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Source de chap3.tex

Fichier TeX
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%***mise en page***
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\everymath{\displaystyle} 

\begin{document}

chapitre 3~:\\
\shadowbox{\parbox{\textwidth}{\centering\textsc{\large Le théorème de thalès et sa réciproque.}}}\\


\begin{enumerate}

\item[\textbf{1.}] \textbf{La droite des milieux.} \\

	\begin{enumerate}
	    \item \underline{Milieux.}\\
	    \parbox[]{6cm}{\textsc{théorème~:} \\
		Dans un triangle, si une droite passe par les milieux 
                de deux côtés, alors elle est parallèle au troisième côté.} 
	    \parbox[]{5cm}{
                \begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig1.mps}
                \end{center}}
	    \parbox[]{6cm}{\begin{center} \textbf{Données~:}\end{center}
		\begin{itemize}
		    \item $M$ est le milieu de $[AB]$.
		    \item $N$ est le milieu de $[AC]$.
	        \end{itemize}
		\begin{center} \textbf{Conclusion~:}\end{center}
		La droite $(MN)$ est parallèle à la droite $(BC)$.}
		
	    \item \underline{Longueurs.}\\
	    \parbox[]{6cm}{\textsc{théorème~:} \\
		Dans un triangle, le segment joignant les milieux de deux 
                côtés mesure la moitié du troisième côté.} 
	    \parbox[]{5cm}{
                \begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig1.mps}\end{center}}
	    \parbox[]{6cm}{\begin{center} \textbf{Données~:}\end{center}								
                \begin{itemize}
		    \item $M$ est le milieu de $[AB]$.
		    \item $N$ est le milieu de $[AC]$.
	        \end{itemize}
	        \begin{center} \textbf{Conclusion~:}\end{center}
	        $MN=\frac{BC}{2}$.}
		
	    \item \underline{Milieux et parallèles.}\\
	    \parbox[]{6cm}{\textsc{théorème~:} \\
		Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté 
                et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le 
                troisième côté en son milieu.} 
            \parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig2.mps}\end{center}}
		\parbox[]{6cm}{\begin{center} \textbf{Données~:}\end{center}
		\begin{itemize}
		    \item $M$ est le milieu de $[AB]$.
		    \item $(d)$ est parallèle à $(BC)$.
		\end{itemize}
		\begin{center} \textbf{Conclusion~:}\end{center}
		    $(d)$ passe par le milieu $N$ de $[AC]$.}
		
	    \end{enumerate}

\item[\textbf{2.}] \textbf{Le théorème de Thalès.}\\

		\begin{enumerate}
				\item \underline{Propriété.}\\
				Etant donné deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes au point $A$; $B$ et $M$ deux points de $(d)$ distincts \\de $A$; $C$ et $N$ deux points de $(d')$ distincts de $A$~:\\
				si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, alors on a~:
				$$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$\\
	
				\parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3.mps}\end{center}} 
				\parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3b.mps}\end{center}} 
				\parbox[]{5cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3bb.mps}\end{center}}\\ 


				\item \underline{Calculer des longueurs.}\\
				\parbox[]{11cm}{
				Sur la figure ci-contre les droites $(AC)$ et $(BD)$ sont sécantes en $O$. De plus, on suppose que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.
				On donne~: $OB=5$ cm ; $AB=3$ cm ;  $OD=6$ cm ;  $OC=9$ cm.\\
				Calculer les longueurs $OA$ et $CD$.}
				\parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig4.mps}\end{center}} \\

				Les points $A$, $O$, $C$ sont alignés ainsi que les points $B$, $O$, $D$. De plus, les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parralèles. Donc d'après le théorème de Thalès, on a~:\\
				$$\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}.$$\\
				D'où en remplaçant par les valeurs~:\\
				$$\frac{OA}{9}=\frac{5}{6}=\frac{3}{CD}.$$\\
				On calcule les longueurs inconnues~:\\
				\begin{center}
				$\frac{OA}{9}=\frac{5}{6}$ donc $OA=9 \times \frac{5}{6}=\frac{15}{2}=7,5$\\[0.3cm]
				$\frac{3}{CD}=\frac{5}{6}$ donc $CD=\frac{6 \times 3}{5}=\frac{18}{5}=3,6$\\
				\end{center}
				On conclut~: $OA=7,5$ cm et $CD=3,6$ cm.\\\\


				\item \underline{Vérifier si deux droites sont parallèles.}\\
				\parbox[]{11cm}{
				Sur la figure ci-contre les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, ainsi que les points $A$, $N$, $C$.
				On sait que~: $AM=11,9$ cm ; $AB=35$ cm ;  $AN=18,2$ cm ;  $AC=52$ cm.\\
				Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont-elles parrallèles~?}
				\parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig5.mps}\end{center}} \\

				On calcule les rapports~:
				\begin{center}
				$\frac{AM}{AB}=\frac{11,9}{35}=0,34$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{18,2}{52}=0,35$\\
				\end{center}			
				On les compare~:
				\begin{center}
				$\frac{AM}{AB} \neq \frac{AN}{AC}$ (car $0,34 \neq 0,35$)\\
				\end{center}
				On applique la propriété de Thalès~:\\
				Si les droites $(BC)$ et $(MN)$ étaient parallèles, on aurait $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ ce qui n'est pas le cas.\\
				On en déduit que les droites $(BC)$ et $(MN)$ ne sont pas parallèles.\\\\

		\end{enumerate}

\item[\textbf{3.}] \textbf{La réciproque du théorème de Thalès.}
\nopagebreak
		\begin{enumerate}
				\item \underline{Propriété.}\\
				Etant donné deux droites $(d)$ et $(d')$ sécantes au point $A$; $B$ et $M$ deux points de $(d)$ distincts \\de $A$; $C$ et $N$ deux points de $(d')$ distincts de $A$~:\\
				si les points $A$, $B$, $M$ et $A$, $C$, $N$ sont dans le même ordre et si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, alors~:\\
				Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

				\item \underline{Exemple~:}\\
				\parbox[]{11cm}{
				Sur la figure ci-contre les points $A$, $M$, $B$ sont alignés, ainsi que les points $A$, $N$, $C$.
				On sait que~: $AM=3,6$ cm ; $AB=6$ cm ;  $AN=5,1$ cm ;  $AC=8,5$ cm.\\
				Les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont-elles parrallèles~?}
				\parbox[]{6cm}{\begin{center}\includegraphics[scale=1]{fig3.mps}\end{center}} \\

				On a~:
				\begin{center}
				$\frac{AM}{AB}=\frac{3,6}{6}=0,6$ et $\frac{AN}{AC}=\frac{5,1}{8,5}=0,6$\\
				\end{center}
				Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en $A$.\\
				Les points $A$, $M$, $B$ de la droite $(AB)$ et les points $A$, $N$, $C$ de la droite $(AC)$ sont dans le même ordre.\\
				De plus, $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}.$\\
				D'après la réciproque du Théorème de Thalès, on en déduit que les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.


				






		\end{enumerate}

\end{enumerate}


\end{document}