\documentclass[a4paper,12pt,dvips]{book} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage{palatino} \usepackage{makeidx} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage[french]{babel} \usepackage{geometry} \usepackage{fancybox} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{multicol} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb} \usepackage[colorlinks=true]{hyperref} \geometry{ hmargin=2.5cm, vmargin=1.5cm } \setcounter{tocdepth}{3} %\makeindex \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \fancyfoot{} \fancyhead[LO,RE]{\textbf{Annales du baccalaur\'eat S}} \fancyhead[RO]{\rightmark} \fancyhead[LE]{\leftmark} \fancyfoot[RO,LE]{\textbf{\thepage}} \fancyfoot[RE,LO]{Lyc\'ee Louis Armand} \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \fancypagestyle{plain}{ \fancyhead[L]{\textbf{Annales du baccalaur\'eat S}} \fancyhead[R]{\leftmark} \fancyfoot[R]{\textbf{\thepage}} \fancyfoot[L]{Lyc\'ee Louis Armand} \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} } \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}} \newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}} \def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}} % Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT) \def\figTR#1{} % Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes % suivantes jusqu'à la section 4 \usepackage[dvips]{epsfig} % == Figure en taille fixee par l'utilisateur \def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}} \def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}} % == Figure en taille reelle \def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}} \def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}} \begin{document} \tableofcontents \title{% \begin{minipage}{15cm} \begin{center} \Huge{\textbf{ANNALES DE MATH\'EMATIQUES}} \vskip 2cm \LARGE{TERMINALE S} \vskip 2cm \Large{Année scolaire 1998/1999} \vskip 4cm \end{center} \end{minipage} \author{ } \date{ } \begin{center} \fig{0.8}{flamme.eps} \end{center} } \maketitle \renewcommand{\chaptername}{} \renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}% \chapter{Sujets du baccalaur\'eat} \section{Sujet national 1998\label{bac98}} \begin{center} EXERCICE 1 (\textit{5 points)}\\[0pt]\textbf{Commun \`{a} tous les candidats}\\[0pt] \end{center} Dans tout l'exercice, A et B \'{e}tant deux \'{e}v\'{e}nements, P(A) d\'{e}signe la probabilit\'{e} de A ; \textit{p}(B/A) la probabilit\'{e} de B sachant que A est r\'{e}alis\'{e}. \begin{enumerate} \item Le nombre de clients se pr\'{e}sentant en cinq minutes dans une station-service est une variable al\'{e}atoire X dont on donne la loi de probabilit\'{e} : \index{Loi!de probabilit\'{e}} $p_{i}=\text{P(X}=i\text{)}$\newline \begin{tabular} [c]{|c|ccc|}\hline $i$ & 0 & 1 & 2\\\hline $p_{i}$ & 0,1 & 0,5 & 0,4\\\hline \end{tabular} \begin{enumerate} \item D\'{e}finir et repr\'{e}senter graphiquement la fonction de r\'{e}partition de X. \index{Fonction!de r\'{e}partition} \item Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de X. \index{Esp\'{e}rance} \end{enumerate} \item Dans cette station-service, la probabilit\'{e} qu'un client ach\`{e}te de l'essence est 0,7 ; celle qu'il ach\`{e}te du gazole est 0,3. Son choix est ind\'{e}pendant de celui des autres clients. On consid\`{e}re les \'{e}% v\'{e}nements suivants :\newline $\text{C}_{1}$ : \guillemotleft\ en cinq minutes, un seul client se pr\'{e}sente \guillemotright\ ;\newline $\text{C}_{2}$ : \guillemotleft\ en cinq minutes, deux clients se pr\'{e}sentent \guillemotright\ ;\newline E\ \ : \guillemotleft\ en cinq minutes, un seul client ach\`{e}te de l'essence \guillemotright\ ; \begin{enumerate} \item Calculer P($\text{C}_{1}\cap\text{E}$). \item Montrer que $\text{P(E}/\text{C}_{2})=0,42$ et calculer P($\text{C}% _{2}\cap\text{E}$). \item En d\'{e}duire la probabilit\'{e} qu'en cinq minutes un seul client ach\`{e}te de l'essence. \end{enumerate} \item Soit Y la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes ; d\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de Y.\medskip \end{enumerate} \begin{center} EXERCICE 2 (\textit{5 points)}\\[0pt]\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}}\\[0pt] \end{center} Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonorm\'{e} direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$} .\newline \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (1) : \index{Equation!complexe} \[ \frac{z-2}{z-1}=z \] On donnera le module et un argument de chaque solution. \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (2) : \[ \frac{z-2}{z-1}=i \] On donnera la solution sous forme alg\'{e}brique. \item Soit M, A et B les points d'affixes respectives : $z$, 1 et 2.\newline On suppose que M est distinct des points A et B. \index{Module} \index{Argument} \begin{enumerate} \item Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et un argument de ${\displaystyle\frac{z-2}{z-1}}$. \item Retrouver g\'{e}om\'{e}triquement la solution de l'\'{e}quation (2). \index{Interpr\'{e}tation!g\'{e}om\'{e}trique} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer, \`{a} l'aide d'une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique, que toute solution de l'\'{e}quation dans~$\mathbb{C}$~: \[ \left( \frac{z-2}{z-1}\right) ^{n}=i \] o\`{u} $n$ d\'{e}signe un entier naturel non nul donn\'{e}, a pour partie r\'{e}elle ${\displaystyle\frac{3}{2}}$. \item R\'{e}soudre alors dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (3) : \[ \left( \frac{z-2}{z-1}\right) ^{2}=i \] On cherchera les solutions sous forme alg\'{e}brique.\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} PROBLEME (\textit{10 points)}\\[0pt] \end{center} Les trac\'{e}s de courbes seront faits dans un plan rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} \ (unit\'{e} : 2 cm). On rappelle qu'une fonction $f$ est major\'{e}e par une fonction $g$ (ce qui signifie aussi que $g$ est minor\'{e}e par $f$) sur un intervalle I si et seulement si, pour tout $x$ appartenant \`{a} I, $f(x)\leqslant g(x)$% .\newline \index{Fonction!major\'{e}e} \begin{center} \textbf{Partie A} \end{center} Soit $f$ et $g$ les fonctions d\'{e}finies sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par ${\displaystyle f(x)=\ln(1+x)}$ et ${\displaystyle g(x)=\frac{2x}{x+2}}$ ; on notera C la repr\'{e}sentation graphique de $f$ et $\Gamma$ celle de $g$. On se propose de d\'{e}montrer que $f$ est minor\'{e}e par $g$ sur $[0;+\infty\lbrack$. \index{Fonction!minor\'{e}e} Soit $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par $h(x)=f(x)-g(x)$. \begin{enumerate} \item Etudier le sens de variation de $h$ sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ ; calculer $h(0)$. (L'\'{e}tude de la limite de $h$ en $+\infty$ n'est pas demand\'{e}e.) \item En d\'{e}duire que pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul, {(1)\hspace{2 cm} ${\displaystyle\frac{2x}{x+2}\leqslant\ln(1+x)}$} \item Construire dans le m\^{e}me rep\`{e}re les courbes C et $\Gamma$ et montrer qu'elles admettent en O une m\^{e}me tangente D que l'on tracera. \index{Tangente}(On justifiera rapidement le trac\'{e} de ces courbes). \end{enumerate} \medskip \begin{center} \textbf{Partie B} \end{center} $k$ d\'{e}signant un r\'{e}el strictement positif, on se propose de d\'{e}terminer toutes les fonctions lin\'{e}aires $x\mapsto kx$, majorant la fonction : $f:x\mapsto\ln(1+x)$ sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$. Soit $f_{k}$ la fonction d\'{e}finie sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par $f_{k}(x)=\ln(1+x)-kx$. \begin{enumerate} \item \'{E}tudier le sens de variation de $f_{1}$ d\'{e}finie sur $\lbrack0;+\infty\lbrack$ par : \[ f_{1}(x)=\ln(1+x)-x \] \item \'{E}tudier la limite de $f_{1}$ en $+\infty$ et donner la valeur de $f_{1}$ en $0$. \item Montrer que pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul : {(2)\hspace{2 cm} ${\displaystyle\ln(1+x)\leqslant x}$}. \item En d\'{e}duire que si $k\geqslant1$, alors : pour tout $x\geqslant0, f(x)\leqslant kx$ \item Le r\'{e}el $k$ v\'{e}rifie les conditions : $0<k<1$.\newline Montrer que la d\'{e}riv\'{e}e de $f_{k}$ s'annule pour ${\displaystyle x=\frac {1-k}{k}}$ et \'{e}tudier le sens de variation de $f_{k}$. (L'\'{e}tude de la limite de $f_{k}$ en $+\infty$ n'est pas demand\'{e}e.) \item En d\'{e}duire les valeurs de $k$ strictement positives telles que pour tout $x\geqslant0,$% \[ f(x)\leqslant kx \] \medskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C} \end{center} \begin{enumerate} \item A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, calculer : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ \text{I}=\int_{0}^{1}\ln(1+x)dx. \] (On remarquera \'{e}ventuellement que : ${\displaystyle\frac{x}{x+2}% =1-\frac{1}{1+x}}$).\newline En d\'{e}duire le calcul de ${\displaystyle \text{J}=\int_{0}^{1}\left( x-\ln(1+x)\right) dx}$ \ puis de \ ${\displaystyle\text{K}=\int_{0}^{1}\left( \ln(1+x)-\frac{2x}{x+2}\right) dx}$.\newline Pour le calcul de K on pourra v\'{e}rifier que ${\displaystyle \frac{2x}{x+2}=2-\frac{4}{2+x}}$.\newline Interpr\'{e}ter g\'{e}% om\'{e}triquement les valeurs des int\'{e}grales J et K en utilisant les courbes C, $\Gamma$ et la droite D obtenues dans la partie A. \index{Aire} \item Soit $u$ la fonction d\'{e}finie sur $\lbrack0;1\rbrack$ de la fa\c {c}on suivante : \[ u(0)=1 \text{\quad et si\ } x\neq0,\quad u(x)=\frac{\ln(1+x)}{x}. \] \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que la fonction $u$ est continue sur $\lbrack0;1\rbrack$. \item On pose : \[ \text{L}=\int_{0}^{1}u(x)dx. \] En utilisant les in\'{e}galit\'{e}s (1) et (2) obtenues dans les parties A et B, montrer que : \[ \int_{0}^{1}\frac{2}{x+2}dx\leqslant L\leqslant1. \] En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e de L \`{a} $10^{-1}$ pr\`{e}s. \index{Encadrement} \index{Valeur!approch\'{e}e} \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Sujet exp\'erimental 1998} \begin{center} \textbf{Premi\`{e}re partie avec calculatrice \\[0pt]Probl\`{e}me (11 points)} \end{center} \textbf{Avertissement : l'usage d'une calculatrice n'est pas n\'{e}cessaire pour traiter la partie C.} On consid\`{e}re la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ par \[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^{2}% \] on note $f^{\prime}$ sa fonction d\'{e}riv\'{e}e et $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x$.\newline Dans un rep\`{e}re orthogonal donn\'{e}, on appelle $\Gamma$ la repr\'{e}sentation graphique de $f$, $\Gamma^{\prime}$ la repr\'{e}sentation graphique de $f^{\prime}$, et $\Delta$ celle de $g$.\newline \index{Fonction!logarithme} Voir figure 1 ces trois courbes sur l'\'{e}cran d'une calculatrice pour $x$ compris entre $0$ et $5$. \textbf{A - Etude de $f$} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)$. \item Montrer que \[ f^{\prime}(x)=(1-\frac{2}{x})(1+\ln x) \] \item En d\'{e}duire le sens de variation de $f$. \item Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=0$ admet trois solutions. \newline Donner un encadrement de longueur $10^{-2}$ pour les deux solutions non enti\`{e}res. \end{enumerate} \textbf{B - Intersection des repr\'{e}sentations graphiques de $f$ et de $g$} \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie et compl\'{e}ter le tableau des valeurs suivant en donnant les r\'{e}sultats \`{a} $10^{-2}$ pr\`{e}s.\newline \begin{tabular} [c]{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Point de $\Gamma$ & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $E$ & $F$ & $G$ & $H$ & $I$ & $J$\\\hline $x$ & $0,05$ & $0,25$ & $e^{-1}$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$\\\hline $f(x)$ & & & & & & & & & & \\\hline \end{tabular} \item On veut d\'{e}terminer si la courbe repr\'{e}sentative de $f$ coupe la droite $\Delta$ pour\newline $0<x<7$. Que peut-on, \`{a} l'aide de sa calculatrice, conjecturer ? \newline Pr\'{e}ciser les \'{e}l\'{e}ments qui permettent de faire cette conjecture. (noter le type de calculatrice utilis\'{e}e). \index{Calculatrice} \item On s'int\'{e}resse aux solutions de l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$ appartenant \`{a} l'intervalle $[7 ; +\infty[$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f^{\prime}$ est une fonction croissante sur $[7 ; +\infty[$. \item En d\'{e}duire que $f^{\prime}(x)>2,1$ pour tout $x$ appartenant \`{a} $[7 ; +\infty[$. \item Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$ admet une solution unique sur $[7;+\infty\lbrack$. (on pourra utiliser le sens de variation de la fonction $h$ d\'{e}finie sur $[7;+\infty\lbrack$ par : $h(x)=f(x)-2x$ ). \end{enumerate} \textbf{Dans la suite, on notera $\alpha$ cette solution.} \item Mise en \'{e}vidence de $\alpha$ sur un graphique. \newline Choisir un nombre entier $a$ tel que $a<\alpha<a+5$. \newline Sur papier millim\'{e}% tr\'{e}, on trace un carr\'{e} de $10$ $cm$ de c\^{o}t\'{e}.\newline Le sommet inf\'{e}rieur gauche repr\'{e}sentera le point de coordonn\'{e}es $(a;2a)$ et le sommet diagonalement oppos\'{e} le point de coordonn\'{e}es $(a+5;2(a+5))$% .\newline Tracer dans ce carr\'{e} $\Gamma$ et $\Delta$. \newline Mettre le nombre $\alpha$ en \'{e}vidence sur le graphique et en donner une valeur approch\'{e}e. \end{enumerate} \textbf{C - Calcul de probabilit\'{e}. \index{Probabilit\'{e}}} Dans cette partie, on se r\'{e}f\`{e}re au tableau des valeurs construit dans la partie B.1) \newline Les trois questions sont ind\'{e}pendantes. \newline Pour chacune des trois questions, les choix effectu\'{e}s sont \'{e}quiprobables. \begin{enumerate} \item On place les $4$ points $A$, $C$, $H$ et $J$ dans un rep\`{e}re, et on les relie \`{a} l'aide de $3$ segments formant une ligne bris\'{e}e continue (par exemple la ligne bris\'{e}e $AHJC$). \begin{enumerate} \item Combien de lignes bris\'{e}es diff\'{e}rentes peut-on former ainsi ?\newline ($AHJC$ et $CJHA$ repr\'{e}sentent la m\^{e}me ligne bris\'{e}e) \item On choisit l'une de ces lignes bris\'{e}es. \newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ? \end{enumerate} \item On choisit cinq points parmi les dix du tableau ; on les relie suivant l'ordre de leurs abscisses croissantes, \`{a} l'aide de segments formant une ligne bris\'{e}e.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir une ligne qui ne coupe pas l'axe des abscisses ? (le point $D$ peut \^{e}tre choisi). \item On choisit cinq points cons\'{e}cutifs parmi les dix (par exemple $BCDEF$). \begin{enumerate} \item Combien y-a-t-il de possibilit\'{e}s ? \item On \'{e}change l'abscisse et l'ordonn\'{e}e de chacun de ces cinq points.\newline Les nouveaux points ainsi obtenus sont joints \`{a} l'aide de segments dans l'ordre de leurs ordonn\'{e}es croissantes.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Figure 1 (courbes $\Gamma$, $\Gamma^{\prime}$ et $\Delta$) :} \begin{center} \fig{0.5}{fig2.eps}% \end{center} \textbf{Seconde partie sans calculatrice} \end{center} \textbf{Exercice 1 (4 points) } Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}$, par \[ f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}% \] et repr\'{e}sent\'{e}e dans le rep\`{e}re de la figure 1. \index{Fonction!exponentielle} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}_{+}$. \item Soit la suite $(U_{n})$ d\'{e}finie pour $n>0$ par : \index{Suite} \[ U_{n}=\int_{\ln(n)}^{\ln(n+1)}f(x)dx \] \begin{enumerate} \item Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$. Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$. \item Que repr\'{e}sente graphiquement le nombre $U_{n}$ ? \end{enumerate} \item Montrer que $\left( U_{n}\right) $ est une suite d\'{e}croissante positive.\newline Calculer la limite de cette suite. \item On pose $S_{n} = U_{1}+U_{2}+ ... +U_{n}$ \begin{enumerate} \item Calculer $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ et exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. \item D\'{e}terminer $\lim_{n \to+ \infty}S_{n} $. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Exercice 2 (5 points) }\newline Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re $(O;\vec{u};\vec{v})$ orthonorm\'{e} direct.\newline (Unit\'{e} graphique $4cm$).\newline On d\'{e}signe par $\theta$ un nombre r\'{e}el tel que $-\pi<\theta<\pi$.\newline On appelle $A$, $M$ et $N$ les points d'affixes respectives $1$, $e^{i\theta}$ et $1+e^{i\theta}$.\newline \index{Exponentielle!complexe}On d\'{e}signe par $(C)$ le cercle de centre $O $ et de rayon $1$, et par $(C^{\prime})$ le cercle de centre $A$ et de rayon $1$. \begin{enumerate} \item Tracer $(C)$ et $(C^{\prime})$, et placer $A$, $M$ et $N$ dans le cas ou $\theta=\frac{\pi}{6}$. \item Montrer que $N$ appartient \`{a} $(C^{\prime})$ et donner la nature du triangle $OANM$. D\'{e}terminer un argument de $1+e^{i\theta}$. \index{Argument} \item $u=1+e^{i\theta}$ avec $- \pi< \theta< \pi$. \begin{enumerate} \item Montrer que $u$ est solution dans $\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation : \[ z^{2}-(2+2\cos\theta)z + 2 + 2 \cos\theta= 0 \] En d\'{e}duire la seconde solution de cette \'{e}quation. \item Quelle sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation $z^{2}-3z+3=0$ ? \end{enumerate} \item On consid\`{e}re l'\'{e}quation $(E)$ : $z^{2}-az+a=0$ o\`{u} $a$ est un nombre r\'{e}el tel que $0<a\leqslant4$. On nomme $R$ le point d'affixe $a$, et $T$ le milieu de $[OR]$.\newline La perpendiculaire \`{a} l'axe r\'{e}el passant par $T$ coupe $(C^{\prime})$ en deux points $U$ et $U^{\prime}$.\newline Montrer que les affixes de $U$ et de $U^{\prime}$ sont les solutions de $(E) $. \index{Affixe} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Figure 1 (courbe repr\'{e}sentative de $f$) :}\\[0pt]% \begin{center} \fig{0.5}{fig3.eps}% \end{center} \end{center} \section{Guadeloupe 1998} \begin{center} EXERCICE I (4 points ) \end{center} Un jeu de dominos est fabriqu\'{e} avec les sept couleurs : \emph{violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge}. Un domino se compose de deux cases portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le m\^{e}me domino : c'est un double. \begin{enumerate} \item Montrer que le jeu comporte 28 dominos diff\'{e}rents. Les 28 dominos, indiscernables au toucher, sont mis dans un sac. \item On tire simultan\'{e}ment trois dominos du sac. \index{Tirage!simultan\'{e}}\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ? \item Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabili\-t\'{e} des \'{e}v\'{e}nements suivants : \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item J$_{2}$ : \guillemotleft\ Lejaune figure deux fois \guillemotright \item J$_{1}$ : \guillemotleft\ Le jaune figure une seule fois \guillemotright \item J : \guillemotleft\ Le jaune figure au moins une fois \guillemotright \end{enumerate} \item On effectue $n$ tirages successifs d'un domino, en notant \`{a} chaque tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tir\'{e} et de proc\'{e}der au tirage suivant ; les tirages sont ind\'{e}pen\-dants.\newline Calculer, en fonction de $n$, la probabilit\'{e} p$_{n}$, que J soit r\'{e}alis\'{e} au moins une fois. \newline Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle p$_{n}\geqslant 0,99.\medskip$ \end{enumerate} \begin{center} EXERCICE II (5 points ) \end{center} \textbf{Partie A} On consid\`{e}re le polyn\^{o}me $P$ de la variable complexe $z$ d\'{e}fini par : \index{Polyn\^{o}me!complexe} \[ P\left( z\right) =z^{4}+2\sqrt{3}z^{3}+8z^{2}+2\sqrt{3}z+7 \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $P\left( i\right) $ et $P\left( -i\right) .$ \item Montrer qu'il existe un polyn\^{o}me $Q$ du second degr\'{e}, que l'on d\'{e}terminera, tel que : \[ \text{Pour tout }z\in\mathbb{C},\text{ }P\left( z\right) =\left( z^{2}+1\right) Q\left( z\right) \] \end{enumerate} \item R\'{e}soudre dans l'ensemble des nombres complexes l'\'{e}quation $P\left( z\right) =0.$ \end{enumerate} \textbf{Partie B} Le plan est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ (unit\'{e} graphique $2$ cm). \begin{enumerate} \item Placer dans ce rep\`{e}re les points $A,$ $B,$ $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_{A}=i$, $z_{B}=-i,$ $z_{C}=-\sqrt{3}$ et $z_{D}=-\sqrt{3}% -2i$.\newline Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diam\`{e}tre $\left[ CD\right] .$ \index{Affixe} \item Montrer qu'il existe une rotation de centre $O$ qui transforme $C$ en $D.$ Calculer une valeur enti\`{e}re approch\'{e}e \`{a} un degr\'{e} pr\`{e}s d'une mesure de l'angle de cette rotation. \index{Rotation} \item Calculer, sous forme alg\'{e}brique, puis sous forme trigonom\'{e}% trique, le rapport : \[ \frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}% \] Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et l'argument de ce rapport. \index{Module} \index{Argument}\medskip \end{enumerate} \begin{center} PROBLEME (11 points) \end{center} \textbf{Partie A : Etude de fonctions} On consid\`{e}re les fonctions $f_{1},$ $f_{2},$ $f_{3}$ d\'{e}finies sur $\mathbb{R}$ par : \[ f_{1}\left( x\right) =\left( x+1\right) e^{-x}\quad f_{2}\left( x\right) =-xe^{-x}\quad f_{3}\left( x\right) =\left( x-1\right) e^{-x}% \] On appelle $C_{1},$ $C_{2},$ $C_{3}$ leurs courbes repr\'{e}sentatives respectives dans un rep\`{e}re orthogonal \index{Fonction!exponentielle} $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ du plan. Les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ sont donn\'{e}es sur le graphique ci-dessous.% \begin{center} \fig{0.5}{fig7.eps} \end{center} \begin{enumerate} \item Etude de la fonction $f_{1}.$ \begin{enumerate} \item Calculer la d\'{e}riv\'{e}e $f_{1}^{\prime}$ de $f_{1}$ et \'{e}tudier son signe. En d\'{e}duire les variations de $f_{1}.$ \item D\'{e}terminer les limites de $f_{1}$ en $+\infty,$ en $-\infty.$ \item Dresser le tableau de variation de $f_{1}.$ \end{enumerate} \item Etude graphique. \begin{enumerate} \item Identifier sur la figure donn\'{e}e les courbes $C_{2}$ et $C_{3}$ et placer sur le dessin le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath }\right) .$ \item Etudier la position relative des courbes $C_{1}$ et $C_{3}.$ \item Tracer $C_{1}$ dans le m\^{e}me rep\`{e}re que $C_{2}$ et $C_{3}$ sur la figure fournie. \end{enumerate} \item Etude d'\'{e}quations diff\'{e}rentielles. \index{Equation!diff\'{e}rentielle} \begin{enumerate} \item Montrer que $f_{1}$ est solution de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle : \[ \left( E_{1}\right) \quad y^{\prime}+y=e^{-x}% \] \item Montrer que $f_{1}$ est aussi solution de l'\'{e}quation diff\'{e}% rentielle : \[ \left( E_{2}\right) \quad y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0 \] \item D\'{e}terminer toutes les solutions de l'\'{e}quation diff\'{e}% rentielle $\left( E_{2}\right) .$ En d\'{e}duire que $f_{2}$ et $f_{3}$ sont aussi des solutions de $\left( E_{2}\right) .$ \item Parmi les solutions de $\left( E_{2}\right) ,$ quelles sont celles qui sont aussi solutions de $\left( E_{1}\right) $ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B : Etude d'aires li\'{e}es \`{a} }$C_{1}$\textbf{\ et }$C_{2}.$ Pour $n$ entier strictement positif, on appelle $M_{n}$ le point de $C_{3}$ d'abscisse $n\ln2.$ On pose : \[ f\left( x\right) =f_{1}\left( x\right) -f_{3}\left( x\right) \] pour tout $x$ r\'{e}el. \index{Calcul!d'aire} \begin{enumerate} \item Calculer, en unit\'{e}s d'aire, l'aire $U_{n}$ du domaine plan limit\'{e} par la courbe $C_{3},$ la courbe $C_{1}$ et les segments $\left[ M_{n},P_{n}\right] $ et $\left[ M_{n+1}P_{n+1}\right] $ pour $n>0.$ $P_{n}$ et $P_{n+1}$ sont les projections orthogonales respectives de $M_{n}$ et $M_{n+1}$ sur $\left( O;\vec{\imath}\right) .$ \item Calculer, en unit\'{e}s d'aire, l'aire $V_{n}$ du trap\`{e}ze $P_{n}M_{n}M_{n+1}P_{n+1}$ pour $n>0.$ Montrer que le rapport $\frac{V_{n}% }{U_{n}}$ est constant. \index{Trap\`{e}ze} \end{enumerate} \section{Polyn\'esie 1998} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)} \textbf{\\[0pt]} \end{center} Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3 boules rouges et deux boules noires.\newline On tire au hasard une boule de l'urne A : \begin{itemize} \item [$\bullet$]si elle est noire, on la place dans l'urne B, \item[$\bullet$] sinon, on l'\'{e}carte du jeu. \end{itemize} On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B.\newline On consid\`{e}re les \'{e}v\'{e}n\'{e}ments suivants : R$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de A est rouge \guilsinglright\guilsinglright N$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de A est noire \guilsinglright\guilsinglright R$_{2}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de B est rouge \guilsinglright\guilsinglright N$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de B est noire \guilsinglright\guilsinglright \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements ${R_{1}}$ et ${N_{1}}$. \index{Probabilit\'{e}} \item Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements \guilsinglleft \guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant R$_{1}$ \guilsinglright\guilsinglright\ et \guilsinglleft\guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant N$_{1}$ \guilsinglright \guilsinglright. En d\'{e}duire que la probabilit\'{e} de ${R_{2}}$ est de ${\displaystyle\frac{27}{50}}$. \item Calculer la probabilite de ${N_{2}}$. \end{enumerate} \item On r\'{e}p\`{e}te $n$ fois l'\'{e}preuve pr\'{e}c\'{e}dente (tirage d'une boule de A, suivie du tirage d'une boule de B dans les m\^{e}mes conditions initiales indiqu\'{e}es ci-dessus), en supposant les diff\'{e}% rentes \'{e}preuves ind\'{e}pendantes.\newline Quel nombre minimum d'essais doit-on effectuer pour que la probabilit\'{e} d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit sup\'{e}rieure \`{a} 0,99 ?\bigskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2}{\ ( 5 points)\medskip} \end{center} Le plan complexe est muni d'un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ ( unit\'{e} graphique 2 cm ). On note A le point d'affixe 1 et B le point \index{Affixe}d'affixe $3+2i$.\newline On appelle $f$ l'application qui, \`{a} tout point M distinct de A et d'affixe $z$, associe le point M' d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}finie par \index{Application!complexe} \[ {z^{\prime}=\frac{z-1+2i}{z-1}}% \] \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points O' et B', images respectives des points O et B par $f$. Placer les points A, O', B et B' dans le plan. \item \begin{enumerate} \item Calculer, pour tout complexe $z$ diff\'{e}rent de 1, le produit \[ \left( z^{\prime}-1\right) \left( z-1\right) \] \item En d\'{e}duire que, pour tout point M distinct de A, on a : \[ \text{AM}\times\text{AM'}=2\text{ et }\left( \overrightarrow{u}% ,\overrightarrow{\text{AM}}\right) +\left( \overrightarrow{u}% ,\overrightarrow{\text{AM'}}\right) \text{=}\frac{\pi}{2}+2k\pi ,\;k\in\mathbb{Z}% \] \end{enumerate} \item D\'{e}montrer que, si M appartient au cercle ($C$) de centre A passant par O, alors M' appartient \`{a} un cercle ($C^{\prime}$). En pr\'{e}ciser le centre et le rayon. \index{Cercle}Construire ($C$) et ($C^{\prime}$). \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer l'angle ${(\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow {\strut\text{AB}})}$. \index{Angle} \item D\'{e}montrer que, si M est un point autre que A de la demi-droite ($d $) d'origine A, passant par B, alors M' appartient \`{a} une demi-droite que l'on pr\'{e}cisera. \index{Demi-droite} \end{enumerate} \item On appelle P le point d'intersection du cercle ($C$) et de la demi-droite ($d$).\newline Placer son image P' sur la figure.\bigskip \end{enumerate} \begin{center} \vspace{0.5cm}\textbf{PROBLEME}{\ (10 points)}\\[0pt] \end{center} \textbf{Partie A : R\'{e}solution d'une \'{e}quation diff\'{e}rentielle \index{Equation!diff\'{e}rentielle}} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les fonctions d\'{e}finies sur $\mathbb{R}$ solutions de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle (E$_{1}$) :\newline \[ y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=0. \] (\textbf{Remarque :} Cette question est d\'{e}sormais hors programme, voir la fin du probl\`{e}me pour de plus amples informations). \item On consid\`{e}re l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle (E$_{2}$): \[ y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=x+3. \] \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que la fonction $p$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $p(x)=x+1$ est solution de (E$_{2}$). \item D\'{e}montrer qu'une fonction $g$ est solution de (E$_{2}$) si, et seulement si, la fonction $g-p$ est solution de (E$_{1}$). \item D\'{e}duire de \textbf{1.} et \textbf{2.(b)} les solutions de (E$_{2}$) \item D\'{e}terminer la solution g\'{e}n\'{e}rale de (E$_{2}$) qui v\'{e}rifie :\newline \[ g(0)=1 \quad\text{et} \quad g^{\prime}(0)=2. \] \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B : \'{E}tude d'une fonction \boldmath{$f$} \unboldmath et courbe repr\'{e}sentative}\newline On appelle $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle [0,$+\infty$[ par : \[ f(x)=x+1+xe^{-x}. \] On note ($\mathcal{C}$) la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans le plan muni du rep\`{e}re orthonormal $\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}$ \ (unit\'{e} graphique 2 cm). \index{Fonction!exponentielle} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $f^{\prime}$ et $f^{\prime\prime}$ d\'{e}signant respectivement les d\'{e}riv\'{e}es premi\`{e}re et seconde de $f$, calculer, pour tout r\'{e}el $x$, $f^{\prime}(x)$ et $f^{\prime\prime}(x)$. \item Etudier le sens de variation de la d\'{e}riv\'{e}e $f^{\prime}$. \item D\'{e}montrer que, pour tout r\'{e}el $x$, $f^{\prime}(x)>0$. \item Calculer la limite de $f$ en +$\infty$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'\'{e}quation $y=x+1$ est asymptote \`{a} ($\mathcal{C}$) et pr\'{e}ciser la position relative de ($\mathcal{D}$) et ($\mathcal{C}$). \index{Position!relative} \item La courbe ($\mathcal{C}$) admet en un point A une tangente parall\`{e}le \`{a} la droite ($\mathcal{D}$).\newline D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es de A. \end{enumerate} \item D\'{e}montrer que l'\'{e}quation de $f(x)=2$ admet sur [0,$+\infty$[ une unique solution not\'{e}e $\alpha$ , puis v\'{e}rifier que $0<\alpha<1$. \item \begin{enumerate} \item Construire la droite ($\mathcal{D}$), le point A d\'{e}fini au \textbf{2.(b)}, la courbe ($\mathcal{C}$) et la tangente en A \`{a} la courbe ($\mathcal{C}$). \index{Tangente} \item Donner par lecture graphique une valeur approch\'{e}e de $\alpha$. \index{Valeur!approch\'{e}e} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C : Recherche d'une approximation d\'{e}cimale de \boldmath{$\alpha$} \unboldmath}\newline \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, sur [0,$+\infty$[, l'\'{e}quation : $f(x)=2$ \'{e}quivaut \`{a} l'\'{e}quation : \[ {\frac{e^{x}}{e^{x}+1}=x}% \] \item On appelle $h$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle [0 , 1] par : \[ h(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}. \] \begin{enumerate} \item Calculer $h^{\prime}(x)$ pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle [0 , 1] et r\'{e}aliser le tableau de variations de la fonction $h$. \item En d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $x$ de [0 , 1], $h(x)$ appartient \`{a} [0 , 1]. \item Calculer $h^{\prime\prime}(x)$ pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle [0 , 1] ; \'{e}tudier le sens de variations de $h^{\prime}$. \index{D\'{e}riv\'{e}e!seconde} \item En d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $x$ de [0 , 1], \[ {0\leqslant h^{\prime}(x)\leqslant\frac{1}{4}}% \] \end{enumerate} \item On d\'{e}finit la suite ${(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\text{ par :}\ }$% \[ {\left\{ \begin{array} [c]{l}% u_{0}=0\\ u_{n+1}=h(u_{n}) \end{array} \right. }% \] pour tout entier naturel $n$. \index{Suite!r\'{e}currente} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ appartient \`{a} l'intervalle [0 , 1]. \item D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$, \[ {|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\frac{1}{4}|u_{n}-\alpha|}% \] \item En d\'{e}duire que, pour tout entier naturel $n$, \[ {|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\left( \frac{1}{4}\right) ^{n}}% \] puis que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$. \item D\'{e}terminer un entier $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s de $\alpha$ et, \`{a} \`{a} l'aide de la calculatrice, proposer une approximation d\'{e}cimale de $u_{p}$ \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s. Que peut-on en d\'{e}duire pour $\alpha$ ? \index{Valeur!approch\'{e}e} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Remarque :} La question \textbf{A.1.} n'est plus au programme. Nous admettrons, pour traiter la suite de la \textbf{partie A}, que les solutions de l'\'{e}quation (E$_{1}$) sont les fonctions ${\displaystyle x\mapsto (Ax+B)e^{-x}}$ \quad(A et B \'{e}tant des constantes r\'{e}elles). \section{Centres\'etrangers 1998} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1 }(4 points)\textbf{\ }\\[0pt] \end{center} Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On effectue $n$ tirages successifs ($n$ entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 1) d'une boule en respectant la r\`{e}gle suivante : si la boule tir\'{e}e est rouge, on la remet dans l'urne ; si elle est blanche, on ne la remet pas.\newline Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont ind\'{e}pendantes.\newline \textbf{Partie A}\newline Dans cette partie $n=3$. On donnera les r\'{e}sultats sous forme de fractions irr\'{e}% ductibles.\newline Si $k$ est un entier compris entre 1 et 3, on note $E_{k}$ l'\'{e}v\'{e}nement \newline %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion seule la $k$ i\`{e}me boule tir\'{e}e est blanche% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $E_{1}$ est $\displaystyle{p(E_{1})=\frac{5}{36}}$. \item Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements $E_{2}$ et $E_{3} $.\newline \index{Probabilit\'{e}}En d\'{e}duire la probabilit\'{e} qu'on ait tir\'{e} une seule boule blanche \`{a} l'issue des 3 tirages. \item Sachant que l'on a tir\'{e} exactement une boule blanche, quelle est la probabilit\'{e} que cette boule blanche ait \'{e}t\'{e} tir\'{e}e en dernier ? \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \end{enumerate} \textbf{Partie B}\newline On effectue maintenant $n$ tirages. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer, en fonction de n, la probabilit\'{e} $p_{n}$ de tirer au moins une boule blanche en $n$ tirages. \item Quelles valeurs faut-il donner \`{a} $n$ pour que : $p_{n}>0,99$ ?\medskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2} ( 5 points)\medskip \end{center} Le plan complexe est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $(O,\overrightarrow{u\;},\overrightarrow{v\;})$.\newline L'unit\'{e} graphique est de 3 cm.\newline On consid\`{e}re les points $B,C,D,E$ d\'{e}finissant le carr\'{e} de sens direct $BCDE$ d'affixes respectives : \[ b=1-i\qquad c=-1-i\qquad d=-1-3i\qquad e=1-3i \] \begin{enumerate} \item Calculer %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion b% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion , %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion c% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion , %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion d% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion , %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion e% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{\vert}}% %BeginExpansion $\vert$% %EndExpansion . \index{Module} \item Soit $\Gamma$ le cercle de centre $O$ passant par $B$. \index{Cercle}\newline D\'{e}terminer une \'{e}quation du cercle $\Gamma $.\newline On consid\`{e}re $Q$ un point de $\Gamma$ distinct de $B$ et de $C$.\newline L'affixe de $Q$ est not\'{e}e $q=x+iy$ ( avec $x$ et $y$ r\'{e}els ). \item Soient $F$ et $G$ les points du plan tels que $QBFG$ soit un carr\'{e} de sens direct, c'est \`{a} dire tels que : $\left( \overrightarrow {QB\;},\overrightarrow{QG\;}\right) =\displaystyle{\frac{\pi}{2}}$% .\newline On pose $\displaystyle{Z=\frac{g-q}{b-q}}$ o\`{u} $g$ est l'affixe du point $G$.\newline Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et un argument de $Z$. En d\'{e}duire $Z$. \index{Argument} \item Prouver que : $g=(1+x+y)+i(1-x-y)$. En d\'{e}duire $|g|$ en fonction de $x$ et de $y$. \item En utilisant la question 2. exprimer $|g|$ en fonction de y. \item A l'aide de consid\'{e}rations g\'{e}om\'{e}triques, prouver que : $|f|=|g|$, $f$ \'{e}tant l'affixe du point $F$. \item Pour quelles valeurs de $x$ et de $y$ les points $E$, $D$, $G$, et $F$ sont-ils sur un cercle de centre $O$ ?\newline Pr\'{e}ciser le rayon de ce cercle. En d\'{e}duire alors la nature du triangle $QBC$.\medskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME }(11 points)\medskip \end{center} Le but du probl\`{e}me est l'\'{e}tude d'une fonction $g_{k}$ o\`{u} $k$ est un r\'{e}el fix\'{e} qui v\'{e}rifie : $0<k<e$.\newline Dans la partie \textbf{A} on met en \'{e}vidence certaines propri\'{e}t\'{e}s d'une fonction $f$ qui seront utilis\'{e}es dans la partie \textbf{B}.\newline \textbf{Partie A}\newline Soit $f$ la fonction de la variable r\'{e}elle $x$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f(x)=(2-x)e^{x}-k \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty$. \index{Fonction!exponentielle} \item Calculer $f^{\prime}(x)$. En d\'{e}duire le tableau de variation de $f $. Calculer $f(1)$. \item \begin{enumerate} \item \'Etablir que l'\'{e}quation $f(x)=0$ a deux solutions, une not\'{e}e $\alpha_{k}$ appartenant \`{a} l'intervalle $]-\infty, 1[$ et l'autre not\'{e}e $\beta_{k}$ appartenant \`{a} l'intervalle $]1 , +\infty[$. \item Montrer que : \[ {e^{\alpha_{k}}-k\alpha_{k}=(e^{\alpha_{k}}-k)(\alpha_{k}-1)}\newline \] On d\'{e}montrerait de m\^{e}me que $\beta_{k}$ v\'{e}rifie l'\'{e}galit\'{e} : \[ {e^{\beta_{k}}-k\beta_{k}=(e^{\beta_{k}}-k)(\beta_{k}-1)}% \] \end{enumerate} \item Pr\'{e}ciser le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \textbf{Partie B}\newline \begin{enumerate} \item Soit u la fonction de la variable r\'{e}elle $x$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : $u(x)=e^{x}-kx$. \begin{enumerate} \item \'Etudier le sens de variation de $u$. \item On rappelle que $0<k<e$. Justifier la propri\'{e}t\'{e} suivante :\newline \centerline{pour tout réel $x$, $e^{x}-kx>0$.} \end{enumerate} \item Soit $g_{k}$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ {g_{k}(x)=\frac{e^{x}-k}{e^{x}-kx}}% \] On note $\mathcal{C}_{k}$ la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $g_{k}$ dans le plan rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthogonal. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la limite de $g_{k}$ en $-\infty$ et en $+\infty$. \item Prouver que : $\displaystyle{g^{\prime}_{k}(x)=\frac{k\;f(x)}% {(e^{x}-kx)^{2}}}$. \item En d\'{e}duire le tableau de variation de $g_{k}$. Calculer $g_{k}(1)$. \end{enumerate} \item On nomme $M_{k}$ et $N_{k}$ les points de la courbe $\mathcal{C}_{k}$ d'abscisses respectives $\alpha_{k}$ et $\beta_{k}$. \begin{enumerate} \item En utilisant la question \textbf{3}.b)(\textbf{Partie A}), montrer que : \[ {g_{k}(\alpha_{k})=\frac{1}{\alpha_{k}-1}}% \] \item Donner de m\^{e}me $g_{k}(\beta_{k})$. \item D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente que lorsque $k$ varie les points $M_{k}$ et $N_{k}$ sont sur une courbe fixe $\mathcal{H}$ dont on donnera une \'{e}quation. \end{enumerate} \item \textbf{Repr\'{e}sentations graphiques pour des valeurs particuli\`{e}% res de k} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la position relative des courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$. \index{Position!relative} \item Prouver que $\alpha_{2}=0$. \item En prenant comme unit\'{e}s 2 cm sur l'axe des abscisses et 4 cm sur l'axe des ordonn\'{e}es, construire les courbes $\mathcal{C}_{1}$, $\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{H}$ sur un m\^{e}me graphique.\newline On prendra $\alpha_{1}=-1,1$ ; $\beta_{1}=1,8$ ; $\beta_{2}=1,6$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Pondich% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ery 1998} \begin{center} \vspace{0cm}\noindent\textbf{EXERCICE I }( 4 points ) \end{center} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]On dispose d'une urne U$_{1}$ contenant trois boules rouges et sept boules noires.\newline On extrait simultan\'{e}ment deux boules de cette urne ; on consid\`{e}re que tous les tirages sont \'{e}quiprobables. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Quelle est la probabilit\'{e} $p_{1}$ que les deux boules tir\'{e}es soient rouges~? \item[\textbf{b.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{2}$ que les deux boules tir\'{e}es soient noires~? \item[\textbf{c.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{3}$ que les deux boules tir\'{e}es soient de m\^{e}me couleur~? \item[\textbf{d.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{4}$ que les deux boules tir\'{e}es soient de couleurs diff\'{e}rentes~? \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] On dispose aussi d'une deuxi\`{e}me urne U$_{2}$ contenant quatre boules rouges et six boules noires.\newline On tire maintenant deux boules de l'urne U$_{1}$ et une boule de l'urne U$_{2}$ ; on suppose que tous les tirages sont \'{e}quiprobables.\newline On consid\`{e}re les \'{e}% v\'{e}nements suivants :\newline R~: %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion ~Les boules tir\'{e}es sont rouges~% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion ;\newline D~: %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion Les trois boules tir\'{e}es ne sont pas toutes de la m\^{e}me couleur %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion ;\newline B~: %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion La boule tir\'{e}e dans l'urne U$_{2}$ est rouge %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement R. \item[\textbf{b.}] Quelle est la probabilit\'{e} de tirer trois boules de m\^{e}me couleur~? \item[\textbf{c.}] Calculer la probabilit\'{e} conditionnelle $p_{D}$(B) de l'\'{e}v\'{e}nement B sachant que l'\'{e}v\'{e}nement D est r\'{e}% alis\'{e}.\newline \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \noindent\textbf{EXERCICE II ( 5 points)}\\[0pt] \end{center} On consid\`{e}re le polyn\^{o}me P$(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260$, o\`{u} $z$ est un nombre complexe. \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]D\'{e}terminer deux nombres r\'{e}els $a$ et $b$ tels que : \index{Polyn\^{o}me!complexe} \[ \mathrm{P}(z)=(z^{2}+az+b)(z^{2}+4\,z+20). \] \item[\textbf{2.}] R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation P$(z)=0$. \item[\textbf{3.}] Placer dans un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $, les images M, N, P et Q des nombres complexes respectifs $m=-2+4i,\;n=-2-4i,\;p=2+3i$ et $q=2-3i$. \item[\textbf{4.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]D\'{e}terminer le nombre complexe $z$ v\'{e}rifiant $\displaystyle\frac{z-p}{z-m}=i$. Placer son image K. \item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire que le triangle MPK est isoc\`{e}le rectangle en K. \index{Triangle!isoc\`{e}le} \end{enumerate} \item[\textbf{5.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]D\'{e}teminer par le calcul l'affixe du point L, quatri\`{e}me sommet du carr\'{e} MKPL. \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer l'abscisse du point d'intersection R de la droite (KL) et de l'axe des abscisses. \item[\textbf{c.}] Montrer que M, N, P et Q sont sur un m\^{e}me cercle de centre R. \\[0,3cm] \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \vspace{0cm}\textbf{\noindent PROBLEME} ( 11 points)\\[0pt] \end{center} On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $[0\ ;\ +\infty\lbrack$ par \[ f(x)=\frac{e^{x}-1}{xe^{x}+1}% \] \newline On d\'{e}signe par $\mathcal{C}$ sa courbe \index{Fonction!exponentielle} repr\'{e}sentative dans le plan rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ ; unit\'{e} graphique : 4 cm.\newline \textbf{Partie A}\newline \textbf{$\star$} \textbf{\'{E}tude d'une fonction auxiliaire}\newline Soit la fonction $g$ d\'{e}finie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$ par $g(x)=x+2-e^{x}.$ \index{Fonction!auxiliaire} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]\'{E}tudier le sens de variation de $g$ sur $[0\,;\,+\infty \lbrack$ et d\'{e}terminer la limite de $g$ en $+\infty$. \item[\textbf{2.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que l'\'{e}quation $g(x)=0$ admet une solution et une seule dans $[0\ ;\ +\infty\lbrack$.\newline On note $\alpha$ cette solution. \item[\textbf{b.}] Prouver que $1,14 < \alpha<1,15$. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] En d\'{e}duire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \\[0,2cm]\textbf{$\star$} \textbf{\'Etude de la fonction $f$ et trac\'{e} de la courbe $\mathcal{C}$} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que, pour tout $x$ appartenant \`{a} $[0\,;\,+\infty\lbrack$, \[ f\,^{\prime}(x)=\frac{e^{x}g(x)}{(xe^{x}+1)^{2}}. \] \item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0\,;\,+ \infty[$. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que pour tout r\'{e}el positif $x$, \[ f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x+e^{-x}}% \] \item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpr\'{e}ter graphiquement le r\'{e}sultat trouv\'{e}. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]\'Etablir que $f(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\alpha+ 1}$. \item[\textbf{b.}] En utilisant l'encadrement de $\alpha$ \'{e}tabli dans la question \textbf{A.2.}, donner un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $10^{-2}$. \index{Encadrement} \end{enumerate} \item[\textbf{4.}] D\'{e}terminer une \'{e}quation de la tangente (T) \`{a} la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. \index{Tangente} \item[\textbf{5.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]\'{E}tablir que, pour tout $x$ appartenant \`{a} l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$, \[ f(x)-x=\frac{(x+1)\,u(x)}{xe^{x}+1}\quad\mathrm{avec}\ u(x)=e^{x}-xe^{x}-1. \] \item[\textbf{b.}] \'{E}tudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$. En d\'{e}duire le signe de $u(x)$. \item[\textbf{c.}] D\'{e}duire des questions pr\'{e}c\'{e}dentes la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport \`{a} la droite (T). \end{enumerate} \item[\textbf{6.}] Tracer $\mathcal{C}$ et (T). \end{enumerate} \textbf{Partie C} \\[0,2cm]\textbf{$\star$} \textbf{Calcul d'aire et \'{e}tude d'une suite} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]D\'{e}terminer une primitive F de $f$ sur $[0\,;\,+\infty \lbrack$ ; on pourra utiliser l'expression de $f(x)$ \'{e}tablie dans la question \textbf{B.2. \index{Primitive}} \item[\textbf{2.}] On note $\mathcal{D}$ le domaine d\'{e}limit\'{e} par la courbe $\mathcal{C}$, la tangente (T) et les droites d'\'{e}quations $x=0$ et $x=1$.\newline \index{Calcul!d'aire}Calculer, en cm$^{2}$, l'aire A du domaine $\mathcal{D}% $.\newline Donner une valeur d\'{e}cimale au mm$^{2}$ pr\`{e}s de l'aire A. \item[\textbf{3.}] Pour tout entier naturel $n$, on pose \[ v_{n}=\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx \] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$.\newline On donnera des valeurs d\'{e}cimales approch\'{e}es \`{a} 10$^{-2}$ pr\`{e}s de $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$. \item[\textbf{b.}] Interpr\'{e}ter graphiquement $v_{n}$. \index{Suite!et int\'{e}grale} \item[\textbf{c.}] Montrer que, pour tout $n\geqslant2,\quad$% \[ f(n+1)\leqslant\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx\leqslant f(n) \] \newline En d\'{e}duire la monotonie de la suite $(v_{n})$ \`{a} partir de $n=1$. \item[\textbf{d.}] D\'{e}terminer la limite de la suite $(v_{n})$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Am% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erique du Nord 1998} \begin{center} \medskip\textbf{EXERCICE 1 }( 5 points)\textbf{\\[0pt]} \end{center} Afin de cr\'{e}er une loterie, on met dans une urne $n$ billets diff\'{e}rents ($n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3), dont deux et deux seulement sont gagnants. \begin{enumerate} \item Dans cette question, on choisit au hasard et simultan\'{e}ment deux billets dans l'urne. \begin{enumerate} \item On suppose ici $n=10$. $X$ d\'{e}signe la variable al\'{e}atoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. \index{Tirage!simultan\'{e}}\newline D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $X$. \index{Loi!de probabilit\'{e}} \item On revient au cas g\'{e}n\'{e}ral avec $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3.\newline Calculer la probabilit\'{e}, not\'{e}e $p_{n}$, d'avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis. \end{enumerate} \item Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en remettant le premier billet tir\'{e} avant de tirer le second. \begin{enumerate} \item On suppose ici $n=10$. $Y$ d\'{e}signe la variable al\'{e}atoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux billets choisis. \index{Variable!al\'{e}atoire}\newline D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $Y$. \item On revient au cas g\'{e}n\'{e}ral avec $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3.\newline Calculer la probabilit\'{e}, not\'{e}e $q_{n}$, d'avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3, on a : \[ p_{n}-q_{n}=\frac{4(n-2)}{n^{2}(n-1)}. \] \item En remarquant que pour tout entier $n$, $n-2$ est inf\'{e}rieur \`{a} $n-1$, d\'{e}terminer un entier naturel $n_{0}$ tel que pour tout $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n_{0}$, on ait \[ {p_{n}-q_{n}<10^{-3}}% \] \item Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de cette loterie, est-il pr\'{e}f\'{e}rable de les tirer simultan\'{e}ment ou de les tirer l'un apr\`{e}s l'autre en remettant le premier billet tir\'{e} ?\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \medskip\textbf{EXERCICE 2}{\ ( 5 points)}\\[0pt] \end{center} Dans le plan complexe rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$, (unit\'{e} graphique : 4 cm), on donne les points A et B d'affixes \index{Affixe}respectives 1 et ${\displaystyle\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}% }$.\newline Pour chaque point M du plan, d'affixe $z$, $\text{M}_{1}$ d'affixe $z_{1}$ d\'{e}signe l'image de M par la rotation de centre O et d'angle ${\displaystyle\frac{\pi}{3}}$, puis M' d'affixe $z^{\prime}$ l'image de $\text{M}_{1}$ par la translation de vecteur $-\overrightarrow{\strut u}$. \index{Rotation}\newline Enfin, on note $T$ la transformation qui \`{a} chaque point M associe le point M'. \index{Transformation} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer : ${\displaystyle z^{\prime}=e^{i\frac{\pi}{3}}z-1}$. \item D\'{e}terminer l'image du point B. \item Montrer que $T$ admet un unique point invariant dont on pr\'{e}cisera l'affixe. \index{Point!invariant} \end{enumerate} \item On pose $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ r\'{e}els. \begin{enumerate} \item Pour $z$ non nul, calculer la partie r\'{e}elle du quotient ${\displaystyle \frac{z^{\prime}}{z}}$ en fonction de $x$ et de $y$. \item D\'{e}montrer que l'ensemble ($E$), des points M du plan tels que le triangle OMM' soit rectangle en O, est un cercle ($C$), dont on pr\'{e}cisera le centre et le rayon, priv\'{e} de deux points.\newline Tracer ($E$). \end{enumerate} \item Dans cette question on pose $z=1+i$. \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que M appartient \`{a} ($E$). Placer M et M' sur la figure. \item Calculer le module de $z^{\prime}$. \index{Module} \item Calculer l'aire, en $\text{cm}^{2}$, du triangle OMM'. \index{Aire!d'un triangle}\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME }( 10 points)\medskip \end{center} On d\'{e}signe par $n$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2 et on consid\`{e}re les fonctions, not\'{e}es $f_{n}$, qui sont d\'{e}finies pour $x$ appartenant \`{a} l'intervalle $]0,+\infty\lbrack$ par : \index{Fonction!logarithme} \[ f_{n}(x)=\frac{1+n\ln(x)}{x^{2}}% \] \textbf{PARTIE A } \textbf{I : Etude des fonctions $f_{n}$} \begin{enumerate} \item Calculer $f^{\prime}_{n}(x)$ et montrer que l'on peut \'{e}crire le r\'{e}sultat sous la forme d'un quotient dont le num\'{e}rateur et $n-2-2n \ln(x)$. \item R\'{e}soudre l'\'{e}quation $f^{\prime}_{n}(x)=0$. Etudier le signe de $f^{\prime}_{n}(x)$ \item D\'{e}terminer la limite de $f_{n}$ en $+\infty$ \item Etablir le tableau de variation de la fonction $f_{n}$ et calculer sa valeur maximale en fonction de $n$. \end{enumerate} \textbf{II : Repr\'{e}sentation graphique de quelques fonctions $f_{n}$} Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $(O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath})$ ( unit\'{e} graphique : 5 cm ). On note $(C_{n})$ la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $f_{n}$ dans ce rep\`{e}re. \begin{enumerate} \item Tracer $\left( C_{2}\right) $ et $\left( C_{3}\right) .$ \item \begin{enumerate} \item Calculer $f_{n+1}\left( x\right) -f_{n}\left( x\right) .$ Cette diff\'{e}rence est-elle d\'{e}pendante de l'entier $n$ ? \item Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe $\left( C_{n}\right) $ \`{a} partir de $\left( C_{2}\right) $ et $\left( C_{3}\right) .$ \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE B } \textbf{Calculs d'aires} \begin{enumerate} \item Calculer, en int\'{e}grant par parties, l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx \] \item En d\'{e}duire l'aire, en unit\'{e}s d'aire, du domaine plan limit\'{e} par les courbes $\left( C_{n}\right) $ et $\left( C_{n+1}\right) $ et les droites d'\'{e}quations $x=1$ et $x=e.$ \index{Calcul!d'aire} \item On note $A_{n}$ l'aire, en unit\'{e}s d'aire, du domaine limit\'{e} par la courbe $\left( C_{n}\right) $ et les droites d'\'{e}quations $y=0,$ $x=1$ et $x=e.$ \begin{enumerate} \item Calculer $A_{2}.$ \item D\'{e}terminer la nature de la suite $\left( A_{n}\right) $ en pr\'{e}cisant l'interpr\'{e}tation graphique de sa raison. \index{Suite} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE C } \textbf{Etude sur l'intervalle }$\left] 1;+\infty\right[ $\textbf{\ de l'\'{e}quation }$f_{n}\left( x\right) =1$\textbf{.} Dans toute la suite, on prendra $n\geqslant3.$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que, pour tout $n,$% \[ e^{\frac{n-2}{2n}}>1\text{ et }f_{n}\left( e^{\frac{n-2}{2n}}\right) >1 \] \item V\'{e}rifier que l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =1$ n'a pas de solution sur l'intervalle $\left] 1;e^{\frac{n-2}{2n}}\right[ .$ \end{enumerate} \item Montrer que l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =1$ admet sur l'intervalle $\left[ e^{\frac{n-2}{2n}};+\infty\right[ $ exactement une solution not\'{e}e $\alpha_{n}.$ \item On se propose de d\'{e}terminer la limite de la suite $\left( \alpha_{n}\right) .$ \begin{enumerate} \item Calculer $f_{n}\left( \sqrt{n}\right) $ et montrer que, pour $n>e^{2}, $ on a $f_{n}\left( \sqrt{n}\right) \geqslant1.$ \item En d\'{e}duire que, pour $n\geqslant8,$ on a $\alpha_{n}\geqslant \sqrt{n}$ et donner la limite de la suite $\left( \alpha_{n}\right) .$ \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Asie 1998} \begin{center} \textbf{Exercice 1 }(4 points) \end{center} \medskip Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re direct $(O,\overrightarrow{u\;},\overrightarrow{v\;})$, ayant comme unit\'{e} graphique 3 cm. Les nombres complexes $z_{1},z_{2},z_{3},z_{4},z_{5}$ et $z_{6}$ que l'on va calculer dans cet exercice seront tous exprim\'{e}s sous forme alg\'{e}brique \textbf{et} sous forme exponentielle $(\rho e^{i\theta})$. \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation \index{Equation!complexe} : \[ z^{2}-\sqrt{3}z+1=0 \] On pose : $\displaystyle{z_{1}=\frac{\sqrt{3}+i}{2}}$ et $\displaystyle {z_{2}=\frac{\sqrt{3}-i}{2}}$.\newline Exprimer $z_{1}$ et $z_{2}$ sous forme exponentielle et placer les points $M_{1}$ et $M_{2}$ d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ dans le plan $\mathcal{P}$. \index{Forme!exponentielle} \item Soit \textit{r} la rotation de centre O et d'angle $\displaystyle {\frac{2\pi}{3}}$.\newline \index{Rotation}Calculer l'affixe $z_{3}$ du point $M_{3}=\mathit{r}\,(M_{2}) $.\newline \index{Affixe}Placer $M_{3}$ sur la figure pr\'{e}c\'{e}dente. \item Soit \textit{t} la translation \index{Translation} dont le vecteur $\overrightarrow{w\;}$ a pour affixe $\displaystyle{-\frac{\sqrt{3}+i}{2}}$.\newline Calculer l'affixe $z_{4}$ du point $M_{4}=\mathit{t}\,(M_{2})$.\newline Placer $M_{4}$ sur la figure pr\'{e}c\'{e}dente. \item Soient $\displaystyle{z_{5}=\frac{i}{2}(1+i\sqrt{3})}$ et $\displaystyle{z_{6}=\frac{2}{i-\sqrt{3}}}$.\newline Exprimer $z_{5}$ et $z_{6}$ sous forme alg\'{e}brique et sous forme exponentielle.\newline Placer les points $M_{5}$ et $M_{6}$ d'affixes respectives $z_{5}$ et $z_{6}$ sur la figure. \item \begin{enumerate} \item Calculer $z^{6}_{k}$ pour $k\in\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$. \item Ecrire $z^{6}+1$ sous forme d'un produit de trois polyn\^{o}mes du second degr\'{e} \`{a} coefficients r\'{e}els. Justifier cette \'{e}criture. \index{Polyn\^{o}me}\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Exercice 2 }( 5 points)\textbf{\medskip} \end{center} \textit{Les questions 1 et 2 sont ind\'{e}pendantes}. $\mathbb{N}^{\ast}$ \textit{est l'ensemble des entiers strictement positifs}.\newline Pour tout entier n de $\mathbb{N}^{\ast}$, on consid\`{e}re l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}grale} \[ I_{n}=\int_{1}^{e}(\ln x)^{n}dx \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que pour tout $x$ dans l'intervalle $]1,e[$ et pour tout entier naturel n, on a : \[ (\ln x)^{n}-(\ln x)^{n+1}>0 \] \item En d\'{e}duire que la suite $(I_{n})$ est d\'{e}croissante. \index{Suite!d\'{e}croissante} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $I_{1}$ \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties. \index{Int\'{e}gration!par parties} \item D\'{e}montrer \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : \[ I_{n+1}=e-(n+1)I_{n}% \] \item En d\'{e}duire $I_{2}$, $I_{3}$ et $I_{4}$. Donner les valeurs exactes, exprim\'{e}es en fonction de $e$ et les valeurs approch\'{e}es \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s par d\'{e}faut. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $I_{n}\geqslant0 $ \item D\'{e}montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $(n+1)I_{n}% \leqslant e$ \item En d\'{e}duire la limite de $I_{n}$. \item D\'{e}terminer la valeur de $nI_{n}+(I_{n}+I_{n+1})$ et en d\'{e}duire la limite de $nI_{n}$.\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Probl\`{e}me} ( 11 points )\medskip \end{center} \textbf{Partie A}\newline Soit la fonction $g$, d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$, qui, \`{a} tout $x$, associe : \index{Fonction!exponentielle} \[ g(x)=e^{x}(x-1)+x^{2}. \] \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que la d\'{e}riv\'{e}e de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ est : \[ g\,^{\prime}(x)=x(e^{x}+2). \] \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer les limites de $g$ en $(+ \infty)$ et en $(- \infty)$. \item[\textbf{c.}] \'{E}tudier le signe de $g\,^{\prime}(x)$ sur $\mathbb{R}$, et dresser le tableau de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] Montrer que l'\'{e}quation $g(x)=0$ admet une solution $\alpha$ et une seule sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$.\newline Montrer que $\alpha$ est dans l'intervalle I $=\left[ \displaystyle\frac {1}{2}\,;\,1\right] .$ \end{enumerate} \textbf{Partie B}\\[0,3cm]Soit la fonction $f$ d\'{e}finie sur $[0\,;\,+\infty [$ par : \[ f(x) = \displaystyle\frac{e^{x}}{e^{x} + x}. \] \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]Montrer que les \'{e}quations $f(x)=x$ et $g(x)=0$ sont \'{e}quivalentes sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$, et que, par suite, l'\'{e}quation $f(x)=x$ admet $\alpha$ pour solution unique sur I. \item[\textbf{2.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer la d\'{e}riv\'{e}e de $f$ et en d\'{e}duire le sens de variation de $f$ sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$. \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item[\textbf{c.}] Dresser le tableau de variation de $f$. \item[\textbf{d.}] Construire la courbe repr\'{e}sentative $\mathcal{C}$ de $f$ sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$ dans un rep\`{e}re orthonormal (unit\'{e} 2 cm). On indiquera en particulier les tangentes \`{a} $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses 0 et 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]Montrer que, pour tout $x$ appartenant \`{a} I, $f(x)$ appartient \`{a} I. \item[\textbf{2.}] Soit la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}^{\star}}$ d\'{e}finie par \index{Suite!r\'{e}currente} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% u_{1}=\frac{1}{2}\\[0cm]% u_{n}=f(u_{n-1})\quad\text{pour tout}\ n>1 \end{array} \right. \] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que, pour tout $n \in\mathbb{N}^{\star}$, $\ u_{n} \in I$. \item[\textbf{b.}] Montrer que, pour tout $x\in$ I, $\ $% \[ \left| f\,^{\prime}(x)\right| \leqslant\frac{1}{2}% \] \item[\textbf{c.}] En appliquant le th\'{e}or\`{e}me de l'in\'{e}galit\'{e} des accroissements finis, \index{In\'{e}galit\'{e}!des accroissements finis}d\'{e}montrer que : \[ \text{pour tout}\ n>1,\quad\left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant\frac{1}% {2}\left| u_{n-1}-\alpha\right| . \] \item[\textbf{d.}] En d\'{e}duire, par un raisonnement par r\'{e}currence, que : \index{R\'{e}currence} \[ \text{pour tout}\ n\in\mathbb{N}^{\star},\quad\left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}. \] \item[\textbf{e.}] En d\'{e}duire que $(u_{n})$ converge vers $\alpha$ \item[\textbf{f.}] A priori, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour obtenir une valeur approch\'{e}e de $\alpha$ \`{a} $10^{-7}$ pr\`{e}s~? \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] En utilisant la d\'{e}croissance de $f$, montrer que $\alpha$ est compris entre deux termes cons\'{e}cutifs quelconques de la suite. En d\'{e}duire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-7}$. \end{enumerate} \section{Remplacement 1998} \begin{center} \textbf{Exercice I } \end{center} L'espace est muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct $(O\,;\,\vec{i},\,\vec {j},\,\vec{k})$.\newline Il n'est pas demand\'{e} de faire de figure.\newline Les questions 3 et 4 sont ind\'{e}pendantes des questions 1 et 2.\newline On consid\`{e}re les quatre points $A,\ B,\ C$ et $I$ de coordonn\'{e}es respectives : \[ A\left( \begin{array} [c]{c}% -1\\ 2\\ 1 \end{array} \right) \qquad\quad B\left( \begin{array} [c]{c}% 1\\ -6\\ -1 \end{array} \right) \qquad\quad C\left( \begin{array} [c]{c}% 2\\ 2\\ 2 \end{array} \right) \qquad\quad I\left( \begin{array} [c]{c}% 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right) \] \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer le produit vectoriel $\overrightarrow{\strut AB}\wedge\overrightarrow{\strut AC}$. \index{Produit!vectoriel} \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer une \'{e}quation cart\'{e}sienne du plan contenant les trois points $A,\ B$ et $C$. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] Soit $Q$ le plan d'\'{e}quation : \index{Equation!de plan} \[ x+y-3z+2=0 \] et $Q^{\prime}$ le plan de rep\`{e}re $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{k})$. \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Pourquoi $Q$ et $Q^{\prime}$ sont-ils s\'{e}cants~? \item[\textbf{b.}] Donner un point $E$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{\strut u}$ de la droite d'intersection $\Delta$ des plans $Q $ et $Q^{\prime}$. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] \'{E}crire une \'{e}quation cart\'{e}sienne de la sph\`{e}re S de centre $I$ et de rayon 2. \index{Sph\`{e}re} \item[\textbf{4.}] On consid\`{e}re les points $J$ et $K$ de coordonn\'{e}es respectives : \[ J\left( \begin{array} [c]{c}% -2\\ 0\\ 0 \end{array} \right) \qquad\quad K\left( \begin{array} [c]{c}% 1\\ 0\\ 1 \end{array} \right) \] D\'{e}terminer avec soin l'intersection de la sph\`{e}re S et de la droite $(JK)$.\medskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Exercice II\medskip} \end{center} \begin{enumerate} \item On consid\`{e}re le polyn\^{o}me $P$ d\'{e}fini par : $P(z)=z^{3}% -6z^{2}+12z-16$. \index{Polyn\^{o}me!complexe} \begin{enumerate} \item Calculer $P(4)$. \item R\'{e}soudre dans $C$ l'\'{e}quation : $P(z)=0$. \end{enumerate} \item Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonorm\'{e} direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ tel que : $\Vert\overrightarrow {u}\Vert=\Vert\overrightarrow{v}\Vert=2\;cm$.\newline Soient $A$, $B$, $C$ les points d'affixes respectives : \index{Affixe} \[ a=4\qquad b=1+i\sqrt{3}\qquad c=1-i\sqrt{3}% \] \begin{enumerate} \item Placer les points $A,B,C$ sur une figure que l'on compl\'{e}tera tout au long de l'exercice. \item Montrer que le triangle $ABC$ est \'{e}quilat\'{e}ral. \index{Triangle!\'{e}quilat\'{e}ral} \end{enumerate} \item Soit $K$ le point d'affixe $k=-\sqrt{3}+i$\newline On appelle $F$ l'image de $K$ par la rotation de centre $O$ et d'angle de mesure $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ et $G$ l'image de $K$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OB}$. \index{Rotation} \begin{enumerate} \item Quelles sont les affixes respectives de $F$ et de $G$ ? \item Montrer que les droites $(OC)$ et $(OF)$ sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item Soit $H$ le quatri\`{e}me sommet du parall\'{e}logramme $COFH$ \begin{enumerate} \item Montrer que le quadrilat\`{e}re $COFH$ est un carr\'{e}. \index{Carr\'{e}} \item Calculer l'affixe du point $H$. \item Le triangle $AGH$ est-il \'{e}quilat\'{e}ral ?\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBL\`{E}ME} (11 points) \medskip \textbf{Partie A}\\[0pt] \end{center} \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle : \index{Equation!diff\'{e}rentielle} \[ y^{\prime\prime}-4y^{\prime}+4y=0 \] \item D\'{e}terminer la solution $\varphi$ de cette \'{e}quation, d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ et qui v\'{e}rifie les conditions : \[ \varphi(0)=0\quad\text{et}\quad\varphi^{\prime}(0)=-e \] \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B}\\[0pt] \end{center} \begin{enumerate} \item On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \index{Fonction!exponentielle} \[ f(x)=-xe^{2x+1}. \] \begin{enumerate} \item Quel est, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$ ? \item Etudier le sens de variation de de $f$. \item D\'{e}terminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \item On appelle ($\mathcal{C}$) la repr\'{e}sentation graphique de $f$ dans un rep\`{e}re orthonorm\'{e} \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} \ (unit\'{e} graphique : 4 cm).\newline Quelle est la tangente \`{a} ($\mathcal{C}$) au point O ?\newline \index{Tangente}Ecrire une \'{e}quation de la tangente T \`{a} ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse (-1). \item On appelle ($\Gamma$) la repr\'{e}sentation graphique dans le rep\`{e}re \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} \ de la fonction $g$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ g(x)=e^{x}. \] Quelle est la tangente \`{a} ($\Gamma$) au point d'abscisse (-1) ? \end{enumerate} \item On appelle $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ h(x)=1+exe^{x}. \] \begin{enumerate} \item Etudier le sens de variation de $h$.\newline En d\'{e}duire le signe de $h(x)$ suivant les valeurs de $x$. \item Etudier la position de ($\mathcal{C}$) par rapport \`{a} ($\Gamma$). \item Tracer, sur le m\^{e}me graphique, les courbes T, ($\mathcal{C}$) et ($\Gamma$). \end{enumerate} \item $m$ d\'{e}signe un r\'{e}el quelconque et M d\'{e}signe le point de la courbe ($\Gamma$) d'abscisse $m$. \begin{enumerate} \item Ecrire une \'{e}quation de la tangente D \`{a} ($\Gamma$) en M. \item La tangente D coupe les axes de coordonn\'{e}es en A et B.\newline Calculer, en fonction de $m$, les coordonn\'{e}es du milieu J du segment [AB]. \item Prouver que J appartient \`{a} ($\mathcal{C}$). \item Tracer D et J pour $m=0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie C}\\[0pt] \end{center} \begin{enumerate} \item Soit $x$ un r\'{e}el quelconque.\newline A l'aide d'une int\'{e}gration par partie, calculer l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ \text{I}(x)=\int_{0}^{x}{te^{2t}}dt. \] \item Soit $x$ un r\'{e}el n\'{e}gatif.\newline \index{Calcul!d'aire}Calculer l'aire $\mathcal{A}(x)$, exprim\'{e}e en $\text{cm}^{2}$, de l'ensemble des points N du plan dont les coordonn\'{e}es ($u,v$) v\'{e}rifient : \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x\leqslant u\leqslant0\\ 0\leqslant v\leqslant f(x) \end{array} \right. \] \item Calculer $\mathcal{A}(-1)$. \item $\mathcal{A}(x)$ admet-elle une limite quand $x$ tend vers moins l'infini ? Si oui laquelle ? \end{enumerate} \section{Sujet exp% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erimental 1997} \begin{center} \textbf{PROBLEME commun. } \textbf{( avec calculatrice )} \textbf{11 points} \emph{A. R\'{e}solution approch\'{e}e d'une \'{e}quation } \end{center} \begin{enumerate} \item On consid\`{e}re la fonction $h$ d\'{e}finie sur $]0,+\infty\lbrack$ par \[ h(x)=3\ln{x}-x \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les limites de $h$ en $0$ et en $+\infty$. \index{Fonction!logarithme} \item Etudier les variations de $h$. Montrer que $h$ admet un maximum, dont on donnera une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s. Aucune courbe repr\'{e}sentative n'est demand\'{e}e. \index{Maximum} \end{enumerate} \item D\'{e}duire de l'\'{e}tude pr\'{e}c\'{e}dente que l'\'{e}quation : \[ (E)\qquad3\ln{x}=x \] admet deux solutions, l'une, not\'{e}e $\alpha$, \'{e}l\'{e}ment de l'intervalle $]0,3[$, l'autre, not\'{e}e $\lambda$, \'{e}l\'{e}ment de l'intervalle $]3,+\infty[$. \item Montrer que $1,85\leqslant\alpha\leqslant1,86$. \item On d\'{e}signe par $I$ l'intervalle $[4,5]$. \begin{enumerate} \item Montrer que la fonction $\phi$ d\'{e}finie sur $I$ par $\phi(x)=3\ln {x}$ transforme tout \'{e}l\'{e}ment de $I$ en un \'{e}l\'{e}ment de $I$ et que $\lambda$ est \'{e}l\'{e}ment de $I$. \item Montrer que pour tout \'{e}l\'{e}ment $x$ de $I$, on a $\big\vert \phi^{\prime}(x)\big\vert\leqslant3/4$. \item On d\'{e}finit la suite $(u_{n})$ d'\'{e}l\'{e}ments de $I$ par : $u_{0}=4$ et, pour tout entier naturel $n$, \[ u_{n+1}=3\ln{u_{n}}% \] Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : \[ |u_{n}-\lambda|\leqslant(3/4)^{n}% \] En d\'{e}duire que la suite $(u_{n})$ a pour limite $\lambda$. \index{Suite!r\'{e}currente} \item D\'{e}terminer un entier naturel $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur approch\'{e}e de $\lambda$ \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s. Donner une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s de $\lambda$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \emph{B. Etude d'une fonction } \end{center} On consid\`{e}re la fonction $f$, d\'{e}finie sur $]0,+\infty\lbrack$ par \[ f(x)=\frac{\ln{x}}{x}% \] On d\'{e}signe par $C$ sa courbe repr\'{e}sentative dans le rep\`{e}re orthonorm\'{e} $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$. On prendra pour unit\'{e} graphique $4$cm. \index{Fonction!logarithme} \begin{enumerate} \item Etudier les variations de $f$, en pr\'{e}cisant ses limites en $0$ et en $+\infty$. \item D\'{e}terminer une \'{e}quation de la tangente $T$ \`{a} $C$ en son point $A$ d'abscisse $1$. \item Tracer $C$ et $T$. \item A tout entier naturel non nul $n$ on associe l'\'{e}quation d'inconnue $x$ : \[ \big(\mathcal{E}_{n}\big)\qquad f(x)=\frac{1}{n}% \] \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $n=1$ ou $n=2$, cette \'{e}quation n'admet pas de solution. \item Montrer que, pour $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $3$, l'\'{e}quation $\big(\mathcal{E}_{n}\big)$ admet deux solutions, qu'on d\'{e}signera par $\alpha_{n}$ et $\lambda_{n}$, o\`{u} $\alpha_{n}% \leqslant\lambda_{n}$. \item Montrer que les solutions de l'\'{e}quation $\big(\mathcal{E}_{n}\big) $ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe repr\'{e}sentative de la fonction exponentielle avec la courbe repr\'{e}sentative de la fonction puissance $x\rightarrow x^{n}$. \index{Fonction!puissance} \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \emph{C. Etude des suites $(\alpha_{n})$ et $(\lambda_{n})$ } \end{center} \begin{enumerate} \item On se propose dans cette question de montrer que, pour tout $x$ positif ou nul, on a : \[ x-\frac{1}{2}x^{2}\leqslant\ln{(1+x)}\leqslant x \] \begin{enumerate} \item On d\'{e}finit sur $[0,+\infty\lbrack$ la fonction $g$ par \[ g(x)=\frac{1}{2}x^{2}-x+\ln{(1+x)}% \] Etudier le sens de variation de $g$. \item En d\'{e}duire le signe de $g$. Montrer que pour tout r\'{e}el $x$ positif ou nul on a \index{In\'{e}galit\'{e}} \[ x-\frac{1}{2}x^{2}\leqslant\ln{(1+x)}% \] \item Montrer qu'on a \'{e}galement, pour tout $x$ positif ou nul, $x\geqslant\ln{(1+x)}$. \end{enumerate} \item Etude de $\alpha_{n}$ pour $n\geqslant4$. \begin{enumerate} \item En utilisant la question pr\'{e}c\'{e}dente, montrer que, pour tout r\'{e}el positif $x$, on a \[ \frac{\ln{(1+x)}}{1+x}\leqslant x \] En d\'{e}duire que pour tout entier naturel $n\geqslant4$ on a \[ f(1+\frac{1}{n})\leqslant\frac{1}{n}% \] \item Montrer que, pour tout $x$ \'{e}l\'{e}ment de l'intervalle $[0,1/2]$ on a \[ \frac{\ln{(1+x)}}{1+x}\geqslant\frac{1}{2}x \] En d\'{e}duire que pour tout entier naturel $n\geqslant4$ on a \[ f(1+\frac{2}{n})\geqslant\frac{1}{n}% \] \item Montrer que, pour $n\geqslant4$, $1+1/n\leqslant\alpha_{n}% \leqslant1+2/n$. Quelle est la limite de la suite $(\alpha_{n})$ ? \end{enumerate} \item Etude de $\lambda_{n}$ \begin{enumerate} \item Montrer que, pour $n\geqslant4$, $f(n)\geqslant1/n$. \item Comparer $n$ et $\lambda_{n}$ puis d\'{e}terminer la limite de la suite $\lambda_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Exercice 1 ; commun } \textbf{( sans calculatrice )} \textbf{4 points } \end{center} Une petite association organise une souscription qui prend la forme d'une tombola. Au cours d'une r\'{e}union, $100$ enveloppes indiscernables sont mises en vente au prix unitaire de $100$ F. $5$ de ces enveloppes permettent chacune de gagner $500$ F, $20$ rapportent chacune $100$ F, les autres sont perdantes. \begin{enumerate} \item \emph{Le point de vue des organisateurs} \begin{enumerate} \item La vente de $60$ enveloppes \'{e}tant assur\'{e}e, l'op\'{e}ration est-elle \`{a} coup s\^{u}r rentable ? \item Combien d'enveloppes faut-il vendre pour r\'{e}aliser \`{a} coup s\^{u}r un b\'{e}n\'{e}fice de $4\,000$ F ? \end{enumerate} \item \emph{Le point de vue du premier souscripteur}\newline Pour le premier souscripteur, l'achat d'enveloppes peut \^{e}tre assimil\'{e} \`{a} un tirage sans remise en situation \'{e}quiprobabilit\'{e}. \begin{enumerate} \item Cette personne ach\`{e}te une enveloppe. D\'{e}terminer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de la variable al\'{e}atoire $X$ repr\'{e}sentant son gain (diff\'{e}rence entre la somme \'{e}ventuellement per\c{c}ue et la somme engag\'{e}e, $100$ F). \index{Variable!al\'{e}atoire} \item Cette personne ach\`{e}te deux enveloppes. Soit $Y$ la variable al\'{e}atoire repr\'{e}sentant son gain (diff\'{e}rence entre la somme \'{e}ventuellement per\c{c}ue et la somme engag\'{e}e, $200$ F). Quelles sont les valeurs prises par $Y$ ? \newline Montrer que $P(Y=200)=5590/9900$. \newline Pr\'{e}senter sous forme de tableau la loi de probabilit\'{e} de la variable al\'{e}atoire $Y$. On pr\'{e}sentera les probabilit\'{e}s utiles sous forme de fractions de m\^{e}me d\'{e}nominateur. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Exercice 2 \\[0pt]\'{e}l\`{e}ves ne suivant pas l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e} ; 5 points } \textbf{( sans calculatrice )} \end{center} Le plan complexe est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $(O;\overrightarrow{u};\overrightarrow{v})$. On prendra pour unit\'{e} graphique $5$cm. On d\'{e}signe par $A$ et $K$ les points d'affixes respectives $1$ et $1+i$, et par $I$ et $J$ les points d'affixes respectives $i$ et $-i$.\newline \index{Affixe}On rappelle que, si $P$, $Q$ et $R$ sont trois points quelconques du plan, distincts et d'affixes respectives $p$, $q$ et $r$, on a l'\'{e}galit\'{e} : \index{Angle!de vecteurs} \[ (\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR})=\text{arg}\left( \frac{r-p}% {q-p}\right) \qquad(\text{modulo }2\pi) \] \begin{enumerate} \item On d\'{e}signe par $\Gamma$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. On consid\`{e}re sur ce cercle un point $N$ distinct de $I$ et $J$. On note $t$ une mesure de l'angle $(\overrightarrow{u},\overrightarrow{ON})$. \index{Cercle} \begin{enumerate} \item Quelle est la nature du triangle $INJ$ ? \index{Triangle} \item Montrer que, pour tout r\'{e}el $t$ tel que $t\neq\pi/2+k\pi$ (o\`{u} $k$ est un entier relatif), le nombre complexe : \[ \frac{e^{it}+i}{e^{it}-i}% \] est imaginaire pur. \end{enumerate} Dans la suite, on d\'{e}signe par $C$ le cercle de centre $A$ et de rayon $1 $. \item On nomme $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi/2$. Tracer $C$ et son image $C^{\prime}$ par la rotation $r$ sur une m\^{e}me figure, qui sera compl\'{e}t\'{e}e par la suite. \index{Rotation} \begin{enumerate} \item On note $M^{\prime}$ l'image par $r$ d'un point quelconque $M$ du plan. Exprimer l'affixe $z^{\prime}$ de $M^{\prime}$ en fonction de l'affixe $z$ de $M$. \item D\'{e}terminer l'ant\'{e}c\'{e}dent $H$ de $K$ par $r$. \index{Ant\'{e}c\'{e}dent} \end{enumerate} \item Dans cette question, $M$ est un point quelconque du cercle $C$, distinct de $H$ et de $K$. On note $t$ une mesure de l'angle $(\overrightarrow {u},\overrightarrow{AM})$. Ainsi l'affixe $z$ de $M$ s'\'{e}crit : $z=1+e^{it}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : \[ \frac{z^{\prime}-(1+i)}{z-(1+i)}=i\frac{e^{it}+i}{e^{it}-i}% \] \item Montrer finalement que les points $M$, $K$ et $M^{\prime}$ sont align\'{e}s. \index{Alignement} \item En d\'{e}duire une construction de $M^{\prime}$ connaissant $M$. \end{enumerate} \end{enumerate} \chapter{Exercices} \section{Int% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion egration} \subsection{Japon 1996 ( modifi% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion e)} Pour tout entier $n$ strictement positif on consid\`{e}re la fonction $f_{n}$ d\'{e}finie sur $]0,+\infty\lbrack$ par \[ \;f_{n}(x)=\frac{(\ln x)^{n}}{x^{2}}% \] et on pose$ \index{Fonction!logarithme}$% \[ I_{n}=\int_{1}^{e}f_{n}(x)\ dx \] \begin{enumerate} \item Calculer la d\'{e}riv\'{e}e de $x\longmapsto\displaystyle\frac{1+\ln x}{x}$. En d\'{e}duire $I_{1}$. \index{Int\'{e}grale} \item[\textbf{2.}] En utilisant une int\'{e}gration par parties montrer que : \[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+(n+1)I_{n}% \] En d\'{e}duire $I_{2}$. \item[\textbf{3.}] En utilisant la formule pr\'{e}c\'{e}dente, montrer par r\'{e}currence que pour tout entier $n$ non nul : \[ \frac{1}{n!}I_{n}=1-\frac{1}{e}\left( 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}% +\cdots+\frac{1}{n!}\right) . \] \item[\textbf{4.}] En utilisant un encadrement de $\ln x$ sur $[1,e]$, montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul : \[ 0\leqslant I_{n}\leqslant1 \] En d\'{e}duire \index{Limite!de suite} \[ \underset{n\rightarrow+\infty}{\text{lim}}\left( 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}% {2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right) \] \end{enumerate} \subsection{Am% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erique du Sud 1995} On pose pour tout entier naturel $n$ non nul : \index{Int\'{e}grale} \[ I_{n}=\int_{1}^{e}x^{2}(\ln x)^{n}\ dx\ \] o\`{u} $\ln$ d\'{e}signe la fonction logarithme n\'{e}p\'{e}rien, et \[ \hspace{-5cm}\text{pour $n=0$}\quad I_{0}=\int_{1}^{e}x^{2}\ dx. \] \begin{enumerate} \item Calculer $I_{o}$. \item En utilisant une int\'{e}gration par parties, calculer $I_{1}$. \index{Int\'{e}gration!par parties} \item En utilisant une int\'{e}gration par parties, d\'{e}montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : \[ 3I_{n+1}+(n+1)I_{n}=e^{3}.\qquad\qquad(1) \] En d\'{e}duire $I_{2}$. \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_{n}$ est positive. \item D\'{e}duire de l'\'{e}galit\'{e} (1) que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ I_{n}\leqslant\frac{e^{3}}{n+1}% \] \item D\'{e}terminer $\underset{n\rightarrow+\infty}{\text{lim}}I_{n}.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Sportifs de haut niveau 1994} On consid\`{e}re la suite $I$ d\'{e}finie par : \index{Int\'{e}grale} \index{Suite} \[ I_{0}=\int_{0}^{1}e^{x}\,dx \] et pour tout entier naturel $n\geqslant1$ par : \[ I_{n}=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}\left( 1-x\right) ^{n}e^{x}\,dx \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer \[ \int_{0}^{1}\left( 1-x\right) ^{n}\,dx \] \item A l'aide de l'encadrement : \index{Encadrement} \[ 1\leqslant e^{x}\leqslant e \] valable sur l'intervalle $\left[ 0,1\right] ,$ montrer que pour tout entier $n\geqslant1$ on a : \[ \frac{1}{\left( n+1\right) !}\leqslant I_{n}\leqslant\frac{e}{\left( n+1\right) !}% \] \item Montrer que la suite $I$ est convergente et d\'{e}terminer sa limite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $I_{0},$ puis $I_{1}$ \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties. \index{Int\'{e}gration!par parties} \item Etablir, en int\'{e}grant par parties, que pour tout entier $n\geqslant1,$ on a : \begin{equation} I_{n-1}-I_{n}=\frac{1}{n!}\tag{1}% \end{equation} \end{enumerate} \item On pose, pour tout entier $n\geqslant1$ : \[ J_{n}=1+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{n!}% \] \begin{enumerate} \item En utilisant les relations $\left( 1\right) $, exprimer $J_{n}$ \`{a} l'aide de $I_{0}$ et $I_{n}.$ \item En d\'{e}duire la limite $J$ de la suite $\left( J_{n}\right) .$ \item Justifier l'encadrement : \[ \frac{1}{\left( n+1\right) !}\leqslant J-J_{n}\leqslant\frac{e}{\left( n+1\right) !}% \] \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Polyn% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion esie 1991} Dans cet exercice, on se propose d'encadrer l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}grale} \[ K=\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^{2}}}{1+x}\,dx \] \begin{enumerate} \item En \'{e}tudiant les variations des fonctions $:$% \[ g:x\mapsto e^{-x}+x-1\text{ et }h:x\mapsto1-x+\frac{x^{2}}{2}-e^{-x}% \] sur l'intervalle $\left[ 0,1\right] ,$ d\'{e}montrer que pour tout $x$ de $\left[ 0,1\right] ,$% \begin{equation} 1-x\leqslant e^{-x}\leqslant1-x+\frac{x^{2}}{2}\tag{1}% \end{equation} \item D\'{e}duire de 1. un encadrement de $e^{-x^{2}}$ pour $x$ \'{e}% l\'{e}ment de $\left[ 0,1\right] ,$ puis montrer que pour tout $x$ de $\left[ 0,1\right] $ : \begin{equation} 1-x\leqslant\frac{e^{-x^{2}}}{1+x}\leqslant1-x+\frac{x^{4}}{2\left( 1+x\right) }\tag{2}% \end{equation} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ de $\left[ 0,1\right] $ : \[ \frac{x^{4}}{1+x}=x^{3}-x^{2}+x-1+\frac{1}{1+x}% \] \item D\'{e}duire alors de $\left( 2\right) $ que : \[ \frac{1}{2}\leqslant K\leqslant\frac{5}{24}+\frac{\ln2}{2}% \] Donner une valeur approch\'{e}e de $K$ \`{a} $3\times10^{2}$ pr\`{e}s. \index{Valeur!approch\'{e}e} \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Probabilit% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion es} \subsection{Groupe II bis 1997} Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules sont indiscernables au toucher. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item On effectue quatre tirages successifs d'une boule sans remise. \index{Urne} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilit\'{e} de tirer dans l'ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule blanche. \item Calculer la probabilit\'{e} de tirer une boule blanche au cours de ces quatre tirages. \end{enumerate} \item On effectue maintenant quatre tirages successifs d'une boule avec remise. R\'{e}pondre aux m\^{e}mes questions qu'\`{a} la question 1. \item $n$ \'{e}tant un nombre entier strictement positif, on effectue $n$ tirages successifs avec remise. On appelle P$_{n}$ la probabilit\'{e} d'obtenir au cours de ces $n$ tirages une boule blanche uniquement au dernier tirage. \begin{enumerate} \item Calculer $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ et $P_{n}$. \index{Suite} \item Soit $S_{n}=P_{1}+P_{2}+P_{3}+\cdots+P_{n}$.\newline Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ et d\'{e}terminer la limite de $S_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Paris 1997} Trois d\'{e}s cubiques sont plac\'{e}s dans une urne. Deux de ces d\'{e}s sont normaux : leurs faces sont num\'{e}rot\'{e}es de $1$ \`{a} $6$. Le troisi\`{e}me d\'{e} est sp\'{e}cial : trois de ses faces sont num\'{e}% rot\'{e}es $6$, les trois autres sont num\'{e}rot\'{e}es $1$. On tire de l'urne, simultan\'{e}ment et au hasard, deux d\'{e}s parmi les trois et on les lance. On note A l'\'ev\`enement : '' les deux d\'es tir\'es sont normaux '' On note B l'\'ev\`enement : '' les deux faces sup\'erieures sont num\'erot\'ees $6$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}finir l'\'{e}v\`{e}nement contraire de A, qu'on notera $\overline{\text{A}}$. \item Calculer les probabilit\'{e}s de A et de $\overline{\text{A}}$. \index{Probabilit\'{e}} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $p\left( \text{B/A}\right) $, probabilit\'{e} de B sachant que A est r\'{e}alis\'{e}, puis $p\left( \text{B}\cap\text{A}\right) $. \item Calculer $p\left( \text{B}\right) $. \end{enumerate} \item Calculer $p\left( \text{A/B}\right) $, probabilit\'{e} de A sachant que B est r\'{e}alis\'{e}. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \end{enumerate} \subsection{Pondich% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ery 1997\label{exo_pondichery_97}} Voici le plan de la salle 308 du lyc\'{e}e Dupont : \index{Probabilit\'{e}}% \begin{center} \unitlength1cm \begin{picture}(11,6) \put(1,2){\line(1,0){4}} \put(1,3){\line(1,0){4}} \put(1,4){\line(1,0){4}} \put(1,5){\line(1,0){4}} \put(1,6){\line(1,0){4}} \put(7,2){\line(1,0){4}} \put(7,3){\line(1,0){4}} \put(7,4){\line(1,0){4}} \put(7,5){\line(1,0){4}} \put(7,6){\line(1,0){4}} \put(4,0){\line(1,0){4}} \put(4,1){\line(1,0){4}} \put(1,2){\line(0,1){4}} \put(2,2){\line(0,1){4}} \put(3,2){\line(0,1){4}} \put(4,2){\line(0,1){4}} \put(5,2){\line(0,1){4}} \put(7,2){\line(0,1){4}} \put(8,2){\line(0,1){4}} \put(9,2){\line(0,1){4}} \put(10,2){\line(0,1){4}} \put(11,2){\line(0,1){4}} \put(4,0){\line(0,1){1}} \put(8,0){\line(0,1){1}} \put(0.3,2.4){R1} \put(0.3,3.4){R2} \put(0.3,4.4){R3} \put(0.3,5.4){R4} \put(5.4,0.4){bureau} \put(5.6,4.4){all\'ee} \put(5.3,3.4){centrale} \end{picture} \end{center}% Le premier jour de l'ann\'ee scolaire, les \'el\`eves de la classe de TS1 sont invit\'es par leur professeur principal \`a s'installer au hasard des places disponibles dans cette salle. La classe de TS1 comporte 28 \'el\`eves. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le nombre de r\'epartitions possibles des places inoccup\'ees ? \item Calculer \`a $10^{-1}$ pr\`es, les probabilit\'es des \'ev\`enements suivants :\newline A : '' les huit places du rang R4 sont toutes occup\'ees ''\newline B : ''Il y a autant d'\'el\`eves \`a gauche qu'\`a droite de l'all\'ee centrale '' \end{enumerate} \item Dans cette question, les r\'{e}sultats seront donn\'{e}s sous forme fractionnaire. Soit $X$ la variable al\'{e}atoire '' nombre de places inoccup\'{e}es au rang R4 ''. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilit\'{e} de $X$. \index{Variable!al\'{e}atoire} \item Calculer son esp\'{e}rance math\'{e}matique. \index{Esp\'{e}rance} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Polyn% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion esie 1997} Les questions 1, 2 et 3 sont ind\'{e}pendantes. Tous les r\'{e}sultats de calcul de probabilit\'{e} seront donn\'{e}s sous forme d'une fraction irr\'{e}ductible.\newline Une classe de terminale S d'un lyc\'{e}e compte $30$ \'{e}l\`{e}ves dont $10$ filles. \begin{enumerate} \item A chaque s\'{e}ance du cours de math\'{e}matiques, le professeur interroge au hasard trois \'{e}l\`{e}ves. D\'{e}terminer la probabilit\'{e} de chacun des \'{e}v\`{e}nements suivants : \index{Probabilit\'{e}}\newline A : `` Exactement deux des trois \'{e}% l\`{e}ves interrog\'{e}s sont des gar\c{c}ons ''\newline B : `` Les trois \'{e}l\`{e}ves interrog\'{e}s sont de m\^{e}me sexe ''\newline C : ``\ Il y a au plus une fille parmi les trois \'{e}l\`{e}ves interrog\'{e}s. '' \item Parmi les $19$ internes de la classe, on compte $4$ filles. On choisit au hasard dans cette classe deux d\'{e}l\'{e}gu\'{e}s de sexes diff\'{e}rents. D\'{e}terminer la probabilit\'{e} de chacun des \'{e}v\`{e}nements suivants :\newline D : `` Les deux d\'{e}l\'{e}gu\'{e}s sont internes ''\newline E : `` Un seul de deux d\'{e}l\'{e}gu\'{e}s est interne ''. \item A la fin de chaque s\'{e}ance le professeur d\'{e}signe au hasard un \'{e}l\`{e}ve qui effacera le tableau. Un m\^{e}me \'{e}l\`{e}ve peut \^{e}tre d\'{e}sign\'{e} plusieurs fois. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la probabilit\'{e} $P_{n}$ pour que le tableau soit effac\'{e} au moins une fois par une fille \`{a} l'issue de $n$ s\'{e}ances. \item D\'{e}terminer le nombre minimal de s\'{e}ances pour que $P_{n}% \geqslant0,9999.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Am% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erique du Nord 1997} \index{Probabilit\'{e}}Juliette d\'{e}bute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la premi\`{e}re partie. On admet que, si elle gagne une partie, la probabilit\'{e} qu'elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une partie, la probabilit\'{e} pour qu'elle perde la partie suivante est 0,7. On note, pour $n$ entier naturel ou nul :\newline $G_{n}$ l'\'{e}v\`{e}nement `` Juliette gagne la $n$-i\`{e}me partie ''\newline $P_{n}$ l'\'{e}v\`{e}nement `` Juliette perd la $n$-i\`{e}me partie ''\newline \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les probabilit\'{e}s $p\left( G_{1}\right) ,$ $p\left( G_{2}/G_{1}\right) $ et $p\left( G_{2}/P_{1}\right) .$ En d\'{e}duire la probabilit\'{e} $p\left( G_{2}\right) .$ \item Calculer $p\left( P_{2}\right) .$ \end{enumerate} \item On pose, pour $n$ entier naturel non nul, $x_{n}=p\left( G_{n}\right) $ et $y_{n}=p\left( P_{n}\right) .$ \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer pour $n$ entier naturel non nul les probabilit\'{e}s $p\left( P_{n+1}/G_{n}\right) $ et $p\left( G_{n+1}/P_{n}\right) .$ \item Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul : \index{Suite!et probabilit\'{e}} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x_{n+1}=0,6x_{n}+0,3y_{n}\\ y_{n+1}=0,4x_{n}+0,7y_{n}% \end{array} \right. \] \end{enumerate} \item Pour $n$ entier naturel non nul, on pose \[ v_{n}=x_{n}+y_{n}\text{ et }w_{n}=4x_{n}-3y_{n}% \] \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left( v_{n}\right) $ est constante de terme g\'{e}n\'{e}ral \'{e}gal \`{a} $1.$ \index{Suite!constante} \item Montrer que la suite $\left( w_{n}\right) $ est g\'{e}om\'{e}trique et exprimer $w_{n}$ en fonction de $n.$ \index{Suite!g\'{e}om\'{e}trique} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}duire du 3. l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n.$ \item Montrer que la suite $\left( x_{n}\right) $ converge et d\'{e}terminer sa limite. \index{Suite!convergente} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Remplacement 1996} Un livreur de pizzas doit servir un client qui se trouve \`{a} $6$ km et qui exige d'\^{e}tre servi \`{a} $20$ h $00$ pr\'{e}cis\'{e}ment. Pour se d\'{e}placer, il utilise un scooter qui roule constamment \`{a} $36$ $km/h$. ( on n\'{e}glige les phases d'acc\'{e}l\'{e}ration et de d\'{e}c\'{e}% l\'{e}ration ). Sur son trajet, il va rencontrer $2$ deux tricolores non synchronis\'{e}s et ind\'{e}pendants. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} S'il arrive \`a un feu orange, il s'arr\^ete $60$ secondes et repart. S'il arrive \`a un feu rouge, il s'arr\^ete 3$0$ secondes et repart. Pour chaque feu : \begin{itemize} \item la probabilit\'e d'\^etre vert \`a l'arriv\'ee du livreur est $\frac12$. \item la probabilit\'e d'\^etre orange \`a l'arriv\'ee du livreur est $\frac14$. \end{itemize} Soit $T$ la variable al\'eatoire '' temps en minutes mis par le livreur pour arriver \`a destination ''. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer, en justifiant le calcul, la probabilit\'e $p\left( T=11\right) $. \item Donner la loi de probabilit\'e de $T$. \end{enumerate} \item Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de $T$. \index{Esp\'{e}rance} \item Repr\'{e}senter la fonction de r\'{e}partition de $T$. \index{Fonction!de r\'{e}partition} \item Le livreur part \`{a} $19$ h $49$. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilit\'{e} pour le livreur d'arriver en retard ? \item Quelle est la probabilit\'{e} pour le livreur d'arrive en avance ? \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Guadeloupe 1996\label{exo_guadeloupe_96}} \emph{Pour les questions 1 et 2, on donnera les r\'{e}sultats sous forme de fraction.\newline }Monsieur Martin a 17 cravates : 12 cravates \`{a} motifs et 5 cravates unies. Il range toujours 10 cravates ( 7 \`{a} motifs et 3 unies ) du c\^{o}t\'{e} gauche de son armoire et 7 cravates ( 5 \`{a} motifs et 2 unies ) de l'autre c\^{o}t\'{e}. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item Monsieur Martin devant partir en voyage pendant 3 jours a besoin de 3 cravates. Pour cela, il choisit 3 cravates simultan\'{e}ment et au hasard du c\^{o}t\'{e} gauche de son armoire. Soit $X$ le nombre de cravates \`{a} motifs qu'il choisit : \index{Variable!al\'{e}atoire} \begin{enumerate} \item Calculer la loi de probabilit\'{e} de $X.$ \item Calculer $E\left( X\right) .$ \index{Esp\'{e}rance} \end{enumerate} \item Lorsqu'il ne voyage pas, pour d\'{e}terminer la cravate qu'il portera dans la journ\'{e}e, Monsieur Martin utilise la m\'{e}thode suivante : il choisit un c\^{o}t\'{e} de l'armoire au hasard, de fa\c{c}on \'{e}quiprobable, et il prend ensuite une cravate, toujours au hasard, sur le c\^{o}t\'{e} choisi. On consid\`{e}re les \'{e}v\`{e}nements suivants :\newline G : \guilsinglleft\guilsinglleft\ Monsieur Martin choisit le c\^{o}t\'{e} gauche de l'armoire. \guilsinglright\guilsinglright\newline D : \guilsinglleft \guilsinglleft\ Monsieur Martin choisit le c\^{o}t\'{e} droit de l'armoire. \guilsinglright\guilsinglright\newline M : \guilsinglleft\guilsinglleft \ Monsieur Martin tire une cravate \`{a} motifs. \guilsinglright \guilsinglright\newline U : \guilsinglleft\guilsinglleft\ Monsieur Martin tire une cravate unie. \guilsinglright\guilsinglright\newline \begin{enumerate} \item %TCIMACRO{\TeXButton{vspace}{\vspace{-0.5cm}}}% %BeginExpansion \vspace{-0.5cm}% %EndExpansion Calculer $p\left( \text{M}\right) .$ \item Calculer $p\left( \text{G/M}\right) ,$ probabilit\'{e} conditionnelle de G sachant que M est r\'{e}alis\'{e}. \end{enumerate} \item Tous les jours, pendant $n$ jours, Monsieur Martin effectue son choix en suivant la m\'{e}thode indiqu\'{e}e en 2. Chaque soir, il remet la cravate utilis\'{e}e pendant la journ\'{e}e \`{a} sa place. \begin{enumerate} \item Calculer en fonction de $n$ la probabilit\'{e} $p_{n}$ pour qu'il ait pris au moins une cravate \`{a} motifs. \index{Probabilit\'{e}} \item Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $p_{n}\geqslant0,99.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Groupe II bis 1996} On dispose de deux urnes :\newline \hspace*{0cm}$\bullet$\hspace*{0cm} une urne U$_{1}$ dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules noires;\newline \hspace*{0cm}$\bullet$\hspace*{0cm} une urne U$_{2}$ dans laquelle se trouvent deux boules blanches et trois boules noires.\newline Une \'{e}preuve consiste \`{a} tirer simultan\'{e}ment et au hasard deux boules de chaque urne : on obtient ainsi quatre boules, les tirages dans chaque urne \'{e}tant \'{e}quiprobable. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement E : %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion parmi les quatre boules tir\'{e}es, il y a exactement deux boules blanches %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion est \'{e}gale \`{a} $0,46.$ \item On note X la variable al\'{e}atoire qui \`{a} chaque tirage associe le nombre de boules blanches obtenues. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de X. \index{Variable!al\'{e}atoire} \item Le joueur doit verser $2,50$ F avant d'effectuer le tirage ; il re\c {c}oit \`{a} l'issue du tirage 1 F par boule blanche obtenue. Le jeu est-il \'{e}quitable~? \end{enumerate} \item Calculer la probabilit\'{e} d'avoir tir\'{e} une et une seule boule blanche de l'urne U$_{1}$ sachant qu'on a tir\'{e} deux boules blanches. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \item On ne consid\`{e}re que l'urne U$_{1}$, de laquelle on tire toujours au hasard et simultan\'{e}ment deux boules. On nomme succ\`{e}s le tirage de deux boules blanches. On renouvelle dix fois la m\^{e}me \'{e}preuve (en remettant chaque fois les boules tir\'{e}es dans l'urne). D\'{e}terminer la probabilit\'{e} d'avoir au moins un succ\`{e}s sur les dix tirages. \end{enumerate} \subsection{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1996} Au cours d'une f\^{e}te, le jeu suivant est propos\'{e} au public : \newline Dans une urne se trouvent plac\'{e}es 7 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher.\newline Le joueur prend une boule au hasard ; si cette boule est noire, le jeu s'arr\^{e}te ; si cette boule est rouge, le joueur prend une deuxi\`{e}me boule (sans remettre la premi\`{e}re boule tir\'{e}e dans l'urne) et le jeu s'arr\^{e}te.\newline Une boule noire tir\'{e}e apporte au joueur 1 F et chaque boule rouge 2 F.\newline Pour faire un jeu, le joueur paie 2 F. On d\'{e}signe par X la variable al\'{e}atoire associ\'{e}e au gain alg\'{e}brique du joueur (c'est \`{a} dire la diff\'{e}rence entre la somme rapport\'{e}e par les boules tir\'{e}es et le prix du jeu). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs que X peut prendre~? \item D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de X et son esp\'{e}rance math\'{e}matique. \index{Variable!al\'{e}atoire} \index{Esp\'{e}rance} \end{enumerate} \item Un joueur fait trois jeux. Ceux-ci se d\'{e}roulent dans des conditions identiques (apr\`{e}s chaque jeu, les boules tir\'{e}es sont remises dans l'urne).\newline D\'{e}terminer la probabilit\'{e} des \'{e}v\'{e}nements suivants : \newline A : le joueur perd 3 F.\newline B : le joueur perd 1 F. \newline C : le gain du joueur est nul.\newline En d\'{e}duire la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement D : %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion le joueur a un gain strictement positif %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \end{enumerate} \subsection{Nouvelle Cal% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion edonie 1996} On donnera les r\'{e}sultats sous forme de fraction irr\'{e}ductible. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 noirs. On tire successivement les 7 jetons sans remise.\newline X est la variable al\'{e}atoire qui prend pour valeur $k$ si le premier jeton blanc appara\^{i}t au $k$-i\`{e}me tirage.\newline Donner la loi de probabilit\'{e} de X et calculer son esp\'{e}rance math\'{e}matique. \index{Variable!al\'{e}atoire} \index{Esp\'{e}rance} \item Une autre urne U$^{\prime}$ contient 17 jetons blancs et 18 noirs.\newline On jette un d\'{e} cubique dont chaque face a la m\^{e}me probabilit\'{e} d'appara\^{i}tre.\newline Si le 6 appara\^{i}t, on tire un jeton de l'urne U, sinon on tire un jeton de l'urne U$^{\prime}$. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que la probabilit\'{e} de tirer un jeton blanc est \'{e}gale \`{a} 0,5. \item On a tir\'{e} un jeton blanc, calculer la probabilit\'{e} pour qu'il provienne de U. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1995} Un code antivol d'un autoradio est un nombre de quatre chiffres, chaque chiffre pouvant prendre l'une des dix valeurs 0,1, ....,9.\newline \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le nombre de codes possibles ? \item Quel est le nombre de codes form\'{e}s de quatre chiffres distincts deux \`{a} deux ? \end{enumerate} \item Apr\`{e}s une coupure d'alimentation \'{e}lectrique, le propri\'{e}% taire doit r\'{e}introduire le code pour pouvoir utiliser son autoradio.\newline Il sait que les quatre chiffres de son code sont 1, 9, 9 et 5, mais il a oubli\'{e} l'ordre de ces chiffres. \begin{enumerate} \item Combien de codes diff\'{e}rents peut-il composer avec ces 4 chiffres ? \item Si le premier code introduit n'est pas le bon, le propri\'{e}taire doit attendre 2 minutes avant de pouvoir tenter un second essai ; le delai d'attente entre le second et le troisi\`{e}me essai est de 4 minutes, entre le troisi\`{e}me et le quatri\`{e}me essai, il est de 8 minutes...(le d\'{e}lai d'attente double entre deux essais successifs).\newline Combien de codes le propri\'{e}taire peut-il introduire au maximum en 24 heures ?\newline \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} On consid\`{e}re le syst\`{e}me d'\'{e}quations lin\'{e}aires : \index{Syst\`{e}me!d'\'{e}quations} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x-2y=3\\ ax-by=c \end{array} \right. \] Pour d\'{e}terminer les coefficients $a,\;b,\;c$ on lance trois fois un d\'{e} cubique parfait dont les faces sont num\'{e}rot\'{e}es de 1 \`{a} 6 et les num\'{e}ros sortis donnent les valeurs de $a,\;b,\;,c\;$.\newline Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements suivants : \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item $E_{1}$ : le syst\`{e}me a une infinit\'{e} de solutions \item $E_{2}$ : le syst\`{e}me n'a aucune solution \item $E_{3}$ : le syst\`{e}me a une seule solution \item $E_{4}$ : le syst\`{e}me a une seule solution qui est $(3;0)$ \end{enumerate} Les r\'{e}sultats seront donn\'{e}s sous la forme de fractions de d\'{e}nominateur 108.\\[0.2cm] \section{Nombres complexes} \subsection{Groupe I bis 1997} \index{Complexe} \index{Affixe}Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\vec{u},\vec{v}\right) $, ayant comme unit\'{e} graphique 4~cm. On note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $2i$, $-1$ et $i$.\newline On consid\`{e}re la fonction $f$ de $\mathcal{P}-\{A\}$ dans $\mathcal{P}$ qui \`{a} tout point $M$ de $\mathcal{P}-\{A\}$, d'affixe $z$, associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \[ z^{\prime}=\frac{z+1}{z-2i}% \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Faire une figure que l'on compl\`{e}tera au cours de l'exercice. \item D\'{e}terminer l'affixe du point $C^{\prime}$ image de $C$. Quelle est la nature du quadrilat\`{e}re $ACBC^{\prime}$ ? \item Montrer que le point $C$ admet un ant\'{e}c\'{e}dent unique par $f$ que l'on notera $C^{\prime\prime}$. Quelle est la nature du triangle $BCC^{\prime\prime}$ ? \end{enumerate} \item Donner une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique de l'argument et du module de $z^{\prime}$. \index{Argument} \index{Module} \item D\'{e}terminer, en utilisant la question pr\'{e}c\'{e}dente, quels sont les ensembles suivants : \begin{enumerate} \item L'ensemble $E_{a}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour affixe un nombre r\'{e}el strictement n\'{e}gatif. \item L'ensemble $E_{b}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul. \item L'ensemble $E_{c}$ des points $M$ dont les images appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Groupe II bis 1997} Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}, (unit\'{e} graphique 3~cm). \index{Complexe} \newline On d\'{e}signe par A le point d'affixe $i$% .\newline A tout point M du plan, distinct de A, d'affixe $z$, on associe le point M$^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}fini par : \index{Affixe} \[ z^{\prime}=\frac{z^{2}}{i-z}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les points M confondus avec leur image M$^{\prime}$. \item \'{E}tant donn\'{e} un complexe $z$ distinct de $i$, on pose : $z=x+iy $ et $z^{\prime}=x^{\prime}+iy^{\prime}$, avec $x,y,x^{\prime},y^{\prime}$ r\'{e}els.\newline Montrer que : \[ x^{\prime}=\frac{-x(x^{2}+y^{2}-2y)}{x^{2}+(1-y)^{2}}% \] En d\'{e}duire l'ensemble $\mathcal{E}$ des points M dont l'image M$^{\prime}$ est situ\'{e}e sur l'axe des imaginaires purs. Dessiner l'ensemble $\mathcal{E}$ . \item Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM$^{\prime}% $. En d\'{e}duire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points M du plan tels que M et M$^{\prime}$ soient situ\'{e}s sur un m\^{e}me cercle de centre O. Dessiner l'ensemble $\mathcal{F}$. \item Dans toute cette question, on consid\`{e}re un point M d'affixe $z$, situ\'{e} sur le cercle de centre A et de rayon ${\displaystyle\frac{1}{2}}$. M$^{\prime}$ est le point d'affixe $z^{\prime}$ correspondant, et G l'isobarycentre des points A, M et M$^{\prime}$. \index{Barycentre}\newline Calculer l'affixe $z_{G}$ de G en fonction de $z$.\newline Montrer que G est situ\'{e} sur un cercle un centre O dont on pr\'{e}cisera le rayon. Apr\`{e}s avoir compar\'{e} les angles ${\displaystyle (\overrightarrow{u},\overrightarrow{\strut OG:})}$ et ${\displaystyle (\overrightarrow{u},\overrightarrow{\strut AM:})}$, effectuer la construction de G. En d\'{e}duire celle de M$^{\prime}$. \end{enumerate} \subsection{Antilles 1997} {Le plan orient\'{e} est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}, l'unit\'{e} graphique est 1~cm. \newline On consid\`{e}re les points }${A}${, }${B}${\ , }${C}${\ d'affixes respectives :} \index{Complexe} \[% \begin{tabular} [c]{l}% {$z_{A}=(3\sqrt{3}-2)+i(3+2\sqrt{3})$}\\ $z_{B}=(-\sqrt{3}-1)+i(\sqrt{3}-1)$\\ $z_{C}=(1-4\sqrt{3})+i(-4-\sqrt{3})$% \end{tabular} \] \begin{enumerate} \item On se propose de placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le rep\`{e}re \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}\thinspace\ \`{a} l'aide du compas. Pour cela on consid\`{e}re la rotation \index{Rotation} $\mathcal{R}$ de centre O et d'angle de mesure $\displaystyle \frac{-2\pi}{3}$. \begin{enumerate} \item Donner l\rq\'{e}criture complexe de $\mathcal{R}$. \item V\'{e}rifier que $\mathcal{R}$ transforme le point $A$ en le point $A^{\prime}$ d'affixe : $4-6i$.\newline On admettra que $\mathcal{R}$ transforme les points $B$ et $C$ en les points $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ d'affixes respectives $2+2i$ et $-2+8i$. \item Placer les points $A^{\prime}$, $B^{\prime}$, $C^{\prime}$ puis, \`{a} l'aide du compas, les points $A$, $B$, $C$. (La construction de $A$ sera justifi\'{e}e). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $z_{A}-z_{B}+z_{C}$. \item En d\'{e}duire que le point O est le barycentre \index{Barycentre}du syst\`{e}me de points pond\'{e}r\'{e}s $\{(A,1),(B,-1),(C,1)\}$. \end{enumerate} \item Soit l\rq ensemble $\mathcal{C}$ des points M du plan tels que : \[ \|\overrightarrow{\strut MA\:}-\overrightarrow{\strut MB\:}+\overrightarrow {\strut MC\:}\| =\|\overrightarrow{\strut MA\:}-2\overrightarrow{\strut MB\:}+\overrightarrow{\strut MC\:}\| \] \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que $B$ appartient \`{a} $\mathcal{C}$. \item D\'{e}terminer puis tracer l\rq ensemble $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item D\'{e}terminer puis tracer l'ensemble $\mathcal{D}$ des points M du plan tels que : \[ 2\Vert\overrightarrow{\strut MA\;}-\overrightarrow{\strut MB\;}% +\overrightarrow{\strut MC\;}\Vert=\Vert\overrightarrow{\strut MA\;}% -3\overrightarrow{\strut MB\;}\Vert \] \end{enumerate} \subsection{Polyn% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion esie 1997} {Dans le plan complexe rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}, on consid\`{e}re les points $M_{n}$ d'affixes ${\displaystyle z_{n}=\left( \frac{1}{2}i\right) ^{n}(1+i\sqrt {3})} $ o\`{u} $n$ est un entier naturel. \index{Complexe} \index{Affixe}} \begin{enumerate} \item Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$ puis $z_{n}$ en fonction de $z_{0}$ et $n$.\newline Donner $z_{0}$, $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$ et $z_{4}$ sous forme alg\'{e}brique et sous forme trigonom\'{e}trique. \item Placer les points $M_{0}$, $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ et $M_{4}$ (unit\'{e} graphique : 4~cm). \item D\'{e}terminer la distance $OM_{n}$ en fonction de $n$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l\rq on a ${\displaystyle M_{n}M_{n+1}=\frac{\sqrt{5}% }{2^{n}}}$ pour tout $n$ entier naturel. \item On pose ${\displaystyle L_{n}=\sum_{k=0}^{n}M_{k}M_{k+1}}$% \newline (C'est \`{a} dire $L_{n}=M_{0}M_{1}+M_{1}M_{2}+\dots+M_{n}M_{n+1}$). D\'{e}terminer $L_{n}$ en fonction de $n$ puis la limite de $L_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \item D\'{e}terminer une mesure de l'angle $\left( \overrightarrow{\strut OM_{0}},\overrightarrow{\strut OM_{n}}\right) $ en fonction de $n$% .\newline Pour quelles valeurs de $n$ les points $O$, $M_{0}$ et $M_{n}$ sont-ils align\'{e}s ? \end{enumerate} \subsection{Centres %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion etrangers 1997} Dans le plan complexe rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$ , on donne les points A d'affixe $2i $, B d'affixe $2$ et I milieu de [AB] (on prendra 2 cm d'unit\'{e} graphique). On consid\`{e}re la fonction $f$ qui, \`{a} tout point M distinct de A, d'affixe $z$, associe le point M$^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \[ z^{\prime}=\frac{2z}{z-2i}% \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ admet comme points invariants le point O et un deuxi\`{e}me point dont on pr\'{e}cisera l'affixe. \index{Complexe} \index{Affixe} \item D\'{e}terminer les images par $f$ des points B et I. \end{enumerate} \item Soit M un point quelconque distinct de A et O.\newline Etablir que : \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% (\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow{\strut\text{OM}^{\prime}% })=(\overrightarrow{\strut\text{MA}},\overrightarrow{\strut\text{MO}}% )+k2\pi,\;k\in\mathbb{Z}\\ {\displaystyle OM^{\prime}=2\;\frac{MO}{MA}}% \end{array} \right. \] \item Soit ($\Delta$) la m\'{e}diatrice de [OA].\newline Montrer que les transform\'{e}s par $f$ des points de ($\Delta$) appartiennent \`{a} un cercle (C) que l\rq on pr\'{e}cisera. \item Soit ($\Gamma$) le cercle de diam\`{e}tre [OA], priv\'{e} du point A. Montrer que les transform\'{e}s par $f$ des points de ($\Gamma$) appartiennent \`{a} une droite (D) que l\rq on pr\'{e}cisera. \item Tracer ($\Delta$), ($\Gamma$),(C), (D) sur la m\^{e}me figure. \end{enumerate} \subsection{Japon 1997} On consid\`{e}re le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}% }\right) .$ \begin{enumerate} \item Soit le polyn\^{o}me $P$ tel que pour tout $z$ de $\mathbb{C},$ \index{Polyn\^{o}me} \[ P\left( z\right) =z^{3}-4z^{2}+6z-4 \] D\'{e}terminer les r\'{e}els $u$ et $v$ tels que \[ P\left( z\right) =\left( z-2\right) \left( z^{2}+uz+v\right) \] et r\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation $P\left( z\right) =0.$ \item On note $\alpha$ la solution de l'\'{e}quation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et $\beta$ le conjugu\'{e} de $\alpha.$ Soient $A,$ $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $\alpha,$ $\beta$ et $2,$ $I$ le milieu de $\left[ AB\right] $ et $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}.$ \index{Affixe} \index{Conjugu\'{e}} \index{Rotation}\newline D\'{e}terminer l'affixe du point $r\left( B\right) $ et en d\'{e}duire la nature du quadrilat\`{e}re $OACB.$ \item Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ priv\'{e} du point $C$ dans $\mathcal{P}$ qui au point $M$ d'affixe $z$ ( $z\neq2$ ) associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}fini par : \index{Application!complexe} \[ z^{\prime}=\frac{z-\left( 1+i\right) }{z-2}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $f\left( A\right) $ et $f\left( B\right) .$% \newline D\'{e}terminer le point $E$ tel que $f\left( E\right) =C.$ \item Quelles distances repr\'{e}sentent les r\'{e}els $\left| z-\left( 1+i\right) \right| $ et $\left| z-2\right| $ ?\newline En d\'{e}duire que si $M$ appartient \`{a} la m\'{e}diatrice de $\left[ AC\right] ,$ $M^{\prime}$ appartient \`{a} un cercle dont on donnera le centre et le rayon. \index{M\'{e}diatrice} \index{Cercle} \index{Distance} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1996} \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes les \'{e}quations suivantes : \index{Equation} \begin{enumerate} \item $z^{2}-2z+5=0.$ \item $z^{2}-2(1+\sqrt{3})z+5+2\sqrt{3}=0$. \end{enumerate} \item On consid\`{e}re dans le plan complexe rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct \newline $\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}$ les points $A,\ B,\ C,\ D$ d'affixes respectives : \index{Affixe} \[ z_{A}=1+2i,\;z_{B}=1+\sqrt{3}+i,\;z_{C}=1+\sqrt{3}-i,\text{ et }z_{D}=1-2i. \] \begin{enumerate} \item Placer les points $A,\ B,\ C,\ D$ et pr\'{e}ciser la nature du quadrilat\`{e}re $ABCD$. \item[\textbf{b.}] V\'{e}rifier que \[ \frac{z_{D}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}=i\sqrt{3}% \] Que peut-on en d\'{e}duire pour les droites $(AB)$ et $(BD)$~? \item[\textbf{c.}] Prouver que les points $A,\ B,\ C,\ D$ appartiennent \`{a} un m\^{e}me cercle $\Gamma$ dont on pr\'{e}cisera le centre et le rayon. Tracer $\Gamma$. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] On consid\`{e}re l'\'{e}quation : \[ z^{2}-2(1+2\cos\theta)z+5+4\cos\theta=0\qquad\hfill(1) \] o\`{u} $\theta$ d\'{e}signe un nombre r\'{e}el quelconque. \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]R\'{e}soudre l'\'{e}quation (1) dans $\mathbb{C}$. \item[\textbf{b.}] Montrer que les images des solutions appartiennent au cercle $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Nouvelle Cal% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion edonie 1996} Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$} \ (unit\'{e} graphique : 2 cm).\newline On d\'{e}signe par A et B les points d'affixes respectives 1 et 4.\newline L'application $f$ \/associe \`{a} tout point M d'affixe $z$ de $\mathcal{P}$, distinct de A, le point M$^{\prime}$ d'affixe $Z$ d\'{e}finie par : \[ {Z=\frac{z-4}{z-1}}% \] \begin{enumerate} \item Soit C le point d'affixe $i\sqrt{2}$.\newline D\'{e}terminer l'affixe de C$^{\prime}$\ =\ $f$(C). \item D\'{e}montrer que $f$ admet deux points invariants I et J. (On notera I celui d'ordonn\'{e}e positive.)\newline Placer les points I, J, C et C$^{\prime}$. \item On pose $z=x+iy$ et $Z=X+iY$ avec $x$, $y$, $X$, $Y$ r\'{e}els. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $X$ \/et $Y$ en fonction de $x$ et $y$. \item D\'{e}terminer l'ensemble E des points M d'affixe $z$ tels que $Z$ soit r\'{e}el. \item D\'{e}terminer et construire l'ensemble F des points M d'affixe $z$ tels que $Z$ soit imaginaire pur. \end{enumerate} \item Donner une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique de $\mid Z\mid$, $\mid z-4\mid$, $\mid z-1\mid$.\newline En d\'{e}duire l'ensemble D des points M d'affixe $z$ tels que $\mid Z\mid=1 $.\newline Construire D. \end{enumerate} \subsection{Sportifs de haut niveau 1996} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation suivante : \[ z^{2}-6\cos\left( \frac{\pi}{6}\right) z+9=0 \] On notera $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions trouv\'{e}es, $z_{1}$ \'{e}tant la solution de partie imaginaire positive. \item D\'{e}terminer le module et un argument de $z_{1}$ et de $z_{2},$ et donner l'\'{e}criture exponentielle de $z_{1}$ et de $z_{2}.$ \index{Module} \index{Argument} \end{enumerate} \item Placer dans le plan $P$ rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( 0;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ d'unit\'{e} graphique $1$ cm, les images $M_{1}$ et $M_{2}$ de $z_{1}$ et $z_{2}% .$\newline Expliquer pourquoi $M_{1}$ et $M_{2}$ sont situ\'{e}s sur le cercle $\Gamma$ de centre $O$ de rayon $3,$ que l'on tracera. \index{Cercle} \end{enumerate} \item On consid\`{e}re la transformation du plan $P$ qui \`{a} tout point $M $ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \index{Transformation} \[ z^{\prime}=\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) z \] On consid\`{e}re les points $A$ et $B$ d'affixes \[ z_{A}=3e^{i\frac{\pi}{6}}\text{ et }z_{B}=3e^{-i\frac{\pi}{6}}% \] et $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ leurs images par $f.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une rotation dont on pr\'{e}cisera le centre et l'angle. \index{Rotation} \item D\'{e}terminer sous forme exponentielle les affixes $z_{A^{\prime}}$ et $z_{B^{\prime}}$ des points $A^{\prime}$ et $B^{\prime}.$ Placer les points $A,$ $B,$ $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ sur la figure.\newline \index{Forme!exponentielle}Expliquer pourquoi ces points sont sur le cercle $\Gamma.$ \end{enumerate} \item Calculer $\arg\left( \dfrac{z_{A^{\prime}}}{z_{B}}\right) $ et montrer que $B$ et $A^{\prime}$ sont sym\'{e}triques par rapport au point $O.$ En d\'{e}duire que le triangle $ABA^{\prime}$ est rectangle. \index{Sym\'{e}trie} \index{Triangle!rectangle} \end{enumerate} \subsection{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1995} Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonorm\'{e} $\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$; (unit\'{e} graphique 4 cm).\newline On appelle A et B les points d'affixes respectives $i$ et $-i$.\newline A tout point M du plan d'affixe $z$ diff\'{e}rente de $-i$, on associe le point M{'} dont l'affixe $z^{\prime}$ est d\'{e}finie par : \[ {\displaystyle z^{\prime}=\frac{z-i}{z+i}}% \] \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $z^{\prime}$ du point M$^{\prime}$ associ\'{e} au point M d'affixe $z=2+i$. Pr\'{e}ciser le module et un argument de $z^{\prime }$. Placer les points M et M$^{\prime}$ dans le rep\`{e}re $\mbox {$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$. \index{Complexe} \index{Affixe} \item Dans cette question, M est un point quelconque du plan distinct de B.\newline Montrer que ${\displaystyle OM^{\prime}=\frac{MA}{MB}}$. En d\'{e}duire que, lorsque $z$ est un r\'{e}el, M$^{\prime}$ appartient \`{a} un cercle que l'on pr\'{e}cisera. \item Dans cette question, M est un point quelconque du plan distinct de B.\newline Aux points $M_{1}$, $M_{2}$ et $M_{3}$ d\rq affixes respectives $z=\bar z$, (o\`{u} $\bar z$ d\'{e}signe le nombre conjugu\'{e} de $z$), ${\displaystyle z_{2}=-z=} $ et ${\displaystyle z_{3}=\frac{1}{z}}$, on associe les points $M^{\prime}_{1}$, $M^{\prime}_{2}$ et $M^{\prime}_{3}$ d\rq affixe $z^{\prime}_{1}$, $z^{\prime}_{2}$ et $z^{\prime}_{3}$. \begin{enumerate} \item Montrer les relations : ${\displaystyle z^{\prime}_{1}=\frac {1}{\overline{z^{\prime}_{1}}}}$, ${\displaystyle z^{\prime}_{2}=\frac{1}{z}}$ et ${\displaystyle z^{\prime}_{3}=-\frac{1}{z}}$.\newline Exprimer les modules et arguments de $z^{\prime}_{1}$, $z^{\prime}_{2}$ et $z^{\prime}_{3}$ en fonction du module et d'un argument de $z^{\prime}$.\newline \item En utilisant ce qui pr\'{e}c\`{e}de, placer les points $M_{1}$, $M_{2} $, $M_{3}$, $M_{1}^{\prime}$, $M_{2}^{\prime}$ et $M_{3}^{\prime}$ sur la m\^{e}me figure qu'au 1. dans le cas o\`{u} $z=2+i$.\newline \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Groupe IV 1994\label{exo_groupe4_94}} On consid\`{e}re les nombres complexes $-1+i,$ $3\left( 1+i\right) $ et $2.$ \begin{enumerate} \item Ecrire ces nombres sous forme trigonom\'{e}trique. \index{Forme!trigonom\'{e}trique} \index{Affixe} \item On d\'{e}signe par $a,$ $b$ et $c$ ces trois nombres de fa\c{c}on que $\left| a\right| <\left| b\right| <\left| c\right| ,$ et par $A,$ $B$ et $C$ leurs images respectives dans un plan $\mathcal{P}$ muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\vec{u},\vec{v}\right) $. \begin{enumerate} \item Placer $A,$ $B$ et $C.$ \item Montrer que le triangle obtenu est rectangle et isoc\`{e}le. \end{enumerate} \item Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ dans $\mathcal{P}$ qui \`{a} tout point $M$ d'affixe $z$ associe $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ telle que \index{Fonction!complexe} \[ z^{\prime}=2iz+1-2i \] Soient $A^{\prime},$ $B^{\prime}$ et $C^{\prime},$ d'affixes respectives $a^{\prime},$ $b^{\prime}$ et $c^{\prime},$ les images par $f$ des points $A,$ $B$ et $C.$ \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $a^{\prime},$ $b^{\prime}$ et $c^{\prime}.$ Placer $A^{\prime},$ $B^{\prime}$ et $C^{\prime}$ dans le plan $\mathcal{P}.$ Quelle est la nature du triangle $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ ? On justifiera la r\'{e}ponse. \item Calculer puis mettre sous forme trigonom\'{e}trique le complexe $W$ d\'{e}fini par : \[ W=\frac{c^{\prime}-b^{\prime}}{c-b}% \] \item En d\'{e}duire la valeur de $\dfrac{B^{\prime}C^{\prime}}{BC}$ et une mesure de l'angle $\left( \overrightarrow{BC},\overrightarrow{B^{\prime }C^{\prime}}\right) .$ Que peut-on dire des droites $\left( BC\right) $ et $\left( B^{\prime}C^{\prime}\right) $ ? \index{Angle} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Sujet compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} Le plan complexe est muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct d'origine O. $\Omega$ et $A$ sont les points d'affixes respectives 1 et 2. On appelle $F$ l'application qui \`{a} tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de $\Omega$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \index{Fonction!complexe} \index{Affixe} \[ z^{\prime}=\frac{z^{2}}{2(z-1)}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les points invariants par $F$. \index{Point!invariant} \item Soit $E_{1}$ la droite $(OA)$ priv\'{e}e de $\Omega$. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer le tableau de variation de la fonction $g$ d\'{e}finie pour tout r\'{e}el $x\not = 1$ par : \[ g(x)=\frac{x^{2}}{2(x-1)}% \] \item En d\'{e}duire l'image de $E_{1}$ par $F$. \index{Image} \end{enumerate} \item Soit $E_{3}$ le cercle de centre $\Omega$ et de rayon 1. Pour tout point $M(z)$ de ce cercle, on pose : \[ {z=1+e^{i\theta}}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que : $z^{\prime}=1+\cos\theta$ \item En d\'{e}duire l'image de $E_{3}$ par $F$. \end{enumerate} \item On pose $z=x+iy$ avec $z\not =1$. \begin{enumerate} \item Calculer la partie imaginaire de $z^{\prime}$ en fonction de $x$ et de $y$. \item En d\'{e}duire l'ensemble des points $M(z)$ tels que l'image de $M$ par $F$ se trouve sur $(OA)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Courbes param% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion etr% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ees} \subsection{Sujet compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal avec 5 cm pour unit\'{e}.\newline Soit $\mathcal{H}$ la courbe d\'{e}finie param\'{e}% triquement par : \index{Courbe!param\'{e}tr\'{e}e} \index{Trigonom\'{e}trie} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x(t)=\sin2t\\ y(t)=\cos3t\ ,\ t\in\left[ 0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] \end{array} \right. \] \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que pour $t$ \'{e}l\'{e}ment de l'intervalle $\left[ 0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] $ : \begin{enumerate} \item $\cos2t\geqslant0\ \hbox{ssi}\ t\in\left[ 0;\displaystyle\frac{\pi}% {4}\right] $. \item $\sin3t\leqslant0\ \hbox{ssi}\ t\in\left[ \displaystyle\frac{\pi}% {3};\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] $. \end{enumerate} \item Calculer les d\'{e}riv\'{e}es premi\`{e}res des fonctions $x$ et $y$. D\'{e}duire leur signe de la question pr\'{e}c\'{e}dente. \item Construire le tableau de synth\`{e}se r\'{e}sumant les variations de $x$ et $y$ sur $\left[ 0;\displaystyle\frac{\pi}{2}\right] .$ \item D\'{e}finir les coordonn\'{e}es des points associ\'{e}s aux valeurs $0\ ,\ \displaystyle\frac{\pi}{6}\ ,\ %%@ % \displaystyle\frac{\pi}{4}\ ,\ \displaystyle\frac{\pi}{3}\ ,\ \displaystyle \frac{\pi}{2}$ du param\`{e}tre $t$, ainsi que celles d'un vecteur directeur de chacune des tangentes \`{a} la courbe $\mathcal{H}$ en ces points. \item Construire \textbf{soigneusement} chacun des points d\'{e}finis \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente et sa tangente.\newline Achever la construction de $\mathcal{H}$.\newline \end{enumerate} \subsection{Sujet compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} Dans le plan muni du rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath}\right) ,$ on consid\`{e}re le cercle $C$ de centre $O$ et de rayon $1.$ Soit $A$ le point de coordonn\'{e}es $\left( -1;0\right) .$ A tout point $m$ de $C,$ on associe le point $M,$ projet\'{e} orthogonal de $A$ sur la tangente en $m$ \`{a} $C.$ On appelle $t$ une mesure de l'angle $\left( \vec{\imath},\overrightarrow{Om}\right) .$ \index{Courbe!param\'{e}tr\'{e}e} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que le point $M$ a pour coordonn\'{e}es : \[ \left( \cos t-\sin^{2}t\right) ,\sin t\cos t+\sin t \] Lorsque $m$ d\'{e}crit $C,$ l'ensemble des points $M$ est une courbe $C^{\prime}$ d\'{e}finie comme la courbe param\'{e}tr\'{e}e ensemble des points $M\left( t\right) $ lorsque $t$ varie dans $\mathbb{R}.$ \item Etudier les positions relatives des points $M\left( t\right) ,$ $M\left( t+2\pi\right) ,$ $M\left( -t\right) .$ En d\'{e}duire qu'il suffit, pour tracer la courbe $C^{\prime},$ de limiter les variations de $t$ \`{a} l'intervalle $\left[ 0;\pi\right] .$ \item Tracer $C^{\prime}$ en pr\'{e}cisant les tangentes aux points de param\`{e}tres $0,$ $\frac{\pi}{3},$ $\frac{2\pi}{3}.$ On admettra qu'au point de param\`{e}tre $\pi,$ la courbe $C^{\prime}$ admet une tangente horizontale. \end{enumerate} \section{Barycentre} \subsection{Remplacement 1996} \begin{enumerate} \item Soient $M,$ $N,$ $O$, $P$ quatre points du plan. Montrer que $MNOP$ est un parall\'{e}logramme si et seulement si le point $P$ est barycentre des points pond\'{e}r\'{e}s $\left( M,1\right) ,$ $\left( N,-1\right) ,$ $\left( O,1\right) .$ \index{Barycentre} \index{Points!pond\'{e}r\'{e}s} \item Soient $ABCD$ et $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ deux parall\'{e}logrammes dans le plan. On note $I,$ $J,$ $K,$ $L$ les milieux respectifs des segments $\left[ AA^{\prime}\right] ,$ $\left[ BB^{\prime }\right] ,$ $\left[ CC^{\prime}\right] ,$ $\left[ DD^{\prime}\right] .$ \index{Parall\'{e}logramme}\newline Montrer que $L$ est le barycentre des points $I,$ $J,$ $K$ affect\'{e}s de coefficients que l'on d\'{e}terminera. Que peut-on en d\'{e}duire pour le quadrilat\`{e}re $IJKL$ ? \item Montrer que les centres $\Omega_{1},$ $\Omega_{2},$ $\Omega_{3}$ des parall\'{e}logrammes $ABCD,$ $A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime}$ et $IJKL$ sont align\'{e}s et pr\'{e}ciser les positions relatives de $\Omega _{1},$ $\Omega_{2}$ et $\Omega_{3}$ . \end{enumerate} \subsection{Nouvelle Cal% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion edonie 1996 (modifi% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion e)} Soit $ABCD$ un quadrilat\`{e}re quelconque, $I$ le milieu de $\left[ AC\right] ,$ $J$ le milieu de $\left[ BD\right] .$ Soit $K$ le point tel que $\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB},$ $L$ le point tel que $\overrightarrow{LC}=-2\overrightarrow{LD},$ et $\;M$ le milieu de $\left[ LK\right] .$ Le but du probl\`{e}me est de montrer que $M,$ $I,$ $J$ sont align\'{e}s et de donner la position de $M$ sur la droite $\left( IJ\right) . $ \begin{enumerate} \item Justifier l'existence du barycentre $G$ du syst\`{e}me : \index{Barycentre} \[ \left\{ \left( A,1\right) ,\left( B,2\right) ,\left( C,1\right) ,\left( D,2\right) \right\} \] En regroupant les points de diff\'{e}rentes fa\c{c}ons, montrer que $G$ appartient aux deux droites $\left( KL\right) $ et $\left( IJ\right) .$ \item Montrer que $G$ est en $M,$ que $M,$ $I,$ $J$ sont align\'{e}s, et donner la position de $M$ sur $\left( IJ\right) .$ \item D\'{e}terminer l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $X$ du plan tels que : \index{Ligne!de niveau} \[ \left\| \overrightarrow{XA}+2\overrightarrow{XB}+\overrightarrow {XC}+2\overrightarrow{XD}\right\| =4\left\| \overrightarrow{IJ}\right\| \] \item Faire une figure soign\'{e}e o\`{u} tous les points consid\'{e}r\'{e}s seront report\'{e}s. \end{enumerate} \subsection{Centres %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion etrangers 1994} On donne trois points $A,$ $B,$ $C$ distincts non align\'{e}s du plan et on note $a,$ $b,$ $c$ les longueurs des c\^{o}t\'{e}s du triangle $ABC.$ \[ a=BC\quad b=CA\quad c=AB \] On se propose d'\'{e}tudier l'ensemble $\left( E\right) $ des points $M$ du plan tels que : \index{Ligne!de niveau} \[ MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}% \] \begin{enumerate} \item Soit $G$ l'isobarycentre du triangle $ABC$ et soit $I$ le milieu du segment $\left[ BC\right] .$ \index{Isobarycentre} \begin{enumerate} \item Calculer $AB^{2}+AC^{2}$ en fonction de $AI^{2}$ et de $BC^{2}.$ En d\'{e}duire : \[ AG^{2}=\frac{1}{9}\left( 2b^{2}+2c^{2}-a^{2}\right) \] Ecrire de m\^{e}me les expressions de $BG^{2}$ et de $CG^{2}.$ \item Montrer que : \[ AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}=\frac{1}{3}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \] \end{enumerate} \item D\'{e}terminer l'ensemble $\left( E\right) .$ \item On choisit $a=5,$ $b=4,$ $c=3.$ Placer trois points $A,$ $B,$ $C$ et dessiner $\left( E\right) $ dans ce cas particulier. \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} $ABC$ est un triangle isoc\`{e}le, $A^{\prime}$ est le milieu de $[BC]$ et $H$ l'orthocentre du triangle. On pose : $BC=2a\quad AB=AC=3a$. \index{Barycentre} \index{Orthocentre} \begin{enumerate} \item Soit $\theta$ une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$. Calculer $\cos{\theta}$. \item Soit $D$ le projet\'{e} orthogonal de $B$ sur $[AC]$. D\'{e}montrer que $D$ est barycentre de $(A,2)$ et $(C,7)$. \index{Projet\'{e}!orthogonal} \item D\'{e}terminer trois entiers $a,\;b,\;c$ afin que $H$ soit barycentre de $(A,a)$, $(B,b)$ et $(C,c)$. \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} Soit ABC un triangle. Le point I est le sym\'{e}trique de B par rapport \`{a} C. Le point J est le sym\'{e}trique de C par rapport \`{a} A. Le point K est le sym\'{e}trique de A par rapport \`{a} B. On obtient un nouveau triangle IJK. \index{Barycentre} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que A est le barycentre de $($I$,2)$, $($J$,4)$, $($K$,1)$.\newline Exprimer de m\^{e}me sans calculs B et C comme barycentres de I, J, K. \item Soient P, Q, R les points d'intersection respectifs des droites (BC), (AC), (AB) avec les droites (KJ), (IK), (JI). \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que R est le barycentre de $($I$,1)$ et $($J$,2)$. \item Enoncer les r\'{e}sultats analogues pour les points P et Q. \end{enumerate} \item On donne le triangle IJK. Retrouver le triangle ABC. \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} $ABC$ est un triangle dont les 3 angles sont aigus. On appelle $A^{\prime},$ $B^{\prime},$ $C^{\prime}$ les pieds des hauteurs, $H$ l'orthocentre du triangle. On pose : $BC=a\quad CA=b\quad AB=c$. \index{Hauteur} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que $A^{\prime}$ est le barycentre de $(B,b\cos\hat{C})$ et $(C,c\cos\hat{B})$. \index{Barycentre} \item En d\'{e}duire que $A^{\prime}$ est le barycentre de $(B,\tan\hat{B})$ et $(C,\tan\hat{C})$. \item D\'{e}montrer que le barycentre de $(A,\tan\hat{A})\;(B,\tan\hat {B})\;(C,\tan\hat{C})$ est le point $H$. \item On suppose que le triangle n'est pas isoc\`{e}le. Les droites $(BC)$ et $(B^{\prime}C^{\prime})$ se coupent en $A^{\prime\prime}$. On d\'{e}finit de m\^{e}me $B^{\prime\prime}$ et $C^{\prime\prime}$.\newline D\'{e}montrer que le barycentre de $(B,\tan\hat{B})$ et $(C,-\tan\hat{C})$ est $A^{\prime\prime }$.\newline D\'{e}montrer que les points $A^{\prime\prime}$, $B^{\prime\prime }$ et $C^{\prime\prime}$ sont align\'{e}s. \end{enumerate} \section{G% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eometrie dans l'espace} \subsection{Sportifs de haut niveau 1995} Dans l'espace rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) $, on consid\`{e}re les points $A(3;2;-1)$ et $H(1;-1;3)$.\newline \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $AH$. \item D\'{e}terminer une \'{e}quation du plan $\mathcal{P}$ passant par $H$ et orthogonal \`{a} la droite $(AH)$. \index{Equation!de plan} \item On donne les points : $B(-6;1;1),\ C(4;-3;3)$ et $D(-1;-5;-1)$. \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que les points $B,\ C$ et $D$ appartiennent au plan $\mathcal{P}$. \item Calculer les coordonn\'{e}es du vecteur $\overrightarrow{\strut BC}\wedge\overrightarrow{\strut BD}$. \index{Produit!vectoriel} \item D\'{e}montrer que l'aire du triangle $BCD$ est \'{e}gale \`{a} $5\ \sqrt{29}$. \index{Aire!d'un triangle} \item D\'{e}montrer que le volume du t\'{e}tra\`{e}dre $ABCD$ est \'{e}gal \`{a} $\displaystyle\frac{145}{3}$. \index{T\'{e}tra\`{e}dre} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle $ABC$. \item Calculer la distance du point $D$ au plan $ABC$. \end{enumerate} \end{enumerate} \chapter{Probl% %TCIMACRO{\TeXButton{`}{\`}}% %BeginExpansion \`% %EndExpansion emes} \section{Nantes 1997} Dans tout le probl\`{e}me, on se place dans un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ L'unit\'{e} graphique est $2$ centim\`{e}tres.% \[ \text{PARTIE A}% \] \textbf{Etude d'une fonction }$g$ Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\left] 0;+\infty\right[ $ par : \index{Fonction!logarithme} \[ g\left( x\right) =x\ln x-x+1 \] et $C$ sa courbe repr\'{e}sentative dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath },\vec{\jmath}\right) .$ \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$. \item Etudier les variations de $g$. En d\'eduire le signe de $g\left( x\right) $ en fonction de $x$. \item On note $C^{\prime}$ la repr\'{e}sentation graphique de la fonction $x\mapsto\ln x$ dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath }\right) .$ Montrer que $C$ et $C^{\prime}$ ont deux points communs d'abscisses respectives $1$ et $e$ et que, pour tout \'{e}l\'{e}ment $x$ de $\left[ 1;e\right] $, on a : \[ x\ln x-x+1\leqslant\ln x \] On ne demande pas de repr\'{e}senter $C$ et $C^{\prime}$ \