\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage{ae} \usepackage{fancybox,amsmath,amssymb,amsfonts} \usepackage{geometry} \usepackage[dvips]{graphicx} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}} \newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}} \def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}} %***mise en page*** \setlength{\textwidth}{17cm} \setlength{\textheight}{25cm} \setlength{\oddsidemargin}{-5.5mm} \setlength{\evensidemargin}{0pt} \setlength{\marginparwidth}{1cm} \setlength{\headheight}{13pt} \setlength{\topmargin}{-30pt} \setlength{\footskip}{26pt} \setlength{\headsep}{13pt} \geometry{ hmargin=1.5cm, vmargin=1cm } \parindent0pt \pagestyle{empty} \everymath{\displaystyle} \begin{document} chapitre 3~:\\ \shadowbox{\parbox{\textwidth}{\centering\textsc{\large Le théorème de thalès et sa réciproque.}}}\\ \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] \textbf{La droite des milieux.} \\ \begin{enumerate} \item \underline{Milieux.}\\ \parbox[]{6cm}{\textsc{théorème~:} \\ Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.} \parbox[]{5cm}{ \begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig1.mps} \end{center}} \parbox[]{6cm}{\begin{center} \textbf{Données~:}\end{center} \begin{itemize} \item $M$ est le milieu de $[AB]$. \item $N$ est le milieu de $[AC]$. \end{itemize} \begin{center} \textbf{Conclusion~:}\end{center} La droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$.} \item \underline{Longueurs.}\\ \parbox[]{6cm}{\textsc{théorème~:} \\ Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté.} \parbox[]{5cm}{ \begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig1.mps}\end{center}} \parbox[]{6cm}{\begin{center} \textbf{Données~:}\end{center} \begin{itemize} \item $M$ est le milieu de $[AB]$. \item $N$ est le milieu de $[AC]$. \end{itemize} \begin{center} \textbf{Conclusion~:}\end{center} $MN=\frac{BC}{2}$.} \item \underline{Milieux et parallèles.}\\ \parbox[]{6cm}{\textsc{théorème~:} \\ Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu.} \parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig2.mps}\end{center}} \parbox[]{6cm}{\begin{center} \textbf{Données~:}\end{center} \begin{itemize} \item $M$ est le milieu de $[AB]$. \item $(d)$ est parallèle à $(BC)$. \end{itemize} \begin{center} \textbf{Conclusion~:}\end{center} $(d)$ passe par le milieu $N$ de $[AC]$.} \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] \textbf{Le théorème de Thalès.}\\ \begin{enumerate} \item \underline{Propriété.}\\ Etant donné deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes au point $A$; $B$ et $M$ deux points de $(d)$ distincts \\de $A$; $C$ et $N$ deux points de $(d')$ distincts de $A$~:\\ si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors on a~: $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$\\ \parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3.mps}\end{center}} \parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3b.mps}\end{center}} \parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3bb.mps}\end{center}}\\ \item \underline{Calculer des longueurs.}\\ \parbox[]{11cm}{ Sur la figure ci-contre les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont sécantes en $O$. De plus, on suppose que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. On donne~: $OB=5$ cm ; $AB=3$ cm ; $OD=6$ cm ; $OC=9$ cm.\\ Calculer les longueurs $OA$ et $CD$.} \parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig4.mps}\end{center}} \\ Les points $A$, $O$, $C$ sont alignés ainsi que les points $B$, $O$, $D$. De plus, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parralèles. Donc d'après le théorème de Thalès, on a~:\\ $$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}.$$\\ D'où en remplaçant par les valeurs~:\\ $$\frac{OA}{9}=\frac{5}{6}=\frac{3}{CD}.$$\\ On calcule les longueurs inconnues~:\\ \begin{center} $\frac{OA}{9}=\frac{5}{6}$ donc $OA=9 \times \frac{5}{6}=\frac{15}{2}=7,5$\\[0.3cm] $\frac{3}{CD}=\frac{5}{6}$ donc $CD=\frac{6 \times 3}{5}=\frac{18}{5}=3,6$\\ \end{center} On conclut~: $OA=7,5$ cm et $CD=3,6$ cm.\\\\ \item \underline{Vérifier si deux droites sont parallèles.}\\ \parbox[]{11cm}{ Sur la figure ci-contre les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, ainsi que les points $A$, $N$, $C$. On sait que~: $AM=11,9$ cm ; $AB=35$ cm ; $AN=18,2$ cm ; $AC=52$ cm.\\ Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont-elles parrallèles~?} \parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig5.mps}\end{center}} \\ On calcule les rapports~: \begin{center} $\frac{AM}{AB}=\frac{11,9}{35}=0,34$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{18,2}{52}=0,35$\\ \end{center} On les compare~: \begin{center} $\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$ (car $0,34 \neq 0,35$)\\ \end{center} On applique la propriété de Thalès~:\\ Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ étaient parallèles, on aurait $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ ce qui n'est pas le cas.\\ On en déduit que les droites $(BC)$ et $(MN)$ ne sont pas parallèles.\\\\ \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] \textbf{La réciproque du théorème de Thalès.} \nopagebreak \begin{enumerate} \item \underline{Propriété.}\\ Etant donné deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes au point $A$; $B$ et $M$ deux points de $(d)$ distincts \\de $A$; $C$ et $N$ deux points de $(d')$ distincts de $A$~:\\ si les points $A$, $B$, $M$ et $A$, $C$, $N$ sont dans le même ordre et si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors~:\\ Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles. \item \underline{Exemple~:}\\ \parbox[]{11cm}{ Sur la figure ci-contre les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, ainsi que les points $A$, $N$, $C$. On sait que~: $AM=3,6$ cm ; $AB=6$ cm ; $AN=5,1$ cm ; $AC=8,5$ cm.\\ Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont-elles parrallèles~?} \parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3.mps}\end{center}} \\ On a~: \begin{center} $\frac{AM}{AB}=\frac{3,6}{6}=0,6$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{5,1}{8,5}=0,6$\\ \end{center} Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en $A$.\\ Les points $A$, $M$, $B$ de la droite $(AB)$ et les points $A$, $N$, $C$ de la droite $(AC)$ sont dans le même ordre.\\ De plus, $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$\\ D'après la réciproque du Théorème de Thalès, on en déduit que les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}