip {\Large {Jean-Marc Duquesnoy\footnote{\href{mailto:jean-marc.duquesnoy@ac-lille.fr}{jean-marc.duquesnoy@ac-lille.fr}}\hfill Lycée André Malraux de Béthune} } \smallskip \end{minipage} } } \date{} %Numérotation des paragraphes \renewcommand{\thesection}{\Roman{section}} \renewcommand{\thesubsection}{\thesection .\Alph{subsection}} \begin{document} \rule{\larg}{1.5mm} \vspace{1cm} \begin{tabular}{p{1cm} r} & {\Huge {\bf {Cours de mathématiques}}} \\ & \\ &{\huge \bf Terminale S1}\\ & \\ & {\Huge \bf \underline{Chapitre 12: Calcul Intégral}} \end{tabular} \vspace{1cm} \vspace{2mm} \vspace{2mm} \rule{\larg}{1.5mm} \begin{tabular}{p{11cm} r} & {\large \bf Année scolaire 2008-2009} \\ & {\large mise à jour \today} \end{tabular} \vspace{2mm} \rule{\larg}{1.5mm} \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[scale=2.3]{lebesgue.ps}\includegraphics[scale=2.3]{riemann.ps} \caption{Henri-Léon Lebesgue et Bernhard Riemann} \end{figure} \begin{center}\textit{\textbf{On les confond parfois \includegraphics[scale=1.2]{smh.eps}}}\end{center} \date{} \newpage \tableofcontents \vspace{3cm} \begin{bclogo}[arrondi=0.1,couleur=yellow!,logo=\bclampe,ombre=true,epOmbre=0.25,cadreTitre=true,couleurOmbre =black!30]{Informations sur la mise en page} Le document s'inspire des nombreux livres de Terminale S des différentes éditions. Les figures de ce document ont été réalisées avec métapost et les macros de \textbf{J-M Sarlat} et en s'inspirant \textbf{très fortement de ce qui est fait ici par David Nivaud\footnote{le fichier de macros s'appelle toujours courbes.mp mais est différent du fichier courbes.mp des chapitres précédents}}: \url{http://melusine.eu.org/syracuse/metapost/cours/nivaud/figTsc_integrale/}. L'environnement \textcolor{blue}{bclogo}, utilisé pour la réalisation de ce document, est téléchargeable ici: \url{http://melusine.eu.org/syracuse/wiki/doku.php/mc/bclogo} \end{bclogo} \newpage \section{Chapitre 12: Calcul Intégral} \subsection{Intégrale d'une fonction continue positive} \subsubsection{Définition} \begin{bclogo}[couleur=red!10,arrondi=0.1,logo=\bccrayon,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30]{\defi }Un repère orthogonal \Oij \ ayant été fixé, une unité d'aire est définie de la manière suivante: \includegraphics[scale=1.4]{fig.1} \end{bclogo} \begin{bclogo}[couleur=red!20,arrondi=0.1,logo=\bcbook,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30]{\defi } Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et $C_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij. Le réel, noté $\displaystyle{\int_a^bf(x)\text{dx}}$, est l'aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ délimité par $C_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$. $\displaystyle{\int_a^bf(x)\text{dx}}$ se lit somme de $a$ à $b$ de $f(x)\text{dx}$ \ ou intégrale de $a$ à $b$ de $f$ \includegraphics[scale=1]{fig.2} \vspace{0.2cm} \end{bclogo} \subsection{Intégrale d'une fonction continue négative} \begin{bclogo}[couleur=red!30,arrondi=0.1,logo=\bcbook,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30]{\defi } Si $f$ est une fonction continue et négative sur $[a;b]$, on a la définition suivante: \includegraphics[scale=1]{fig.3} \end{bclogo} \subsubsection{Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque} \begin{bclogo}[couleur=red!40,arrondi=0.1,logo=\bcbook,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30]{\defi } Si $f$ est continue sur l'intervalle $[a;b]$, alors on définit $\int_a^bf(x)\text{dx}$ de la manière suivante: \includegraphics[scale=1]{fig.4}\end{bclogo} \begin{bclogo}[couleur=red!40,arrondi=0.1,logo=\bcbook,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30]{Remarque }On admet pour l'instant l'égalité suivante: si $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$, alors, pour tout $c\in [a;b]$, $$\int_c^cf(x)\text{dx}=0$$ \end{bclogo} \subsubsection{Cas d'une fonction en escalier} \begin{bclogo}[couleur=red!30,arrondi=0.1,logo=\bcdanger,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30]{\defi } Il est un cas où, si la fonction $f$ n'est pas continuesur $[a;b]$, on peut néanmoins définir $\int_a^bf(x)\text{dx}$ , c'est le cas des fonctions en escalier. Si $f$ est définie ainsi:\begin{enumerate} \item si $x\in[x_0;x_1[$, $f(x)=c_1$ \item si $x\in[x_1;x_2[$, $f(x)=c_2$ \item si $x\in[x_2;x_3[$, $f(x)=c_3$ \item si $x\in[x_3;x_4]$, $f(x)=c_4$ \end{enumerate}alors $\int_a^bf(x)\text{dx}$=somme des aires des rectangles situés au-dessus de l'axe des abscisses-(somme des aires des rectangles en dessous de l'axe des abscisses) \includegraphics[scale=1]{fig.5}\end{bclogo} \subsection{Propriétés de l'intégrale} \subsection{Propriété} \begin{bclogo}[couleur=green!50,arrondi=0.1,logo=\bctakecare,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{\theo } On admet pour l'instant, la définition de l'intégrale ayant été donnée précédemment, que $$\int_a^bf(x)\text{dx}=-\int_b^af(x)\text{dx}$$ La notion de primitive nous permettra de valider cette propriété dans quelques instants. \end{bclogo} \subsubsection{Linéarité} \begin{bclogo}[couleur=green!50,arrondi=0.1,logo=\bctakecare,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{\theo } Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur $[a;b]$ et $\alpha$ un réel, alors on a: $$\int_a^bf(x)\text{dx}+\int_a^bg(x)\text{dx}=\int_a^b(f(x)+g(x))\text{dx}$$ et $$\int_a^b \alpha f(x)\text{dx}=\alpha \int_a^bf(x)\text{dx}$$\end{bclogo} \subsubsection{Relation de Chasles} \begin{bclogo}[couleur=green!20,arrondi=0.1,logo=\bctakecare,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{\theo } Soit $f$ une fonction continue sur $[a;c]$, alors: \includegraphics[scale=1]{fig.6} \end{bclogo} \subsubsection{Intégrales et inégalités} \begin{bclogo}[couleur=green!30,arrondi=0.1,logo=\bctakecare,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{\theo } Si $f$ et $g$ sont continues sur $[a;b]$ et si, pour tout $x\in [a;b]$, $g(x)\leq f(x)$ alors on a: \begin{center}\includegraphics[scale=0.85]{fig.7}\end{center}\end{bclogo} \begin{bclogo}[couleur=green!30,arrondi=0.1,logo=\bctakecare,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{\theo: \textbf{Inégalités de la moyenne}} S'il existe $m$ et $M$ tels que, pour tout $x\in [a;b]$ $$m\leq f(x) \leq M$$ alors on a: \begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig.8}\end{center} Il suffit de comparer les aires du domaine sous la courbe avec celles des triangles $ABCD$ et $ABEF$ \end{bclogo} \subsubsection{Valeur moyenne d'une fonction} \begin{bclogo}[couleur=green!80,arrondi=0.1,logo=\bcbook,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30]{\theo } Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$; $a$ et $b$ sont deux réels distincts de l'intervalle $I$. Alors il existe un réel $c$ entre $a$ et $b$ tel que $\displaystyle{\int_a^bf(x)\text{dx}=(b-a)f(c)}$. Le nombre $\displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\text{dx}}$ est appelé \textbf{valeur moyenne de $f$ entre $a$ et $b$}. \end{bclogo} \begin{bclogo}[couleur=red!80,arrondi=0.1,logo=\bccrayon,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30]{Interprétation cinématique: la vitesse moyenne d'un mobile } La vitesse moyenne d'un mobile est la valeur moyenne de la vitesse, d'où: $$\text{vitesse moyenne}=\dfrac{\text{distance parcourue}}{\text{durée du trajet}}=\dfrac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2}v(t)\text{dt}$$ \end{bclogo} \vspace{1cm} \begin{bclogo}[couleur=green!50,arrondi=0.1,logo=\bclampe,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{Démonstration} On suppose la fonction $f$ croissante. (On admet le résultat dans le cas général.) \underline{Premier cas :} $a<b$. Puisque $f$ est croissante, pour tout réel $x$ dans $[a;b]$, $$f(a)\leq f(x)\leq f(b)$$. On a alors $$\displaystyle{f(a)(b-a)\leq \int_a^bf(x)\text{dx}\leq f(b)(b-a)}$$ et, puisque $b-a>0$, $$\displaystyle{f(a)\leq \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\text{dx}\leq f(b)}$$. Le réel $\displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\text{dx}}$ est dans l'intervalle $[f(a);f(b)]$, donc il existe $c$ dans $[a;b]$ tel que : $$\displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)\text{dx}=f(c)}$$. \underline{Deuxième cas :} $a>b$. On procéde de la même manière que précédemment, à vous de le faire. \end{bclogo} \subsection{Primitives} \subsubsection{Exemple} On s'intéresse à la fonction $$f:x \in \mathbb R^+ \longmapsto 0.9\times e^{-0.9x}$$ Le but est double: \begin{itemize} \item Introduire la notion de primitive. \item Découvrir la fonction $f$ en vue du chapitre sur la loi exponentielle. \end{itemize} Soit $\mathcal A$ la fonction qui, à tout réel $x$ positif, associe $\mathcal A(x)=\int_0^x 0.9 \ e^{-0.9t}\text{dt}$. Alors, pour tout réel $a$ positif, le réel $\mathcal A(a+h)-\mathcal A(a)$ représente l'aire du domaine hachuré en vert ci-après. (on se place dans le cas où $h$ est strictement positif): En utilisant les inégalités de la moyenne décrites plus haut, on peut écrire: $$h\times f(a+h)\leq \mathcal A(a+h)-\mathcal A(a) \leq h \times f(a)$$ d'où $$f(a+h)\leq \dfrac{\mathcal A(a+h)-\mathcal A(a)}{h}\leq f(a)$$ De la même manière, en considérant $h$ strictement négatif, on obtient: $$f(a)\leq \dfrac{\mathcal A(a+h)-\mathcal A(a)}{h}\leq f(a+h)$$ Si on fait tendre $h$ vers 0 et en tenant compte du fait que la fonction $f$ est continue sur $\mathbb R$, donc sur $\mathbb R^+$ en particulier, on obtient, après passage à la limite: $$\lim_{h\to 0}\dfrac{\mathcal A(a+h)-\mathcal A(a)}{h}=f(a)$$ \begin{center}\includegraphics[scale=0.8]{fig.9}\end{center} Ce qui nous permet de dire que la fonction $$\mathcal A:x\longmapsto \int_0^xf(t)\text{dt}$$ est dérivable sur $\mathbb R^+$ et vérifie $$\mathcal A'(x)=f(x)$$ La fonction $\mathcal A$ est appelée \textbf{primitive} de la fonction $f$ sur $\mathbb R^+$. Cela nous permet aussi de calculer la valeur exacte de $\int_0^1f(t)\text{dt}$ que l'on avait seulement approchée par les méthodes des rectangles et de Monte-Carlo en utilisant \textsl{Scilab}. En effet, si l'on considère la fonction $F$, définie sur $\mathbb R$, par $$F(x)=\mathcal A(x) +e^{-0.9x}$$ on voit que, la fonction $F$ étant manifestement dérivable sur $\mathbb R^+$, $F'(x)=0$, pour tout $x\geq 0$, donc $$F(x)=K(constante)=F(0)=1$$. Autrement dit, $$\mathcal A(x)=1-e^{-0.9x} \ \text{pour tout} \ x\geq 0$$ or $$\int_0^1f(t)\text{dt}=\mathcal A(1)$$ donc $$\int_0^1f(t)\text{dt}=1-e^{-0.9}$$ \subsubsection{Définition} \begin{bclogo}[couleur=yellow!50,arrondi=0.1,logo=\bcbook,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30]{\defi} $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$. La fonction $F$ est une \textbf{primitive} de $f$ sur $I$ si, pour tout $x$ dans $I$, $F'(x)=f(x)$.(implicitement, cela suppose que $F$ soit dérivable sur $I$) \end{bclogo} \vspace{0.2cm} \begin{bclogo}[couleur=yellow!60,arrondi=0.1,logo=\bctakecare,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{\theo} Si $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $f$ admet une infinité de primitives. Les autres primitives de $f$ sur $I$ sont définies par $G(x)=F(x)+K$ où $K$ est une constante réelle. \end{bclogo} \vspace{0.1cm} \demo $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$. La fonction $G$ est aussi dérivable sur $I$ avec $G'=F'=f$. Donc $G$ est une primitive de $f$ sur $I$. Inversement, si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors $G'=f=F'$ d'où $G'-F'=0$. La dérivée de $G-F$ est nulle sur l'intervalle $I$ donc $G-F$ est constante sur $I$, il existe donc un réel $K$ tel que pour tout $x$ de $I$, $G(x)-F(x)=K$, d'où le résultat. \vspace{0.2cm} \begin{bclogo}[couleur=yellow!80,arrondi=0.1,logo=\bctakecare,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{\theo } Soit $f$ une fonction admettant des primitives sur $I$. Soient $x_0$ est un réel donné appartenant à $I$ et $y_0$ un réel quelconque. Alors il existe \textbf{une unique primitive } $F$ de $f$ sur $I$ telle que $F(x_0)=y_0$. \end{bclogo} \vspace{0.1cm} \vspace{0.2cm} \subsection{Primitive d'une fonction continue} \begin{bclogo}[couleur=yellow!90,arrondi=0.1,logo=\bctakecare,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{\theo}Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$; $a$ est un réel de $I$. Alors la fonction $F$ définie sur $I$ par $\displaystyle{F(x)=\int_a^xf(t)dt}$ est l'unique primitive de $f$ sur $I$ telle que $F(a)=0$.\end{bclogo} \vspace{0.1cm} La démonstration de ce théorème sera vue en TD. \vspace{0.2cm} \subsection{Calculs de primitives} Les opérations sur les fonctions dérivables et la définition d'une primitive conduisent aux résultats suivants: \begin{itemize} \item si $F$ et $G$ sont des primitives des fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $I$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$. \item Si $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ et $\lambda$ un réel, alors $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f$ sur $I$. \end{itemize} De même, les résultats connus sur les dérivées des fonctions usuelles donnent par lecture inverse le tableau des primitives suivant: \hspace{1cm} \shadowbox{\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \textbf{Fonction $f$} & \textbf{Primitive $F$} & \textbf{Intervalle I}\\ \hline $a$ (constante) & $ax$ & $\R$ \\&& \\ \hline $x^n$ ($n\in\Z\setminus\{-1\}$) & $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ &$\mathbb R$ si $n\geq 0$ et $]0;+\infty[$ ou $]-\infty;0[$ si $n<0$ \\ && \\ \hline $\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ & $2\sqrt{x}$ & $]0;+\infty[$ \\ &&\\ \hline $\dfrac{1}{x}$ & $\ln x$ & $]0;+\infty[$\\&& \\ \hline $e^x$ & $e^x$ & $\R$ \\&& \\ \hline $\sin x$ & $-\cos x$ & $\R$ \\ && \\ \hline $\cos x$ & $\sin x$ & $\R$ \\&& \\ \hline $1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$ & $\tan x$ & $\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[$ ($k\in\Z$)\\&& \\ \hline \end{tabular}} \vspace{0.2cm} Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, on a alors: \hspace{1cm} \shadowbox{\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \textbf{Fonction $f$} & \textbf{Primitive $F$} & \textbf{Remarques}\\ &&\\ \hline $u'u^n$ ($n\in\Z\setminus\{-1\}$) & $\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$ & si $n<0$, pour tout $x$ tel que $u(x)\neq 0$\\&&\\ \hline $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ & $u>0$ sur $I$\\ &&\\ \hline $\dfrac{u'}{u}$ & $\ln(|u|)$ &$u\neq 0$ sur $I$ \\&&\\ \hline $u'e^u$ & $e^u$ & \\&&\\ \hline $x\longmapsto u(ax+b)$ ($a\neq 0$) & $x\longmapsto \dfrac{1}{a}U(ax+b)$ & $U$ primitive de $u$ sur $I$\\&&\\ \hline \end{tabular}} \vspace{0.2cm} \textbf{Remarque:} On peut ajouter à chaque primitive déterminée une constante $K$ pour obtenir toutes les primitives. \subsection{Calculs d'intégrales} \begin{bclogo}[couleur=green!50,arrondi=0.1,logo=\bctakecare,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{\theo}Si $f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$, $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, $a$ et $b$ sont deux réels de $I$. Alors : $$\displaystyle{\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)}$$ \end{bclogo} \vspace{0.2cm} \begin{bclogo}[couleur=green!50,arrondi=0.1,logo=\bclampe,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{Démonstration} On sait que la fonction $\displaystyle{G:x\longmapsto \int_a^xf(t)dt}$ est la primitive de $f$ sur $I$ telle que $G(a)=0$. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors il existe $k\in\R$ tel que pour tout $x$ de $I$, $G(x)=F(x)+k$. Or $G(a)=0$, d'où $k=-F(a)$ et on obtient : $\displaystyle{\int_a^xf(t)dt=F(x)-F(a)}$. En posant $x=b$, on obtient bien $\displaystyle{\int_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)}$. \end{bclogo} \vspace{0.2cm} \begin{bclogo}[couleur=green!50,arrondi=0.1,logo=\bcnote,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30]{Notation } $$\displaystyle{\int_a^b f(x)\text{dx}=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)}$$ \end{bclogo} \begin{bclogo}[couleur=green!50,arrondi=0.1,logo=\bclampe,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30]{Remarque } Cela permet de valider la formule:$$\displaystyle{\int_a^b f(x)\text{dx}=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)}=-\int_b^af(x)\text{dx}=-(F(a)-F(b))$$ \end{bclogo} \subsection{Intégration par parties} \begin{bclogo}[couleur=yellow!,arrondi=0.1,logo=\bctakecare,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{\theo } Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$, telles que leurs dérivées $u'$ et $v'$ soient continues sur $I$. Alors pour tous réels $a$ et $b$ de $I$: $$\displaystyle{\int_a^bu(t)v'(t)\text{dt}=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^bu'(t)v(t)\text{dt}}$$. \end{bclogo} \vspace{0.2cm} \begin{bclogo}[couleur=green!50,arrondi=0.1,logo=\bclampe,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{Démonstration} La fonction $uv$ est dérivable sur $I$ avec $(uv)'=u'v-uv'$. Ainsi $$uv'=(uv)'-u'v$$ Puisque $uv'$, $(uv)'$ et $u'v$ sont continues sur $I$, on en déduit que : $$\displaystyle{\int_a^b(uv')(t)\text{dt}=\int_a^b[(uv)'(t)-(u'v)(t)]\text{dt}}$$ et par linéarité de l'intégration : $$\displaystyle{\int_a^b(uv')(t)\text{dt}=\int_a^b(uv)'(t)\text{dt}-\int_a^b(u'v)(t)\text{dt}}$$ Or $uv$ est une primitive de $(uv)'$ sur $I$, donc $$\displaystyle{\int_a^b(uv)'(t)\text{dt}=[u(t)v(t)]_a^b}$$ Ainsi, on obtient : $$\displaystyle{\int_a^bu(t)v'(t)\text{dt}=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^bu'(t)v(t)\text{dt}}$$ \end{bclogo} \subsection{Calculs de volumes} \begin{bclogo}[couleur=yellow!,arrondi=0.1,logo=\bclampe,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{Propriété } Dans un repère orthogonal $(O;\overrightarrow{OI};\overrightarrow{OJ};\overrightarrow{OK})$ de l'espace, le solide $\mathcal V$ est limité par les plans d'équations $z=a$ et $z=b$, $a<b$. $\mathcal S(z)$ désigne l'aire de la section du solide par le plan parallèle à $(OIJ)$ de cote $z$, avec $a\leq z \leq b$. \includegraphics[scale=0.62]{fig.12} L'unité de volume étant le volume du parallélépipède rectangle construit sur $O,I,J$ et $K$, de la même manière que pour définir l'unité d'aire dans le plan repéré, si $\mathcal S$ est une fonction continue sur l'intervalle $[a;b]$, alors on admet que le volume $V$ du solide $\mathcal V$ est égal à: $$V=\int_a^b\mathcal S(z)\text{dz}$$ \end{bclogo} \begin{bclogo}[couleur=red!40,arrondi=0.1,logo=\bccrayon,ombre=true,epOmbre=0.25,couleurOmbre =black!30,barre=snake]{Remarque } Nous verrons des exemples en T-D \includegraphics[scale=0.5]{sbh.eps}notamment concernant des solides de révolution et les solides de référence: boule, cone, pyramide.......... \end{bclogo} \end{document}