\documentclass[a4paper,12pt,dvips]{book} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{palatino} \usepackage{makeidx} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry} \usepackage{fancybox} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{multicol} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage[colorlinks=true]{hyperref} \geometry{ hmargin=2.5cm, vmargin=1.5cm } \setcounter{tocdepth}{3} %\makeindex \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \fancyfoot{} \fancyhead[LO,RE]{\textbf{Annales du baccalaur\'eat S}} \fancyhead[RO]{\rightmark} \fancyhead[LE]{\leftmark} \fancyfoot[RO,LE]{\textbf{\thepage}} \fancyfoot[RE,LO]{Lyc\'ee Louis Armand} \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \fancypagestyle{plain}{ \fancyhead[L]{\textbf{Annales du baccalaur\'eat S}} \fancyhead[R]{\leftmark} \fancyfoot[R]{\textbf{\thepage}} \fancyfoot[L]{Lyc\'ee Louis Armand} \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} } \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}} \newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}} \def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}} % Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT) \def\figTR#1{} % Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes % suivantes jusqu'à la section 4 \usepackage[dvips]{epsfig} % == Figure en taille fixee par l'utilisateur \def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}} \def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}} % == Figure en taille reelle \def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}} \def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}} \begin{document} \tableofcontents \title{% \begin{minipage}{15cm} \begin{center} \Huge{\textbf{ANNALES DE MATH\'EMATIQUES}} \vskip 2cm \LARGE{TERMINALE S} \vskip 2cm \Large{Année scolaire 1998/1999} \vskip 4cm \end{center} \end{minipage} \author{ } \date{ } \begin{center} \fig{0.8}{flamme.eps} \end{center} } \maketitle \renewcommand{\chaptername}{} \renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}% \chapter{Sujets du baccalaur\'eat} \section{Sujet national 1998\label{bac98}} \begin{center} EXERCICE 1 (\textit{5 points)}\\[0pt]\textbf{Commun \`{a} tous les candidats}\\[0pt] \end{center} Dans tout l'exercice, A et B \'{e}tant deux \'{e}v\'{e}nements, P(A) d\'{e}signe la probabilit\'{e} de A ; \textit{p}(B/A) la probabilit\'{e} de B sachant que A est r\'{e}alis\'{e}. \begin{enumerate} \item Le nombre de clients se pr\'{e}sentant en cinq minutes dans une station-service est une variable al\'{e}atoire X dont on donne la loi de probabilit\'{e} : \index{Loi!de probabilit\'{e}} $p_{i}=\text{P(X}=i\text{)}$\newline \begin{tabular} [c]{|c|ccc|}\hline $i$ & 0 & 1 & 2\\\hline $p_{i}$ & 0,1 & 0,5 & 0,4\\\hline \end{tabular} \begin{enumerate} \item D\'{e}finir et repr\'{e}senter graphiquement la fonction de r\'{e}partition de X. \index{Fonction!de r\'{e}partition} \item Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de X. \index{Esp\'{e}rance} \end{enumerate} \item Dans cette station-service, la probabilit\'{e} qu'un client ach\`{e}te de l'essence est 0,7 ; celle qu'il ach\`{e}te du gazole est 0,3. Son choix est ind\'{e}pendant de celui des autres clients. On consid\`{e}re les \'{e}% v\'{e}nements suivants :\newline $\text{C}_{1}$ : \guillemotleft\ en cinq minutes, un seul client se pr\'{e}sente \guillemotright\ ;\newline $\text{C}_{2}$ : \guillemotleft\ en cinq minutes, deux clients se pr\'{e}sentent \guillemotright\ ;\newline E\ \ : \guillemotleft\ en cinq minutes, un seul client ach\`{e}te de l'essence \guillemotright\ ; \begin{enumerate} \item Calculer P($\text{C}_{1}\cap\text{E}$). \item Montrer que $\text{P(E}/\text{C}_{2})=0,42$ et calculer P($\text{C}% _{2}\cap\text{E}$). \item En d\'{e}duire la probabilit\'{e} qu'en cinq minutes un seul client ach\`{e}te de l'essence. \end{enumerate} \item Soit Y la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes ; d\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de Y.\medskip \end{enumerate} \begin{center} EXERCICE 2 (\textit{5 points)}\\[0pt]\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}}\\[0pt] \end{center} Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonorm\'{e} direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$} .\newline \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (1) : \index{Equation!complexe} \[ \frac{z-2}{z-1}=z \] On donnera le module et un argument de chaque solution. \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (2) : \[ \frac{z-2}{z-1}=i \] On donnera la solution sous forme alg\'{e}brique. \item Soit M, A et B les points d'affixes respectives : $z$, 1 et 2.\newline On suppose que M est distinct des points A et B. \index{Module} \index{Argument} \begin{enumerate} \item Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et un argument de ${\displaystyle\frac{z-2}{z-1}}$. \item Retrouver g\'{e}om\'{e}triquement la solution de l'\'{e}quation (2). \index{Interpr\'{e}tation!g\'{e}om\'{e}trique} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer, \`{a} l'aide d'une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique, que toute solution de l'\'{e}quation dans~$\mathbb{C}$~: \[ \left( \frac{z-2}{z-1}\right) ^{n}=i \] o\`{u} $n$ d\'{e}signe un entier naturel non nul donn\'{e}, a pour partie r\'{e}elle ${\displaystyle\frac{3}{2}}$. \item R\'{e}soudre alors dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (3) : \[ \left( \frac{z-2}{z-1}\right) ^{2}=i \] On cherchera les solutions sous forme alg\'{e}brique.\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} PROBLEME (\textit{10 points)}\\[0pt] \end{center} Les trac\'{e}s de courbes seront faits dans un plan rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} \ (unit\'{e} : 2 cm). On rappelle qu'une fonction $f$ est major\'{e}e par une fonction $g$ (ce qui signifie aussi que $g$ est minor\'{e}e par $f$) sur un intervalle I si et seulement si, pour tout $x$ appartenant \`{a} I, $f(x)\leqslant g(x)$% .\newline \index{Fonction!major\'{e}e} \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} Soit $f$ et $g$ les fonctions d\'{e}finies sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par ${\displaystyle f(x)=\ln(1+x)}$ et ${\displaystyle g(x)=\frac{2x}{x+2}}$ ; on notera C la repr\'{e}sentation graphique de $f$ et $\Gamma$ celle de $g$. On se propose de d\'{e}montrer que $f$ est minor\'{e}e par $g$ sur $[0;+\infty\lbrack$. \index{Fonction!minor\'{e}e} Soit $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par $h(x)=f(x)-g(x)$. \begin{enumerate} \item Etudier le sens de variation de $h$ sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ ; calculer $h(0)$. (L'\'{e}tude de la limite de $h$ en $+\infty$ n'est pas demand\'{e}e.) \item En d\'{e}duire que pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul, {(1)\hspace{2 cm} ${\displaystyle\frac{2x}{x+2}\leqslant\ln(1+x)}$} \item Construire dans le m\^{e}me rep\`{e}re les courbes C et $\Gamma$ et montrer qu'elles admettent en O une m\^{e}me tangente D que l'on tracera. \index{Tangente}(On justifiera rapidement le trac\'{e} de ces courbes). \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} $k$ d\'{e}signant un r\'{e}el strictement positif, on se propose de d\'{e}terminer toutes les fonctions lin\'{e}aires $x\mapsto kx$, majorant la fonction : $f:x\mapsto\ln(1+x)$ sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$. Soit $f_{k}$ la fonction d\'{e}finie sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par $f_{k}(x)=\ln(1+x)-kx$. \begin{enumerate} \item \'{E}tudier le sens de variation de $f_{1}$ d\'{e}finie sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par : \[ f_{1}(x)=\ln(1+x)-x \] \item \'{E}tudier la limite de $f_{1}$ en $+\infty$ et donner la valeur de $f_{1}$ en $0$. \item Montrer que pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul : {(2)\hspace{2 cm} ${\displaystyle\ln(1+x)\leqslant x}$}. \item En d\'{e}duire que si $k\geqslant1$, alors : pour tout $x\geqslant0, f(x)\leqslant kx$ \item Le r\'{e}el $k$ v\'{e}rifie les conditions : $0<k<1$.\newline Montrer que la d\'{e}riv\'{e}e de $f_{k}$ s'annule pour ${\displaystyle x=\frac {1-k}{k}}$ et \'{e}tudier le sens de variation de $f_{k}$. (L'\'{e}tude de la limite de $f_{k}$ en $+\infty$ n'est pas demand\'{e}e.) \item En d\'{e}duire les valeurs de $k$ strictement positives telles que pour tout $x\geqslant0,$% \[ f(x)\leqslant kx \] \medskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} \begin{enumerate} \item A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, calculer : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ \text{I}=\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx. \] (On remarquera \'{e}ventuellement que : ${\displaystyle\frac{x}{x+2}% =1-\frac{1}{1+x}}$).\newline En d\'{e}duire le calcul de ${\displaystyle \text{J}=\int_{0}^{1}\left( x-\ln(1+x)\right) dx}$ \ puis de \ ${\displaystyle\text{K}=\int_{0}^{1}\left( \ln(1+x)-\frac{2x}{x+2}\right) dx}$.\newline Pour le calcul de K on pourra v\'{e}rifier que ${\displaystyle \frac{2x}{x+2}=2-\frac{4}{2+x}}$.\newline Interpr\'{e}ter g\'{e}% om\'{e}triquement les valeurs des int\'{e}grales J et K en utilisant les courbes C, $\Gamma$ et la droite D obtenues dans la partie A. \index{Aire} \item Soit $u$ la fonction d\'{e}finie sur $\lbrack0;1\rbrack$ de la fa\c {c}on suivante : \[ u(0)=1 \text{\quad et si\ } x\neq0,\quad u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}. \] \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que la fonction $u$ est continue sur $\lbrack0;1\rbrack$. \item On pose : \[ \text{L}=\int_{0}^{1}u(x)dx. \] En utilisant les in\'{e}galit\'{e}s (1) et (2) obtenues dans les parties A et B, montrer que : \[ \int_{0}^{1}\frac{2}{x+2}dx\leqslant L\leqslant1. \] En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e de L \`{a} $10^{-1}$ pr\`{e}s. \index{Encadrement} \index{Valeur!approch\'{e}e} \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Sujet exp\'erimental 1998} \begin{center} \textbf{Premi\`{e}re partie avec calculatrice \\[0pt]Probl\`{e}me (11 points)} \end{center} \textbf{Avertissement : l'usage d'une calculatrice n'est pas n\'{e}cessaire pour traiter la partie C.} On consid\`{e}re la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ par \[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^{2}% \] on note $f^{\prime}$ sa fonction d\'{e}riv\'{e}e et $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x$.\newline Dans un rep\`{e}re orthogonal donn\'{e}, on appelle $\Gamma$ la repr\'{e}sentation graphique de $f$, $\Gamma^{\prime}$ la repr\'{e}sentation graphique de $f^{\prime}$, et $\Delta$ celle de $g$.\newline \index{Fonction!logarithme} Voir figure 1 ces trois courbes sur l'\'{e}cran d'une calculatrice pour $x$ compris entre $0$ et $5$. \textbf{A - Etude de $f$} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)$. \item Montrer que \[ f^{\prime}(x)=(1-\frac{2}{x})(1+\ln x) \] \item En d\'{e}duire le sens de variation de $f$. \item Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=0$ admet trois solutions. \newline Donner un encadrement de longueur $10^{-2}$ pour les deux solutions non enti\`{e}res. \end{enumerate} \textbf{B - Intersection des repr\'{e}sentations graphiques de $f$ et de $g$} \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie et compl\'{e}ter le tableau des valeurs suivant en donnant les r\'{e}sultats \`{a} $10^{-2}$ pr\`{e}s.\newline \begin{tabular} [c]{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Point de $\Gamma$ & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $E$ & $F$ & $G$ & $H$ & $I$ & $J$\\\hline $x$ & $0,05$ & $0,25$ & $e^{-1}$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$\\\hline $f(x)$ & & & & & & & & & & \\\hline \end{tabular} \item On veut d\'{e}terminer si la courbe repr\'{e}sentative de $f$ coupe la droite $\Delta$ pour\newline $0<x<7$. Que peut-on, \`{a} l'aide de sa calculatrice, conjecturer ? \newline Pr\'{e}ciser les \'{e}l\'{e}ments qui permettent de faire cette conjecture. (noter le type de calculatrice utilis\'{e}e). \index{Calculatrice} \item On s'int\'{e}resse aux solutions de l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$ appartenant \`{a} l'intervalle $[7 ; +\infty[$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f^{\prime}$ est une fonction croissante sur $[7 ; +\infty[$. \item En d\'{e}duire que $f^{\prime}(x)>2,1$ pour tout $x$ appartenant \`{a} $[7 ; +\infty[$. \item Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$ admet une solution unique sur $[7;+\infty\lbrack$. (on pourra utiliser le sens de variation de la fonction $h$ d\'{e}finie sur $[7;+\infty\lbrack$ par : $h(x)=f(x)-2x$ ). \end{enumerate} \textbf{Dans la suite, on notera $\alpha$ cette solution.} \item Mise en \'{e}vidence de $\alpha$ sur un graphique. \newline Choisir un nombre entier $a$ tel que $a<\alpha<a+5$. \newline Sur papier millim\'{e}% tr\'{e}, on trace un carr\'{e} de $10$ $cm$ de c\^{o}t\'{e}.\newline Le sommet inf\'{e}rieur gauche repr\'{e}sentera le point de coordonn\'{e}es $(a;2a)$ et le sommet diagonalement oppos\'{e} le point de coordonn\'{e}es $(a+5;2(a+5))$% .\newline Tracer dans ce carr\'{e} $\Gamma$ et $\Delta$. \newline Mettre le nombre $\alpha$ en \'{e}vidence sur le graphique et en donner une valeur approch\'{e}e. \end{enumerate} \textbf{C - Calcul de probabilit\'{e}. \index{Probabilit\'{e}}} Dans cette partie, on se r\'{e}f\`{e}re au tableau des valeurs construit dans la partie B.1) \newline Les trois questions sont ind\'{e}pendantes. \newline Pour chacune des trois questions, les choix effectu\'{e}s sont \'{e}quiprobables. \begin{enumerate} \item On place les $4$ points $A$, $C$, $H$ et $J$ dans un rep\`{e}re, et on les relie \`{a} l'aide de $3$ segments formant une ligne bris\'{e}e continue (par exemple la ligne bris\'{e}e $AHJC$). \begin{enumerate} \item Combien de lignes bris\'{e}es diff\'{e}rentes peut-on former ainsi ?\newline ($AHJC$ et $CJHA$ repr\'{e}sentent la m\^{e}me ligne bris\'{e}e) \item On choisit l'une de ces lignes bris\'{e}es. \newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ? \end{enumerate} \item On choisit cinq points parmi les dix du tableau ; on les relie suivant l'ordre de leurs abscisses croissantes, \`{a} l'aide de segments formant une ligne bris\'{e}e.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir une ligne qui ne coupe pas l'axe des abscisses ? (le point $D$ peut \^{e}tre choisi). \item On choisit cinq points cons\'{e}cutifs parmi les dix (par exemple $BCDEF$). \begin{enumerate} \item Combien y-a-t-il de possibilit\'{e}s ? \item On \'{e}change l'abscisse et l'ordonn\'{e}e de chacun de ces cinq points.\newline Les nouveaux points ainsi obtenus sont joints \`{a} l'aide de segments dans l'ordre de leurs ordonn\'{e}es croissantes.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Figure 1 (courbes $\Gamma$, $\Gamma^{\prime}$ et $\Delta$) :} \begin{center} \fig{0.5}{fig2.eps}% \end{center} \textbf{Seconde partie sans calculatrice} \end{center} \textbf{Exercice 1 (4 points) } Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}$, par \[ f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}% \] et repr\'{e}sent\'{e}e dans le rep\`{e}re de la figure 1. \index{Fonction!exponentielle} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}_{+}$. \item Soit la suite $(U_{n})$ d\'{e}finie pour $n>0$ par : \index{Suite} \[ U_{n}=\int_{\ln(n)}^{\ln(n+1)}f(x)dx \] \begin{enumerate} \item Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$. Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$. \item Que repr\'{e}sente graphiquement le nombre $U_{n}$ ? \end{enumerate} \item Montrer que $\left( U_{n}\right) $ est une suite d\'{e}croissante positive.\newline Calculer la limite de cette suite. \item On pose $S_{n} = U_{1}+U_{2}+ ... +U_{n}$ \begin{enumerate} \item Calculer $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ et exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. \item D\'{e}terminer $\lim_{n \to+ \infty}S_{n} $. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Exercice 2 (5 points) }\newline Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re $(O;\vec{u};\vec{v})$ orthonorm\'{e} direct.\newline (Unit\'{e} graphique $4cm$).\newline On d\'{e}signe par $\theta$ un nombre r\'{e}el tel que $-\pi<\theta<\pi$.\newline On appelle $A$, $M$ et $N$ les points d'affixes respectives $1$, $e^{i\theta}$ et $1+e^{i\theta}$.\newline \index{Exponentielle!complexe}On d\'{e}signe par $(C)$ le cercle de centre $O $ et de rayon $1$, et par $(C^{\prime})$ le cercle de centre $A$ et de rayon $1$. \begin{enumerate} \item Tracer $(C)$ et $(C^{\prime})$, et placer $A$, $M$ et $N$ dans le cas ou $\theta=\frac{\pi}{6}$. \item Montrer que $N$ appartient \`{a} $(C^{\prime})$ et donner la nature du triangle $OANM$. D\'{e}terminer un argument de $1+e^{i\theta}$. \index{Argument} \item $u=1+e^{i\theta}$ avec $- \pi< \theta< \pi$. \begin{enumerate} \item Montrer que $u$ est solution dans $\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation : \[ z^{2}-(2+2\cos\theta)z + 2 + 2 \cos\theta= 0 \] En d\'{e}duire la seconde solution de cette \'{e}quation. \item Quelle sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation $z^{2}-3z+3=0$ ? \end{enumerate} \item On consid\`{e}re l'\'{e}quation $(E)$ : $z^{2}-az+a=0$ o\`{u} $a$ est un nombre r\'{e}el tel que $0<a\leqslant4$. On nomme $R$ le point d'affixe $a$, et $T$ le milieu de $[OR]$.\newline La perpendiculaire \`{a} l'axe r\'{e}el passant par $T$ coupe $(C^{\prime})$ en deux points $U$ et $U^{\prime}$.\newline Montrer que les affixes de $U$ et de $U^{\prime}$ sont les solutions de $(E) $. \index{Affixe} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Figure 1 (courbe repr\'{e}sentative de $f$) :}\\[0pt]% \begin{center} \fig{0.5}{fig3.eps}% \end{center} \end{center} \section{Guadeloupe 1998} \begin{center} EXERCICE I (4 points ) \end{center} Un jeu de dominos est fabriqu\'{e} avec les sept couleurs : \emph{violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge}. Un domino se compose de deux cases portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le m\^{e}me domino : c'est un double. \begin{enumerate} \item Montrer que le jeu comporte 28 dominos diff\'{e}rents. Les 28 dominos, indiscernables au toucher, sont mis dans un sac. \item On tire simultan\'{e}ment trois dominos du sac. \index{Tirage!simultan\'{e}}\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ? \item Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabili\-t\'{e} des \'{e}v\'{e}nements suivants : \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item J$_{2}$ : \guillemotleft\ Lejaune figure deux fois \guillemotright \item J$_{1}$ : \guillemotleft\ Le jaune figure une seule fois \guillemotright \item J : \guillemotleft\ Le jaune figure au moins une fois \guillemotright \end{enumerate} \item On effectue $n$ tirages successifs d'un domino, en notant \`{a} chaque tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tir\'{e} et de proc\'{e}der au tirage suivant ; les tirages sont ind\'{e}pen\-dants.\newline Calculer, en fonction de $n$, la probabilit\'{e} p$_{n}$, que J soit r\'{e}alis\'{e} au moins une fois. \newline Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle p$_{n}\geqslant 0,99.\medskip$ \end{enumerate} \begin{center} EXERCICE II (5 points ) \end{center} \textbf{Partie A} On consid\`{e}re le polyn\^{o}me $P$ de la variable complexe $z$ d\'{e}fini par : \index{Polyn\^{o}me!complexe} \[ P\left( z\right) =z^{4}+2\sqrt{3}z^{3}+8z^{2}+2\sqrt{3}z+7 \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $P\left( i\right) $ et $P\left( -i\right) .$ \item Montrer qu'il existe un polyn\^{o}me $Q$ du second degr\'{e}, que l'on d\'{e}terminera, tel que : \[ \text{Pour tout }z\in\mathbb{C},\text{ }P\left( z\right) =\left( z^{2}+1\right) Q\left( z\right) \] \end{enumerate} \item R\'{e}soudre dans l'ensemble des nombres complexes l'\'{e}quation $P\left( z\right) =0.$ \end{enumerate} \textbf{Partie B} Le plan est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ (unit\'{e} graphique $2$ cm). \begin{enumerate} \item Placer dans ce rep\`{e}re les points $A,$ $B,$ $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_{A}=i$, $z_{B}=-i,$ $z_{C}=-\sqrt{3}$ et $z_{D}=-\sqrt{3}% -2i$.\newline Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diam\`{e}tre $\left[ CD\right] .$ \index{Affixe} \item Montrer qu'il existe une rotation de centre $O$ qui transforme $C$ en $D.$ Calculer une valeur enti\`{e}re approch\'{e}e \`{a} un degr\'{e} pr\`{e}s d'une mesure de l'angle de cette rotation. \index{Rotation} \item Calculer, sous forme alg\'{e}brique, puis sous forme trigonom\'{e}% trique, le rapport : \[ \frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}% \] Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et l'argument de ce rapport. \index{Module} \index{Argument}\medskip \end{enumerate} \begin{center} PROBLEME (11 points) \end{center} \textbf{Partie A : Etude de fonctions} On consid\`{e}re les fonctions $f_{1},$ $f_{2},$ $f_{3}$ d\'{e}finies sur $\mathbb{R}$ par : \[ f_{1}\left( x\right) =\left( x+1\right) e^{-x}\quad f_{2}\left( x\right) =-xe^{-x}\quad f_{3}\left( x\right) =\left( x-1\right) e^{-x}% \] On appelle $C_{1},$ $C_{2},$ $C_{3}$ leurs courbes repr\'{e}sentatives respectives dans un rep\`{e}re orthogonal \index{Fonction!exponentielle} $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ du plan. Les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ sont donn\'{e}es sur le graphique ci-dessous.% \begin{center} \fig{0.5}{fig7.eps} \end{center} \begin{enumerate} \item Etude de la fonction $f_{1}.$ \begin{enumerate} \item Calculer la d\'{e}riv\'{e}e $f_{1}^{\prime}$ de $f_{1}$ et \'{e}tudier son signe. En d\'{e}duire les variations de $f_{1}.$ \item D\'{e}terminer les limites de $f_{1}$ en $+\infty,$ en $-\infty.$ \item Dresser le tableau de variation de $f_{1}.$ \end{enumerate} \item Etude graphique. \begin{enumerate} \item Identifier sur la figure donn\'{e}e les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ et placer sur le dessin le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath }\right) .$ \item Etudier la position relative des courbes $C_{1}$ et $C_{3}.$ \item Tracer $C_{1}$ dans le m\^{e}me rep\`{e}re que $C_{2}$ et $C_{3}$ sur la figure fournie. \end{enumerate} \item Etude d'\'{e}quations diff\'{e}rentielles. \index{Equation!diff\'{e}rentielle} \begin{enumerate} \item Montrer que $f_{1}$ est solution de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle : \[ \left( E_{1}\right) \quad y^{\prime}+y=e^{-x}% \] \item Montrer que $f_{1}$ est aussi solution de l'\'{e}quation diff\'{e}% rentielle : \[ \left( E_{2}\right) \quad y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0 \] \item D\'{e}terminer toutes les solutions de l'\'{e}quation diff\'{e}% rentielle $\left( E_{2}\right) .$ En d\'{e}duire que $f_{2}$ et $f_{3}$ sont aussi des solutions de $\left( E_{2}\right) .$ \item Parmi les solutions de $\left( E_{2}\right) ,$ quelles sont celles qui sont aussi solutions de $\left( E_{1}\right) $ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B : Etude d'aires li\'{e}es \`{a} }$C_{1}$\textbf{\ et }$C_{2}.$ Pour $n$ entier strictement positif, on appelle $M_{n}$ le point de $C_{3}$ d'abscisse $n\ln2.$ On pose : \[ f\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) -f_{3}\left( x\right) \] pour tout $x$ r\'{e}el. \index{Calcul!d'aire} \begin{enumerate} \item Calculer, en unit\'{e}s d'aire, l'aire $U_{n}$ du domaine plan limit\'{e} par la courbe $C_{3},$ la courbe $C_{1}$ et les segments $\left[ M_{n},P_{n}\right] $ et $\left[ M_{n+1}P_{n+1}\right] $ pour $n>0.$ $P_{n}$ et $P_{n+1}$ sont les projections orthogonales respectives de $M_{n}$ et $M_{n+1}$ sur $\left( O;\vec{\imath}\right) .$ \item Calculer, en unit\'{e}s d'aire, l'aire $V_{n}$ du trap\`{e}ze $P_{n}M_{n}M_{n+1}P_{n+1}$ pour $n>0.$ Montrer que le rapport $\frac{V_{n}% }{U_{n}}$ est constant. \index{Trap\`{e}ze} \end{enumerate} \section{Polyn\'esie 1998} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)} \textbf{\\[0pt]} \end{center} Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3 boules rouges et deux boules noires.\newline On tire au hasard une boule de l'urne A : \begin{itemize} \item [$\bullet$]si elle est noire, on la place dans l'urne B, \item[$\bullet$] sinon, on l'\'{e}carte du jeu. \end{itemize} On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B.\newline On consid\`{e}re les \'{e}v\'{e}n\'{e}ments suivants : R$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de A est rouge \guilsinglright\guilsinglright N$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de A est noire \guilsinglright\guilsinglright R$_{2}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de B est rouge \guilsinglright\guilsinglright N$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de B est noire \guilsinglright\guilsinglright \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements ${R_{1}}$ et ${N_{1}}$. \index{Probabilit\'{e}} \item Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements \guilsinglleft \guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant R$_{1}$ \guilsinglright\guilsinglright\ et \guilsinglleft\guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant N$_{1}$ \guilsinglright \guilsinglright. En d\'{e}duire que la probabilit\'{e} de ${R_{2}}$ est de ${\displaystyle\frac{27}{50}}$. \item Calculer la probabilite de ${N_{2}}$. \end{enumerate} \item On r\'{e}p\`{e}te $n$ fois l'\'{e}preuve pr\'{e}c\'{e}dente (tirage d'une boule de A, suivie du tirage d'une boule de B dans les m\^{e}mes conditions initiales indiqu\'{e}es ci-dessus), en supposant les diff\'{e}% rentes \'{e}preuves ind\'{e}pendantes.\newline Quel nombre minimum d'essais doit-on effectuer pour que la probabilit\'{e} d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit sup\'{e}rieure \`{a} 0,99 ?\bigskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2}{\ ( 5 points)\medskip} \end{center} Le plan complexe est muni d'un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ ( unit\'{e} graphique 2 cm ). On note A le point d'affixe 1 et B le point \index{Affixe}d'affixe $3+2i$.\newline On appelle $f$ l'application qui, \`{a} tout point M distinct de A et d'affixe $z$, associe le point M' d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}finie par \index{Application!complexe} \[ {z^{\prime}=\frac{z-1+2i}{z-1}}% \] \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points O' et B', images respectives des points O et B par $f$. Placer les points A, O', B et B' dans le plan. \item \begin{enumerate} \item Calculer, pour tout complexe $z$ diff\'{e}rent de 1, le produit \[ \left( z^{\prime}-1\right) \left( z-1\right) \] \item En d\'{e}duire que, pour tout point M distinct de A, on a : \[ \text{AM}\times\text{AM'}=2\text{ et }\left( \overrightarrow{u}% ,\overrightarrow{\text{AM}}\right) +\left( \overrightarrow{u}% ,\overrightarrow{\text{AM'}}\right) \text{=}\frac{\pi}{2}+2k\pi ,\;k\in\mathbb{Z}% \] \end{enumerate} \item D\'{e}montrer que, si M appartient au cercle ($C$) de centre A passant par O, alors M' appartient \`{a} un cercle ($C^{\prime}$). En pr\'{e}ciser le centre et le rayon. \index{Cercle}Construire ($C$) et ($C^{\prime}$). \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer l'angle ${(\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow {\strut\text{AB}})}$. \index{Angle} \item D\'{e}montrer que, si M est un point autre que A de la demi-droite ($d $) d'origine A, passant par B, alors M' appartient \`{a} une demi-droite que l'on pr\'{e}cisera. \index{Demi-droite} \end{enumerate} \item On appelle P le point d'intersection du cercle ($C$) et de la demi-droite ($d$).\newline Placer son image P' sur la figure.\bigskip \end{enumerate} \begin{center} \vspace{0.5cm}\textbf{PROBLEME}{\ (10 points)}\\[0pt] \end{center} \textbf{Partie A : R\'{e}solution d'une \'{e}quation diff\'{e}rentielle \index{Equation!diff\'{e}rentielle}} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les fonctions d\'{e}finies sur $\mathbb{R}$ solutions de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle (E$_{1}$) :\newline \[ y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0. \] (\textbf{Remarque :} Cette question est d\'{e}sormais hors programme, voir la fin du probl\`{e}me pour de plus amples informations). \item On consid\`{e}re l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle (E$_{2}$): \[ y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=x+3. \] \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que la fonction $p$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=x+1$ est solution de (E$_{2}$). \item D\'{e}montrer qu'une fonction $g$ est solution de (E$_{2}$) si, et seulement si, la fonction $g-p$ est solution de (E$_{1}$). \item D\'{e}duire de \textbf{1.} et \textbf{2.(b)} les solutions de (E$_{2}$) \item D\'{e}terminer la solution g\'{e}n\'{e}rale de (E$_{2}$) qui v\'{e}rifie :\newline \[ g(0)=1 \quad\text{et} \quad g^{\prime}(0)=2. \] \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B : \'{E}tude d'une fonction \boldmath{$f$} \unboldmath et courbe repr\'{e}sentative}\newline On appelle $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle [0,$+\infty$[ par : \[ f(x)=x+1+xe^{-x}. \] On note ($\mathcal{C}$) la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans le plan muni du rep\`{e}re orthonormal $\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}$ \ (unit\'{e} graphique 2 cm). \index{Fonction!exponentielle} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $f^{\prime}$ et $f^{\prime\prime}$ d\'{e}signant respectivement les d\'{e}riv\'{e}es premi\`{e}re et seconde de $f$, calculer, pour tout r\'{e}el $x$, $f^{\prime}(x)$ et $f^{\prime\prime}(x)$. \item Etudier le sens de variation de la d\'{e}riv\'{e}e $f^{\prime}$. \item D\'{e}montrer que, pour tout r\'{e}el $x$, $f^{\prime}(x)>0$. \item Calculer la limite de $f$ en +$\infty$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'\'{e}quation $y=x+1$ est asymptote \`{a} ($\mathcal{C}$) et pr\'{e}ciser la position relative de ($\mathcal{D}$) et ($\mathcal{C}$). \index{Position!relative} \item La courbe ($\mathcal{C}$) admet en un point A une tangente parall\`{e}le \`{a} la droite ($\mathcal{D}$).\newline D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es de A. \end{enumerate} \item D\'{e}montrer que l'\'{e}quation de $f(x)=2$ admet sur [0,$+\infty$[ une unique solution not\'{e}e $\alpha$ , puis v\'{e}rifier que $0<\alpha<1$. \item \begin{enumerate} \item Construire la droite ($\mathcal{D}$), le point A d\'{e}fini au \textbf{2.(b)}, la courbe ($\mathcal{C}$) et la tangente en A \`{a} la courbe ($\mathcal{C}$). \index{Tangente} \item Donner par lecture graphique une valeur approch\'{e}e de $\alpha$. \index{Valeur!approch\'{e}e} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C : Recherche d'une approximation d\'{e}cimale de \boldmath{$\alpha$} \unboldmath}\newline \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, sur [0,$+\infty$[, l'\'{e}quation : $f(x)=2$ \'{e}quivaut \`{a} l'\'{e}quation : \[ {\frac{e^{x}}{e^{x}+1}=x}% \] \item On appelle $h$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle [0 , 1] par : \[ h(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}. \] \begin{enumerate} \item Calculer $h^{\prime}(x)$ pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle [0 , 1] et r\'{e}aliser le tableau de variations de la fonction $h$. \item En d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $x$ de [0 , 1], $h(x)$ appartient \`{a} [0 , 1]. \item Calculer $h^{\prime\prime}(x)$ pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle [0 , 1] ; \'{e}tudier le sens de variations de $h^{\prime}$. \index{D\'{e}riv\'{e}e!seconde} \item En d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $x$ de [0 , 1], \[ {0\leqslant h^{\prime}(x)\leqslant\frac{1}{4}}% \] \end{enumerate} \item On d\'{e}finit la suite ${(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\text{ par :}\ }$% \[ {\left\{ \begin{array} [c]{l}% u_{0}=0\\ u_{n+1}=h(u_{n}) \end{array} \right. }% \] pour tout entier naturel $n$. \index{Suite!r\'{e}currente} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ appartient \`{a} l'intervalle [0 , 1]. \item D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$, \[ {|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\frac{1}{4}|u_{n}-\alpha|}% \] \item En d\'{e}duire que, pour tout entier naturel $n$, \[ {|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\left( \frac{1}{4}\right) ^{n}}% \] puis que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$. \item D\'{e}terminer un entier $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s de $\alpha$ et, \`{a} \`{a} l'aide de la calculatrice, proposer une approximation d\'{e}cimale de $u_{p}$ \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s. Que peut-on en d\'{e}duire pour $\alpha$ ? \index{Valeur!approch\'{e}e} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Remarque :} La question \textbf{A.1.} n'est plus au programme. Nous admettrons, pour traiter la suite de la \textbf{partie A}, que les solutions de l'\'{e}quation (E$_{1}$) sont les fonctions ${\displaystyle x\mapsto (Ax+B)e^{-x}}$ \quad(A et B \'{e}tant des constantes r\'{e}elles). \section{Centres\'etrangers 1998} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1 }(4 points)\textbf{\ }\\[0pt] \end{center} Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On effectue $n$ tirages successifs ($n$ entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 1) d'une boule en respectant la r\`{e}gle suivante : si la boule tir\'{e}e est rouge, on la remet dans l'urne ; si elle est blanche, on ne la remet pas.\newline Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont ind\'{e}pendantes.\newline \textbf{Partie A}\newline Dans cette partie $n=3$. On donnera les r\'{e}sultats sous forme de fractions irr\'{e}% ductibles.\newline Si $k$ est un entier compris entre 1 et 3, on note $E_{k}$ l'\'{e}v\'{e}nement \newline %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion seule la $k$ i\`{e}me boule tir\'{e}e est blanche% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $E_{1}$ est $\displaystyle{p(E_{1})=\frac{5}{36}}$. \item Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements $E_{2}$ et $E_{3} $.\newline \index{Probabilit\'{e}}En d\'{e}duire la probabilit\'{e} qu'on ait tir\'{e} une seule boule blanche \`{a} l'issue des 3 tirages. \item Sachant que l'on a tir\'{e} exactement une boule blanche, quelle est la probabilit\'{e} que cette boule blanche ait \'{e}t\'{e} tir\'{e}e en dernier ? \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \end{enumerate} \textbf{Partie B}\newline On effectue maintenant $n$ tirages. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer, en fonction de n, la probabilit\'{e} $p_{n}$ de tirer au moins une boule blanche en $n$ tirages. \item Quelles valeurs faut-il donner \`{a} $n$ pour que : $p_{n}>0,99$ ?\medskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2} ( 5 points)\medskip \end{center} Le plan complexe est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $(O,\overrightarrow{u\;},\overrightarrow{v\;})$.\newline L'unit\'{e} graphique est de 3 cm.\newline On consid\`{e}re les points $B,C,D,E$ d\'{e}finissant le carr\'{e} de sens direct $BCDE$ d'affixes respectives : \[ b=1-i\qquad c=-1-i\qquad d=-1-3i\qquad e=1-3i \] \begin{enumerate} \item Calculer %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion b% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion , %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion c% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion , %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion d% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion , %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion e% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion . \index{Module} \item Soit $\Gamma$ le cercle de centre $O$ passant par $B$. \index{Cercle}\newline D\'{e}terminer une \'{e}quation du cercle $\Gamma $.\newline On consid\`{e}re $Q$ un point de $\Gamma$ distinct de $B$ et de $C$.\newline L'affixe de $Q$ est not\'{e}e $q=x+iy$ ( avec $x$ et $y$ r\'{e}els ). \item Soient $F$ et $G$ les points du plan tels que $QBFG$ soit un carr\'{e} de sens direct, c'est \`{a} dire tels que : $\left( \overrightarrow {QB\;},\overrightarrow{QG\;}\right) =\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$% .\newline On pose $\displaystyle{Z=\frac{g-q}{b-q}}$ o\`{u} $g$ est l'affixe du point $G$.\newline Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et un argument de $Z$. En d\'{e}duire $Z$. \index{Argument} \item Prouver que : $g=(1+x+y)+i(1-x-y)$. En d\'{e}duire $|g|$ en fonction de $x$ et de $y$. \item En utilisant la question 2. exprimer $|g|$ en fonction de y. \item A l'aide de consid\'{e}rations g\'{e}om\'{e}triques, prouver que : $|f|=|g|$, $f$ \'{e}tant l'affixe du point $F$. \item Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ les points $E$, $D$, $G$, et $F$ sont-ils sur un cercle de centre $O$ ?\newline Pr\'{e}ciser le rayon de ce cercle. En d\'{e}duire alors la nature du triangle $QBC$.\medskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME }(11 points)\medskip \end{center} Le but du probl\`{e}me est l'\'{e}tude d'une fonction $g_{k}$ o\`{u} $k$ est un r\'{e}el fix\'{e} qui v\'{e}rifie : $0<k<e$.\newline Dans la partie \textbf{A} on met en \'{e}vidence certaines propri\'{e}t\'{e}s d'une fonction $f$ qui seront utilis\'{e}es dans la partie \textbf{B}.\newline \textbf{Partie A}\newline Soit $f$ la fonction de la variable r\'{e}elle $x$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x)=(2-x)e^{x}-k \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. \index{Fonction!exponentielle} \item Calculer $f^{\prime}(x)$. En d\'{e}duire le tableau de variation de $f $. Calculer $f(1)$. \item \begin{enumerate} \item \'Etablir que l'\'{e}quation $f(x)=0$ a deux solutions, une not\'{e}e $\alpha_{k}$ appartenant \`{a} l'intervalle $]-\infty, 1[$ et l'autre not\'{e}e $\beta_{k}$ appartenant \`{a} l'intervalle $]1 , +\infty[$. \item Montrer que : \[ {e^{\alpha_{k}}-k\alpha_{k}=(e^{\alpha_{k}}-k)(\alpha_{k}-1)}\newline \] On d\'{e}montrerait de m\^{e}me que $\beta_{k}$ v\'{e}rifie l'\'{e}galit\'{e} : \[ {e^{\beta_{k}}-k\beta_{k}=(e^{\beta_{k}}-k)(\beta_{k}-1)}% \] \end{enumerate} \item Pr\'{e}ciser le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \textbf{Partie B}\newline \begin{enumerate} \item Soit u la fonction de la variable r\'{e}elle $x$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : $u(x)=e^{x}-kx$. \begin{enumerate} \item \'Etudier le sens de variation de $u$. \item On rappelle que $0<k<e$. Justifier la propri\'{e}t\'{e} suivante :\newline \centerline{pour tout réel $x$, $e^{x}-kx>0$.} \end{enumerate} \item Soit $g_{k}$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ {g_{k}(x)=\frac{e^{x}-k}{e^{x}-kx}}% \] On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $g_{k}$ dans le plan rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthogonal. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la limite de $g_{k}$ en $-\infty$ et en $+\infty$. \item Prouver que : $\displaystyle{g^{\prime}_{k}(x)=\frac{k\;f(x)}% {(e^{x}-kx)^{2}}}$. \item En d\'{e}duire le tableau de variation de $g_{k}$. Calculer $g_{k}(1)$. \end{enumerate} \item On nomme $M_{k}$ et $N_{k}$ les points de la courbe $\mathcal{C}_{k}$ d'abscisses respectives $\alpha_{k}$ et $\beta_{k}$. \begin{enumerate} \item En utilisant la question \textbf{3}.b)(\textbf{Partie A}), montrer que : \[ {g_{k}(\alpha_{k})=\frac{1}{\alpha_{k}-1}}% \] \item Donner de m\^{e}me $g_{k}(\beta_{k})$. \item D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente que lorsque $k$ varie les points $M_{k}$ et $N_{k}$ sont sur une courbe fixe $\mathcal{H}$ dont on donnera une \'{e}quation. \end{enumerate} \item \textbf{Repr\'{e}sentations graphiques pour des valeurs particuli\`{e}% res de k} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. \index{Position!relative} \item Prouver que $\alpha_{2}=0$. \item En prenant comme unit\'{e}s 2 cm sur l'axe des abscisses et 4 cm sur l'axe des ordonn\'{e}es, construire les courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{H}$ sur un m\^{e}me graphique.\newline On prendra $\alpha_{1}=-1,1$ ; $\beta_{1}=1,8$ ; $\beta_{2}=1,6$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Pondich% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ery 1998} \begin{center} \vspace{0cm}\noindent\textbf{EXERCICE I }( 4 points ) \end{center} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]On dispose d'une urne U$_{1}$ contenant trois boules rouges et sept boules noires.\newline On extrait simultan\'{e}ment deux boules de cette urne ; on consid\`{e}re que tous les tirages sont \'{e}quiprobables. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Quelle est la probabilit\'{e} $p_{1}$ que les deux boules tir\'{e}es soient rouges~? \item[\textbf{b.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{2}$ que les deux boules tir\'{e}es soient noires~? \item[\textbf{c.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{3}$ que les deux boules tir\'{e}es soient de m\^{e}me couleur~? \item[\textbf{d.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{4}$ que les deux boules tir\'{e}es soient de couleurs diff\'{e}rentes~? \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] On dispose aussi d'une deuxi\`{e}me urne U$_{2}$ contenant quatre boules rouges et six boules noires.\newline On tire maintenant deux boules de l'urne U$_{1}$ et une boule de l'urne U$_{2}$ ; on suppose que tous les tirages sont \'{e}quiprobables.\newline On consid\`{e}re les \'{e}% v\'{e}nements suivants :\newline R~: %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion ~Les boules tir\'{e}es sont rouges~% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion ;\newline D~: %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion Les trois boules tir\'{e}es ne sont pas toutes de la m\^{e}me couleur %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion ;\newline B~: %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion La boule tir\'{e}e dans l'urne U$_{2}$ est rouge %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement R. \item[\textbf{b.}] Quelle est la probabilit\'{e} de tirer trois boules de m\^{e}me couleur~? \item[\textbf{c.}] Calculer la probabilit\'{e} conditionnelle $p_{D}$(B) de l'\'{e}v\'{e}nement B sachant que l'\'{e}v\'{e}nement D est r\'{e}% alis\'{e}.\newline \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \noindent\textbf{EXERCICE II ( 5 points)}\\[0pt] \end{center} On consid\`{e}re le polyn\^{o}me P$(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260$, o\`{u} $z$ est un nombre complexe. \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]D\'{e}terminer deux nombres r\'{e}els $a$ et $b$ tels que : \index{Polyn\^{o}me!complexe} \[ \mathrm{P}(z)=(z^{2}+az+b)(z^{2}+4\,z+20). \] \item[\textbf{2.}] R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation P$(z)=0$. \item[\textbf{3.}] Placer dans un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $, les images M, N, P et Q des nombres complexes respectifs $m=-2+4i,\;n=-2-4i,\;p=2+3i$ et $q=2-3i$. \item[\textbf{4.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]D\'{e}terminer le nombre complexe $z$ v\'{e}rifiant $\displaystyle\frac{z-p}{z-m}=i$. Placer son image K. \item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire que le triangle MPK est isoc\`{e}le rectangle en K. \index{Triangle!isoc\`{e}le} \end{enumerate} \item[\textbf{5.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]D\'{e}teminer par le calcul l'affixe du point L, quatri\`{e}me sommet du carr\'{e} MKPL. \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer l'abscisse du point d'intersection R de la droite (KL) et de l'axe des abscisses. \item[\textbf{c.}] Montrer que M, N, P et Q sont sur un m\^{e}me cercle de centre R. \\[0,3cm] \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \vspace{0cm}\textbf{\noindent PROBLEME} ( 11 points)\\[0pt] \end{center} On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $[0\ ;\ +\infty\lbrack$ par \[ f(x)=\frac{e^{x}-1}{xe^{x}+1}% \] \newline On d\'{e}signe par $\mathcal{C}$ sa courbe \index{Fonction!exponentielle} repr\'{e}sentative dans le plan rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ ; unit\'{e} graphique : 4 cm.\newline \textbf{Partie A}\newline \textbf{$\star$} \textbf{\'{E}tude d'une fonction auxiliaire}\newline Soit la fonction $g$ d\'{e}finie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$ par $g(x)=x+2-e^{x}.$ \index{Fonction!auxiliaire} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]\'{E}tudier le sens de variation de $g$ sur $[0\,;\,+\infty \lbrack$ et d\'{e}terminer la limite de $g$ en $+\infty$. \item[\textbf{2.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que l'\'{e}quation $g(x)=0$ admet une solution et une seule dans $[0\ ;\ +\infty\lbrack$.\newline On note $\alpha$ cette solution. \item[\textbf{b.}] Prouver que $1,14 < \alpha<1,15$. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] En d\'{e}duire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \\[0,2cm]\textbf{$\star$} \textbf{\'Etude de la fonction $f$ et trac\'{e} de la courbe $\mathcal{C}$} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que, pour tout $x$ appartenant \`{a} $[0\,;\,+\infty\lbrack$, \[ f\,^{\prime}(x)=\frac{e^{x}g(x)}{(xe^{x}+1)^{2}}. \] \item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0\,;\,+ \infty[$. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que pour tout r\'{e}el positif $x$, \[ f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x+e^{-x}}% \] \item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpr\'{e}ter graphiquement le r\'{e}sultat trouv\'{e}. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]\'Etablir que $f(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\alpha+ 1}$. \item[\textbf{b.}] En utilisant l'encadrement de $\alpha$ \'{e}tabli dans la question \textbf{A.2.}, donner un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $10^{-2}$. \index{Encadrement} \end{enumerate} \item[\textbf{4.}] D\'{e}terminer une \'{e}quation de la tangente (T) \`{a} la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. \index{Tangente} \item[\textbf{5.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]\'{E}tablir que, pour tout $x$ appartenant \`{a} l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$, \[ f(x)-x=\frac{(x+1)\,u(x)}{xe^{x}+1}\quad\mathrm{avec}\ u(x)=e^{x}-xe^{x}-1. \] \item[\textbf{b.}] \'{E}tudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$. En d\'{e}duire le signe de $u(x)$. \item[\textbf{c.}] D\'{e}duire des questions pr\'{e}c\'{e}dentes la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport \`{a} la droite (T). \end{enumerate} \item[\textbf{6.}] Tracer $\mathcal{C}$ et (T). \end{enumerate} \textbf{Partie C} \\[0,2cm]\textbf{$\star$} \textbf{Calcul d'aire et \'{e}tude d'une suite} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]D\'{e}terminer une primitive F de $f$ sur $[0\,;\,+\infty \lbrack$ ; on pourra utiliser l'expression de $f(x)$ \'{e}tablie dans la question \textbf{B.2. \index{Primitive}} \item[\textbf{2.}] On note $\mathcal{D}$ le domaine d\'{e}limit\'{e} par la courbe $\mathcal{C}$, la tangente (T) et les droites d'\'{e}quations $x=0$ et $x=1$.\newline \index{Calcul!d'aire}Calculer, en cm$^{2}$, l'aire A du domaine $\mathcal{D}% $.\newline Donner une valeur d\'{e}cimale au mm$^{2}$ pr\`{e}s de l'aire A. \item[\textbf{3.}] Pour tout entier naturel $n$, on pose \[ v_{n}=\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx \] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$.\newline On donnera des valeurs d\'{e}cimales approch\'{e}es \`{a} 10$^{-2}$ pr\`{e}s de $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$. \item[\textbf{b.}] Interpr\'{e}ter graphiquement $v_{n}$. \index{Suite!et int\'{e}grale} \item[\textbf{c.}] Montrer que, pour tout $n\geqslant2,\quad$% \[ f(n+1)\leqslant\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx\leqslant f(n) \] \newline En d\'{e}duire la monotonie de la suite $(v_{n})$ \`{a} partir de $n=1$. \item[\textbf{d.}] D\'{e}terminer la limite de la suite $(v_{n})$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Am% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erique du Nord 1998} \begin{center} \medskip\textbf{EXERCICE 1 }( 5 points)\textbf{\\[0pt]} \end{center} Afin de cr\'{e}er une loterie, on met dans une urne $n$ billets diff\'{e}rents ($n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3), dont deux et deux seulement sont gagnants. \begin{enumerate} \item Dans cette question, on choisit au hasard et simultan\'{e}ment deux billets dans l'urne. \begin{enumerate} \item On suppose ici $n=10$. $X$ d\'{e}signe la variable al\'{e}atoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. \index{Tirage!simultan\'{e}}\newline D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $X$. \index{Loi!de probabilit\'{e}} \item On revient au cas g\'{e}n\'{e}ral avec $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3.\newline Calculer la probabilit\'{e}, not\'{e}e $p_{n}$, d'avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis. \end{enumerate} \item Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en remettant le premier billet tir\'{e} avant de tirer le second. \begin{enumerate} \item On suppose ici $n=10$. $Y$ d\'{e}signe la variable al\'{e}atoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux billets choisis. \index{Variable!al\'{e}atoire}\newline D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $Y$. \item On revient au cas g\'{e}n\'{e}ral avec $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3.\newline Calculer la probabilit\'{e}, not\'{e}e $q_{n}$, d'avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3, on a : \[ p_{n}-q_{n}=\frac{4(n-2)}{n^{2}(n-1)}. \] \item En remarquant que pour tout entier $n$, $n-2$ est inf\'{e}rieur \`{a} $n-1$, d\'{e}terminer un entier naturel $n_{0}$ tel que pour tout $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n_{0}$, on ait \[ {p_{n}-q_{n}<10^{-3}}% \] \item Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de cette loterie, est-il pr\'{e}f\'{e}rable de les tirer simultan\'{e}ment ou de les tirer l'un apr\`{e}s l'autre en remettant le premier billet tir\'{e} ?\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \medskip\textbf{EXERCICE 2}{\ ( 5 points)}\\[0pt] \end{center} Dans le plan complexe rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$, (unit\'{e} graphique : 4 cm), on donne les points A et B d'affixes \index{Affixe}respectives 1 et ${\displaystyle\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}% }$.\newline Pour chaque point M du plan, d'affixe $z$, $\text{M}_{1}$ d'affixe $z_{1}$ d\'{e}signe l'image de M par la rotation de centre O et d'angle ${\displaystyle\frac{\pi}{3}}$, puis M' d'affixe $z^{\prime}$ l'image de $\text{M}_{1}$ par la translation de vecteur $-\overrightarrow{\strut u}$. \index{Rotation}\newline Enfin, on note $T$ la transformation qui \`{a} chaque point M associe le point M'. \index{Transformation} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer : ${\displaystyle z^{\prime}=e^{i\frac{\pi}{3}}z-1}$. \item D\'{e}terminer l'image du point B. \item Montrer que $T$ admet un unique point invariant dont on pr\'{e}cisera l'affixe. \index{Point!invariant} \end{enumerate} \item On pose $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ r\'{e}els. \begin{enumerate} \item Pour $z$ non nul, calculer la partie r\'{e}elle du quotient ${\displaystyle \frac{z^{\prime}}{z}}$ en fonction de $x$ et de $y$. \item D\'{e}montrer que l'ensemble ($E$), des points M du plan tels que le triangle OMM' soit rectangle en O, est un cercle ($C$), dont on pr\'{e}cisera le centre et le rayon, priv\'{e} de deux points.\newline Tracer ($E$). \end{enumerate} \item Dans cette question on pose $z=1+i$. \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que M appartient \`{a} ($E$). Placer M et M' sur la figure. \item Calculer le module de $z^{\prime}$. \index{Module} \item Calculer l'aire, en $\text{cm}^{2}$, du triangle OMM'. \index{Aire!d'un triangle}\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME }( 10 points)\medskip \end{center} On d\'{e}signe par $n$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2 et on consid\`{e}re les fonctions, not\'{e}es $f_{n}$, qui sont d\'{e}finies pour $x$ appartenant \`{a} l'intervalle $]0,+\infty\lbrack$ par : \index{Fonction!logarithme} \[ f_{n}(x)=\frac{1+n\ln(x)}{x^{2}}% \] \textbf{PARTIE A } \textbf{I : Etude des fonctions $f_{n}$} \begin{enumerate} \item Calculer $f^{\prime}_{n}(x)$ et montrer que l'on peut \'{e}crire le r\'{e}sultat sous la forme d'un quotient dont le num\'{e}rateur et $n-2-2n \ln(x)$. \item R\'{e}soudre l'\'{e}quation $f^{\prime}_{n}(x)=0$. Etudier le signe de $f^{\prime}_{n}(x)$ \item D\'{e}terminer la limite de $f_{n}$ en $+\infty$ \item Etablir le tableau de variation de la fonction $f_{n}$ et calculer sa valeur maximale en fonction de $n$. \end{enumerate} \textbf{II : Repr\'{e}sentation graphique de quelques fonctions $f_{n}$} Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $(O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath})$ ( unit\'{e} graphique : 5 cm ). On note $(C_{n})$ la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $f_{n}$ dans ce rep\`{e}re. \begin{enumerate} \item Tracer $\left( C_{2}\right) $ et $\left( C_{3}\right) .$ \item \begin{enumerate} \item Calculer $f_{n+1}\left( x\right) -f_{n}\left( x\right) .$ Cette diff\'{e}rence est-elle d\'{e}pendante de l'entier $n$ ? \item Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe $\left( C_{n}\right) $ \`{a} partir de $\left( C_{2}\right) $ et $\left( C_{3}\right) .$ \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE B } \textbf{Calculs d'aires} \begin{enumerate} \item Calculer, en int\'{e}grant par parties, l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx \] \item En d\'{e}duire l'aire, en unit\'{e}s d'aire, du domaine plan limit\'{e} par les courbes $\left( C_{n}\right) $ et $\left( C_{n+1}\right) $ et les droites d'\'{e}quations $x=1$ et $x=e.$ \index{Calcul!d'aire} \item On note $A_{n}$ l'aire, en unit\'{e}s d'aire, du domaine limit\'{e} par la courbe $\left( C_{n}\right) $ et les droites d'\'{e}quations $y=0,$ $x=1$ et $x=e.$ \begin{enumerate} \item Calculer $A_{2}.$ \item D\'{e}terminer la nature de la suite $\left( A_{n}\right) $ en pr\'{e}cisant l'interpr\'{e}tation graphique de sa raison. \index{Suite} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE C } \textbf{Etude sur l'intervalle }$\left] 1;+\infty\right[ $\textbf{\ de l'\'{e}quation }$f_{n}\left( x\right) =1$\textbf{.} Dans toute la suite, on prendra $n\geqslant3.$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que, pour tout $n,$% \[ e^{\frac{n-2}{2n}}>1\text{ et }f_{n}\left( e^{\frac{n-2}{2n}}\right) >1 \] \item V\'{e}rifier que l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =1$ n'a pas de solution sur l'intervalle $\left] 1;e^{\frac{n-2}{2n}}\right[ .$ \end{enumerate} \item Montrer que l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =1$ admet sur l'intervalle $\left[ e^{\frac{n-2}{2n}};+\infty\right[ $ exactement une solution not\'{e}e $\alpha_{n}.$ \item On se propose de d\'{e}terminer la limite de la suite $\left( \alpha_{n}\right) .$ \begin{enumerate} \item Calculer $f_{n}\left( \sqrt{n}\right) $ et montrer que, pour $n>e^{2}, $ on a $f_{n}\left( \sqrt{n}\right) \geqslant1.$ \item En d\'{e}duire que, pour $n\geqslant8,$ on a $\alpha_{n}\geqslant \sqrt{n}$ et donner la limite de la suite $\left( \alpha_{n}\right) .$ \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Asie 1998} \begin{center} \textbf{Exercice 1 }(4 points) \end{center} \medskip Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re direct $(O,\overrightarrow{u\;},\overrightarrow{v\;})$, ayant comme unit\'{e} graphique 3 cm. Les nombres complexes $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4},z_{5}$ et $z_{6}$ que l'on va calculer dans cet exercice seront tous exprim\'{e}s sous forme alg\'{e}brique \textbf{et} sous forme exponentielle $(\rho e^{i\theta})$. \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation \index{Equation!complexe} : \[ z^{2}-\sqrt{3}z+1=0 \] On pose : $\displaystyle{z_{1}=\frac{\sqrt{3}+i}{2}}$ et $\displaystyle {z_{2}=\frac{\sqrt{3}-i}{2}}$.\newline Exprimer $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle et placer les points $M_{1}$ et $M_{2}$ d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le plan $\mathcal{P}$. \index{Forme!exponentielle} \item Soit \textit{r} la rotation de centre O et d'angle $\displaystyle {\frac{2\pi}{3}}$.\newline \index{Rotation}Calculer l'affixe $z_{3}$ du point $M_{3}=\mathit{r}\,(M_{2}) $.\newline \index{Affixe}Placer $M_{3}$ sur la figure pr\'{e}c\'{e}dente. \item Soit \textit{t} la translation \index{Translation} dont le vecteur $\overrightarrow{w\;}$ a pour affixe $\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}+i}{2}}$.\newline Calculer l'affixe $z_{4}$ du point $M_{4}=\mathit{t}\,(M_{2})$.\newline Placer $M_{4}$ sur la figure pr\'{e}c\'{e}dente. \item Soient $\displaystyle{z_{5}=\frac{i}{2}(1+i\sqrt{3})}$ et $\displaystyle{z_{6}=\frac{2}{i-\sqrt{3}}}$.\newline Exprimer $z_{5}$ et $z_{6}$ sous forme alg\'{e}brique et sous forme exponentielle.\newline Placer les points $M_{5}$ et $M_{6}$ d'affixes respectives $z_{5}$ et $z_{6}$ sur la figure. \item \begin{enumerate} \item Calculer $z^{6}_{k}$ pour $k\in\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$. \item Ecrire $z^{6}+1$ sous forme d'un produit de trois polyn\^{o}mes du second degr\'{e} \`{a} coefficients r\'{e}els. Justifier cette \'{e}criture. \index{Polyn\^{o}me}\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Exercice 2 }( 5 points)\textbf{\medskip} \end{center} \textit{Les questions 1 et 2 sont ind\'{e}pendantes}. $\mathbb{N}^{\ast}$ \textit{est l'ensemble des entiers strictement positifs}.\newline Pour tout entier n de $\mathbb{N}^{\ast}$, on consid\`{e}re l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}grale} \[ I_{n}=\int_{1}^{e}(\ln x)^{n}dx \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que pour tout $x$ dans l'intervalle $]1,e[$ et pour tout entier naturel n, on a : \[ (\ln x)^{n}-(\ln x)^{n+1}>0 \] \item En d\'{e}duire que la suite $(I_{n})$ est d\'{e}croissante. \index{Suite!d\'{e}croissante} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $I_{1}$ \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties. \index{Int\'{e}gration!par parties} \item D\'{e}montrer \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : \[ I_{n+1}=e-(n+1)I_{n}% \] \item En d\'{e}duire $I_{2}$, $I_{3}$ et $I_{4}$. Donner les valeurs exactes, exprim\'{e}es en fonction de $e$ et les valeurs approch\'{e}es \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s par d\'{e}faut. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $I_{n}\geqslant0 $ \item D\'{e}montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $(n+1)I_{n}% \leqslant e$ \item En d\'{e}duire la limite de $I_{n}$. \item D\'{e}terminer la valeur de $nI_{n}+(I_{n}+I_{n+1})$ et en d\'{e}duire la limite de $nI_{n}$.\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Probl\`{e}me} ( 11 points )\medskip \end{center} \textbf{Partie A}\newline Soit la fonction $g$, d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$, qui, \`{a} tout $x$, associe : \index{Fonction!exponentielle} \[ g(x)=e^{x}(x-1)+x^{2}. \] \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que la d\'{e}riv\'{e}e de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ est : \[ g\,^{\prime}(x)=x(e^{x}+2). \] \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer les limites de $g$ en $(+ \infty)$ et en $(- \infty)$. \item[\textbf{c.}] \'{E}tudier le signe de $g\,^{\prime}(x)$ sur $\mathbb{R}$, et dresser le tableau de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] Montrer que l'\'{e}quation $g(x)=0$ admet une solution $\alpha$ et une seule sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$.\newline Montrer que $\alpha$ est dans l'intervalle I $=\left[ \displaystyle\frac {1}{2}\,;\,1\right] .$ \end{enumerate} \textbf{Partie B}\\[0,3cm]Soit la fonction $f$ d\'{e}finie sur $[0\,;\,+\infty [$ par : \[ f(x) = \displaystyle\frac{e^{x}}{e^{x} + x}. \] \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]Montrer que les \'{e}quations $f(x)=x$ et $g(x)=0$ sont \'{e}quivalentes sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$, et que, par suite, l'\'{e}quation $f(x)=x$ admet $\alpha$ pour solution unique sur I. \item[\textbf{2.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer la d\'{e}riv\'{e}e de $f$ et en d\'{e}duire le sens de variation de $f$ sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$. \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item[\textbf{c.}] Dresser le tableau de variation de $f$. \item[\textbf{d.}] Construire la courbe repr\'{e}sentative $\mathcal{C}$ de $f$ sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$ dans un rep\`{e}re orthonormal (unit\'{e} 2 cm). On indiquera en particulier les tangentes \`{a} $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses 0 et 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]Montrer que, pour tout $x$ appartenant \`{a} I, $f(x)$ appartient \`{a} I. \item[\textbf{2.}] Soit la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}^{\star}}$ d\'{e}finie par \index{Suite!r\'{e}currente} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% u_{1}=\frac{1}{2}\\[0cm]% u_{n}=f(u_{n-1})\quad\text{pour tout}\ n>1 \end{array} \right. \] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que, pour tout $n \in\mathbb{N}^{\star}$, $\ u_{n} \in I$. \item[\textbf{b.}] Montrer que, pour tout $x\in$ I, $\ $% \[ \left| f\,^{\prime}(x)\right| \leqslant\frac{1}{2}% \] \item[\textbf{c.}] En appliquant le th\'{e}or\`{e}me de l'in\'{e}galit\'{e} des accroissements finis, \index{In\'{e}galit\'{e}!des accroissements finis}d\'{e}montrer que : \[ \text{pour tout}\ n>1,\quad\left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant\frac{1}% {2}\left| u_{n-1}-\alpha\right| . \] \item[\textbf{d.}] En d\'{e}duire, par un raisonnement par r\'{e}currence, que : \index{R\'{e}currence} \[ \text{pour tout}\ n\in\mathbb{N}^{\star},\quad\left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}. \] \item[\textbf{e.}] En d\'{e}duire que $(u_{n})$ converge vers $\alpha$ \item[\textbf{f.}] A priori, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour obtenir une valeur approch\'{e}e de $\alpha$ \`{a} $10^{-7}$ pr\`{e}s~? \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] En utilisant la d\'{e}croissance de $f$, montrer que $\alpha$ est compris entre deux termes cons\'{e}cutifs quelconques de la suite. En d\'{e}duire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-7}$. \end{enumerate} \section{Remplacement 1998} \begin{center} \textbf{Exercice I } \end{center} L'espace est muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct $(O\,;\,\vec{i},\,\vec {j},\,\vec{k})$.\newline Il n'est pas demand\'{e} de faire de figure.\newline Les questions 3 et 4 sont ind\'{e}pendantes des questions 1 et 2.\newline On consid\`{e}re les quatre points $A,\ B,\ C$ et $I$ de coordonn\'{e}es respectives : \[ A\left( \begin{array} [c]{c}% -1\\ 2\\ 1 \end{array} \right) \qquad\quad B\left( \begin{array} [c]{c}% 1\\ -6\\ -1 \end{array} \right) \qquad\quad C\left( \begin{array} [c]{c}% 2\\ 2\\ 2 \end{array} \right) \qquad\quad I\left( \begin{array} [c]{c}% 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right) \] \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer le produit vectoriel $\overrightarrow{\strut AB}\wedge\overrightarrow{\strut AC}$. \index{Produit!vectoriel} \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer une \'{e}quation cart\'{e}sienne du plan contenant les trois points $A,\ B$ et $C$. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] Soit $Q$ le plan d'\'{e}quation : \index{Equation!de plan} \[ x+y-3z+2=0 \] et $Q^{\prime}$ le plan de rep\`{e}re $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{k})$. \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Pourquoi $Q$ et $Q^{\prime}$ sont-ils s\'{e}cants~? \item[\textbf{b.}] Donner un point $E$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{\strut u}$ de la droite d'intersection $\Delta$ des plans $Q $ et $Q^{\prime}$. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] \'{E}crire une \'{e}quation cart\'{e}sienne de la sph\`{e}re S de centre $I$ et de rayon 2. \index{Sph\`{e}re} \item[\textbf{4.}] On consid\`{e}re les points $J$ et $K$ de coordonn\'{e}es respectives : \[ J\left( \begin{array} [c]{c}% -2\\ 0\\ 0 \end{array} \right) \qquad\quad K\left( \begin{array} [c]{c}% 1\\ 0\\ 1 \end{array} \right) \] D\'{e}terminer avec soin l'intersection de la sph\`{e}re S et de la droite $(JK)$.\medskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Exercice II\medskip} \end{center} \begin{enumerate} \item On consid\`{e}re le polyn\^{o}me $P$ d\'{e}fini par : $P(z)=z^{3}% -6z^{2}+12z-16$. \index{Polyn\^{o}me!complexe} \begin{enumerate} \item Calculer $P(4)$. \item R\'{e}soudre dans $C$ l'\'{e}quation : $P(z)=0$. \end{enumerate} \item Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonorm\'{e} direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ tel que : $\Vert\overrightarrow {u}\Vert=\Vert\overrightarrow{v}\Vert=2\;cm$.\newline Soient $A$, $B$, $C$ les points d'affixes respectives : \index{Affixe} \[ a=4\qquad b=1+i\sqrt{3}\qquad c=1-i\sqrt{3}% \] \begin{enumerate} \item Placer les points $A,B,C$ sur une figure que l'on compl\'{e}tera tout au long de l'exercice. \item Montrer que le triangle $ABC$ est \'{e}quilat\'{e}ral. \index{Triangle!\'{e}quilat\'{e}ral} \end{enumerate} \item Soit $K$ le point d'affixe $k=-\sqrt{3}+i$\newline On appelle $F$ l'image de $K$ par la rotation de centre $O$ et d'angle de mesure $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ et $G$ l'image de $K$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OB}$. \index{Rotation} \begin{enumerate} \item Quelles sont les affixes respectives de $F$ et de $G$ ? \item Montrer que les droites $(OC)$ et $(OF)$ sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item Soit $H$ le quatri\`{e}me sommet du parall\'{e}logramme $COFH$ \begin{enumerate} \item Montrer que le quadrilat\`{e}re $COFH$ est un carr\'{e}. \index{Carr\'{e}} \item Calculer l'affixe du point $H$. \item Le triangle $AGH$ est-il \'{e}quilat\'{e}ral ?\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBL\`{E}ME} (11 points) \medskip \textbf{Partie A}\\[0pt] \end{center} \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle : \index{Equation!diff\'{e}rentielle} \[ y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0 \] \item D\'{e}terminer la solution $\varphi$ de cette \'{e}quation, d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ et qui v\'{e}rifie les conditions : \[ \varphi(0)=0\quad\text{et}\quad\varphi^{\prime}(0)=-e \] \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B}\\[0pt] \end{center} \begin{enumerate} \item On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \index{Fonction!exponentielle} \[ f(x)=-xe^{2x+1}. \] \begin{enumerate} \item Quel est, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$ ? \item Etudier le sens de variation de de $f$. \item D\'{e}terminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \item On appelle ($\mathcal{C}$) la repr\'{e}sentation graphique de $f$ dans un rep\`{e}re orthonorm\'{e} \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} \ (unit\'{e} graphique : 4 cm).\newline Quelle est la tangente \`{a} ($\mathcal{C}$) au point O ?\newline \index{Tangente}Ecrire une \'{e}quation de la tangente T \`{a} ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse (-1). \item On appelle ($\Gamma$) la repr\'{e}sentation graphique dans le rep\`{e}re \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} \ de la fonction $g$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ g(x)=e^{x}. \] Quelle est la tangente \`{a} ($\Gamma$) au point d'abscisse (-1) ? \end{enumerate} \item On appelle $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ h(x)=1+exe^{x}. \] \begin{enumerate} \item Etudier le sens de variation de $h$.\newline En d\'{e}duire le signe de $h(x)$ suivant les valeurs de $x$. \item Etudier la position de ($\mathcal{C}$) par rapport \`{a} ($\Gamma$). \item Tracer, sur le m\^{e}me graphique, les courbes T, ($\mathcal{C}$) et ($\Gamma$). \end{enumerate} \item $m$ d\'{e}signe un r\'{e}el quelconque et M d\'{e}signe le point de la courbe ($\Gamma$) d'abscisse $m$. \begin{enumerate} \item Ecrire une \'{e}quation de la tangente D \`{a} ($\Gamma$) en M. \item La tangente D coupe les axes de coordonn\'{e}es en A et B.\newline Calculer, en fonction de $m$, les coordonn\'{e}es du milieu J du segment [AB]. \item Prouver que J appartient \`{a} ($\mathcal{C}$). \item Tracer D et J pour $m=0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C}\\[0pt] \end{center} \begin{enumerate} \item Soit $x$ un r\'{e}el quelconque.\newline A l'aide d'une int\'{e}gration par partie, calculer l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ \text{I}(x)=\int_{0}^{x}{te^{2t}}dt. \] \item Soit $x$ un r\'{e}el n\'{e}gatif.\newline \index{Calcul!d'aire}Calculer l'aire $\mathcal{A}(x)$, exprim\'{e}e en $\text{cm}^{2}$, de l'ensemble des points N du plan dont les coordonn\'{e}es ($u,v$) v\'{e}rifient : \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x\leqslant u\leqslant0\\ 0\leqslant v\leqslant f(x) \end{array} \right. \] \item Calculer $\mathcal{A}(-1)$. \item $\mathcal{A}(x)$ admet-elle une limite quand $x$ tend vers moins l'infini ? Si oui laquelle ? \end{enumerate} \section{Sujet exp% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erimental 1997} \begin{center} \textbf{PROBLEME commun. } \textbf{( avec calculatrice )} \textbf{11 points} \emph{A. R\'{e}solution approch\'{e}e d'une \'{e}quation } \end{center} \begin{enumerate} \item On consid\`{e}re la fonction $h$ d\'{e}finie sur $]0,+\infty\lbrack$ par \[ h(x)=3\ln{x}-x \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les limites de $h$ en $0$ et en $+\infty$. \index{Fonction!logarithme} \item Etudier les variations de $h$. Montrer que $h$ admet un maximum, dont on donnera une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s. Aucune courbe repr\'{e}sentative n'est demand\'{e}e. \index{Maximum} \end{enumerate} \item D\'{e}duire de l'\'{e}tude pr\'{e}c\'{e}dente que l'\'{e}quation : \[ (E)\qquad3\ln{x}=x \] admet deux solutions, l'une, not\'{e}e $\alpha$, \'{e}l\'{e}ment de l'intervalle $]0,3[$, l'autre, not\'{e}e $\lambda$, \'{e}l\'{e}ment de l'intervalle $]3,+\infty[$. \item Montrer que $1,85\leqslant\alpha\leqslant1,86$. \item On d\'{e}signe par $I$ l'intervalle $[4,5]$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $\phi$ d\'{e}finie sur $I$ par $\phi(x)=3\ln {x}$ transforme tout \'{e}l\'{e}ment de $I$ en un \'{e}l\'{e}ment de $I$ et que $\lambda$ est \'{e}l\'{e}ment de $I$. \item Montrer que pour tout \'{e}l\'{e}ment $x$ de $I$, on a $\big\vert \phi^{\prime}(x)\big\vert\leqslant3/4$. \item On d\'{e}finit la suite $(u_{n})$ d'\'{e}l\'{e}ments de $I$ par : $u_{0}=4$ et, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}=3\ln{u_{n}}% \] Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[ |u_{n}-\lambda|\leqslant(3/4)^{n}% \] En d\'{e}duire que la suite $(u_{n})$ a pour limite $\lambda$. \index{Suite!r\'{e}currente} \item D\'{e}terminer un entier naturel $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur approch\'{e}e de $\lambda$ \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s. Donner une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s de $\lambda$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \emph{B. Etude d'une fonction } \end{center} On consid\`{e}re la fonction $f$, d\'{e}finie sur $]0,+\infty\lbrack$ par \[ f(x)=\frac{\ln{x}}{x}% \] On d\'{e}signe par $C$ sa courbe repr\'{e}sentative dans le rep\`{e}re orthonorm\'{e} $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. On prendra pour unit\'{e} graphique $4$cm. \index{Fonction!logarithme} \begin{enumerate} \item Etudier les variations de $f$, en pr\'{e}cisant ses limites en $0$ et en $+\infty$. \item D\'{e}terminer une \'{e}quation de la tangente $T$ \`{a} $C$ en son point $A$ d'abscisse $1$. \item Tracer $C$ et $T$. \item A tout entier naturel non nul $n$ on associe l'\'{e}quation d'inconnue $x$ : \[ \big(\mathcal{E}_{n}\big)\qquad f(x)=\frac{1}{n}% \] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $n=1$ ou $n=2$, cette \'{e}quation n'admet pas de solution. \item Montrer que, pour $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $3$, l'\'{e}quation $\big(\mathcal{E}_{n}\big)$ admet deux solutions, qu'on d\'{e}signera par $\alpha_{n}$ et $\lambda_{n}$, o\`{u} $\alpha_{n}% \leqslant\lambda_{n}$. \item Montrer que les solutions de l'\'{e}quation $\big(\mathcal{E}_{n}\big) $ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe repr\'{e}sentative de la fonction exponentielle avec la courbe repr\'{e}sentative de la fonction puissance $x\rightarrow x^{n}$. \index{Fonction!puissance} \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \emph{C. Etude des suites $(\alpha_{n})$ et $(\lambda_{n})$ } \end{center} \begin{enumerate} \item On se propose dans cette question de montrer que, pour tout $x$ positif ou nul, on a : \[ x-\frac{1}{2}x^{2}\leqslant\ln{(1+x)}\leqslant x \] \begin{enumerate} \item On d\'{e}finit sur $[0,+\infty\lbrack$ la fonction $g$ par \[ g(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+\ln{(1+x)}% \] Etudier le sens de variation de $g$. \item En d\'{e}duire le signe de $g$. Montrer que pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul on a \index{In\'{e}galit\'{e}} \[ x-\frac{1}{2}x^{2}\leqslant\ln{(1+x)}% \] \item Montrer qu'on a \'{e}galement, pour tout $x$ positif ou nul, $x\geqslant\ln{(1+x)}$. \end{enumerate} \item Etude de $\alpha_{n}$ pour $n\geqslant4$. \begin{enumerate} \item En utilisant la question pr\'{e}c\'{e}dente, montrer que, pour tout r\'{e}el positif $x$, on a \[ \frac{\ln{(1+x)}}{1+x}\leqslant x \] En d\'{e}duire que pour tout entier naturel $n\geqslant4$ on a \[ f(1+\frac{1}{n})\leqslant\frac{1}{n}% \] \item Montrer que, pour tout $x$ \'{e}l\'{e}ment de l'intervalle $[0,1/2]$ on a \[ \frac{\ln{(1+x)}}{1+x}\geqslant\frac{1}{2}x \] En d\'{e}duire que pour tout entier naturel $n\geqslant4$ on a \[ f(1+\frac{2}{n})\geqslant\frac{1}{n}% \] \item Montrer que, pour $n\geqslant4$, $1+1/n\leqslant\alpha_{n}% \leqslant1+2/n$. Quelle est la limite de la suite $(\alpha_{n})$ ? \end{enumerate} \item Etude de $\lambda_{n}$ \begin{enumerate} \item Montrer que, pour $n\geqslant4$, $f(n)\geqslant1/n$. \item Comparer $n$ et $\lambda_{n}$ puis d\'{e}terminer la limite de la suite $\lambda_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Exercice 1 ; commun } \textbf{( sans calculatrice )} \textbf{4 points } \end{center} Une petite association organise une souscription qui prend la forme d'une tombola. Au cours d'une r\'{e}union, $100$ enveloppes indiscernables sont mises en vente au prix unitaire de $100$ F. $5$ de ces enveloppes permettent chacune de gagner $500$ F, $20$ rapportent chacune $100$ F, les autres sont perdantes. \begin{enumerate} \item \emph{Le point de vue des organisateurs} \begin{enumerate} \item La vente de $60$ enveloppes \'{e}tant assur\'{e}e, l'op\'{e}ration est-elle \`{a} coup s\^{u}r rentable ? \item Combien d'enveloppes faut-il vendre pour r\'{e}aliser \`{a} coup s\^{u}r un b\'{e}n\'{e}fice de $4\,000$ F ? \end{enumerate} \item \emph{Le point de vue du premier souscripteur}\newline Pour le premier souscripteur, l'achat d'enveloppes peut \^{e}tre assimil\'{e} \`{a} un tirage sans remise en situation \'{e}quiprobabilit\'{e}. \begin{enumerate} \item Cette personne ach\`{e}te une enveloppe. D\'{e}terminer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de la variable al\'{e}atoire $X$ repr\'{e}sentant son gain (diff\'{e}rence entre la somme \'{e}ventuellement per\c{c}ue et la somme engag\'{e}e, $100$ F). \index{Variable!al\'{e}atoire} \item Cette personne ach\`{e}te deux enveloppes. Soit $Y$ la variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant son gain (diff\'{e}rence entre la somme \'{e}ventuellement per\c{c}ue et la somme engag\'{e}e, $200$ F). Quelles sont les valeurs prises par $Y$ ? \newline Montrer que $P(Y=200)=5590/9900$. \newline Pr\'{e}senter sous forme de tableau la loi de probabilit\'{e} de la variable al\'{e}atoire $Y$. On pr\'{e}sentera les probabilit\'{e}s utiles sous forme de fractions de m\^{e}me d\'{e}nominateur. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Exercice 2 \\[0pt]\'{e}l\`{e}ves ne suivant pas l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e} ; 5 points } \textbf{( sans calculatrice )} \end{center} Le plan complexe est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$. On prendra pour unit\'{e} graphique $5$cm. On d\'{e}signe par $A$ et $K$ les points d'affixes respectives $1$ et $1+i$, et par $I$ et $J$ les points d'affixes respectives $i$ et $-i$.\newline \index{Affixe}On rappelle que, si $P$, $Q$ et $R$ sont trois points quelconques du plan, distincts et d'affixes respectives $p$, $q$ et $r$, on a l'\'{e}galit\'{e} : \index{Angle!de vecteurs} \[ (\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR})=\text{arg}\left( \frac{r-p}% {q-p}\right) \qquad(\text{modulo }2\pi) \] \begin{enumerate} \item On d\'{e}signe par $\Gamma$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. On consid\`{e}re sur ce cercle un point $N$ distinct de $I$ et $J$. On note $t$ une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{ON})$. \index{Cercle} \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $INJ$ ? \index{Triangle} \item Montrer que, pour tout r\'{e}el $t$ tel que $t\neq\pi/2+k\pi$ (o\`{u} $k$ est un entier relatif), le nombre complexe : \[ \frac{e^{it}+i}{e^{it}-i}% \] est imaginaire pur. \end{enumerate} Dans la suite, on d\'{e}signe par $C$ le cercle de centre $A$ et de rayon $1 $. \item On nomme $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi/2$. Tracer $C$ et son image $C^{\prime}$ par la rotation $r$ sur une m\^{e}me figure, qui sera compl\'{e}t\'{e}e par la suite. \index{Rotation} \begin{enumerate} \item On note $M^{\prime}$ l'image par $r$ d'un point quelconque $M$ du plan. Exprimer l'affixe $z^{\prime}$ de $M^{\prime}$ en fonction de l'affixe $z$ de $M$. \item D\'{e}terminer l'ant\'{e}c\'{e}dent $H$ de $K$ par $r$. \index{Ant\'{e}c\'{e}dent} \end{enumerate} \item Dans cette question, $M$ est un point quelconque du cercle $C$, distinct de $H$ et de $K$. On note $t$ une mesure de l'angle $(\overrightarrow {u},\overrightarrow{AM})$. Ainsi l'affixe $z$ de $M$ s'\'{e}crit : $z=1+e^{it}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : \[ \frac{z^{\prime}-(1+i)}{z-(1+i)}=i\frac{e^{it}+i}{e^{it}-i}% \] \item Montrer finalement que les points $M$, $K$ et $M^{\prime}$ sont align\'{e}s. \index{Alignement} \item En d\'{e}duire une construction de $M^{\prime}$ connaissant $M$. \end{enumerate} \end{enumerate} \chapter{Exercices} \section{Int% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion egration} \subsection{Japon 1996 ( modifi% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion e)} Pour tout entier $n$ strictement positif on consid\`{e}re la fonction $f_{n}$ d\'{e}finie sur $]0,+\infty\lbrack$ par \[ \;f_{n}(x)=\frac{(\ln x)^{n}}{x^{2}}% \] et on pose$ \index{Fonction!logarithme}$% \[ I_{n}=\int_{1}^{e}f_{n}(x)\ dx \] \begin{enumerate} \item Calculer la d\'{e}riv\'{e}e de $x\longmapsto\displaystyle\frac{1+\ln x}{x}$. En d\'{e}duire $I_{1}$. \index{Int\'{e}grale} \item[\textbf{2.}] En utilisant une int\'{e}gration par parties montrer que : \[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+(n+1)I_{n}% \] En d\'{e}duire $I_{2}$. \item[\textbf{3.}] En utilisant la formule pr\'{e}c\'{e}dente, montrer par r\'{e}currence que pour tout entier $n$ non nul : \[ \frac{1}{n!}I_{n}=1-\frac{1}{e}\left( 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}% +\cdots+\frac{1}{n!}\right) . \] \item[\textbf{4.}] En utilisant un encadrement de $\ln x$ sur $[1,e]$, montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul : \[ 0\leqslant I_{n}\leqslant1 \] En d\'{e}duire \index{Limite!de suite} \[ \underset{n\rightarrow+\infty}{\text{lim}}\left( 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}% {2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right) \] \end{enumerate} \subsection{Am% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erique du Sud 1995} On pose pour tout entier naturel $n$ non nul : \index{Int\'{e}grale} \[ I_{n}=\int_{1}^{e}x^{2}(\ln x)^{n}\ dx\ \] o\`{u} $\ln$ d\'{e}signe la fonction logarithme n\'{e}p\'{e}rien, et \[ \hspace{-5cm}\text{pour $n=0$}\quad I_{0}=\int_{1}^{e}x^{2}\ dx. \] \begin{enumerate} \item Calculer $I_{o}$. \item En utilisant une int\'{e}gration par parties, calculer $I_{1}$. \index{Int\'{e}gration!par parties} \item En utilisant une int\'{e}gration par parties, d\'{e}montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : \[ 3I_{n+1}+(n+1)I_{n}=e^{3}.\qquad\qquad(1) \] En d\'{e}duire $I_{2}$. \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_{n}$ est positive. \item D\'{e}duire de l'\'{e}galit\'{e} (1) que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ I_{n}\leqslant\frac{e^{3}}{n+1}% \] \item D\'{e}terminer $\underset{n\rightarrow+\infty}{\text{lim}}I_{n}.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Sportifs de haut niveau 1994} On consid\`{e}re la suite $I$ d\'{e}finie par : \index{Int\'{e}grale} \index{Suite} \[ I_{0}=\int_{0}^{1}e^{x}\,dx \] et pour tout entier naturel $n\geqslant1$ par : \[ I_{n}=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}\left( 1-x\right) ^{n}e^{x}\,dx \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer \[ \int_{0}^{1}\left( 1-x\right) ^{n}\,dx \] \item A l'aide de l'encadrement : \index{Encadrement} \[ 1\leqslant e^{x}\leqslant e \] valable sur l'intervalle $\left[ 0,1\right] ,$ montrer que pour tout entier $n\geqslant1$ on a : \[ \frac{1}{\left( n+1\right) !}\leqslant I_{n}\leqslant\frac{e}{\left( n+1\right) !}% \] \item Montrer que la suite $I$ est convergente et d\'{e}terminer sa limite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $I_{0},$ puis $I_{1}$ \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties. \index{Int\'{e}gration!par parties} \item Etablir, en int\'{e}grant par parties, que pour tout entier $n\geqslant1,$ on a : \begin{equation} I_{n-1}-I_{n}=\frac{1}{n!}\tag{1}% \end{equation} \end{enumerate} \item On pose, pour tout entier $n\geqslant1$ : \[ J_{n}=1+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{n!}% \] \begin{enumerate} \item En utilisant les relations $\left( 1\right) $, exprimer $J_{n}$ \`{a} l'aide de $I_{0}$ et $I_{n}.$ \item En d\'{e}duire la limite $J$ de la suite $\left( J_{n}\right) .$ \item Justifier l'encadrement : \[ \frac{1}{\left( n+1\right) !}\leqslant J-J_{n}\leqslant\frac{e}{\left( n+1\right) !}% \] \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Polyn% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion esie 1991} Dans cet exercice, on se propose d'encadrer l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}grale} \[ K=\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^{2}}}{1+x}\,dx \] \begin{enumerate} \item En \'{e}tudiant les variations des fonctions $:$% \[ g:x\mapsto e^{-x}+x-1\text{ et }h:x\mapsto1-x+\frac{x^{2}}{2}-e^{-x}% \] sur l'intervalle $\left[ 0,1\right] ,$ d\'{e}montrer que pour tout $x$ de $\left[ 0,1\right] ,$% \begin{equation} 1-x\leqslant e^{-x}\leqslant1-x+\frac{x^{2}}{2}\tag{1}% \end{equation} \item D\'{e}duire de 1. un encadrement de $e^{-x^{2}}$ pour $x$ \'{e}% l\'{e}ment de $\left[ 0,1\right] ,$ puis montrer que pour tout $x$ de $\left[ 0,1\right] $ : \begin{equation} 1-x\leqslant\frac{e^{-x^{2}}}{1+x}\leqslant1-x+\frac{x^{4}}{2\left( 1+x\right) }\tag{2}% \end{equation} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de $\left[ 0,1\right] $ : \[ \frac{x^{4}}{1+x}=x^{3}-x^{2}+x-1+\frac{1}{1+x}% \] \item D\'{e}duire alors de $\left( 2\right) $ que : \[ \frac{1}{2}\leqslant K\leqslant\frac{5}{24}+\frac{\ln2}{2}% \] Donner une valeur approch\'{e}e de $K$ \`{a} $3\times10^{2}$ pr\`{e}s. \index{Valeur!approch\'{e}e} \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Probabilit% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion es} \subsection{Groupe II bis 1997} Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules sont indiscernables au toucher. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item On effectue quatre tirages successifs d'une boule sans remise. \index{Urne} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilit\'{e} de tirer dans l'ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule blanche. \item Calculer la probabilit\'{e} de tirer une boule blanche au cours de ces quatre tirages. \end{enumerate} \item On effectue maintenant quatre tirages successifs d'une boule avec remise. R\'{e}pondre aux m\^{e}mes questions qu'\`{a} la question 1. \item $n$ \'{e}tant un nombre entier strictement positif, on effectue $n$ tirages successifs avec remise. On appelle P$_{n}$ la probabilit\'{e} d'obtenir au cours de ces $n$ tirages une boule blanche uniquement au dernier tirage. \begin{enumerate} \item Calculer $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ et $P_{n}$. \index{Suite} \item Soit $S_{n}=P_{1}+P_{2}+P_{3}+\cdots+P_{n}$.\newline Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ et d\'{e}terminer la limite de $S_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Paris 1997} Trois d\'{e}s cubiques sont plac\'{e}s dans une urne. Deux de ces d\'{e}s sont normaux : leurs faces sont num\'{e}rot\'{e}es de $1$ \`{a} $6$. Le troisi\`{e}me d\'{e} est sp\'{e}cial : trois de ses faces sont num\'{e}% rot\'{e}es $6$, les trois autres sont num\'{e}rot\'{e}es $1$. On tire de l'urne, simultan\'{e}ment et au hasard, deux d\'{e}s parmi les trois et on les lance. On note A l'\'ev\`enement : '' les deux d\'es tir\'es sont normaux '' On note B l'\'ev\`enement : '' les deux faces sup\'erieures sont num\'erot\'ees $6$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}finir l'\'{e}v\`{e}nement contraire de A, qu'on notera $\overline{\text{A}}$. \item Calculer les probabilit\'{e}s de A et de $\overline{\text{A}}$. \index{Probabilit\'{e}} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $p\left( \text{B/A}\right) $, probabilit\'{e} de B sachant que A est r\'{e}alis\'{e}, puis $p\left( \text{B}\cap\text{A}\right) $. \item Calculer $p\left( \text{B}\right) $. \end{enumerate} \item Calculer $p\left( \text{A/B}\right) $, probabilit\'{e} de A sachant que B est r\'{e}alis\'{e}. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \end{enumerate} \subsection{Pondich% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ery 1997\label{exo_pondichery_97}} Voici le plan de la salle 308 du lyc\'{e}e Dupont : \index{Probabilit\'{e}}% \begin{center} \unitlength1cm \begin{picture}(11,6) \put(1,2){\line(1,0){4}} \put(1,3){\line(1,0){4}} \put(1,4){\line(1,0){4}} \put(1,5){\line(1,0){4}} \put(1,6){\line(1,0){4}} \put(7,2){\line(1,0){4}} \put(7,3){\line(1,0){4}} \put(7,4){\line(1,0){4}} \put(7,5){\line(1,0){4}} \put(7,6){\line(1,0){4}} \put(4,0){\line(1,0){4}} \put(4,1){\line(1,0){4}} \put(1,2){\line(0,1){4}} \put(2,2){\line(0,1){4}} \put(3,2){\line(0,1){4}} \put(4,2){\line(0,1){4}} \put(5,2){\line(0,1){4}} \put(7,2){\line(0,1){4}} \put(8,2){\line(0,1){4}} \put(9,2){\line(0,1){4}} \put(10,2){\line(0,1){4}} \put(11,2){\line(0,1){4}} \put(4,0){\line(0,1){1}} \put(8,0){\line(0,1){1}} \put(0.3,2.4){R1} \put(0.3,3.4){R2} \put(0.3,4.4){R3} \put(0.3,5.4){R4} \put(5.4,0.4){bureau} \put(5.6,4.4){all\'ee} \put(5.3,3.4){centrale} \end{picture} \end{center}% Le premier jour de l'ann\'ee scolaire, les \'el\`eves de la classe de TS1 sont invit\'es par leur professeur principal \`a s'installer au hasard des places disponibles dans cette salle. La classe de TS1 comporte 28 \'el\`eves. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le nombre de r\'epartitions possibles des places inoccup\'ees ? \item Calculer \`a $10^{-1}$ pr\`es, les probabilit\'es des \'ev\`enements suivants :\newline A : '' les huit places du rang R4 sont toutes occup\'ees ''\newline B : ''Il y a autant d'\'el\`eves \`a gauche qu'\`a droite de l'all\'ee centrale '' \end{enumerate} \item Dans cette question, les r\'{e}sultats seront donn\'{e}s sous forme fractionnaire. Soit $X$ la variable al\'{e}atoire '' nombre de places inoccup\'{e}es au rang R4 ''. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilit\'{e} de $X$. \index{Variable!al\'{e}atoire} \item Calculer son esp\'{e}rance math\'{e}matique. \index{Esp\'{e}rance} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Polyn% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion esie 1997} Les questions 1, 2 et 3 sont ind\'{e}pendantes. Tous les r\'{e}sultats de calcul de probabilit\'{e} seront donn\'{e}s sous forme d'une fraction irr\'{e}ductible.\newline Une classe de terminale S d'un lyc\'{e}e compte $30$ \'{e}l\`{e}ves dont $10$ filles. \begin{enumerate} \item A chaque s\'{e}ance du cours de math\'{e}matiques, le professeur interroge au hasard trois \'{e}l\`{e}ves. D\'{e}terminer la probabilit\'{e} de chacun des \'{e}v\`{e}nements suivants : \index{Probabilit\'{e}}\newline A : `` Exactement deux des trois \'{e}% l\`{e}ves interrog\'{e}s sont des gar\c{c}ons ''\newline B : `` Les trois \'{e}l\`{e}ves interrog\'{e}s sont de m\^{e}me sexe ''\newline C : ``\ Il y a au plus une fille parmi les trois \'{e}l\`{e}ves interrog\'{e}s. '' \item Parmi les $19$ internes de la classe, on compte $4$ filles. On choisit au hasard dans cette classe deux d\'{e}l\'{e}gu\'{e}s de sexes diff\'{e}rents. D\'{e}terminer la probabilit\'{e} de chacun des \'{e}v\`{e}nements suivants :\newline D : `` Les deux d\'{e}l\'{e}gu\'{e}s sont internes ''\newline E : `` Un seul de deux d\'{e}l\'{e}gu\'{e}s est interne ''. \item A la fin de chaque s\'{e}ance le professeur d\'{e}signe au hasard un \'{e}l\`{e}ve qui effacera le tableau. Un m\^{e}me \'{e}l\`{e}ve peut \^{e}tre d\'{e}sign\'{e} plusieurs fois. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la probabilit\'{e} $P_{n}$ pour que le tableau soit effac\'{e} au moins une fois par une fille \`{a} l'issue de $n$ s\'{e}ances. \item D\'{e}terminer le nombre minimal de s\'{e}ances pour que $P_{n}% \geqslant0,9999.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Am% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erique du Nord 1997} \index{Probabilit\'{e}}Juliette d\'{e}bute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la premi\`{e}re partie. On admet que, si elle gagne une partie, la probabilit\'{e} qu'elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une partie, la probabilit\'{e} pour qu'elle perde la partie suivante est 0,7. On note, pour $n$ entier naturel ou nul :\newline $G_{n}$ l'\'{e}v\`{e}nement `` Juliette gagne la $n$-i\`{e}me partie ''\newline $P_{n}$ l'\'{e}v\`{e}nement `` Juliette perd la $n$-i\`{e}me partie ''\newline \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les probabilit\'{e}s $p\left( G_{1}\right) ,$ $p\left( G_{2}/G_{1}\right) $ et $p\left( G_{2}/P_{1}\right) .$ En d\'{e}duire la probabilit\'{e} $p\left( G_{2}\right) .$ \item Calculer $p\left( P_{2}\right) .$ \end{enumerate} \item On pose, pour $n$ entier naturel non nul, $x_{n}=p\left( G_{n}\right) $ et $y_{n}=p\left( P_{n}\right) .$ \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer pour $n$ entier naturel non nul les probabilit\'{e}s $p\left( P_{n+1}/G_{n}\right) $ et $p\left( G_{n+1}/P_{n}\right) .$ \item Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul : \index{Suite!et probabilit\'{e}} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x_{n+1}=0,6x_{n}+0,3y_{n}\\ y_{n+1}=0,4x_{n}+0,7y_{n}% \end{array} \right. \] \end{enumerate} \item Pour $n$ entier naturel non nul, on pose \[ v_{n}=x_{n}+y_{n}\text{ et }w_{n}=4x_{n}-3y_{n}% \] \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left( v_{n}\right) $ est constante de terme g\'{e}n\'{e}ral \'{e}gal \`{a} $1.$ \index{Suite!constante} \item Montrer que la suite $\left( w_{n}\right) $ est g\'{e}om\'{e}trique et exprimer $w_{n}$ en fonction de $n.$ \index{Suite!g\'{e}om\'{e}trique} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}duire du 3. l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n.$ \item Montrer que la suite $\left( x_{n}\right) $ converge et d\'{e}terminer sa limite. \index{Suite!convergente} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Remplacement 1996} Un livreur de pizzas doit servir un client qui se trouve \`{a} $6$ km et qui exige d'\^{e}tre servi \`{a} $20$ h $00$ pr\'{e}cis\'{e}ment. Pour se d\'{e}placer, il utilise un scooter qui roule constamment \`{a} $36$ $km/h$. ( on n\'{e}glige les phases d'acc\'{e}l\'{e}ration et de d\'{e}c\'{e}% l\'{e}ration ). Sur son trajet, il va rencontrer $2$ deux tricolores non synchronis\'{e}s et ind\'{e}pendants. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} S'il arrive \`a un feu orange, il s'arr\^ete $60$ secondes et repart. S'il arrive \`a un feu rouge, il s'arr\^ete 3$0$ secondes et repart. Pour chaque feu : \begin{itemize} \item la probabilit\'e d'\^etre vert \`a l'arriv\'ee du livreur est $\frac12$. \item la probabilit\'e d'\^etre orange \`a l'arriv\'ee du livreur est $\frac14$. \end{itemize} Soit $T$ la variable al\'eatoire '' temps en minutes mis par le livreur pour arriver \`a destination ''. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer, en justifiant le calcul, la probabilit\'e $p\left( T=11\right) $. \item Donner la loi de probabilit\'e de $T$. \end{enumerate} \item Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de $T$. \index{Esp\'{e}rance} \item Repr\'{e}senter la fonction de r\'{e}partition de $T$. \index{Fonction!de r\'{e}partition} \item Le livreur part \`{a} $19$ h $49$. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilit\'{e} pour le livreur d'arriver en retard ? \item Quelle est la probabilit\'{e} pour le livreur d'arrive en avance ? \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Guadeloupe 1996\label{exo_guadeloupe_96}} \emph{Pour les questions 1 et 2, on donnera les r\'{e}sultats sous forme de fraction.\newline }Monsieur Martin a 17 cravates : 12 cravates \`{a} motifs et 5 cravates unies. Il range toujours 10 cravates ( 7 \`{a} motifs et 3 unies ) du c\^{o}t\'{e} gauche de son armoire et 7 cravates ( 5 \`{a} motifs et 2 unies ) de l'autre c\^{o}t\'{e}. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item Monsieur Martin devant partir en voyage pendant 3 jours a besoin de 3 cravates. Pour cela, il choisit 3 cravates simultan\'{e}ment et au hasard du c\^{o}t\'{e} gauche de son armoire. Soit $X$ le nombre de cravates \`{a} motifs qu'il choisit : \index{Variable!al\'{e}atoire} \begin{enumerate} \item Calculer la loi de probabilit\'{e} de $X.$ \item Calculer $E\left( X\right) .$ \index{Esp\'{e}rance} \end{enumerate} \item Lorsqu'il ne voyage pas, pour d\'{e}terminer la cravate qu'il portera dans la journ\'{e}e, Monsieur Martin utilise la m\'{e}thode suivante : il choisit un c\^{o}t\'{e} de l'armoire au hasard, de fa\c{c}on \'{e}quiprobable, et il prend ensuite une cravate, toujours au hasard, sur le c\^{o}t\'{e} choisi. On consid\`{e}re les \'{e}v\`{e}nements suivants :\newline G : \guilsinglleft\guilsinglleft\ Monsieur Martin choisit le c\^{o}t\'{e} gauche de l'armoire. \guilsinglright\guilsinglright\newline D : \guilsinglleft \guilsinglleft\ Monsieur Martin choisit le c\^{o}t\'{e} droit de l'armoire. \guilsinglright\guilsinglright\newline M : \guilsinglleft\guilsinglleft \ Monsieur Martin tire une cravate \`{a} motifs. \guilsinglright \guilsinglright\newline U : \guilsinglleft\guilsinglleft\ Monsieur Martin tire une cravate unie. \guilsinglright\guilsinglright\newline \begin{enumerate} \item %TCIMACRO{\TeXButton{vspace}{\vspace{-0.5cm}}}% %BeginExpansion \vspace{-0.5cm}% %EndExpansion Calculer $p\left( \text{M}\right) .$ \item Calculer $p\left( \text{G/M}\right) ,$ probabilit\'{e} conditionnelle de G sachant que M est r\'{e}alis\'{e}. \end{enumerate} \item Tous les jours, pendant $n$ jours, Monsieur Martin effectue son choix en suivant la m\'{e}thode indiqu\'{e}e en 2. Chaque soir, il remet la cravate utilis\'{e}e pendant la journ\'{e}e \`{a} sa place. \begin{enumerate} \item Calculer en fonction de $n$ la probabilit\'{e} $p_{n}$ pour qu'il ait pris au moins une cravate \`{a} motifs. \index{Probabilit\'{e}} \item Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $p_{n}\geqslant0,99.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Groupe II bis 1996} On dispose de deux urnes :\newline \hspace*{0cm}$\bullet$\hspace*{0cm} une urne U$_{1}$ dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules noires;\newline \hspace*{0cm}$\bullet$\hspace*{0cm} une urne U$_{2}$ dans laquelle se trouvent deux boules blanches et trois boules noires.\newline Une \'{e}preuve consiste \`{a} tirer simultan\'{e}ment et au hasard deux boules de chaque urne : on obtient ainsi quatre boules, les tirages dans chaque urne \'{e}tant \'{e}quiprobable. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement E : %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion parmi les quatre boules tir\'{e}es, il y a exactement deux boules blanches %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion est \'{e}gale \`{a} $0,46.$ \item On note X la variable al\'{e}atoire qui \`{a} chaque tirage associe le nombre de boules blanches obtenues. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de X. \index{Variable!al\'{e}atoire} \item Le joueur doit verser $2,50$ F avant d'effectuer le tirage ; il re\c {c}oit \`{a} l'issue du tirage 1 F par boule blanche obtenue. Le jeu est-il \'{e}quitable~? \end{enumerate} \item Calculer la probabilit\'{e} d'avoir tir\'{e} une et une seule boule blanche de l'urne U$_{1}$ sachant qu'on a tir\'{e} deux boules blanches. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \item On ne consid\`{e}re que l'urne U$_{1}$, de laquelle on tire toujours au hasard et simultan\'{e}ment deux boules. On nomme succ\`{e}s le tirage de deux boules blanches. On renouvelle dix fois la m\^{e}me \'{e}preuve (en remettant chaque fois les boules tir\'{e}es dans l'urne). D\'{e}terminer la probabilit\'{e} d'avoir au moins un succ\`{e}s sur les dix tirages. \end{enumerate} \subsection{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1996} Au cours d'une f\^{e}te, le jeu suivant est propos\'{e} au public : \newline Dans une urne se trouvent plac\'{e}es 7 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher.\newline Le joueur prend une boule au hasard ; si cette boule est noire, le jeu s'arr\^{e}te ; si cette boule est rouge, le joueur prend une deuxi\`{e}me boule (sans remettre la premi\`{e}re boule tir\'{e}e dans l'urne) et le jeu s'arr\^{e}te.\newline Une boule noire tir\'{e}e apporte au joueur 1 F et chaque boule rouge 2 F.\newline Pour faire un jeu, le joueur paie 2 F. On d\'{e}signe par X la variable al\'{e}atoire associ\'{e}e au gain alg\'{e}brique du joueur (c'est \`{a} dire la diff\'{e}rence entre la somme rapport\'{e}e par les boules tir\'{e}es et le prix du jeu). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs que X peut prendre~? \item D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de X et son esp\'{e}rance math\'{e}matique. \index{Variable!al\'{e}atoire} \index{Esp\'{e}rance} \end{enumerate} \item Un joueur fait trois jeux. Ceux-ci se d\'{e}roulent dans des conditions identiques (apr\`{e}s chaque jeu, les boules tir\'{e}es sont remises dans l'urne).\newline D\'{e}terminer la probabilit\'{e} des \'{e}v\'{e}nements suivants : \newline A : le joueur perd 3 F.\newline B : le joueur perd 1 F. \newline C : le gain du joueur est nul.\newline En d\'{e}duire la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement D : %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion le joueur a un gain strictement positif %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \end{enumerate} \subsection{Nouvelle Cal% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion edonie 1996} On donnera les r\'{e}sultats sous forme de fraction irr\'{e}ductible. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 noirs. On tire successivement les 7 jetons sans remise.\newline X est la variable al\'{e}atoire qui prend pour valeur $k$ si le premier jeton blanc appara\^{i}t au $k$-i\`{e}me tirage.\newline Donner la loi de probabilit\'{e} de X et calculer son esp\'{e}rance math\'{e}matique. \index{Variable!al\'{e}atoire} \index{Esp\'{e}rance} \item Une autre urne U$^{\prime}$ contient 17 jetons blancs et 18 noirs.\newline On jette un d\'{e} cubique dont chaque face a la m\^{e}me probabilit\'{e} d'appara\^{i}tre.\newline Si le 6 appara\^{i}t, on tire un jeton de l'urne U, sinon on tire un jeton de l'urne U$^{\prime}$. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que la probabilit\'{e} de tirer un jeton blanc est \'{e}gale \`{a} 0,5. \item On a tir\'{e} un jeton blanc, calculer la probabilit\'{e} pour qu'il provienne de U. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1995} Un code antivol d'un autoradio est un nombre de quatre chiffres, chaque chiffre pouvant prendre l'une des dix valeurs 0,1, ....,9.\newline \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le nombre de codes possibles ? \item Quel est le nombre de codes form\'{e}s de quatre chiffres distincts deux \`{a} deux ? \end{enumerate} \item Apr\`{e}s une coupure d'alimentation \'{e}lectrique, le propri\'{e}% taire doit r\'{e}introduire le code pour pouvoir utiliser son autoradio.\newline Il sait que les quatre chiffres de son code sont 1, 9, 9 et 5, mais il a oubli\'{e} l'ordre de ces chiffres. \begin{enumerate} \item Combien de codes diff\'{e}rents peut-il composer avec ces 4 chiffres ? \item Si le premier code introduit n'est pas le bon, le propri\'{e}taire doit attendre 2 minutes avant de pouvoir tenter un second essai ; le delai d'attente entre le second et le troisi\`{e}me essai est de 4 minutes, entre le troisi\`{e}me et le quatri\`{e}me essai, il est de 8 minutes...(le d\'{e}lai d'attente double entre deux essais successifs).\newline Combien de codes le propri\'{e}taire peut-il introduire au maximum en 24 heures ?\newline \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} On consid\`{e}re le syst\`{e}me d'\'{e}quations lin\'{e}aires : \index{Syst\`{e}me!d'\'{e}quations} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x-2y=3\\ ax-by=c \end{array} \right. \] Pour d\'{e}terminer les coefficients $a,\;b,\;c$ on lance trois fois un d\'{e} cubique parfait dont les faces sont num\'{e}rot\'{e}es de 1 \`{a} 6 et les num\'{e}ros sortis donnent les valeurs de $a,\;b,\;,c\;$.\newline Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements suivants : \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item $E_{1}$ : le syst\`{e}me a une infinit\'{e} de solutions \item $E_{2}$ : le syst\`{e}me n'a aucune solution \item $E_{3}$ : le syst\`{e}me a une seule solution \item $E_{4}$ : le syst\`{e}me a une seule solution qui est $(3;0)$ \end{enumerate} Les r\'{e}sultats seront donn\'{e}s sous la forme de fractions de d\'{e}nominateur 108.\\[0.2cm] \section{Nombres complexes} \subsection{Groupe I bis 1997} \index{Complexe} \index{Affixe}Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\vec{u},\vec{v}\right) $, ayant comme unit\'{e} graphique 4~cm. On note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $2i$, $-1$ et $i$.\newline On consid\`{e}re la fonction $f$ de $\mathcal{P}-\{A\}$ dans $\mathcal{P}$ qui \`{a} tout point $M$ de $\mathcal{P}-\{A\}$, d'affixe $z$, associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \[ z^{\prime}=\frac{z+1}{z-2i}% \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Faire une figure que l'on compl\`{e}tera au cours de l'exercice. \item D\'{e}terminer l'affixe du point $C^{\prime}$ image de $C$. Quelle est la nature du quadrilat\`{e}re $ACBC^{\prime}$ ? \item Montrer que le point $C$ admet un ant\'{e}c\'{e}dent unique par $f$ que l'on notera $C^{\prime\prime}$. Quelle est la nature du triangle $BCC^{\prime\prime}$ ? \end{enumerate} \item Donner une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique de l'argument et du module de $z^{\prime}$. \index{Argument} \index{Module} \item D\'{e}terminer, en utilisant la question pr\'{e}c\'{e}dente, quels sont les ensembles suivants : \begin{enumerate} \item L'ensemble $E_{a}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour affixe un nombre r\'{e}el strictement n\'{e}gatif. \item L'ensemble $E_{b}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul. \item L'ensemble $E_{c}$ des points $M$ dont les images appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Groupe II bis 1997} Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}, (unit\'{e} graphique 3~cm). \index{Complexe} \newline On d\'{e}signe par A le point d'affixe $i$% .\newline A tout point M du plan, distinct de A, d'affixe $z$, on associe le point M$^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}fini par : \index{Affixe} \[ z^{\prime}=\frac{z^{2}}{i-z}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les points M confondus avec leur image M$^{\prime}$. \item \'{E}tant donn\'{e} un complexe $z$ distinct de $i$, on pose : $z=x+iy $ et $z^{\prime}=x^{\prime}+iy^{\prime}$, avec $x,y,x^{\prime},y^{\prime}$ r\'{e}els.\newline Montrer que : \[ x^{\prime}=\frac{-x(x^{2}+y^{2}-2y)}{x^{2}+(1-y)^{2}}% \] En d\'{e}duire l'ensemble $\mathcal{E}$ des points M dont l'image M$^{\prime}$ est situ\'{e}e sur l'axe des imaginaires purs. Dessiner l'ensemble $\mathcal{E}$ . \item Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM$^{\prime}% $. En d\'{e}duire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points M du plan tels que M et M$^{\prime}$ soient situ\'{e}s sur un m\^{e}me cercle de centre O. Dessiner l'ensemble $\mathcal{F}$. \item Dans toute cette question, on consid\`{e}re un point M d'affixe $z$, situ\'{e} sur le cercle de centre A et de rayon ${\displaystyle\frac{1}{2}}$. M$^{\prime}$ est le point d'affixe $z^{\prime}$ correspondant, et G l'isobarycentre des points A, M et M$^{\prime}$. \index{Barycentre}\newline Calculer l'affixe $z_{G}$ de G en fonction de $z$.\newline Montrer que G est situ\'{e} sur un cercle un centre O dont on pr\'{e}cisera le rayon. Apr\`{e}s avoir compar\'{e} les angles ${\displaystyle (\overrightarrow{u},\overrightarrow{\strut OG:})}$ et ${\displaystyle (\overrightarrow{u},\overrightarrow{\strut AM:})}$, effectuer la construction de G. En d\'{e}duire celle de M$^{\prime}$. \end{enumerate} \subsection{Antilles 1997} {Le plan orient\'{e} est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}, l'unit\'{e} graphique est 1~cm. \newline On consid\`{e}re les points }${A}${, }${B}${\ , }${C}${\ d'affixes respectives :} \index{Complexe} \[% \begin{tabular} [c]{l}% {$z_{A}=(3\sqrt{3}-2)+i(3+2\sqrt{3})$}\\ $z_{B}=(-\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}-1)$\\ $z_{C}=(1-4\sqrt{3})+i(-4-\sqrt{3})$% \end{tabular} \] \begin{enumerate} \item On se propose de placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le rep\`{e}re \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}\thinspace\ \`{a} l'aide du compas. Pour cela on consid\`{e}re la rotation \index{Rotation} $\mathcal{R}$ de centre O et d'angle de mesure $\displaystyle \frac{-2\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Donner l\rq\'{e}criture complexe de $\mathcal{R}$. \item V\'{e}rifier que $\mathcal{R}$ transforme le point $A$ en le point $A^{\prime}$ d'affixe : $4-6i$.\newline On admettra que $\mathcal{R}$ transforme les points $B$ et $C$ en les points $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ d'affixes respectives $2+2i$ et $-2+8i$. \item Placer les points $A^{\prime}$, $B^{\prime}$, $C^{\prime}$ puis, \`{a} l'aide du compas, les points $A$, $B$, $C$. (La construction de $A$ sera justifi\'{e}e). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $z_{A}-z_{B}+z_{C}$. \item En d\'{e}duire que le point O est le barycentre \index{Barycentre}du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s $\{(A,1),(B,-1),(C,1)\}$. \end{enumerate} \item Soit l\rq ensemble $\mathcal{C}$ des points M du plan tels que : \[ \|\overrightarrow{\strut MA\:}-\overrightarrow{\strut MB\:}+\overrightarrow {\strut MC\:}\| =\|\overrightarrow{\strut MA\:}-2\overrightarrow{\strut MB\:}+\overrightarrow{\strut MC\:}\| \] \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que $B$ appartient \`{a} $\mathcal{C}$. \item D\'{e}terminer puis tracer l\rq ensemble $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item D\'{e}terminer puis tracer l'ensemble $\mathcal{D}$ des points M du plan tels que : \[ 2\Vert\overrightarrow{\strut MA\;}-\overrightarrow{\strut MB\;}% +\overrightarrow{\strut MC\;}\Vert=\Vert\overrightarrow{\strut MA\;}% -3\overrightarrow{\strut MB\;}\Vert \] \end{enumerate} \subsection{Polyn% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion esie 1997} {Dans le plan complexe rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}, on consid\`{e}re les points $M_{n}$ d'affixes ${\displaystyle z_{n}=\left( \frac{1}{2}i\right) ^{n}(1+i\sqrt {3})} $ o\`{u} $n$ est un entier naturel. \index{Complexe} \index{Affixe}} \begin{enumerate} \item Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$ puis $z_{n}$ en fonction de $z_{0}$ et $n$.\newline Donner $z_{0}$, $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$ et $z_{4}$ sous forme alg\'{e}brique et sous forme trigonom\'{e}trique. \item Placer les points $M_{0}$, $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ et $M_{4}$ (unit\'{e} graphique : 4~cm). \item D\'{e}terminer la distance $OM_{n}$ en fonction de $n$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l\rq on a ${\displaystyle M_{n}M_{n+1}=\frac{\sqrt{5}% }{2^{n}}}$ pour tout $n$ entier naturel. \item On pose ${\displaystyle L_{n}=\sum_{k=0}^{n}M_{k}M_{k+1}}$% \newline (C'est \`{a} dire $L_{n}=M_{0}M_{1}+M_{1}M_{2}+\dots+M_{n}M_{n+1}$). D\'{e}terminer $L_{n}$ en fonction de $n$ puis la limite de $L_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \item D\'{e}terminer une mesure de l'angle $\left( \overrightarrow{\strut OM_{0}},\overrightarrow{\strut OM_{n}}\right) $ en fonction de $n$% .\newline Pour quelles valeurs de $n$ les points $O$, $M_{0}$ et $M_{n}$ sont-ils align\'{e}s ? \end{enumerate} \subsection{Centres %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion etrangers 1997} Dans le plan complexe rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$ , on donne les points A d'affixe $2i $, B d'affixe $2$ et I milieu de [AB] (on prendra 2 cm d'unit\'{e} graphique). On consid\`{e}re la fonction $f$ qui, \`{a} tout point M distinct de A, d'affixe $z$, associe le point M$^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \[ z^{\prime}=\frac{2z}{z-2i}% \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ admet comme points invariants le point O et un deuxi\`{e}me point dont on pr\'{e}cisera l'affixe. \index{Complexe} \index{Affixe} \item D\'{e}terminer les images par $f$ des points B et I. \end{enumerate} \item Soit M un point quelconque distinct de A et O.\newline Etablir que : \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% (\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow{\strut\text{OM}^{\prime}% })=(\overrightarrow{\strut\text{MA}},\overrightarrow{\strut\text{MO}}% )+k2\pi,\;k\in\mathbb{Z}\\ {\displaystyle OM^{\prime}=2\;\frac{MO}{MA}}% \end{array} \right. \] \item Soit ($\Delta$) la m\'{e}diatrice de [OA].\newline Montrer que les transform\'{e}s par $f$ des points de ($\Delta$) appartiennent \`{a} un cercle (C) que l\rq on pr\'{e}cisera. \item Soit ($\Gamma$) le cercle de diam\`{e}tre [OA], priv\'{e} du point A. Montrer que les transform\'{e}s par $f$ des points de ($\Gamma$) appartiennent \`{a} une droite (D) que l\rq on pr\'{e}cisera. \item Tracer ($\Delta$), ($\Gamma$),(C), (D) sur la m\^{e}me figure. \end{enumerate} \subsection{Japon 1997} On consid\`{e}re le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}% }\right) .$ \begin{enumerate} \item Soit le polyn\^{o}me $P$ tel que pour tout $z$ de $\mathbb{C},$ \index{Polyn\^{o}me} \[ P\left( z\right) =z^{3}-4z^{2}+6z-4 \] D\'{e}terminer les r\'{e}els $u$ et $v$ tels que \[ P\left( z\right) =\left( z-2\right) \left( z^{2}+uz+v\right) \] et r\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation $P\left( z\right) =0.$ \item On note $\alpha$ la solution de l'\'{e}quation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et $\beta$ le conjugu\'{e} de $\alpha.$ Soient $A,$ $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $\alpha,$ $\beta$ et $2,$ $I$ le milieu de $\left[ AB\right] $ et $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}.$ \index{Affixe} \index{Conjugu\'{e}} \index{Rotation}\newline D\'{e}terminer l'affixe du point $r\left( B\right) $ et en d\'{e}duire la nature du quadrilat\`{e}re $OACB.$ \item Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ priv\'{e} du point $C$ dans $\mathcal{P}$ qui au point $M$ d'affixe $z$ ( $z\neq2$ ) associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}fini par : \index{Application!complexe} \[ z^{\prime}=\frac{z-\left( 1+i\right) }{z-2}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $f\left( A\right) $ et $f\left( B\right) .$% \newline D\'{e}terminer le point $E$ tel que $f\left( E\right) =C.$ \item Quelles distances repr\'{e}sentent les r\'{e}els $\left| z-\left( 1+i\right) \right| $ et $\left| z-2\right| $ ?\newline En d\'{e}duire que si $M$ appartient \`{a} la m\'{e}diatrice de $\left[ AC\right] ,$ $M^{\prime}$ appartient \`{a} un cercle dont on donnera le centre et le rayon. \index{M\'{e}diatrice} \index{Cercle} \index{Distance} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1996} \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes les \'{e}quations suivantes : \index{Equation} \begin{enumerate} \item $z^{2}-2z+5=0.$ \item $z^{2}-2(1+\sqrt{3})z+5+2\sqrt{3}=0$. \end{enumerate} \item On consid\`{e}re dans le plan complexe rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct \newline $\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}$ les points $A,\ B,\ C,\ D$ d'affixes respectives : \index{Affixe} \[ z_{A}=1+2i,\;z_{B}=1+\sqrt{3}+i,\;z_{C}=1+\sqrt{3}-i,\text{ et }z_{D}=1-2i. \] \begin{enumerate} \item Placer les points $A,\ B,\ C,\ D$ et pr\'{e}ciser la nature du quadrilat\`{e}re $ABCD$. \item[\textbf{b.}] V\'{e}rifier que \[ \frac{z_{D}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}=i\sqrt{3}% \] Que peut-on en d\'{e}duire pour les droites $(AB)$ et $(BD)$~? \item[\textbf{c.}] Prouver que les points $A,\ B,\ C,\ D$ appartiennent \`{a} un m\^{e}me cercle $\Gamma$ dont on pr\'{e}cisera le centre et le rayon. Tracer $\Gamma$. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] On consid\`{e}re l'\'{e}quation : \[ z^{2}-2(1+2\cos\theta)z+5+4\cos\theta=0\qquad\hfill(1) \] o\`{u} $\theta$ d\'{e}signe un nombre r\'{e}el quelconque. \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]R\'{e}soudre l'\'{e}quation (1) dans $\mathbb{C}$. \item[\textbf{b.}] Montrer que les images des solutions appartiennent au cercle $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Nouvelle Cal% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion edonie 1996} Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$} \ (unit\'{e} graphique : 2 cm).\newline On d\'{e}signe par A et B les points d'affixes respectives 1 et 4.\newline L'application $f$ \/associe \`{a} tout point M d'affixe $z$ de $\mathcal{P}$, distinct de A, le point M$^{\prime}$ d'affixe $Z$ d\'{e}finie par : \[ {Z=\frac{z-4}{z-1}}% \] \begin{enumerate} \item Soit C le point d'affixe $i\sqrt{2}$.\newline D\'{e}terminer l'affixe de C$^{\prime}$\ =\ $f$(C). \item D\'{e}montrer que $f$ admet deux points invariants I et J. (On notera I celui d'ordonn\'{e}e positive.)\newline Placer les points I, J, C et C$^{\prime}$. \item On pose $z=x+iy$ et $Z=X+iY$ avec $x$, $y$, $X$, $Y$ r\'{e}els. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $X$ \/et $Y$ en fonction de $x$ et $y$. \item D\'{e}terminer l'ensemble E des points M d'affixe $z$ tels que $Z$ soit r\'{e}el. \item D\'{e}terminer et construire l'ensemble F des points M d'affixe $z$ tels que $Z$ soit imaginaire pur. \end{enumerate} \item Donner une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique de $\mid Z\mid$, $\mid z-4\mid$, $\mid z-1\mid$.\newline En d\'{e}duire l'ensemble D des points M d'affixe $z$ tels que $\mid Z\mid=1 $.\newline Construire D. \end{enumerate} \subsection{Sportifs de haut niveau 1996} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation suivante : \[ z^{2}-6\cos\left( \frac{\pi}{6}\right) z+9=0 \] On notera $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions trouv\'{e}es, $z_{1}$ \'{e}tant la solution de partie imaginaire positive. \item D\'{e}terminer le module et un argument de $z_{1}$ et de $z_{2},$ et donner l'\'{e}criture exponentielle de $z_{1}$ et de $z_{2}.$ \index{Module} \index{Argument} \end{enumerate} \item Placer dans le plan $P$ rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( 0;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ d'unit\'{e} graphique $1$ cm, les images $M_{1}$ et $M_{2}$ de $z_{1}$ et $z_{2}% .$\newline Expliquer pourquoi $M_{1}$ et $M_{2}$ sont situ\'{e}s sur le cercle $\Gamma$ de centre $O$ de rayon $3,$ que l'on tracera. \index{Cercle} \end{enumerate} \item On consid\`{e}re la transformation du plan $P$ qui \`{a} tout point $M $ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \index{Transformation} \[ z^{\prime}=\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) z \] On consid\`{e}re les points $A$ et $B$ d'affixes \[ z_{A}=3e^{i\frac{\pi}{6}}\text{ et }z_{B}=3e^{-i\frac{\pi}{6}}% \] et $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ leurs images par $f.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une rotation dont on pr\'{e}cisera le centre et l'angle. \index{Rotation} \item D\'{e}terminer sous forme exponentielle les affixes $z_{A^{\prime}}$ et $z_{B^{\prime}}$ des points $A^{\prime}$ et $B^{\prime}.$ Placer les points $A,$ $B,$ $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ sur la figure.\newline \index{Forme!exponentielle}Expliquer pourquoi ces points sont sur le cercle $\Gamma.$ \end{enumerate} \item Calculer $\arg\left( \dfrac{z_{A^{\prime}}}{z_{B}}\right) $ et montrer que $B$ et $A^{\prime}$ sont sym\'{e}triques par rapport au point $O.$ En d\'{e}duire que le triangle $ABA^{\prime}$ est rectangle. \index{Sym\'{e}trie} \index{Triangle!rectangle} \end{enumerate} \subsection{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1995} Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonorm\'{e} $\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$; (unit\'{e} graphique 4 cm).\newline On appelle A et B les points d'affixes respectives $i$ et $-i$.\newline A tout point M du plan d'affixe $z$ diff\'{e}rente de $-i$, on associe le point M{'} dont l'affixe $z^{\prime}$ est d\'{e}finie par : \[ {\displaystyle z^{\prime}=\frac{z-i}{z+i}}% \] \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $z^{\prime}$ du point M$^{\prime}$ associ\'{e} au point M d'affixe $z=2+i$. Pr\'{e}ciser le module et un argument de $z^{\prime }$. Placer les points M et M$^{\prime}$ dans le rep\`{e}re $\mbox {$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$. \index{Complexe} \index{Affixe} \item Dans cette question, M est un point quelconque du plan distinct de B.\newline Montrer que ${\displaystyle OM^{\prime}=\frac{MA}{MB}}$. En d\'{e}duire que, lorsque $z$ est un r\'{e}el, M$^{\prime}$ appartient \`{a} un cercle que l'on pr\'{e}cisera. \item Dans cette question, M est un point quelconque du plan distinct de B.\newline Aux points $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$ d\rq affixes respectives $z=\bar z$, (o\`{u} $\bar z$ d\'{e}signe le nombre conjugu\'{e} de $z$), ${\displaystyle z_{2}=-z=} $ et ${\displaystyle z_{3}=\frac{1}{z}}$, on associe les points $M^{\prime}_{1}$, $M^{\prime}_{2}$ et $M^{\prime}_{3}$ d\rq affixe $z^{\prime}_{1}$, $z^{\prime}_{2}$ et $z^{\prime}_{3}$. \begin{enumerate} \item Montrer les relations : ${\displaystyle z^{\prime}_{1}=\frac {1}{\overline{z^{\prime}_{1}}}}$, ${\displaystyle z^{\prime}_{2}=\frac{1}{z}}$ et ${\displaystyle z^{\prime}_{3}=-\frac{1}{z}}$.\newline Exprimer les modules et arguments de $z^{\prime}_{1}$, $z^{\prime}_{2}$ et $z^{\prime}_{3}$ en fonction du module et d'un argument de $z^{\prime}$.\newline \item En utilisant ce qui pr\'{e}c\`{e}de, placer les points $M_{1}$, $M_{2} $, $M_{3}$, $M_{1}^{\prime}$, $M_{2}^{\prime}$ et $M_{3}^{\prime}$ sur la m\^{e}me figure qu'au 1. dans le cas o\`{u} $z=2+i$.\newline \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Groupe IV 1994\label{exo_groupe4_94}} On consid\`{e}re les nombres complexes $-1+i,$ $3\left( 1+i\right) $ et $2.$ \begin{enumerate} \item Ecrire ces nombres sous forme trigonom\'{e}trique. \index{Forme!trigonom\'{e}trique} \index{Affixe} \item On d\'{e}signe par $a,$ $b$ et $c$ ces trois nombres de fa\c{c}on que $\left| a\right| <\left| b\right| <\left| c\right| ,$ et par $A,$ $B$ et $C$ leurs images respectives dans un plan $\mathcal{P}$ muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\vec{u},\vec{v}\right) $. \begin{enumerate} \item Placer $A,$ $B$ et $C.$ \item Montrer que le triangle obtenu est rectangle et isoc\`{e}le. \end{enumerate} \item Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ qui \`{a} tout point $M$ d'affixe $z$ associe $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ telle que \index{Fonction!complexe} \[ z^{\prime}=2iz+1-2i \] Soient $A^{\prime},$ $B^{\prime}$ et $C^{\prime},$ d'affixes respectives $a^{\prime},$ $b^{\prime}$ et $c^{\prime},$ les images par $f$ des points $A,$ $B$ et $C.$ \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $a^{\prime},$ $b^{\prime}$ et $c^{\prime}.$ Placer $A^{\prime},$ $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ dans le plan $\mathcal{P}.$ Quelle est la nature du triangle $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ ? On justifiera la r\'{e}ponse. \item Calculer puis mettre sous forme trigonom\'{e}trique le complexe $W$ d\'{e}fini par : \[ W=\frac{c^{\prime}-b^{\prime}}{c-b}% \] \item En d\'{e}duire la valeur de $\dfrac{B^{\prime}C^{\prime}}{BC}$ et une mesure de l'angle $\left( \overrightarrow{BC},\overrightarrow{B^{\prime }C^{\prime}}\right) .$ Que peut-on dire des droites $\left( BC\right) $ et $\left( B^{\prime}C^{\prime}\right) $ ? \index{Angle} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Sujet compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} Le plan complexe est muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct d'origine O. $\Omega$ et $A$ sont les points d'affixes respectives 1 et 2. On appelle $F$ l'application qui \`{a} tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de $\Omega$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \index{Fonction!complexe} \index{Affixe} \[ z^{\prime}=\frac{z^{2}}{2(z-1)}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les points invariants par $F$. \index{Point!invariant} \item Soit $E_{1}$ la droite $(OA)$ priv\'{e}e de $\Omega$. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer le tableau de variation de la fonction $g$ d\'{e}finie pour tout r\'{e}el $x\not = 1$ par : \[ g(x)=\frac{x^{2}}{2(x-1)}% \] \item En d\'{e}duire l'image de $E_{1}$ par $F$. \index{Image} \end{enumerate} \item Soit $E_{3}$ le cercle de centre $\Omega$ et de rayon 1. Pour tout point $M(z)$ de ce cercle, on pose : \[ {z=1+e^{i\theta}}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que : $z^{\prime}=1+\cos\theta$ \item En d\'{e}duire l'image de $E_{3}$ par $F$. \end{enumerate} \item On pose $z=x+iy$ avec $z\not =1$. \begin{enumerate} \item Calculer la partie imaginaire de $z^{\prime}$ en fonction de $x$ et de $y$. \item En d\'{e}duire l'ensemble des points $M(z)$ tels que l'image de $M$ par $F$ se trouve sur $(OA)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Courbes param% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion etr% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ees} \subsection{Sujet compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal avec 5 cm pour unit\'{e}.\newline Soit $\mathcal{H}$ la courbe d\'{e}finie param\'{e}% triquement par : \index{Courbe!param\'{e}tr\'{e}e} \index{Trigonom\'{e}trie} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x(t)=\sin2t\\ y(t)=\cos3t\ ,\ t\in\left[ 0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] \end{array} \right. \] \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que pour $t$ \'{e}l\'{e}ment de l'intervalle $\left[ 0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] $ : \begin{enumerate} \item $\cos2t\geqslant0\ \hbox{ssi}\ t\in\left[ 0;\displaystyle\frac{\pi}% {4}\right] $. \item $\sin3t\leqslant0\ \hbox{ssi}\ t\in\left[ \displaystyle\frac{\pi}% {3};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] $. \end{enumerate} \item Calculer les d\'{e}riv\'{e}es premi\`{e}res des fonctions $x$ et $y$. D\'{e}duire leur signe de la question pr\'{e}c\'{e}dente. \item Construire le tableau de synth\`{e}se r\'{e}sumant les variations de $x$ et $y$ sur $\left[ 0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] .$ \item D\'{e}finir les coordonn\'{e}es des points associ\'{e}s aux valeurs $0\ ,\ \displaystyle\frac{\pi}{6}\ ,\ %%@ % \displaystyle\frac{\pi}{4}\ ,\ \displaystyle\frac{\pi}{3}\ ,\ \displaystyle \frac{\pi}{2}$ du param\`{e}tre $t$, ainsi que celles d'un vecteur directeur de chacune des tangentes \`{a} la courbe $\mathcal{H}$ en ces points. \item Construire \textbf{soigneusement} chacun des points d\'{e}finis \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente et sa tangente.\newline Achever la construction de $\mathcal{H}$.\newline \end{enumerate} \subsection{Sujet compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} Dans le plan muni du rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath}\right) ,$ on consid\`{e}re le cercle $C$ de centre $O$ et de rayon $1.$ Soit $A$ le point de coordonn\'{e}es $\left( -1;0\right) .$ A tout point $m$ de $C,$ on associe le point $M,$ projet\'{e} orthogonal de $A$ sur la tangente en $m$ \`{a} $C.$ On appelle $t$ une mesure de l'angle $\left( \vec{\imath},\overrightarrow{Om}\right) .$ \index{Courbe!param\'{e}tr\'{e}e} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que le point $M$ a pour coordonn\'{e}es : \[ \left( \cos t-\sin^{2}t\right) ,\sin t\cos t+\sin t \] Lorsque $m$ d\'{e}crit $C,$ l'ensemble des points $M$ est une courbe $C^{\prime}$ d\'{e}finie comme la courbe param\'{e}tr\'{e}e ensemble des points $M\left( t\right) $ lorsque $t$ varie dans $\mathbb{R}.$ \item Etudier les positions relatives des points $M\left( t\right) ,$ $M\left( t+2\pi\right) ,$ $M\left( -t\right) .$ En d\'{e}duire qu'il suffit, pour tracer la courbe $C^{\prime},$ de limiter les variations de $t$ \`{a} l'intervalle $\left[ 0;\pi\right] .$ \item Tracer $C^{\prime}$ en pr\'{e}cisant les tangentes aux points de param\`{e}tres $0,$ $\frac{\pi}{3},$ $\frac{2\pi}{3}.$ On admettra qu'au point de param\`{e}tre $\pi,$ la courbe $C^{\prime}$ admet une tangente horizontale. \end{enumerate} \section{Barycentre} \subsection{Remplacement 1996} \begin{enumerate} \item Soient $M,$ $N,$ $O$, $P$ quatre points du plan. Montrer que $MNOP$ est un parall\'{e}logramme si et seulement si le point $P$ est barycentre des points pond\'{e}r\'{e}s $\left( M,1\right) ,$ $\left( N,-1\right) ,$ $\left( O,1\right) .$ \index{Barycentre} \index{Points!pond\'{e}r\'{e}s} \item Soient $ABCD$ et $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ deux parall\'{e}logrammes dans le plan. On note $I,$ $J,$ $K,$ $L$ les milieux respectifs des segments $\left[ AA^{\prime}\right] ,$ $\left[ BB^{\prime }\right] ,$ $\left[ CC^{\prime}\right] ,$ $\left[ DD^{\prime}\right] .$ \index{Parall\'{e}logramme}\newline Montrer que $L$ est le barycentre des points $I,$ $J,$ $K$ affect\'{e}s de coefficients que l'on d\'{e}terminera. Que peut-on en d\'{e}duire pour le quadrilat\`{e}re $IJKL$ ? \item Montrer que les centres $\Omega_{1},$ $\Omega_{2},$ $\Omega_{3}$ des parall\'{e}logrammes $ABCD,$ $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ et $IJKL$ sont align\'{e}s et pr\'{e}ciser les positions relatives de $\Omega _{1},$ $\Omega_{2}$ et $\Omega_{3}$ . \end{enumerate} \subsection{Nouvelle Cal% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion edonie 1996 (modifi% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion e)} Soit $ABCD$ un quadrilat\`{e}re quelconque, $I$ le milieu de $\left[ AC\right] ,$ $J$ le milieu de $\left[ BD\right] .$ Soit $K$ le point tel que $\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB},$ $L$ le point tel que $\overrightarrow{LC}=-2\overrightarrow{LD},$ et $\;M$ le milieu de $\left[ LK\right] .$ Le but du probl\`{e}me est de montrer que $M,$ $I,$ $J$ sont align\'{e}s et de donner la position de $M$ sur la droite $\left( IJ\right) . $ \begin{enumerate} \item Justifier l'existence du barycentre $G$ du syst\`{e}me : \index{Barycentre} \[ \left\{ \left( A,1\right) ,\left( B,2\right) ,\left( C,1\right) ,\left( D,2\right) \right\} \] En regroupant les points de diff\'{e}rentes fa\c{c}ons, montrer que $G$ appartient aux deux droites $\left( KL\right) $ et $\left( IJ\right) .$ \item Montrer que $G$ est en $M,$ que $M,$ $I,$ $J$ sont align\'{e}s, et donner la position de $M$ sur $\left( IJ\right) .$ \item D\'{e}terminer l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $X$ du plan tels que : \index{Ligne!de niveau} \[ \left\| \overrightarrow{XA}+2\overrightarrow{XB}+\overrightarrow {XC}+2\overrightarrow{XD}\right\| =4\left\| \overrightarrow{IJ}\right\| \] \item Faire une figure soign\'{e}e o\`{u} tous les points consid\'{e}r\'{e}s seront report\'{e}s. \end{enumerate} \subsection{Centres %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion etrangers 1994} On donne trois points $A,$ $B,$ $C$ distincts non align\'{e}s du plan et on note $a,$ $b,$ $c$ les longueurs des c\^{o}t\'{e}s du triangle $ABC.$ \[ a=BC\quad b=CA\quad c=AB \] On se propose d'\'{e}tudier l'ensemble $\left( E\right) $ des points $M$ du plan tels que : \index{Ligne!de niveau} \[ MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}% \] \begin{enumerate} \item Soit $G$ l'isobarycentre du triangle $ABC$ et soit $I$ le milieu du segment $\left[ BC\right] .$ \index{Isobarycentre} \begin{enumerate} \item Calculer $AB^{2}+AC^{2}$ en fonction de $AI^{2}$ et de $BC^{2}.$ En d\'{e}duire : \[ AG^{2}=\frac{1}{9}\left( 2b^{2}+2c^{2}-a^{2}\right) \] Ecrire de m\^{e}me les expressions de $BG^{2}$ et de $CG^{2}.$ \item Montrer que : \[ AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}=\frac{1}{3}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \] \end{enumerate} \item D\'{e}terminer l'ensemble $\left( E\right) .$ \item On choisit $a=5,$ $b=4,$ $c=3.$ Placer trois points $A,$ $B,$ $C$ et dessiner $\left( E\right) $ dans ce cas particulier. \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} $ABC$ est un triangle isoc\`{e}le, $A^{\prime}$ est le milieu de $[BC]$ et $H$ l'orthocentre du triangle. On pose : $BC=2a\quad AB=AC=3a$. \index{Barycentre} \index{Orthocentre} \begin{enumerate} \item Soit $\theta$ une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$. Calculer $\cos{\theta}$. \item Soit $D$ le projet\'{e} orthogonal de $B$ sur $[AC]$. D\'{e}montrer que $D$ est barycentre de $(A,2)$ et $(C,7)$. \index{Projet\'{e}!orthogonal} \item D\'{e}terminer trois entiers $a,\;b,\;c$ afin que $H$ soit barycentre de $(A,a)$, $(B,b)$ et $(C,c)$. \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} Soit ABC un triangle. Le point I est le sym\'{e}trique de B par rapport \`{a} C. Le point J est le sym\'{e}trique de C par rapport \`{a} A. Le point K est le sym\'{e}trique de A par rapport \`{a} B. On obtient un nouveau triangle IJK. \index{Barycentre} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que A est le barycentre de $($I$,2)$, $($J$,4)$, $($K$,1)$.\newline Exprimer de m\^{e}me sans calculs B et C comme barycentres de I, J, K. \item Soient P, Q, R les points d'intersection respectifs des droites (BC), (AC), (AB) avec les droites (KJ), (IK), (JI). \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que R est le barycentre de $($I$,1)$ et $($J$,2)$. \item Enoncer les r\'{e}sultats analogues pour les points P et Q. \end{enumerate} \item On donne le triangle IJK. Retrouver le triangle ABC. \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} $ABC$ est un triangle dont les 3 angles sont aigus. On appelle $A^{\prime},$ $B^{\prime},$ $C^{\prime}$ les pieds des hauteurs, $H$ l'orthocentre du triangle. On pose : $BC=a\quad CA=b\quad AB=c$. \index{Hauteur} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que $A^{\prime}$ est le barycentre de $(B,b\cos\hat{C})$ et $(C,c\cos\hat{B})$. \index{Barycentre} \item En d\'{e}duire que $A^{\prime}$ est le barycentre de $(B,\tan\hat{B})$ et $(C,\tan\hat{C})$. \item D\'{e}montrer que le barycentre de $(A,\tan\hat{A})\;(B,\tan\hat {B})\;(C,\tan\hat{C})$ est le point $H$. \item On suppose que le triangle n'est pas isoc\`{e}le. Les droites $(BC)$ et $(B^{\prime}C^{\prime})$ se coupent en $A^{\prime\prime}$. On d\'{e}finit de m\^{e}me $B^{\prime\prime}$ et $C^{\prime\prime}$.\newline D\'{e}montrer que le barycentre de $(B,\tan\hat{B})$ et $(C,-\tan\hat{C})$ est $A^{\prime\prime }$.\newline D\'{e}montrer que les points $A^{\prime\prime}$, $B^{\prime\prime }$ et $C^{\prime\prime}$ sont align\'{e}s. \end{enumerate} \section{G% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eometrie dans l'espace} \subsection{Sportifs de haut niveau 1995} Dans l'espace rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) $, on consid\`{e}re les points $A(3;2;-1)$ et $H(1;-1;3)$.\newline \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $AH$. \item D\'{e}terminer une \'{e}quation du plan $\mathcal{P}$ passant par $H$ et orthogonal \`{a} la droite $(AH)$. \index{Equation!de plan} \item On donne les points : $B(-6;1;1),\ C(4;-3;3)$ et $D(-1;-5;-1)$. \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que les points $B,\ C$ et $D$ appartiennent au plan $\mathcal{P}$. \item Calculer les coordonn\'{e}es du vecteur $\overrightarrow{\strut BC}\wedge\overrightarrow{\strut BD}$. \index{Produit!vectoriel} \item D\'{e}montrer que l'aire du triangle $BCD$ est \'{e}gale \`{a} $5\ \sqrt{29}$. \index{Aire!d'un triangle} \item D\'{e}montrer que le volume du t\'{e}tra\`{e}dre $ABCD$ est \'{e}gal \`{a} $\displaystyle\frac{145}{3}$. \index{T\'{e}tra\`{e}dre} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle $ABC$. \item Calculer la distance du point $D$ au plan $ABC$. \end{enumerate} \end{enumerate} \chapter{Probl% %TCIMACRO{\TeXButton{`}{\`}}% %BeginExpansion \`% %EndExpansion emes} \section{Nantes 1997} Dans tout le probl\`{e}me, on se place dans un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ L'unit\'{e} graphique est $2$ centim\`{e}tres.% \[ \text{PARTIE A}% \] \textbf{Etude d'une fonction }$g$ Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\left] 0;+\infty\right[ $ par : \index{Fonction!logarithme} \[ g\left( x\right) =x\ln x-x+1 \] et $C$ sa courbe repr\'{e}sentative dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath },\vec{\jmath}\right) .$ \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$. \item Etudier les variations de $g$. En d\'eduire le signe de $g\left( x\right) $ en fonction de $x$. \item On note $C^{\prime}$ la repr\'{e}sentation graphique de la fonction $x\mapsto\ln x$ dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath }\right) .$ Montrer que $C$ et $C^{\prime}$ ont deux points communs d'abscisses respectives $1$ et $e$ et que, pour tout \'{e}l\'{e}ment $x$ de $\left[ 1;e\right] $, on a : \[ x\ln x-x+1\leqslant\ln x \] On ne demande pas de repr\'{e}senter $C$ et $C^{\prime}$ \item \begin{enumerate} \item Calculer, \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties, l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}grale} \index{Int\'{e}gration!par partie} \[ J=\int_{1}^{e}\left( x-1\right) \ln x\,dx \] \item Soit $\Delta$ le domaine plan d\'{e}finie par : \[ \Delta=\left\{ M\left( x,y\right) \;;\ 1\leqslant x\leqslant e\text{ et }g\left( x\right) \leqslant y\leqslant\ln x\right\} \] D\'{e}terminer en cm$^{2}$ l'aire de $\Delta$. Donner une valeur d\'{e}cimale approch\'{e}e \`{a} $10^{-2}$ pr\`{e}s de cette aire. \end{enumerate} \end{enumerate}% \[ \text{PARTIE B}% \] Etude d'une fonction $f$. Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\left] 1;+\infty\right[ $ par : \[ f\left( x\right) =\frac1{x-1}\ln x \] \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $1$. Pour l'\'etude de la limite en $1$, on pourra utiliser un taux d'accroissement. \item D\'eterminer le tableau de variation de $f$. On pourra remarquer que $f^{\prime}\left( x\right) $ s'\'ecrit facilement en fonction de $g\left( x\right) .$ \item Tracer la courbe repr\'esentative de $f$ dans le rep\`ere $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ \end{enumerate}% \[ \text{PARTIE C}% \] \textbf{Etude de l'\'equation }$f\left( x\right) =\frac12.$ \begin{enumerate} \item Montrer que l'\'{e}quation $f\left( x\right) =\frac{1}{2}$ admet une unique solution not\'{e}e $\alpha$ et que \[% %TCIMACRO{\TeXButton{encadrement}{\mbox{$3,5<\alpha<3,6$}}}% %BeginExpansion \mbox{$3,5<\alpha<3,6$}% %EndExpansion \] \item Soit $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\left] 1;+\infty\right[ $ par : \[ h\left( x\right) =\ln x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}% \] \begin{enumerate} \item Montrer que $\alpha$ est solution de l'\'{e}quation $h\left( x\right) =x$. \item Etudier le sens de variation de $h$. \item On pose $I=\left[ 3;4\right] $. Montrer que, pour tout \'{e}% l\'{e}ment de $I$, on a $h\left( x\right) \in I$ et $\left| h^{\prime }\left( x\right) \right| \leqslant\frac{5}{6}$. \end{enumerate} \item On d\'{e}finit la suite $\left( u_{n}\right) $ par : \index{Suite!r\'{e}currente} \[ u_{0}=3\text{ et pour tout }n\geqslant0\text{, }u_{n+1}=h\left( u_{n}\right) \] Justifier successivement les trois propri\'{e}t\'{e}s suivantes : \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, \[ \left| u_{n+1}-\alpha\right| \leqslant\frac{5}{6}\left| u_{n}% -\alpha\right| \] \item Pour tout entier naturel $n$, \[ \left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant\left( \frac{5}{6}\right) ^{n}% \] \item La suite $\left( u_{n}\right) $ converge vers $\alpha$. \end{enumerate} \item Donner un entier naturel $p$, tel que des majorations pr\'{e}% c\'{e}dentes on puisse d\'{e}duire que $u_{n}$ est une valeur approch\'{e}e de $\alpha$ \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s. Indiquer une valeur d\'{e}cimale approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s de $\alpha$. \end{enumerate} \section{Groupe I bis 1997}% \[ \text{\textbf{Partie I}}% \] Soit la fonction $\varphi$ d\'{e}finie dans $\mathbb{R}$ par $\varphi\left( x\right) =e^{x}+x+1. \index{Fonction!exponentielle}$ \begin{enumerate} \item Etudier le sens de variation de $\varphi$ et ses limites en $+\infty$ et en $-\infty.$ \item Montrer que l'\'{e}quation $\varphi\left( x\right) =0$ a une solution et une seule $\alpha$ et que l'on a : \[ -1,28<\alpha<-1,27 \] \item En d\'{e}duire le signe de $\varphi\left( x\right) $ sur $\mathbb{R}. $ \end{enumerate}% \[ \text{\textbf{Partie II}}% \] Soit la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f\left( x\right) =\frac{xe^{x}}{e^{x}+1}% \] et $\left( C\right) $ sa courbe repr\'{e}sentative dans un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ du plan ( unit\'{e} graphique : 4 cm ). \begin{enumerate} \item Montrer que : \[ f^{\prime}\left( x\right) =\frac{e^{x}\varphi\left( x\right) }{\left( e^{x}+1\right) ^{2}}% \] En d\'{e}duire le sens de variation de $f.$ \item Montrer que $f\left( \alpha\right) =\alpha+1$ et en d\'{e}duire un encadrement de $f\left( \alpha\right) .$ \item Soit $T$ la tangente \`{a} $\left( C\right) $ au point d'abscisse $0.$ Donner une \'{e}quation de $T$ et \'{e}tudier la position de $\left( C\right) $ par rapport \`{a} $T.$ \index{Tangente} \item Chercher les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty.$% \newline D\'{e}montrer que la droite $D$ d'\'{e}quation $y=x$ est asymptote \`{a} $\left( C\right) $ et \'{e}tudier la position de $\left( C\right) $ par rapport \`{a} $D.$ b \index{Asymptote} \item Faire le tableau de variation de $f.$ \item Tracer sur un m\^{e}me dessin $\left( C\right) ,$ $T$ et $D.$ La figure demand\'{e}e fera appara\^{i}tre les points de $\left( C\right) $ dont les abscisses appartiennent \`{a} $\left[ -2;4\right] .$ \end{enumerate}% \[ \text{\textbf{Partie III}}% \] On consid\`{e}re la fonction $g$ d\'{e}finie sur $\left[ 0,1\right] $ par : \[ g\left( x\right) =\ln\left( 1+e^{x}\right) \] On note $\left( L\right) $ la courbe repr\'{e}sentative de $g$ dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $, $I$ le point d\'{e}fini par $\overrightarrow{OI}=\vec{\imath},$ $A$ le point d'abscisse $0 $ de $\left( L\right) $ et $B$ son point d'abscisse $1.$ \begin{enumerate} \item Etudier bri\`{e}vement les variations de $g.$ \item Donner une \'{e}quation de la tangente en $A$ \`{a} $\left( L\right) . $ \item On note $P$ l'intersection de cette tangente avec le segment $\left[ IB\right] .$ Calculer les aires des trap\`{e}zes $OIPA$ et $OIBA$. \index{Aire} \item On admet que la courbe $\left( L\right) $ est situ\'{e}e entre les segments $\left[ AP\right] $ et $\left[ AB\right] .$ Montrer alors que : \[ \ln2+\frac{1}{4}\leqslant\int_{0}^{1}g\left( x\right) \,dx\leqslant\ln \sqrt{2\left( 1+e\right) }% \] \item Au moyen d'une int\'{e}gration par parties, justifier que : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ \int_{0}^{1}f\left( x\right) \,dx=\ln\left( 1+e\right) -\int_{0}% ^{1}g\left( x\right) \,dx \] \item En d\'{e}duire un encadrement de \[ \int_{0}^{1}f\left( x\right) \,dx \] \end{enumerate} \section{Groupe II bis 1997} Dans tout le probl\`{e}me, on se place dans un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ L'unit\'{e} graphique est $2$ cm. \textbf{Partie I : Etude d'une fonction }$g.$ Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\left] 0;+\infty\right[ $ par : \[ g\left( x\right) =x\ln x-x+1 \] et $\mathcal{C}$ sa repr\'{e}sentation graphique dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $g$ en $0$ et $+\infty.$ \item Etudier les variations de $g.$ En d\'{e}duire le signe de $g\left( x\right) $ en fonction de $x.$ \item On note $\mathcal{C}^{\prime}$ la repr\'{e}sentation graphique de la fonction $x\mapsto\ln x$ dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath}\right) .$ Montrer que $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}^{\prime}$ ont deux points communs d'abscisses respectives $1$ et $e$ et que, pour tout $x$ \'{e}l\'{e}ment de $\left[ 1,e\right] ,$ on a : \index{Points!communs} \[ x\ln x-x+1\leqslant\ln x \] On ne demande pas de repr\'{e}senter $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}^{\prime}. $ \item \begin{enumerate} \item Calculer, \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties, l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ J=\int_{1}^{e}\left( x-1\right) \ln x\,dx \] \item Soit $\Delta$ le domaine plan d\'{e}fini par : \[ \Delta=\left\{ M\left( x,y\right) ;1\leqslant x\leqslant e\text{ et }g\left( x\right) \leqslant y\leqslant\ln x\right\} \] D\'{e}terminer, en cm$^{2},$ l'aire de $\Delta.$ Donner une valeur d\'{e}cimale approch\'{e}e \`{a} $10^{-2}$ pr\`{e}s de cette aire. \index{Aire} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie II : Etude d'une fonction }$f.$ Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\left] 1;+\infty\right[ $ par : \[ f\left( x\right) =\frac{1}{x-1}\ln x \] \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $1.$ Pour l'\'{e}tude de la limite en $1,$ on pourra utiliser un taux d'accroissement. \index{Taux!d'accroissement} \item D\'{e}terminer le tableau de variation de $f.$ On pourra remarquer que $f^{\prime}\left( x\right) $ s'\'{e}crit facilement en fonction de $g\left( x\right) .$ \item Tracer la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ \end{enumerate} \textbf{Partie III : Etude de l'\'{e}quation }$f\left( x\right) =\frac{1}% {2}. $ \index{Equation} \begin{enumerate} \item Montrer que l'\'{e}quation $f\left( x\right) =\frac{1}{2}$ admet une unique solution not\'{e}e $\alpha$ et que \[ 3,5<\alpha<3,6 \] \item Soit $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\left] 1;+\infty\right[ $ par : \[ h\left( x\right) =\ln x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}% \] \begin{enumerate} \item Montrer que $\alpha$ est solution de l'\'{e}quation $h\left( x\right) =x.$ \item Etudier le sens de variation de $h.$ \item On pose $I=\left[ 3,4\right] .$ Montrer que pour tout $x$ \'{e}% l\'{e}ment de $I$ on a $h\left( x\right) \in I$ et \[ \left| h^{\prime}\left( x\right) \right| \leqslant\frac{5}{6}% \] \end{enumerate} \item On d\'{e}finit la suite $\left( u_{n}\right) $ par : \index{Suite!r\'{e}currente} \[ u_{0}=3\text{ et pour tout }n\geqslant0\text{ }u_{n+1}=h\left( u_{n}\right) \] Justifier successivement les trois propri\'{e}t\'{e}s suivantes : \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n,$% \[ \left| u_{n+1}-\alpha\right| \leqslant\frac{5}{6}\left| u_{n}% -\alpha\right| \] \item Pour tout entier naturel $n,$% \[ \left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant\left( \frac{5}{6}\right) ^{n}% \] \item La suite $\left( u_{n}\right) $ converge vers $\alpha.$ \end{enumerate} \item Donner un entier naturel $p,$ tel que des majorations pr\'{e}% c\'{e}dentes on puisse d\'{e}duire que $u_{p}$ est une valeur approch\'{e}e de $\alpha$ \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s. Indiquer une valeur d\'{e}cimale approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s de $\alpha.$ \end{enumerate} \section{Antilles 1997} \textbf{Partie I} On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur l'intervalle $\left] 0,+\infty\right[ $ par : \index{Fonction!logarithme} \[ f\left( x\right) =\ln\left( \frac{x+1}{x}\right) -\frac{1}{x+1}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la fonction d\'{e}riv\'{e}e de la fonction $f$ et \'{e}tudier le sens de variation de $f.$ \item Calculer la limite de $f\left( x\right) $ lorsque $x$ tend vers $0$ et lorsque $x$ tend vers $+\infty.$ \item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ et en d\'{e}duire le signe de $f\left( x\right) $ pour tout $x$ appartenant \`{a} $\left] 0,+\infty\right[ .$ \item Le plan \'{e}tant rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) ,$ l'unit\'{e} graphique est $5$ cm. Tracer la courbe $\mathcal{C}$ repr\'{e}sentative de la fonction $f.$ \end{enumerate} \textbf{Partie II} On consid\`{e}re la fonction $g$ d\'{e}finie sur l'intervalle $\left] 0,+\infty\right[ $ par : \[ g\left( x\right) =x\ln\left( \frac{x+1}{x}\right) \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la fonction d\'{e}riv\'{e}e de la fonction $g.$ D\'{e}duire de la partie I le sens de variation de $g$ sur $\left] 0,+\infty\right[ $. \item V\'{e}rifier que $g=h\circ k$ avec $h$ et $k$ les fonctions d\'{e}finies sur $\left] 0,+\infty\right[ $ par : \[ h\left( x\right) =\frac{\ln\left( 1+x\right) }{x}\text{ et }k\left( x\right) =\frac{1}{x}% \] En d\'{e}duire la limite de $g$ en $+\infty$ et en $0.$ \item Donner le tableau des variations de $g$ sur $\left] 0,+\infty\right[ .$ \end{enumerate} \textbf{Partie III} \begin{enumerate} \item Soit $\lambda$ un nombre r\'{e}el strictement sup\'{e}rieur \`{a} $1. $ On note $A\left( \lambda\right) $ l'aire en cm$^{2}$ du domaine ensemble des points $M$ du plan dont les coordonn\'{e}es v\'{e}rifient : \index{Calcul!d'aire} \[ 1\leqslant x\leqslant\lambda\text{ et }0\leqslant y\leqslant f\left( x\right) \] En utilisant les r\'{e}sultats de la partie II, \begin{enumerate} \item Calculer $A\left( \lambda\right) $ en fonction de $\lambda.$ \item D\'{e}terminer la limite de $A\left( \lambda\right) $ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty.$ \item Justifier l'affirmation :\newline `` L'\'{e}quation $A\left( \lambda\right) =5$ admet une solution unique not\'{e}e $\lambda_{0}% "$\newline Puis donner un encadrement de $\lambda_{0}$ d'amplitude $10^{-2}.$ \end{enumerate} \item Soit $\left( u_{n}\right) $ la suite num\'{e}rique d\'{e}finie sur $\mathbb{N}^{\ast}$ par : \index{Suite!num\'{e}rique} \[ u_{n}=\left( \frac{n+1}{n}\right) ^{n}% \] Montrer, en remarquant que $\ln\left( u_{n}\right) =g\left( n\right) ,$ que : \begin{enumerate} \item La suite $\left( u_{n}\right) $ est une suite croissante. \item La suite $\left( u_{n}\right) $ est convergente, et pr\'{e}ciser sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Polyn% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion esie 1997} Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f\left( x\right) =x-1+\left( x^{2}+2\right) e^{-x}% \] On note $\left( \mathcal{C}\right) $ la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ ( unit\'{e} graphique 2 cm ). \index{Fonction!exponentielle} \textbf{Partie I : Etude d'une fonction auxiliaire.} Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ g\left( x\right) =1-\left( x^{2}-2x+2\right) e^{-x}% \] \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty.$ \item Calculer la d\'{e}riv\'{e}e de $g$ et d\'{e}terminer son signe. \item En d\'{e}duire le tableau de variation de $g.$ \item D\'{e}montrer que l'\'{e}quation $g\left( x\right) =0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ puis justifier que \[ 0,35\leqslant\alpha\leqslant0,36 \] \item En d\'{e}duire le signe de $g.$ \end{enumerate} \textbf{Partie II : Etude de }$f$ \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty.$ \item D\'{e}terminer $f^{\prime}\left( x\right) $ pour tout $x$ r\'{e}el. \item En d\'{e}duire, \`{a} l'aide de la partie I, les variations de $f$ et donner son tableau de variation. \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que : \[ f\left( \alpha\right) =\alpha\left( 1+2e^{-\alpha}\right) \] \item A l'aide de l'encadrement de $\alpha$ d\'{e}terminer un encadrement de $f\left( \alpha\right) $ d'amplitude $4\times10^{-2}.$ \end{enumerate} \item D\'{e}montrer que la droite $\Delta$ d'\'{e}quation $y=x-1$ est asymptote \`{a} $\left( \mathcal{C}\right) $ en $+\infty.$ Pr\'{e}ciser la position de $\left( \mathcal{C}\right) $ par rapport \`{a} $\Delta.$ \index{Asymptote} \item Donner une \'{e}quation de la tangente $T$ \`{a} $\left( \mathcal{C}\right) $ au point d'abscisse $0.$ \index{Tangente} \item Tracer $\Delta,$ $T$ puis $\left( \mathcal{C}\right) .$ \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les r\'{e}els $a,$ $b$ et $c$ tels que la fonction $P$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par \[ P\left( x\right) =\left( ax^{2}+bx+c\right) e^{-x}% \] soit une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto\left( x^{2}+2\right) e^{-x}.$ \index{Primitive} \item Calculer en fonction de $\alpha$ l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^{2}$ de la partie du plan limit\'{e}e par $\left( \mathcal{C}\right) ,$ $\Delta$ et les droites d'\'{e}quations $x=-\alpha$ et $x=0.$ \index{Calcul!d'aire} \item Justifier que : \[ \mathcal{A}=4e^{2\alpha}+8e^{\alpha}-16 \] \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie III : Etude d'une suite \index{Suite!r\'{e}currente}} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que pour tout $x$ de $\left[ 1;2\right] $ : \[ 1\leqslant f\left( x\right) \leqslant2 \] \item D\'{e}montrer que pour tout $x$ de $\left[ 1;2\right] $ : \[ 0\leqslant f^{\prime}\left( x\right) \leqslant\frac{3}{4}% \] \item En utilisant le sens de variation de la fonction $h$ d\'{e}finie sur $\left[ 1;2\right] $ par : \[ h\left( x\right) =f\left( x\right) -x \] d\'{e}montrer que l'\'{e}quation $f\left( x\right) =x$ admet une solution unique $\beta$ dans $\left[ 1;2\right] .$ \item Soit $\left( u_{n}\right) $ la suite num\'{e}rique d\'{e}finie par $u_{0}=1$ et pour tout entier naturel $n,$ \[ u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) \] \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que pour tout entier naturel $n,$ \[ 1\leqslant u_{n}\leqslant2 \] \item D\'{e}montrer que pour tout entier naturel $n,$ \[ \left| u_{n+1}-\beta\right| \leqslant\frac{3}{4}\left| u_{n}-\beta\right| \] \item D\'{e}montrer que pour tout entier naturel $n,$ \[ \left| u_{n}-\beta\right| \leqslant\left( \frac{3}{4}\right) ^{n}% \] \item En d\'{e}duire que la suite $\left( u_{n}\right) $ est convergente et donner sa limite. \index{Suite!convergente} \item Trouver un entier $n_{0}$ tel que pour tout entier naturel $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n_{0},$ on ait : \[ \left| u_{n}-\beta\right| \leqslant10^{-2}% \] \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Am% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erique du Nord 1997} \emph{La partie III est ind\'{e}pendante des parties II et IV.} Le plan est muni d'un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath}\right) $ ( unit\'{e} 3 cm ). On consid\`{e}re la fonction num\'{e}rique $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \index{Fonction!logarithme} \[ f\left( x\right) =\ln\left( x^{2}-2x+2\right) \] On d\'{e}signe par $\left( \mathcal{C}\right) $ sa courbe repr\'{e}sentative dans $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ \textbf{Partie I} \begin{enumerate} \item Justifier que pour tout $x$ r\'{e}el, $x^{2}-2x+2>0.$ \item D\'{e}terminer la fonction d\'{e}riv\'{e}e $f^{\prime}$ de $f$ et \'{e}tudier le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}.$ \item D\'{e}terminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty.$ \item Repr\'{e}senter $\left( \mathcal{C}\right) $ et la droite $\left( \Delta\right) $ d'\'{e}quation $y=x.$ On montrera que la droite d'\'{e}quation $x=1$ est un axe de sym\'{e}trie de $\left( \mathcal{C}% \right) $ et on placera les points d'abscisse $0$ et $2$ ainsi que les tangentes \`{a} la courbe $\left( \mathcal{C}\right) $ en ces points. \index{Axe!de sym\'{e}trie} \end{enumerate} \textbf{Partie II} On s'int\'{e}resse \`{a} l'intersection de $\left( \mathcal{C}\right) $ et de $\left( \Delta\right) .$ On pose, pour tout r\'{e}el $x$ : \index{Intersection!de courbes} \[ \varphi\left( x\right) =f\left( x\right) -x \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la fonction d\'{e}riv\'{e}e $\varphi^{\prime}$ de $\varphi.$ En d\'{e}duire que $\varphi$ est strictement d\'{e}croissante sur $\mathbb{R}.$ \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la limite de $\varphi$ en $-\infty.$ \item Montrer que pour tout r\'{e}el $x$ strictement positif, \[ \varphi\left( x\right) =x\left( \frac{2\ln x}{x}+\frac{\ln\left( 1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right) }{x}-1\right) \] En d\'{e}duire la limite de $\varphi$ en $+\infty.$ \end{enumerate} \item Montrer que $\varphi$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}.$\newline En d\'{e}duire que la droite $\left( \Delta\right) $ coupe la courbe $\left( \mathcal{C}\right) $ en un point et un seul. On d\'{e}signe par $\alpha$ l'abscisse de ce point. Montrer que \index{Bijection} \[ 0,3<\alpha<0,4 \] \end{enumerate} \textbf{Partie III} On pose $J=\left[ 0,3;0,4\right] .$ \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $x\mapsto x^{2}-2x+2$ est d\'{e}croissante sur $J.$ En d\'{e}duire que si $x$ appartient \`{a} $J$ alors $f\left( x\right) $ appartient \`{a} $J.$ \index{Fonction!d\'{e}croissante} \item \begin{enumerate} \item Prouver que pour tout $x$ de $J,$% \[ \left| f^{\prime}\left( x\right) \right| \leqslant0,95 \] On pourra montrer que $f^{\prime}$ est croissante sur $J.$ \item En d\'{e}duire que pour tout $x$ de $J$ : \[ \left| f\left( x\right) -\alpha\right| \leqslant0,95\left| x-\alpha \right| \] \end{enumerate} \item On d\'{e}finit la suite $\left( u_{n}\right) $ par : \index{Suite!r\'{e}currente} \[ u_{0}=3\text{ et pour tout entier naturel }n,\text{ }u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) \] \begin{enumerate} \item Prouver que pour tout $n$ : \begin{itemize} \item $u_{n}$ appartient \`{a} $J.$ \item $\left| u_{n+1}-\alpha\right| \leqslant0,95\left| u_{n}% -\alpha\right| $ \item $\left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant\left( 0,95\right) ^{n}% $\newline En d\'{e}duire que la suite $\left( u_{n}\right) $ converge vers $\alpha.$ \end{itemize} \item D\'{e}terminer un entier $n_{0}$ tel que pour tout $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n_{0},$% \[ \left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant10^{-3}% \] \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie IV} On d\'{e}signe par $\mathcal{A}$ l'aire du domaine compris entre les droites d'\'{e}quations $x=0,$ $x=\frac{1}{2}$, l'axe des abscisses et la courbe $\left( \mathcal{C}\right) .$ On se propose de d\'{e}terminer une valeur approch\'{e}e de $\mathcal{A}$ en unit\'{e}s d'aire. \index{Calcul!d'aire} \begin{enumerate} \item Montrer que la tangente $T$ \`{a} la courbe $\left( \mathcal{C}% \right) $ au point d'abscisse $\frac{1}{4}$ a pour \'{e}quation : \index{Tangente} \[ y=-\frac{24}{25}x+\frac{6}{25}+\ln\frac{25}{16}% \] \item Soient les points $E$ d'abscisse $0$ et $F$ d'abscisse $\frac{1}{2}$ de la courbe $\left( \mathcal{C}\right) .$ Montrer que la droite $\left( EF\right) $ a pour \'{e}quation : \index{Equation!de droite} \[ y=2\left( \ln\frac{5}{8}\right) x+\ln2 \] \item On admet que sur l'intervalle $\left[ 0;\frac{1}{2}\right] ,$ la courbe $\left( \mathcal{C}\right) $ est au-dessus de $T$ et en dessous de $\left( EF\right) .$ \begin{enumerate} \item Montrer que : \[ \int_{0}^{\frac{1}{2}}\left( -\frac{24}{25}x+\frac{6}{25}+\ln\frac{25}% {16}\right) dx\leqslant\mathcal{A}\leqslant\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left( 2\left( \ln\frac{5}{8}\right) x+\ln2\right) dx \] \item En d\'{e}duire que \[ \ln\frac{5}{4}\leqslant\mathcal{A}\leqslant\frac{1}{4}\ln\frac{5}{2}% \] \item Donner une valeur approch\'{e}e de $A$ \`{a} $5\times10^{-3}$ pr\`{e}s. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Japon 1997} Pour tout entier $n$ strictement positif, on consid\`{e}re la fonction $f_{n} $ d\'{e}finie sur $\left] 0,+\infty\right[ $ par : \[ f_{n}\left( x\right) =\frac{\left( \ln x\right) ^{n}}{x^{2}}% \] On note $C_{n}$ la courbe repr\'{e}sentative de $f_{n}$ dans un rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ orthogonal ( unit\'{e}s graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses, $10$ cm sur l'axe des ordonn\'{e}es ). \index{Fonction!logarithme} \index{Famille!de fonctions} \textbf{Partie I} \emph{Etude pour }$n=1$ \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $\lim_{x\rightarrow0}f_{1}\left( x\right) $ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}f_{1}\left( x\right) .$ Que peut-on en d\'{e}duire pour $C_{1}$ ? \item Etudier le sens de variation de $f_{1}$ et donner le tableau des variations de $f_{1}.$ \item D\'{e}terminer une \'{e}quation de la tangente en $x_{0}=1$ \`{a} la courbe $C_{1}.$\newline \index{Tangente}\emph{Etude pour }$n=2$ \item D\'{e}terminer $\lim_{x\rightarrow0}f_{2}\left( x\right) $ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}f_{2}\left( x\right) .$ Que peut-on en d\'{e}duire pour $C_{2}$ ? \item Calculer $f_{2}^{\prime}\left( x\right) $ et donner le tableau de variations de $f_{2}.$ \end{enumerate} \textbf{Partie II} \begin{enumerate} \item Etudier le signe de $f_{1}\left( x\right) -f_{2}\left( x\right) ;$ En d\'{e}duire la position relative de $C_{1}$ et $C_{2}.$ \index{Position!relative} \item Tracer $C_{1}$ et $C_{2}.$ \end{enumerate} \textbf{Partie III} $n$ \'{e}tant un entier naturel non nul, on pose : \[ I_{n}=\int_{1}^{e}f_{n}\left( x\right) \,dx \] \begin{enumerate} \item On pose : \[ F\left( x\right) =\frac{1+\ln x}{x}% \] Calculer $F^{\prime}\left( x\right) ,$ en d\'{e}duire $I_{1}.$ \item En utilisant une int\'{e}gration par parties, montrer que : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+\left( n+1\right) I_{n}% \] \item Calculer $I_{2}$ puis l'aire en cm$^{2}$ du domaine compris entre les courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ et les droites d'\'{e}quations $x=1$ et $x=e.$ \end{enumerate} \textbf{Partie IV} \begin{enumerate} \item En utilisant la question 2. de la partie III, montrer par r\'{e}currence que pour tout $n$ entier naturel non nul : \[ \frac{1}{n!}I_{n}=1-\frac{1}{e}\left( 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}% +\cdots+\frac{1}{n!}\right) \] \item En utilisant un encadrement de $\ln x$ sur $\left[ 1;e\right] ,$ montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul : \[ 0\leqslant I_{n}\leqslant1 \] \item En d\'{e}duire : \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\left( 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac {1}{n!}\right) \] \end{enumerate} \section{Nouvelle Cal% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion edonie 1996} \textbf{\textsf{Partie I}}\newline On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par \[ {f(x)=x^{2}e^{-x}}% \] ainsi que sa courbe repr\'{e}sentative $\mathcal{C}$ dans un rep\`{e}re orthonormal \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} . \index{Fonction!exponentielle} \begin{enumerate} \item Calculer la d\'{e}riv\'{e}e de $f$. \item En d\'{e}duire le tableau de variation de $f$. Pr\'{e}ciser les limites de $f $ en $+\infty$ et en $-\infty$. \item Tracer $\mathcal{C}$ . On choisira une unit\'{e} graphique de 4 cm. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsf{Partie II}} \begin{enumerate} \item Calculer ${\displaystyle J=\int_{0}^{1}xe^{-x}\,dx}$. \index{Int\'{e}grale} \item V\'{e}rifier que $f$ est telle que :\quad$f^{\prime}(x)+f(x)=2xe^{-x}.$ \item En d\'{e}duire que \[ {\int_{0}^{1}f(x)\,dx=2\text{J}-f(1)}% \] \ (J est d\'{e}finie \`{a} la question \textbf{II - 1.}). \end{enumerate} \vspace{.5cm} \textbf{\textsf{Partie III}}\newline L'\'{e}quation $f(x)=f(2)$ admet une seconde solution, not\'{e}e $\alpha$, et appartenant \`{a} l'intervalle $\text{I}=\left[ -1,0\right] $. \begin{enumerate} \item Soit ${\displaystyle g(x)=\left( -\frac{2}{e}\right) e^{\frac{x}{2}}}$. Montrer que $f(\alpha)=f(2)$ \'{e}quivaut \`{a} $g(\alpha)=\alpha$. \item Montrer que $g$(I) est inclus dans I et que ${\displaystyle\mid g^{\prime}(x)\mid\leqslant\frac{1}{e}}$ pout tout $x$ appartenant \`{a} I. \item En d\'{e}duire que ${\displaystyle\mid g(x)-\alpha\mid\leqslant\frac {1}{e}\mid x-\alpha\mid}$ pout tout $x$ appartenant \`{a} I. \item On d\'{e}finit la suite ${(U_{n})_{n\in\mathbb{N}}}$ par \index{Suite!r\'{e}currente} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% U_{0}=-0,5\\ U_{n+1}=g(U_{n})\quad\text{pour tout entier }n\geqslant0 \end{array} \right. \] On admet que $U_{n}$ appartient \`{a} I pour tout entier $n\geqslant 0$.\newline Montrer que \[ {\mid U_{n}-\alpha\mid\leqslant\frac{1}{e^{n}}\mid U_{0}-\alpha\mid \leqslant\frac{1}{2e^{n}}}% \] pour tout entier $n\geqslant0$. \item D\'{e}terminer le plus petit entier $n$ tel que l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente fournisse une valeur approch\'{e}e de $\alpha$ \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s. \end{enumerate} \section{Sportifs de haut niveau 1996\label{pb_sportifs_96}} \emph{L'objectif de la partie A est de r\'{e}soudre une \'{e}quation diff\'{e}rentielle }$\left( 1\right) $\emph{\ avec second membre. Dans la partie B, on \'{e}tudiera une fonction, solution particuli\`{e}re de l'\'{e}quation }$\left( 1\right) $\emph{\ , \`{a} l'aide d'une fonction auxiliaire. Dans la partie C, on d\'{e}terminera l'aire d'une r\'{e}gion du plan donn\'{e}e. Les parties A, B et C peuvent \^{e}tre trait\'{e}s ind\'{e}pendamment l'une de l'autre.}% \[ \text{PARTIE A}% \] \textbf{R\'esolution d'une \'equation diff\'erentielle.} On se propose de d\'{e}terminer les fonctions d\'{e}finies sur l'intervalle $\left] 0;+\infty\right[ $ qui sont solutions de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle suivante : \index{Equation!diff\'{e}rentielle} \[ y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=\frac{x-1}{x^{2}}e^{-x}\qquad\left( 1\right) \] \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $p$ d\'efinie sur $\left] 0;+\infty\right[ $ par $p\left( x\right) =e^{-x}\ln x$ est une solution particuli\`ere de l'\'equation $\left( 1\right) .$ \item D\'emontrer qu'une fonction $f$, d\'efinie sur $\left] 0;+\infty \right[ $ est solution de l'\'equation diff\'erentielle $\left( 1\right) $ si et seulement si la fonction $h=f-p$ est une solution de l'\'equation diff\'erentielle : \[ y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0\qquad\left( 2\right) \] \item D\'eterminer les solutions de l'\'equation diff\'erentielle : \[ y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=0\qquad\left( 2\right) \] \item En d\'eduire l'ensemble des solutions de l'\'equation diff\'erentielle $\left( 1\right) .$% \[ \text{PARTIE B}% \] \end{enumerate} \textbf{Etude de fonctions} On se propose dans cette partie d'\'{e}tudier une solution particuli\`{e}re de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left( 1\right) $. Soit la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\left] 0;+\infty\right[ $ par : \index{Fonction!exponentielle} \index{Fonction!logarithme} \[ f\left( x\right) =e^{-x}\left( 3+\ln x\right) \] \textbf{Etude d'une fonction auxiliaire} On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur $\left] 0;+\infty\right[ $ par : \[ g\left( x\right) =-3-\ln x+\frac1x \] \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $g$ aux bornes de son ensemble de d\'efinition. \item D\'eterminer la fonction d\'eriv\'ee $g^{\prime}$ de $g$ et dresser le tableau de variation de $g$. \item D\'emontrer que l'\'equation $g\left( x\right) =0$ admet une seule solution $\alpha$ dans $\left] 0;+\infty\right[ $ et que cette solution $\alpha$ appartient \`a $\left[ 0,45;0,46\right] .$ \item D\'eduire de ce qui pr\'ec\`ede l'\'etude du signe de $g\left( x\right) $ sur $\left] 0;+\infty\right[ .$ \end{enumerate} \textbf{Etude de la fonction }$f$\textbf{.} On note $\mathcal{C}$ la courbe repr\'esentative de $f$ dans un plan rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath }\right) $ d'unit\'e graphique $4$ centim\`etres. \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de d\'efinition. Pour calculer la limite de $f$ quand $x$ tend vers $+\infty$, on pourra \'etablir que : \[ f\left( x\right) =3e^{-x}+\frac{\ln x}x\times\frac x{e^{x}}\text{ pour tout }x>0 \] D\'eduire de cette \'etude les asymptotes de la courbe $C$. \item D\'eterminer la fonction d\'eriv\'ee $f^{\prime}$ de $f$ et v\'erifier que, pour tout r\'eel $x$ strictement positif, on a : \[ f^{\prime}\left( x\right) =e^{-x}g\left( x\right) \] D\'eduire de l'\'etude faite \`a la question 1.4 les variations de $f$. Pour le calcul de $f\left( \alpha\right) $, on prendra comme valeur approch\'ee de $\alpha$ la valeur $0,45$. \item D\'eterminer le point d'intersection de la courbe $C$ avec l'axe des abscisses. \item Tracer la courbe $C$. \end{enumerate} \textbf{Calcul d'aire \index{Calcul!d'aire}} On consid\`{e}re dans le rep\`{e}re orthogonal $\left( O;\vec{u},\vec {v}\right) $ ci-dessous ( unit\'{e} sur l'axe des abscisses : $4$ cm, unit\'{e} sur l'axe des ordonn\'{e}es : $1$ cm ), la courbe de la fonction $g$ d\'{e}finie par, pour tout $x>0,$% \[ g\left( x\right) =-3-\ln x+\frac{1}{x}% \] $\alpha$ est la valeur d\'{e}termin\'{e}e en B.I.3 telle que $g\left( \alpha\right) =0.$ \begin{center} \fig{0.5}{fig1.eps}% \end{center} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer en fonction de $\alpha$ : \index{Int\'{e}grale} \[ I=\int_{0,25}^{\alpha}\ln x\,dx \] On pourra utiliser une int\'{e}gration par parties. \index{Int\'{e}gration!par partie} \item \begin{enumerate} \item Calculer, en fonction de $\alpha$ : \[ J=\int_{0,25}^{\alpha}g\left( x\right) \,dx \] \item Montrer que l'on a : \[ J=\alpha+\frac{1}{\alpha}-\frac{7}{2}+\frac{3}{2}\ln2 \] \item Calculer l'aire $A$ en cm$^{2}$ de la partie hachur\'{e}e sur la figure, en fonction de $\alpha$. Donner une valeur approch\'{e}e de $A$ en prenant $\alpha\simeq0,45$. \index{Calcul!d'aire} \end{enumerate} \end{enumerate} \section{National Ann% %TCIMACRO{\TeXButton{\'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ee 1995} Soit $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ d\'{e}finie par : \[ f\left( x\right) =\left( x+1\right) \ln\left| x-3\right| \] o\`{u} $\ln$ d\'{e}signe la fonction logarithme n\'{e}p\'{e}rien. $\left( C\right) $ est la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans un rep\`{e}re orthonormal $\left( O\text{\/};\vec{\imath}\text{\/},\vec{\jmath }\text{\/\thinspace}\right) $ ( unit\'{e} $1$ cm ).\medskip \index{Valeur!absolue} \index{Fonction!logarithme} \textbf{Partie A : Etude de la fonction }$f.$ \begin{enumerate} \item Pr\'{e}ciser l'ensemble de d\'{e}finition $D$ de $f.$ \item \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que si $x$ appartient \`{a} $D,$ alors : \[ f^{\prime}\left( x\right) =\frac{x+1}{x-3}+\ln\left| x-3\right| \] \item Pour $x$ appartenant \`{a} $D,$ calculer $f^{\prime\prime}\left( x\right) ,$ o\`{u} $f^{\prime\prime}$ d\'{e}signe la d\'{e}riv\'{e}e seconde de $f.$ En d\'{e}duire les variations de $f^{\prime}.$ \index{D\'{e}riv\'{e}e!seconde} \item Calculer les limites de $f^{\prime}$ en $-\infty$ et en $3$ \`{a} gauche. \item Montrer que $f^{\prime}$ s'annule sur $\left] -\infty;3\right[ $ pour une seule valeur $\alpha.$ Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,1.$ Etudier le signe de $f^{\prime}\left( x\right) $ sur $\left] -\infty;3\right[ .$ \item Etudie le signe de $f^{\prime}\left( x\right) $ sur $\left] 3;+\infty\right[ .$ \item Dresser le tableau de variation de $f.$ \end{enumerate} \item Etudier les limites de $f$ aux bornes de $D.$ Pr\'{e}ciser les asymptotes \'{e}ventuelles \`{a} $\left( C\right) $ \item Calculer les coordonn\'{e}es des points d'intersection de $\left( C\right) $ et de l'axe des abscisses. \item Tracer la courbe $\left( C\right) .\vspace{0.5cm}$ \end{enumerate} \textbf{Partie B : Calcul d'une aire}\newline $A$ d\'{e}signe l'aire en cm$^{2}$ de la r\'{e}gion comprise entre la courbe $\left( C\right) ,$ l'axe des abscisses, les droites d'\'{e}quation $x=-1$ et $x=2.$ \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les r\'{e}els $a,$ $b$ et $c$ tels que, pour tout r\'{e}el $x$ diff\'{e}rent de $3$ : \[ \frac{x^{2}+2x}{3-x}=ax+b+\frac{c}{3-x}% \] \item En d\'{e}duire la valeur exacte de $:$ \index{Int\'{e}grale} \[ I=\int_{-1}^{2}\frac{t^{2}+2t}{3-t}\;dt \] \item Gr\^{a}ce \`{a} une int\'{e}gration par parties, et en utilisant la question pr\'{e}c\'{e}dente, calculer la valeur \index{Calcul!d'aire} exacte de l'aire $A.$ \end{enumerate} \section{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1995} Dans tout ce probl\`{e}me, ln d\'{e}signe la fonction logarithme n\'{e}% p\'{e}rien.\newline \index{Fonction!logarithme} {\noindent\textbf{Partie A -- \'{e}tude d'une fonction auxiliaire}}\newline On consid\`{e}re la fonction $g$ \/d\'{e}finie sur l'intervalle $]0,+\infty \lbrack$ par : \[ g\left( x\right) =x^{2}-\frac{1}{x^{2}}-4\ln x \] \newline \begin{enumerate} \item Etudier les variations de $g$. Pr\'{e}ciser $g(1)$. \item En d\'{e}duire le signe de la fonction $g$ sur chacun des intervalles $]0,\ 1[$ et $]1,\ +\infty\lbrack$.\newline \end{enumerate} {{\noindent\textbf{Partie B -- Etude d'une fonction}}\newline On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur l'intervalle $]0,+\infty\lbrack$ par :} \[ f\left( x\right) =\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4x^{2}}-\left( \ln x\right) ^{2}% \] {\ } \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout r\'{e}el ${\displaystyle x>0,f(x)=f(\frac{1}% {x})}$. \item D\'{e}terminer la limite de $f$ \/en $+\infty$ (on pourra mettre $x^{2}$ en facteur) dans l'expression de $f(x)$.\newline D\'{e}terminer la limite de $f$ en 0. \item Montrer que pour tout r\'{e}el ${\displaystyle x>0,f^{\prime}% (x)=\frac{1}{2x}g(x)}$.\newline En utilisant la partie A, \'{e}tudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0,+\infty]$. \item On nomme $C_{f}$ la repr\'{e}sentation graphique de $f$ dans un rep\`{e}re orthonorm\'{e} ; unit\'{e} graphique 5 cm. Tracer $C_{f}$. \end{enumerate} {\noindent\textbf{Partie C -- R\'{e}solution approch\'{e}es d'\'{e}quations}} \begin{enumerate} \item Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=x$ admet une seule solution sur l'intervalle $]0,\ 1]$ (on pourra \'{e}tudier le sens de variation de la fonction $h$ d\'{e}finie sur $]0,\ 1]$ par $h(x)=f(x)-x$).\newline On nomme $\alpha$ cette solution. \item Montrer que l'\'{e}quation ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}}$ admet une seule solution sur l'intervalle ${[1,\ +\infty\lbrack}$.\newline On nomme $\beta$ cette solution. \item D\'{e}terminer un encadrement de $\beta$ \/\/d'amplitude $10^{-2}$. En d\'{e}duire un encadrement de $\alpha$. \end{enumerate} \chapter{Sujets de concours} \section{Concours g% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion en% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eral 1998} \begin{center} \textbf{EXERCICE I} \end{center} Un t\'{e}tra\`{e}dre $ABCD$ v\'{e}rifie les conditions suivantes : \index{T\'{e}tra\`{e}dre} \begin{itemize} \item [(a)]les ar\^{e}tes AB, AC et AD sont deux \`{a} deux orthogonales \item[(b)] $AB=3$ et $CD=\sqrt{2}$. \end{itemize} D\'{e}terminer la valeur minimale de $BC^{6}+BD^{6}-AC^{6}-AD^{6}$. \begin{center} \textbf{EXERCICE II} \end{center} Soit $(u_{n})_{n\in\mathbf{N}}$ une suite r\'{e}elle v\'{e}rifiant, pour tout entier $n$, la relation : \index{Suite!r\'{e}currente}% \[ u_{n+2}=|u_{n+1}|-u_{n}% \] Montrer qu'il existe un entier $p$ non nul, tel que la relation $u_{n}% =u_{n+p}$ ait lieu pour tout entier naturel $n$. \begin{center} \textbf{EXERCICE III} \end{center} Pour tout r\'{e}el $x$ on note $E(x)$, le plus grand entier relatif inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $x$. Soit $k$ un entier fix\'{e}, sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2. On consid\`{e}re la fonction $f$ de $\mathbf{N}$ dans $\mathbf{N}$ d\'{e}finie par :% \[ f(n)=n+E\big(\root k\of{n+\root k\of{n}}\big)% \] D\'{e}terminer l'ensemble des valeurs prises par la fonction f. \index{Partie!enti\`{e}re} \begin{center} \textbf{EXERCICE IV} \end{center} On consid\`{e}re deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ s\'{e}cantes en $O$, et un point $M$ n'appartenant \`{a} aucune de ces deux droites. On consid\`{e}re deux points variables, $A$ sur $D_{1}$ et $B$ sur $D_{2}$, tels que le point $M$ appartienne au segment $[A,B]$. \centerline{\tiny(Les questions 1 et 2 sont indépendantes)} \begin{itemize} \item [(1)]Montrer qu'il existe une position des points $A$ et $B$ pour laquelle l'aire du triangle $OAB$ est minimale. Construire les points $A$ et $B$ ainsi d\'{e}termin\'{e}s. \item[(2)] Montrer qu'il existe une position des points $A$ et $B$ pour laquelle le p\'{e}rim\`{e}tre du triangle $OAB$ est minimal et qu'on a alors l'\'{e}galit\'{e} des p\'{e}rim\`{e}tres des triangles $OAM$ et $OBM$, ainsi que la relation~: \[ \frac{AM}{\tan{\frac{\widehat{OAM}}{2}}} = \frac{BM}{\tan{\frac{\widehat{OBM}% }{2}}}% \] Construire les point $A$ et $B$ ainsi d\'{e}termin\'{e}s. \end{itemize} \begin{center} \textbf{EXERCICE V} \end{center} Soit $n$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3. On consid\`{e}re un ensemble $A$ de $n$ points du plan, cet ensemble ne contenant pas trois points align\'{e}s. Montrer qu'il existe un ensemble $S$ de $2n-5$ points du plan tel que pour tout triangle dont les sommets sont des points de $A$ il existe au moins un point de $S$ qui lui soit strictement int\'{e}rieur. \section{Concours g% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion en% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eral 1997}% \[ \text{\textbf{Exercice I}}% \] On a plac\'{e} un jeton sur chaque sommet d'un polygone r\'{e}gulier \`{a} 1997 c\^{o}t\'{e}s. Sur chacun de ces jetons est inscrit un entier relatif, la somme de ces entiers relatifs \'{e}tant \'{e}gale \`{a} 1. On choisit un sommet de d\'{e}part et on parcourt le polygone dans le sens trigonom\'{e}% trique en ramassant les jetons au fur et \`{a} mesure tant que la somme des entiers inscrits sur les jetons ramass\'{e}s est strictement positive. Peut-on choisir le sommet de d\'{e}part de fa\c{c}on \`{a} ramasser tous les jetons ? Si oui, combien y-a-t-il de choix possibles ?% \[ \text{\textbf{Exercice II}}% \] Une capsule spatiale a la forme du solide de r\'{e}volution d\'{e}limit\'{e} par une sph\`{e}re de centre $O$, de rayon $R$, et un c\^{o}ne de sommet $O$ qui rencontre cette sph\`{e}re selon un cercle de rayon $r$. Quel est le volume maximal d'un cylindre droit contenu dans cette capsule, le cylindre et la capsule ayant m\^{e}me axe de r\'{e}volution ? \index{Solide!de r\'{e}volution}% \[ \text{\textbf{Exercice III}}% \] $C$ est un cube d'ar\^{e}te $1$ et $p$ est la projection orthogonale sur un plan. Quelle est la valeur maximale de l'aire de $p(C)$ ?% \[ \text{\textbf{Exercice IV}}% \] Etant donn\'{e} un triangle $ABC$, on note $a$, $b$, $c$ les longueurs de ses c\^{o}t\'{e}s et $m$, $n$, $p$ les longueurs de ses m\'{e}dianes. Pour tout r\'{e}el $\alpha$ strictement positif, on d\'{e}finit le r\'{e}el $\lambda\left( \alpha\right) $ par la relation \[ a^{\alpha}+b^{\alpha}+c^{\alpha}=\left( \lambda\left( \alpha\right) \right) ^{\alpha}\left( m^{\alpha}+n^{\alpha}+p^{\alpha}\right) \] \begin{enumerate} \item Calculer $\lambda(2)$. \item Calculer la limite de $\lambda\left( \alpha\right) $ lorsque $\alpha$ tend vers $0$. \item A quelle condition portant sur $a$, $b$, $c$ le r\'{e}el $\lambda \left( \alpha\right) $ est-il ind\'{e}pendant de $\alpha$ ? \end{enumerate}% \[ \text{\textbf{Exercice V}}% \] Dans le plan, soient $A$ et $B$ deux points distincts. Pour tout point $C$ ext\'{e}rieur \`{a} la droite $(AB)$, on note $G$ l'isobarycentre du triangle $ABC$ et $I$ le centre de son cercle inscrit. \index{Isobarycentre} \begin{enumerate} \item Soit $\alpha$ un r\'{e}el tel que $0<\alpha<\pi$. Quel est l'ensemble $\Gamma$ des points $C$ tels que \[ \left( \overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right) =\alpha+2k\pi \] $k$ \'{e}tant un entier ? Lorsque $C$ d\'{e}crit $\Gamma$, montrer que $G$ et $I$ d\'{e}crivent deux arcs de cercle que l'on pr\'{e}cisera. \item On suppose d\'{e}sormais que $\dfrac\pi3<\alpha<\pi.$ Comment doit-on choisir $C$ dans $\Gamma$ pour que la distance $GI$ soit minimale ? \item On note $f(\alpha)$ la distance minimale $GI$ de la question pr\'{e}c\'{e}dente. Expliciter $f(\alpha)$ en fonction de $a=AB$ et $\alpha$. D\'{e}terminer la valeur maximale de $f(\alpha)$ lorsque $\alpha$ d\'{e}crit $\left] \dfrac{\pi}{3},\pi\right[ $. \end{enumerate} \section{ENI 1998} \emph{Le sujet porte sur le programme du baccalaur\'{e}at s\'{e}rie S. Il est constitu\'{e} d'exercices ind\'{e}pendants. Le texte remis au candidat pr\'{e}voit 5 r\'{e}ponses possibles pour chaque exercice rep\'{e}r\'{e}es par les lettres A, B, C, D, E. Une r\'{e}ponse et une seule est correcte.\medskip} \hrule \begin{enumerate} \item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par : \[ f\left( x\right) =\tan^{2}\left( \frac{\pi}{4}-x\right) \] On cherche la valeur de $f^{\prime}\left( 0\right) .$% \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $f^{\prime}\left( 0\right) =-8\sqrt{3}$ & \quad & B & $f^{\prime }\left( 0\right) =-4$ & \quad & C & $f^{\prime}\left( 0\right) =0$\\ D & $f^{\prime}\left( 0\right) =2$ & & E & $f^{\prime}\left( 0\right) =4$% & & & \end{tabular} \] \hrule \item L'ensemble des r\'{e}els $x$ pour lesquels $\ln\left| 1-\dfrac {1}{\sqrt{x}}\right| $ existe est : \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $\left] 0,1\right[ $ & \quad & B & $\left] 1,+\infty\right[ $ & \quad & C & $\left] 0,1\right[ \cup\left] 1,+\infty\right[ $\\ D & $\mathbb{R-}\left\{ 1\right\} $ & & E & $\left] 0,+\infty\right[ $ & & & \end{tabular} \] \hrule \item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :$\quad f\left( x\right) =\ln\left| 1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right| .$ Si $f$ est d\'{e}rivable alors : \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $f^{\prime}\left( x\right) =\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$ & \quad & B & $f^{\prime}\left( x\right) =\dfrac{\sqrt{x}}{\left| \sqrt{x}-1\right| }$ & \quad & C & $f^{\prime}\left( x\right) =\dfrac{1}{2x\left| \sqrt {x}-1\right| }$\\ D & $f^{\prime}\left( x\right) =\dfrac{1}{2x\left( \sqrt{x}-1\right) }$ & & E & $f^{\prime}\left( x\right) =\dfrac{1}{2\left( 1-\sqrt{x}\right) }$ & & & \end{tabular} \] \hrule \item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par :$\quad f\left( x\right) =\ln\left| 1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right| .$ L'\'{e}quation $f\left( x\right) =0$ : \[% \begin{tabular} [c]{ll}% A & n'admet pas de solution\\ B & admet une solution unique dans l'intervalle $\left[ 0,1\right] $\\ C & admet deux solutions dans l'intervalle $\left[ 0,1\right] $\\ D & admet une unique solution dans l'intervalle $\left[ 1,+\infty\right[ $\\ E & admet deux solutions dans l'intervalle $\left[ 1,+\infty\right[ $% \end{tabular} \] \hrule \item L'\'{e}quation $4x^{3}-7x^{2}+1=0$ admet dans l'intervalle $\left] -1,1\right[ $ exactement : \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & 0 solution & \quad & B & 1 solution & \quad & C & 2 solutions\\ D & 3 solutions & & E & 4 solutions & & & \end{tabular} \] \hrule \item Soit $f$ une fonction d\'{e}finie de $\left] a,b\right[ $ dans $\mathbb{R},$ avec $a\in\mathbb{R},$ $b\in\mathbb{R}$ et $a<b.$ On consid\`{e}re les trois propositions suivantes : \begin{enumerate} \item [(P$_{1})$]Si $f$ est continue sur $\left] a,b\right[ ,$ alors $f$ est d\'{e}rivable sur $\left] a,b\right[ .$ \item[(P$_{2})$] $f$ est d\'{e}rivable en $x_{0}\in\left] a,b\right[ $ si $\dfrac{f\left( x_{0}\right) -f\left( h\right) }{x_{0}-h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers 0. \item[(P$_{3})$] Si $f$ est d\'{e}rivable sur $\left] a,b\right[ $ et si $f^{\prime}\left( x_{0}\right) =0$ en $x_{0}\in\left] a,b\right[ ,$ alors $f $ admet un extremum en $0.$% \[% \begin{tabular} [c]{ll}% A & Les propositions (P$_{1}),$ (P$_{2})$ et (P$_{3})$ sont vraies.\\ B & Les propositions (P$_{1}),$ (P$_{3})$ sont vraies et (P$_{2})$ est fausse.\\ C & Les propositions (P$_{1}),$ (P$_{2})$ sont fausses et (P$_{3})$ est vraie.\\ D & Les propositions (P$_{2})$ et (P$_{3})$ sont vraies et (P$_{1})$ est fausse.\\ E & Les propositions (P$_{1}),$ (P$_{2})$ et (P$_{3})$ sont fausses. \end{tabular} \] \hrule \end{enumerate} \item Soit $f$ une fonction d\'{e}finie et d\'{e}rivable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}.$ On a alors : \[ \lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left( 2x_{0}+2h\right) -f\left( 2x_{0}\right) }{h}=l \] avec : \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $l=2f^{\prime}\left( 2x_{0}\right) $ & \quad & B & $l=f^{\prime}\left( 2x_{0}\right) $ & \quad & C & $l=\dfrac{1}{2}f^{\prime}\left( 2x_{0}\right) $\\ D & $l=2f^{\prime}\left( x_{0}\right) $ & & E & $l=f^{\prime}\left( x_{0}\right) $ & & & \end{tabular} \] \hrule \item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par : \[ f\left( x\right) =\frac{\sin2x-\sin x}{\sin2x+\sin x}% \]% \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $\lim_{x\rightarrow0}f\left( x\right) =-\infty$ & \quad & B & $\lim_{x\rightarrow0}f\left( x\right) =-1$ & \quad & C & $\lim _{x\rightarrow0}f\left( x\right) =0$\\ D & $\lim_{x\rightarrow0}f\left( x\right) =\dfrac{1}{3}$ & & E & $\lim_{x\rightarrow0}f\left( x\right) =+\infty$ & & & \end{tabular} \] \hrule \item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par : \[ f\left( x\right) =\left( \pi-2x\right) \tan x \]% \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left( x\right) =-\infty$ & \quad & B & $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left( x\right) =-2$ & \quad & C & $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left( x\right) =0$\\ D & $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left( x\right) =2$ & & E & $\lim_{x\rightarrow\frac{\pi}{2}}f\left( x\right) =+\infty$ & & & \end{tabular} \] \hrule \item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par : \[ f\left( x\right) =\frac{2x^{3}-x^{2}-1}{x^{2}+x-2}% \]% \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $\lim_{x\rightarrow1}f\left( x\right) =+\infty$ & \quad & B & $\lim_{x\rightarrow1}f\left( x\right) =2$ & \quad & C & $\lim _{x\rightarrow1}f\left( x\right) =\dfrac{4}{3}$\\ D & $\lim_{x\rightarrow1}f\left( x\right) =\dfrac{2}{3}$ & & E & $\lim_{x\rightarrow1}f\left( x\right) =0$ & & & \end{tabular} \] \hrule \item Soit $f$ la fonction d\'{e}finie par : \[ f\left( x\right) =\frac{\pi\sin\left( \pi+\sqrt{x}\right) }{\sqrt {x^{3}+x+1}}% \]% \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\,f\left( x\right) =1$ & \quad & B & $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\,f\left( x\right) =\dfrac{1}{2}$ & \quad & C & $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\,f\left( x\right) =0$\\ D & $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\,f\left( x\right) =-1$ & & E & $f$ n'admet pas de limite en $+\infty$ & & & \end{tabular} \] \hrule \item Soit $\left( u_{n}\right) $ la suite d\'{e}finie par : \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% u_{0}=3\\ u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) \text{ pour tout entier }n\geqslant0 \end{array} \right. \] avec $f\left( x\right) =\dfrac{4x-1}{x}$% \[% \begin{tabular} [c]{ll}% A & La suite $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $4.$\\ B & La suite $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $2-\sqrt{3}.$\\ C & La suite $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty.$\\ D & La suite $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\dfrac{1}{4}.$\\ E & La suite $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ est croissante. \end{tabular} \] \hrule \item Soit $\left( u_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}}$ la suite d\'{e}finie par : \[ u_{n}=n-\sqrt{\left( n+a\right) \left( n+b\right) }% \] avec $a\in\mathbb{R},$ $b\in\mathbb{R}.$% \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\,u_{n}=+\infty$ & \quad & B & $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\,u_{n}=-\dfrac{a+b}{2}$ & \quad & C & $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\,u_{n}=0$\\ D & $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\,u_{n}=-\left( a+b\right) $ & & E & $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\,u_{n}=-\infty$ & & & \end{tabular} \] \hrule \item $I=% %TCIMACRO{\dint _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}}% %BeginExpansion {\displaystyle\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}} %EndExpansion \left( \dfrac{\pi}{4}-x\right) \cos\left( 2x-\dfrac{\pi}{3}\right) dx$% \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $I=\dfrac{2-\sqrt{3}}{8}$ & \quad & B & $I=2-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ & \quad & C & $I=1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\ D & $I=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{8}$ & & E & $I=0$ & & & \end{tabular} \] \hrule \item Le plan est muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}. Soit $a\in\left[ 0,\pi\right] .$ Soit $E$ l'ensemble des points de coordonn\'{e}es $\left( x,y\right) $ tels que \[ a\leqslant x\leqslant\pi\quad0\leqslant y\leqslant\sin x \] L'aire de $E$ est \'{e}gale \`{a} $\dfrac{1}{2}$ pour : \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $a=\dfrac{2\pi}{3}$ & \quad & B & $a=\dfrac{\pi}{3}$ & \quad & C & impossible\\ D & $a=\dfrac{5\pi}{6}$ & & E & $a=\dfrac{\pi}{2}$ & & & \end{tabular} \] \hrule \item $I=% %TCIMACRO{\dint _{0}^{\frac{\pi}{6}}}% %BeginExpansion {\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{6}}} %EndExpansion \left[ \tan^{3}\left( 2x-\dfrac{\pi}{3}\right) +\tan\left( 2x-\dfrac{\pi }{3}\right) \right] dx$% \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $I=\dfrac{3}{4}$ & \quad & B & $I=-\dfrac{1}{12}$ & \quad & C & $I=-\dfrac{3}{4}$\\ D & $I=-\dfrac{3}{2}$ & & E & $I=-3$ & & & \end{tabular} \] \hrule \item Dans le plan muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}, on consid\`{e}re les points $A\left( 2,2\right) ,$ $B\left( 5,1\right) $ et $C\left( 3,4\right) .$ $E$ d\'{e}signe la r\'{e}gion du plan int\'{e}rieure au contour $ABCA$ form\'{e} par :\newline l'arc $AB$ de la courbe d'\'{e}quation : $x+3y-8=0$\newline l'arc $BC$ de la courbe d'\'{e}quation : $y\left( x-1\right) ^{2}=16$\newline l'arc $CA$ de la courbe d'\'{e}quation : $y+2\left( 3-x\right) ^{2}=4.$\newline L'aire de $E$ est \'{e}gale \`{a} : \[% \begin{tabular} [c]{llllllllllllll}% A & $\dfrac{71}{6}$ & \quad & B & $\dfrac{31}{6}$ & \quad & C & $\dfrac {23}{6}$ & \quad & D & $\dfrac{17}{6}$ & \quad & E & $\dfrac{13}{6}$\\ & & & & & & & & & & & & & \end{tabular} \] \hrule \item $I=% %TCIMACRO{\dint _{2}^{4}}% %BeginExpansion {\displaystyle\int_{2}^{4}} %EndExpansion \dfrac{\left| x-3\right| }{\left( x^{2}-6x\right) ^{2}}dx$% \[% \begin{tabular} [c]{llllllll}% A & $I=\dfrac{1}{36}$ & \quad & B & $I=\dfrac{1}{72}$ & \quad & C & $I=0$\\ D & $I=-\dfrac{1}{72}$ & & E & $I=-\dfrac{1}{36}$ & & & \end{tabular} \] \hrule \item L'\'{e}quation \[ 2\sin^{2}x+\left( \sqrt{3}+1\right) \cos\left( \frac{\pi}{2}-x\right) +\frac{\sqrt{3}}{2}=0 \] admet dans $\left[ 0,\dfrac{\pi}{2}\right] $ : \[% \begin{tabular} [c]{ll}% A & 0 solution\\ B & 1 solution\\ C & 2 solutions\\ D & 4 solutions\\ E & une infinit\'{e} de solutions \end{tabular} \] \hrule \item Soit l'\'{e}quation $\cos x=\dfrac{\sqrt{3}}{2},$ avec $x\in\left[ 0,2\pi\right] .$ On note $E$ l'ensemble des solutions de cette \'{e}quation. \[% \begin{tabular} [c]{ll}% A & Pour tout $x\in E\quad\sin2x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\ B & Pour tout $x\in E\quad\cos3x=1$\\ C & Pour tout $x\in E\quad\sin\left| x\right| =\dfrac{\sqrt{3}}{2}$\\ D & $E=\left\{ -\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{6}\right\} $\\ E & Pour tout $x\in E\quad x>\dfrac{1}{2}$% \end{tabular} \] \hrule \item L'ensemble $S$ des solutions r\'{e}elles de l'\'{e}quation \[ e^{x}-e^{-x}=2 \] est : \[% \begin{tabular} [c]{ll}% A & $S=\left\{ \ln\left( 1+\sqrt{2}\right) ;\ln\left( 1-\sqrt{2}\right) \right\} $\\ B & $S=\left\{ \ln\left( 1+\sqrt{2}\right) \right\} $\\ C & $S=\left\{ \left( 1+\sqrt{2}\right) ;\left( 1-\sqrt{2}\right) \right\} $\\ D & $S=\left\{ \ln\left( \sqrt{2}-1\right) \right\} $\\ E & $S=\left\{ 0\right\} $% \end{tabular} \] \hrule \item Soit $z=\left( -1+i\right) ^{11}+\left( -1-i\right) ^{15}$% \[% \begin{tabular} [c]{ll}% A & $z=-96+160i$\\ B & $z=96-160i$\\ C & $z=160-96i$\\ D & $z=-160+96i$\\ E & $z=-160i$% \end{tabular} \] \hrule \item On note $E$ l'ensemble des r\'{e}els $t$ tels que l'\'{e}quation : \[ z^{2}-2ze^{it}+1=0 \] admette deux racines imaginaires pures $(z=iy,$ $y\in\mathbb{R})$ : \[% \begin{tabular} [c]{lllll}% A & $E=\left\{ 0\right\} $ & \quad & B & $E=\left\{ k\pi,k\in \mathbb{Z}\right\} $\\ C & $E=\left\{ \dfrac{\pi}{3}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\} $ & & D & $E=\left\{ \dfrac{\pi}{2}+2k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\} $\\ E & $E=\left\{ \dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in\mathbb{Z}\right\} $ & & & \end{tabular} \] \hrule \item Soit $z=i\left( \sqrt{3}-i\right) ^{25}$% \[% \begin{tabular} [c]{ll}% A & $\arg z=53\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,$ $k\in\mathbb{Z}$\\ \quad & \\ B & $\arg z=28\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,$ $k\in\mathbb{Z}$\\ \quad & \\ C & $\arg z=-22\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,$ $k\in\mathbb{Z}$\\ \quad & \\ D & $\arg z=-25\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,$ $k\in\mathbb{Z}$\\ \quad & \\ E & $\arg z=-47\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,$ $k\in\mathbb{Z}$% \end{tabular} \] \hrule \item Apr\`{e}s une saison de chasse, on a \'{e}tabli les r\'{e}sultats suivants :\newline 30 \% des renards \'{e}taient enrag\'{e}s. Parmi les renards abattus, 40 \% \'{e}taient enrag\'{e}s. On d\'{e}signe par $a$ la probabilit\'{e} qu'un renard ait \'{e}t\'{e} abattu. Calculer en fonction de $a$ la probabilit\'{e} pour qu'un renard ait \'{e}t\'{e} abattu sachant qu'il \'{e}tait enrag\'{e}. \[% \begin{tabular} [c]{llllllllllllll}% A & $\dfrac{4}{3}a$ & \quad & B & $\dfrac{3}{4a}$ & \quad & C & $\dfrac {3}{4}a$ & \quad & D & $\dfrac{4}{3a}$ & \quad & E & $a$% \end{tabular} \] \hrule \item Deux joueurs $A$ et $B$ lancent l'un apr\`{e}s l'autre et une seule fois un d\'{e} ordinaire non pip\'{e}. $A$ gagne si l'\'{e}cart entre les deux r\'{e}sultats est : $0,$ $1$ ou $2,$ sinon $B$ gagne. La probabilit\'{e} que $A$ gagne est : \[% \begin{tabular} [c]{llllllllllllll}% A & $\dfrac{1}{2}$ & \quad & B & $\dfrac{2}{3}$ & \quad & C & $\dfrac{3}{4} $ & \quad & D & $\dfrac{1}{3}$ & \quad & E & autre valeur \end{tabular} \] \hrule \item La probabilit\'{e} que pile apparaisse au moins $4$ fois apr\`{e}s $5$ lancers successifs d'une pi\`{e}ce de monnaie est : \[% \begin{tabular} [c]{llllllllllllll}% A & $\dfrac{1}{8}$ & \quad & B & $\dfrac{2}{5}$ & \quad & C & $\dfrac{4}{5} $ & \quad & D & $\dfrac{3}{16}$ & \quad & E & $\dfrac{5}{32}$% \end{tabular} \] \hrule \item Dans l'espace muni d'un rep\`{e}re orthonorm\'{e}, on note $P$ et $Q$ les deux plans d'\'{e}quations respectives : \[ P:x-2z-3=0\qquad Q:y+z+5=0 \] Soit $D$ la droite intersection de $P$ et $Q.$% \[% \begin{tabular} [c]{ll}% A & La droite $D$ admet $\overrightarrow{u}\left( 2,1,1\right) $ pour vecteur directeur\\ B & La droite $D$ passe par le point $\left( 3,-5,1\right) $\\ C & Le plan contenant $A\left( 1,3,-4\right) $ et $D$ a pour \'{e}quation $x+y+z=0$\\ D & Le plan contenant $A\left( 1,3,-4\right) $ et $D$ a pour \'{e}quation $-2x+3y+7z+20=0$\\ E & Le plan contenant $A\left( 1,3,-4\right) $ et $D$ a pour \'{e}quation $-2x+3y+7z+21=0$% \end{tabular} \] \hrule \item Soient trois points distincts du plan $A,$ $B$ et $C.$ On note $E$ l'ensemble des points $M$ du plan v\'{e}rifiant : \[ \left\| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right\| =\left\| \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow {MC}\right\| \] et $I$ le milieu du segment $\left[ A,B\right] .$% \[% \begin{tabular} [c]{ll}% A & $E$ est r\'{e}duit au point $C$\\ B & $E$ est l'ensemble vide\\ C & $E$ est une droite passant par $I$ et orthogonale \`{a} $\left( AB\right) $\\ D & $E$ est un cercle de centre $J$ milieu du segment $\left[ IC\right] $\\ E & $E$ est un cercle de centre $I$% \end{tabular} \] \hrule \item Soit $E$ l'espace rapport\'{e} au rep\`{e}re orthornorm\'{e} $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}\right) .$ On consid\`{e}re les trois points $A\left( -1,2,3\right) ,$ $B\left( 0,4,4\right) $ et $C\left( 2,0,2\right) .$% \[% \begin{tabular} [c]{ll}% A & $\left| \sin\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \right| =\dfrac{4\sqrt{6}}{\sqrt{21}}$\\ B & $\left| \sin\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \right| =\dfrac{-1}{\sqrt{21}}$\\ C & $\left| \sin\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \right| =\sqrt{5}$\\ D & $\left| \sin\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \right| =\dfrac{\sqrt{5}}{21}$\\ E & $\left| \sin\left( \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right) \right| =\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{21}}$% \end{tabular} \] \hrule \end{enumerate} \chapter{El% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ements de solutions} \section{Sujets du baccalaur% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eat} \subsection{Correction du sujet \ref{bac98}} \begin{center} EXERCICE 1 (\textit{5 points)}\\[0pt] \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $F$ la fonction de r\'{e}partition. Elle est d\'{e}finie par : $F\left( x\right) =$P$\left( X\leqslant x\right) .$ On obtient alors : \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% \text{Si }x<0\quad F\left( x\right) =0\\ \text{Si }0\leqslant x<1\quad F\left( x\right) =0,1\\ \text{Si }1\leqslant x<2\quad F\left( x\right) =0,6\\ \text{Si }2\leqslant x\quad F\left( x\right) =1 \end{array} \right. \] \item $E\left( X\right) =1,3$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item P($\text{C}_{1}\cap\text{E}$)$=$P(C$_{1}$)$\times$P(E/C$_{1}% $)$=0,5\times0,7=0,35.$ \item $\text{P(E}/\text{C}_{2}$)$=$C$_{2}^{1}\times$P(E)$\times$% P(G)$=2\times0,7\times0,3=0,42$\newline P($\text{C}_{2}\cap\text{E}$% )$=$p(C$_{2}$)$\times$P(E/C$_{2}$)$=0,4\times0,42=0,168$. \item P(E)$=$P($\text{C}_{1}\cap\text{E}$)$+$P($\text{C}_{2}\cap\text{E}% $)$=0,35+0,168=0,518$ en utilisant la formule des probabilit\'{e}s totales. \index{Formule!des probabilit\'{e}s totales} \end{enumerate} \item Y peut prendre les valeurs $0,$ $1$ ou $2.$ La loi de probabilit\'{e} de Y est donn\'{e}e par le tableau suivant : \[% \begin{tabular} [c]{|l|l|l|l|}\hline Y & $0$ & $1$ & $2$\\\hline P(Y) & $0,286$ & $0,518$ & $0,196$\\\hline \end{tabular} \] \end{enumerate} \begin{center} EXERCICE 2 (\textit{5 points)}\\[0pt] \end{center} \begin{enumerate} \item Pour $z\neq1$, on a : \[ \frac{z-2}{z-1}=z\Leftrightarrow z-2=z\left( z-1\right) \Leftrightarrow z^{2}-2z+2=0 \] Cette \'{e}quation admet deux solutions : \begin{align*} z_{1} & =1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\\ z_{2} & =1-i=\sqrt{2}e^{-i\frac{\pi}{4}}% \end{align*} \item Pour $z\neq1$, on a : \[ \frac{z-2}{z-1}=i\Leftrightarrow z-2=i\left( z-1\right) \Leftrightarrow z=\frac{2-i}{1-i}=\frac{3}{2}+\frac{i}{2}% \] \item \begin{enumerate} \item $\left| {\frac{z-2}{z-1}}\right| =\frac{BM}{AM}$ et $\arg\left( {\frac{z-2}{z-1}}\right) =\left( \overrightarrow{AM},\overrightarrow {BM}\right) .$ \item Sachant que $i$ a pour module $1$ et pour argument $\frac{\pi}{2},$ l'\'{e}quation (2) \'{e}quivaut \`{a} : \[ \frac{BM}{AM}=1\text{ et }\left( \overrightarrow{AM},\overrightarrow {BM}\right) =\frac{\pi}{2}+k2\pi\text{ }\left( k\in\mathbb{Z}\right) \] Ceci entra\^{i}ne que $M$ appartient \`{a} la m\'{e}diatrice de $\left[ AB\right] $ et que $M$ appartient au \index{M\'{e}diatrice} demi-cercle de diam\`{e}tre $\left[ AB\right] $ situ\'{e} dans la partie du plan d\'{e}finie par $y\geqslant0.$ L'intersection de ces deux ensembles redonne bien g\'{e}om\'{e}triquement le point d'affixe $\frac{3}{2}+\frac{i}{2}.$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $1=\left| i\right| =\left| \left( \frac{z-2}{z-1}\right) ^{n}\right| =\left| \frac{z-2}{z-1}\right| ^{n}=\left( \frac{BM}% {AM}\right) ^{n}.$ Comme $\frac{BM}{AM}$ est un r\'{e}el positif, on en d\'{e}duit que $\frac{BM}{AM}=1,$ donc que $M$ appartient \`{a} la m\'{e}diatrice de $\left[ AB\right] ,$ et donc que $M$ a pour partie r\'{e}elle ${\frac{3}{2}}$. \item Pour $z\neq1,$ on a : \[ \left( \frac{z-2}{z-1}\right) ^{2}=i\Leftrightarrow\left( z-2\right) ^{2}=i\left( z-1\right) ^{2}\Leftrightarrow\left( 1-i\right) z^{2}+\left( 2i-4\right) z+4-i=0 \] On pose alors $z=\frac{3}{2}+iy,$ ce qui donne l'\'{e}quation : \[ \frac{1}{4}-iy-y^{2}+iy^{2}+y+\frac{3}{4}i-i=0 \] L'annulation des partie r\'{e}elle et imaginaire entra\^{i}ne que : \[ y^{2}-y-\frac{1}{4}=0 \] d'o\`{u} apr\`{e}s r\'{e}solution l'ensemble des solutions : \[ S=\left\{ \frac{3}{2}+i\left( \frac{1+\sqrt{2}}{2}\right) ,\frac{3}% {2}+i\left( \frac{1-\sqrt{2}}{2}\right) \right\} \] \medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} PROBLEME (\textit{10 points)}\\[0pt] \textbf{Partie A} \end{center} \begin{enumerate} \item $h^{\prime}\left( x\right) =\allowbreak\frac{x^{2}}{\left( 1+x\right) \left( x+2\right) ^{2}}\geqslant0,$ donc $h$ est croissante sur $[0;+\infty\lbrack$ et $h(0)=0.$ \item On en d\'{e}duit que pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul, $h\left( x\right) \geqslant0,$ d'o\`{u} l'in\'{e}galit\'{e} \[ {{\frac{2x}{x+2}\leqslant\ln(1+x)}}% \] \item C et $\Gamma$ admettent en O une m\^{e}me tangente D d'\'{e}quation $y=x.$ \end{enumerate} \begin{center} \fig{0.5}{fig6.eps}% \end{center} \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} \begin{enumerate} \item Pour tout $x$ de $[0;+\infty\lbrack$ , $f_{1}^{\prime}(x)=\frac {-x}{1+x}\leqslant0,$ donc $f_{1}$ est d\'{e}croissante sur cet intervalle. \item Par factorisation : \[ f_{1}\left( x\right) =\left( x+1\right) \left( \frac{\ln\left( 1+x\right) }{1+x}-\frac{x}{1+x}\right) \] Or $\lim_{X\rightarrow+\infty}\frac{\ln X}{X}=0,$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{1+x}=1,$ donc $\lim_{x\rightarrow+\infty}f_{1}\left( x\right) =-\infty.$ De plus, $f_{1}\left( 0\right) =0$. \item Pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul, $f_{1}\left( x\right) \leqslant0,$ ce qui entra\^{i}ne bien que : \[ {\ln(1+x)\leqslant x}% \] \item Remarquons que si $k\geqslant1$, alors $x\leqslant kx.$ L'in\'{e}% galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente fournit alors le r\'{e}sultat. \item $f_{k}^{\prime}\left( x\right) =\frac{1-k-kx}{1+x}.$ Cette d\'{e}riv\'{e}e s'annule si et seulement si \[ 1-k-kx=0\Longleftrightarrow x=\frac{1-k}{k}\text{ }\left( k\neq0\right) \] Le signe de $f_{k}^{\prime}\left( x\right) $ est celui de $\left( 1-k-kx\right) $ car $1+x>0$ pour $x\in\mathbb{R}_{+}.$ Cette fonction affine change de signe pour $\frac{1-k}{k},$ qui appartient \`{a} $\mathbb{R}_{+}.$ La fonction $f_{k}$ est donc strictement croissante sur $\left[ 0,\frac {1-k}{k}\right] ,$ et strictement d\'{e}croissante sur $\left[ \frac{1-k}% {k},+\infty\right[ .$ On remarque alors que $f_{k}\left( \frac{1-k}% {k}\right) >0$ d'apr\`{e}s la stricte croissance de la fonction $f_{k}$ sur $\left[ 0,\frac{1-k}{k}\right] ,$ ce qui prouve que dans ce cas l'in\'{e}galit\'{e} \[ \ln\left( 1+x\right) \leqslant kx \] n'est pas toujours v\'{e}rifi\'{e}e pour tout $x$ de $\mathbb{R}_{+}.$ \item Les valeurs de $k$ strictement positives telles que pour tout $x\geqslant0,\,f(x)\leqslant kx$ appartiennent donc \`{a} l'intervalle $\left[ 1,+\infty\right[ $ d'apr\`{e}s les questions pr\'{e}c\'{e}dentes. \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} \begin{enumerate} \item I$=\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx.=\allowbreak2\ln2-1.$\newline ${\text{J}% =\int_{0}^{1}\left( x-\ln(1+x)\right) dx}=\allowbreak\frac{3}{2}-2\ln 2$\newline ${\text{K}=\int_{0}^{1}\left( \ln(1+x)-\frac{2x}{x+2}\right) dx}=\allowbreak-2\ln2-3+4\ln3$.\newline La justification demand\'{e}e est \'{e}vidente si l'on remaque que : \[ {\frac{2x}{x+2}=}\frac{\left( 2x+4\right) -4}{x+2}={2-\frac{4}{2+x}}% \] Comme la droite D est situ\'{e}e au-dessus de la courbe C, on peut dire que J est l'aire comprise entre C, D et les droites verticales d'\'{e}quation $x=0$ et $x=1.$ De m\^{e}me, K est l'aire comprise entre C, $\Gamma$ et les droites verticales d'\'{e}quation $x=0$ et $x=1.$ \item \begin{enumerate} \item $u$ est par th\'{e}or\`{e}me de cours continue sur $\left] 0;1\right] .$ De plus, \[ \lim_{x\rightarrow0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1=u\left( 0\right) \] donc $u$ est continue en $0,$ donc continue sur $\left[ 0;1\right] .$ \item D'apr\`{e}s la partie A, pour tout $x$ de $\left] 0;+\infty\right[ $ : \[ \frac{2x}{x+2}\leqslant\ln\left( 1+x\right) \leqslant x\Longrightarrow \frac{2}{x+2}\leqslant\frac{\ln\left( 1+x\right) }{x}\leqslant 1\Longrightarrow\frac{2}{x+2}\leqslant u\left( x\right) \leqslant1 \] Cette in\'{e}galit\'{e} est aussi valable pour $x=0$ car $u\left( 0\right) =1.$ Donc pour tout $x$ de $\left[ 0;1\right] ,$ on a : \[ \frac{2}{x+2}\leqslant u\left( x\right) \leqslant1\Longrightarrow\int _{0}^{1}\frac{2}{x+2}dx\leqslant\int_{0}^{1}u\left( x\right) \,dx\leqslant \int_{0}^{1}1\,dx \] puisque $0\leqslant1.$ On en d\'{e}duit bien l'encadrement cherch\'{e}. Le calcul des int\'{e}grales donne l'encadrement : \[ 2\ln3-2\ln2\leqslant L\leqslant1. \] Une valeur approch\'{e}e de L \`{a} $10^{-1}$ pr\`{e}s est donc par exemple $0,9.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Exercices} \subsection{Correction de l'exercice \ref{exo_pondichery_97}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Il s'agit de r\'epartir les 4 places inoccup\'ees sur les 32 places possibles. On choisit donc une partie de 4 \'el\'ements dans un ensemble en comportant 32, donc il y a $C_{32}^{4}=35960$ r\'epartitions possibles. \item On suppose bien s\^{u}r que les \'{e}l\`{e}ves se r\'{e}partissent de mani\`{e}re \'{e}quiprobable sur les places. La probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement A est donc donn\'{e}e par le nombre de cas favorables \`{a} la r\'{e}alisation de A sur le nombre de cas possibles. Le nombre de cas possibles correspond au nombre de mani\`{e}res dont il est possible de r\'{e}partir 28 \'{e}l\`{e}ves sur 32 places; soit $C_{32}^{28}$. Le nombre de cas favorables correspond \`{a} la r\'{e}partition des 20 \'{e}l\`{e}ves qui restent sur les 24 places inocup\'{e}es, soit $C_{24}^{20}$. La probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement A est donc de $\dfrac{C_{24}^{20}% }{C_{32}^{28}}\simeq0,3.$\newline L'\'{e}v\`{e}nement B est r\'{e}alis\'{e} si on r\'{e}partit 14 \'{e}l\`{e}ves parmi les 16 places situ\'{e}es de part et d'autre de l'all\'{e}e centrale. La probabilit\'{e} cherch\'{e}e est donc \'{e}gale \`{a} $\dfrac{C_{16}^{14}\times C_{16}^{14}}{C_{32}^{28}}\simeq0,4.$ \end{enumerate} \item La variable al\'eatoire $X,$ \'egale au '' nombre de places inocup\'ees au rang R4 '', peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 ou 4, car il y au plus quatre places inocup\'ees au rang R4. \begin{enumerate} \item La probabilit\'{e} qu'il n'y ait pas de place inocup\'{e}e au rang R4 est $\dfrac{C_{24}^{4}}{C_{32}^{4}}$. En effet, les cas possibles correspondent \`{a} r\'{e}partir les 4 places inocup\'{e}es parmi les 32 places possibles, tandis que les cas favorables correspondent au choix des 4 places parmi les 24 qui ne sont pas situ\'{e}es au rang R4.\newline La probabilit\'{e} qu'il y ait exactement une place inocup\'{e}e au rang R4 est donn\'{e}e par $\dfrac{C_{8}^{1}\times C_{24}^{3}}{C_{32}^{4}}$. Les cas favorables consistent \`{a} choisir une place inocup\'{e}e parmi les 8 du rang R4, et les trois autres parmi les 24 qui ne sont pas situ\'{e}es au rang R4. Par le m\^{e}me raisonnement, on peut dresser le tableau r\'{e}capitulant la loi de probabilit\'{e} de $X$ : \[% \begin{tabular} [c]{|l|l|l|l|}\hline $x_{i}$ & $0$ & $1$ & $2$\\\hline $p\left( X=x\right) $ & $\dfrac{C_{24}^{4}}{C_{32}^{4}}=\dfrac{5313}{17980}$% & $\dfrac{C_{8}^{1}\times C_{24}^{3}}{C_{32}^{4}}=\dfrac{2024}{4495}$ & $\dfrac{C_{8}^{2}\times C_{24}^{2}}{C_{32}^{4}}=\dfrac{966}{4495}$\\\hline $x_{i}$ & $3$ & $4$ & \\\hline $p\left( X=x\right) $ & $\dfrac{C_{8}^{3}\times C_{24}^{1}}{C_{32}^{4}% }=\dfrac{168}{4495}$ & $\dfrac{C_{8}^{4}}{C_{32}^{4}}=\dfrac{7}{3596}$ & \\\hline \end{tabular} \] \item La formule du cours permet de trouver que l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de $X$ vaut $1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Correction de l'exercice \ref{exo_guadeloupe_96}} 1. (a) Monsieur Martin peut prendre 0, 1, 2 ou 3 cravates \`{a} motifs. Le tirage \'{e}tant simultan\'{e} sans remise et \'{e}quiprobable, on peut appliquer les formules de cours, d'o\`{u} la loi de probabilit\'{e} de $X$ : \[% \begin{tabular} [c]{|c|c|c|c|c|}\hline Valeurs de $X$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$\\\hline $p\left( X=x\right) $ & $\dfrac{C_{3}^{3}\times C_{7}^{0}}{C_{10}^{3}% }=\allowbreak\dfrac{1}{120}$ & $\dfrac{C_{3}^{2}\times C_{7}^{1}}{C_{10}^{3}% }=\allowbreak\dfrac{7}{40}$ & $\dfrac{C_{3}^{1}\times C_{7}^{2}}{C_{10}^{3}% }=\allowbreak\dfrac{21}{40}$ & $\dfrac{C_{3}^{0}\times C_{7}^{3}}{C_{10}^{3}% }=\allowbreak\frac{7}{24}$\\\hline \end{tabular} \] (b) On trouve que $E\left( X\right) =\allowbreak\frac{21}{10}.$\newline 2. (a) G et D sont deux \'{e}v\`{e}nements incompatibles, dont la r\'{e}union donne l'univers. En appliquant la formule des probabilit\'{e}s totales, on a : \[ p\left( \text{M}\right) =p\left( \text{M}\cap\text{G}\right) +p\left( \text{M}\cap\text{D}\right) =p\left( \text{G}\right) \,p\left( \text{M/G}\right) +p\left( \text{D}\right) \,p\left( \text{M/D}\right) \] Le choix du c\^{o}t\'{e} de l'armoire \'{e}tant \'{e}quiprobable, on a $p\left( \text{G}\right) =p\left( \text{D}\right) =\frac{1}{2}.$ De plus, $p\left( \text{M/G}\right) =\frac{7}{10},$ car il s'agit de choisir une cravate \`{a} motifs parmi les 7 possibles dans un ensemble qui en contient 10$.$ De m\^{e}me, $p\left( \text{M/D}\right) =\frac{5}{7}.$ On trouve donc que \[ p\left( \text{M}\right) =\frac{1}{2}\times\frac{7}{10}+\frac{1}{2}% \times\frac{5}{7}=\frac{99}{140}\simeq0,\allowbreak707 \] (b) D'apr\`{e}s les formules du cours, on a : \[ p\left( \text{G/M}\right) =\frac{p\left( \text{G}\cap\text{M}\right) }{p\left( \text{M}\right) }=\frac{\frac{1}{2}\times\frac{7}{10}}{\frac {99}{140}}=\frac{49}{99}\simeq0,\,\allowbreak495 \] 3. (a) La probabilit\'{e} que Monsieur Martin prenne une cravate \`{a} motifs est de $p\left( \text{M}\right) =\frac{99}{140},$ et la probabilit\'{e} qu'il prenne une cravate unie est de $p\left( \text{U}\right) =\frac {41}{140}.$ Il n'y a donc que 2 issues possibles, et chaque tirage est ind\'{e}pendant du pr\'{e}c\'{e}dent. On reconnait un sch\'{e}ma de Bernouilli. En utilisant l'\'{e}v\`{e}nement contraire, on recherche donc la probabilit\'{e} que Monsieur Martin ne prenne pas de cravate \`{a} motifs pendant $n$ jours, qui est \'{e}gale \`{a} $\left( p\left( \text{U}\right) \right) ^{n}.$ Donc \[ p_{n}=1-\left( \frac{41}{140}\right) ^{n}% \] (b) $p_{n}\geqslant0,99\Rightarrow1-\left( \frac{41}{140}\right) ^{n}\leqslant0,99\Rightarrow0,0\,\allowbreak1\leqslant\left( \frac{41}% {140}\right) ^{n}\Rightarrow n\geqslant\frac{\ln\left( 0,01\right) }% {\ln41-\ln140}\simeq3,\allowbreak75.$ La plus petite valeur possible pour $n$ est donc \'{e}gale \`{a} $4.$ \subsection{Correction de l'exercice \ref{exo_groupe4_94}}% %TCIMACRO{\TeXButton{begin enumerate}{\begin{enumerate}}}% %BeginExpansion \begin{enumerate}% %EndExpansion %TCIMACRO{\TeXButton{item}{\item}}% %BeginExpansion \item %EndExpansion On trouve que $a=-1+i=\sqrt{2}e^{i\frac{3\pi}{4}},$ $c=3\left( 1+i\right) =3\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $b=2=2e^{i0}.$% %TCIMACRO{\TeXButton{item}{\item}}% %BeginExpansion \item %EndExpansion $AB=\left| b-a\right| =\sqrt{10},$ $AC=2\sqrt{5}$ et $BC=\sqrt{10}.$ Le th\'{e}or\`{e}me de Pythagore permet de d\'{e}montrer que le triangle est aussi rectangle en $B.$% %TCIMACRO{\TeXButton{item}{\item}}% %BeginExpansion \item %EndExpansion (a) $a^{\prime}=f\left( -1+i\right) =-1-4i,$ $b^{\prime}=f\left( 2\right) =1+2i$ et enfin $c^{\prime}=f\left( 3+3i\right) =\allowbreak-5+4i.$ On trouve de m\^{e}me que $A^{\prime}B^{\prime}=B^{\prime}C^{\prime}=2\sqrt{10},$ donc que le triangle $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ est isoc\`{e}le. Comme $A^{\prime}C^{\prime}=4\sqrt{5},$ ce triangle est aussi rectangle en $B^{\prime}.$\newline (b)$W=2i=2e^{i\frac{\pi}{2}}$ \begin{center} \fig{0.5}{fig5.eps}% \end{center} (c) $\dfrac{B^{\prime}C^{\prime}}{BC}=\left| 2e^{i\frac{\pi}{2}}\right| =2$ \newline et $\left( \overrightarrow{BC},\overrightarrow{B^{\prime}C^{\prime}% }\right) =\arg\left( 2e^{i\frac{\pi}{2}}\right) =\frac{\pi}{2},$ donc les droites $\left( BC\right) $ et $\left( B^{\prime}C^{\prime}\right) $ sont orthogonales.% \end{enumerate}% \section{Probl\`emes} \subsection{Correction du probl\`eme \ref{pb_sportifs_96}}% \[ \text{PARTIE A}% \]% \noindent 1. Pour tout $x$ de $\left] 0;+\infty\right[ $, on a : \[ p\left( x\right) =e^{-x}\ln x\quad p^{\prime}\left( x\right) =\frac {e^{-x}\left( 1-x\ln x\right) }{x}\quad p^{\prime\prime}\left( x\right) =\frac{e^{-x}\left( -1-2x+x^{2}\ln x\right) }{x^{2}}% \] Il suffit alors de v\'{e}rifier que pour tout $x$ de $\left] 0;+\infty \right[ $, on a : \[ p^{\prime\prime}\left( x\right) +3p^{\prime}\left( x\right) +2p\left( x\right) =\frac{x-1}{x^{2}}e^{-x}\qquad\left( 3\right) \] pour v\'{e}rifier que $p$ est bien une solution particuli\`{e}re de l'\'{e}quation $\left( 1\right) .$\newline 2. Une fonction $f$, d\'{e}finie sur $\left] 0;+\infty\right[ $ est solution de l'\'{e}quation diff\'{e}% rentielle $\left( 1\right) $ si et seulement si elle v\'{e}rifie pour tout $x$ de $\left] 0;+\infty\right[ $ : \[ f^{\prime\prime}\left( x\right) +3f^{\prime}\left( x\right) +2f\left( x\right) =\frac{x-1}{x^{2}}e^{-x}% \] Par soustraction membre \`{a} membre avec l'\'{e}galit\'{e} $\left( 3\right) $, l'\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente \'{e}quivaut \`{a} : \[% \begin{array} [c]{c}% f^{\prime\prime}\left( x\right) +3f^{\prime}\left( x\right) +2f\left( x\right) -p^{\prime\prime}\left( x\right) -3p^{\prime}\left( x\right) -2p\left( x\right) =0\\ \Leftrightarrow\left( f-p\right) ^{\prime\prime}\left( x\right) +3\left( f-p\right) ^{\prime}\left( x\right) +2\left( f-p\right) \left( x\right) =0 \end{array} \] Ce qui \'{e}quivaut au fait que la fonction $h=f-p$ est une solution de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left( 2\right) $.\newline 3. Avec les formules de cours, on trouve que les solutions de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left( 2\right) $ sont les fonctions $h$ d\'{e}finies par \[ h:x\mapsto\lambda\,e^{-x}+\mu\,e^{-2x}% \] o\`{u} $\lambda$ et $\mu$ sont deux constantes r\'{e}elles quelconques.\newline 4. D'apr\`{e}s les questions pr\'{e}c\'{e}dentes, l'ensemble des solutions de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle $\left( 1\right) $ est constitu\'{e} par les fonctions $h+p$, c'est \`{a} dire que cet ensemble de solutions est constitu\'{e} des fonctions d\'{e}finies sur $\left] 0;+\infty\right[ $ par : \[ x\mapsto\lambda\,e^{-x}+\mu\,e^{-2x}+e^{-x}\ln x \]% \[ \text{PARTIE B}% \] \textbf{I) Etude d'une fonction auxiliaire}% %TCIMACRO{\TeXButton{no indent}{\noindent}}% %BeginExpansion \noindent %EndExpansion 1. $\lim_{x\rightarrow0^{+}}g\left( x\right) =+\infty$ car $\lim _{x\rightarrow0^{+}}\left( -\ln x\right) =+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$. De m\^{e}me, $\lim_{x\rightarrow+\infty}g\left( x\right) =-\infty$ car $\lim_{x\rightarrow+\infty}\ln x=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{x}=0.$\newline 2. Pour tout $x$ de $\left] 0;+\infty\right[ $ on a \[ g^{\prime}\left( x\right) =\frac{-1-x}{x^{2}}% \] Le signe de $g^{\prime}\left( x\right) $ est celui de $\left( -1-x\right) $, d'o\`{u} le tableau de variation de $g$ : \[% \begin{tabular} [c]{l||lp{1cm}l}% $x$ & $0$ & & $+\infty$\\\hline $g^{\prime}\left( x\right) $ & & \multicolumn{1}{c}{$+$} & \\\hline & $+\infty$ & \multicolumn{1}{c}{} & \\ $g\left( x\right) $ & & \multicolumn{1}{c}{$\searrow$} & \\ & & \multicolumn{1}{c}{} & $-\infty$% \end{tabular} \] 3. La fonction $g$ est continue et strictement d\'{e}croissante sur $\left] 0;+\infty\right[ $. Elle r\'{e}alise donc une bijection de $\left] 0;+\infty\right[ $ sur $\left] -\infty;+\infty\right[ $. Comme $0$ appartient \`{a} l'intervalle image, l'\'{e}quation $g\left( x\right) =0$ admet une seule solution $\alpha$ dans $\left] 0;+\infty\right[ $. Comme de plus \[ g\left( 0,45\right) \simeq0,02>0\text{ et }g\left( 0,46\right) \simeq-0,05<0 \] on en d\'{e}duit ais\'{e}ment que cette solution $\alpha$ appartient \`{a} $\left[ 0,45;0,46\right] .$\newline 4. La fonction $g$ est d\'{e}croissante sur $\left] 0;\alpha\right[ $ avec $g\left( \alpha\right) =0$, donc $g\left( x\right) $ est positive sur cet intervalle. De m\^{e}me, on montre que $g\left( x\right) $ est n\'{e}gative sur $\left] \alpha;+\infty\right[ .$ \textbf{II) Etude de la fonction }$f$\textbf{.}% %TCIMACRO{\TeXButton{no indent}{\noindent}}% %BeginExpansion \noindent %EndExpansion 1. $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =-\infty.$ De plus, pour tout $x>0,$ on a : \[ f\left( x\right) =3e^{-x}+\frac{\ln x}{e^{x}}=3e^{-x}+\frac{\ln x}{x}% \times\frac{x}{e^{x}}\text{ }% \] Or $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\ln x}{x}=0$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^{x}}{x}=+\infty,$ donc $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac {x}{e^{x}}=0$ d'apr\`{e}s le cours. \newline Donc $\lim_{x\rightarrow+\infty }f\left( x\right) =0.$ On en d\'{e}duit que les droites d'\'{e}quations $x=0$ et $y=0$ sont asymptotes \`{a} $\mathcal{C}.$\newline 2. Pour tout $x>0,$ $f^{\prime}\left( x\right) =\allowbreak e^{-x}\left( -3-\ln x+\frac{1}{x}\right) =e^{-x}g\left( x\right) .$ Le signe de $f^{\prime }\left( x\right) $ est donc celui de $g\left( x\right) ,$ \'{e}tudi\'{e} pr\'{e}c\'{e}demment. Donc $f$ est croissante sur $\left] 0;\alpha\right[ $ et d\'{e}croissante sur $\left] \alpha,+\infty\right[ .$ On trouve que $f\left( \alpha\right) \simeq1,40$.\newline 3. $f\left( x\right) =0\Leftrightarrow3+\ln x=0\Leftrightarrow x=e^{-3},$ car $e^{-x}\neq0$ pour tout $x.$ Les coordonn\'{e}es du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses sont $\left( 0,e^{-3}\right) .$ 4. \begin{center} \fig{0.5}{fig4.eps}% \end{center} \textbf{III) Calcul d'aire}% \noindent 1. $I=\int_{0,25}^{\alpha}\ln x\,dx=\left[ x\ln x\right] _{0,25}^{\alpha }-\int_{0,25}^{\alpha}dx=\left[ x\ln x\right] _{0,25}^{\alpha}-\left[ x\right] _{0,25}^{\alpha}.$ On trouve que : \[ I=\alpha\left( -1+\ln\alpha\right) +\frac{\ln2}{2}+\frac{1}{4}% \] 2. (a) $J=\left[ -3x\right] _{0,25}^{\alpha}-I+\left[ \ln x\right] _{0,25}^{\alpha}=-2\alpha+\left( 1-\alpha\right) \ln\alpha+\frac{1}{2}% +\frac{3\ln2}{2}.$\newline (b) Puisque $g\left( \alpha\right) =0,$ on a $-3-\ln\alpha+\frac{1}{\alpha}=0,$ d'o\`{u} $\ln\alpha=-3+\frac{1}{\alpha}.$ En reportant dans l'expression de $J,$ on trouve bien que : \[ J=\alpha+\frac{1}{\alpha}-\frac{7}{2}+\frac{3}{2}% \] (c) La courbe $\mathcal{C}$ \'{e}tant situ\'{e}e au-dessus de l'axe des abscisses, et l'unit\'{e} d'aire valant $4$ $cm^{2},$ on a donc : \[ A=4\int_{0,25}^{\alpha}g\left( x\right) dx=4J=\left( 4\alpha+\frac {4}{\alpha}-14+6\ln2\right) \,cm^{2}% \] ce qui donne en valeur approch\'{e}e $A\simeq0,85$ $cm^{2}.$ \section{Sujets de concours} \subsection{ENI Annee 1998}% \[% \begin{tabular} [c]{lllllllllllllllll}% 1. & B & & 6. & E & & 11. & C & & 16. & C & & 21. & B & & 26. & B\\ 2. & C & & 7. & A & & 12. & E & & 17. & D & & 22. & A & & 27. & D\\ 3. & D & & 8. & D & & 13. & B & & 18. & B & & 23. & E & & 28. & E\\ 4. & B & & 9. & D & & 14. & A & & 19. & A & & 24. & C & & 29. & D\\ 5. & C & & 10. & C & & 15. & B & & 20. & E & & 25. & A & & 30. & E \end{tabular} \]% %TCIMACRO{\TeXButton{Place Index Here}{\printindex %}}% %BeginExpansion %\printindex %EndExpansion \newpage \begin{center}% \[ {}% \] \vspace{2cm} \thispagestyle{empty}Ce livre a \'{e}t\'{e} enti\`{e}rement compos\'{e} gr\^{a}ce au logiciel \LaTeX{} \vspace{2cm} La r\'{e}alisation de cet ouvrage a \'{e}t\'{e} rendue possible gr\^{a}ce \`{a} : \[% \begin{tabular} [c]{c}% Michel Gosse\\ Jean-Pierre Prigent\\ Jean-Claude Renaud\\ Christian Ballion\\ Jean-Michel Sarlat\\ Jean-Louis Coquin \end{tabular} \] et au soutien moral de tous les autres... \vspace{1cm} Copyright Lyc\'{e}e Louis Armand 1998 \end{center} \end{document}