annales99.tex

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\begin{document}

\title{%
%TCIMACRO{\TeXButton{TITRE}{\begin{minipage}{15cm}
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\date{Ann\'{e}e scolaire 1999/2000}
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\section{Remplacement 1999}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1} (\textit{4 points})\$0pt] \end{center} Dans tout l'exercice, on donnera les r\'{e}sultats sous forme de fractions irr\'{e}ductibles. \newline Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. On consid\{e}re l'exp\'{e}rience suivante :\newline On lance un jeton parfaitement \'{e}quilibr\'{e}, pr\'{e}sentant une face noire et une face blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une boule blanche dans l'urne ; si le jeton tombe sur la face noire, on ajoute une boule noire dans l'urne.\newline Puis on tire simultan\'{e}ment, et au hasard, trois boules de l'urne. \begin{enumerate} \item [1.]On appelle E_{0} l'\'{e}v\'{e}nement : aucune boule blanche ne figure parmi les trois boules tir\'{e}es et B l'\'{e}v\'{e}nement : le jeton est tomb\'{e} sur la face blanche. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item [a)]Calculer P (E_{0} \cap B), P (E_{0} \cap\overline{B}), puis P (E_{0}). \item[b)] On tire trois boules de l'urne, aucune boule blanche ne figure dans ce tirage. Quelle est la probabilit\'{e} que le jeton soit tomb\'{e} sur la face noire ? \end{enumerate} \item[2.] On appelle E_{1} l'\'{e}v\'{e}nement : une boule blanche et une seule figure parmi les trois boules tir\'{e}es et B l'\'{e}v\'{e}nement : le jeton est tomb\'{e} sur la face blanche. \begin{enumerate} \item [a)]Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement E_{1}. \item[b)] On effectue successivement quatre fois l'exp\'{e}rience d\'{e}crite au d\'{e}but, qui consiste \{a} lancer le jeton, puis \{a} tirer les trois boules de l'urne.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir au moins une fois une et une seule boule blanche ?\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2} (\textit{5 points})\\[0pt]\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}}\\[0.3cm] \end{center} Le plan est rapport\'{e} au rep\{e}re orthonormal direct \mbox{\left(O ;\ \vect{u},\vect{v}\right)} (unit\'{e} graphique : 2 cm).\newline On note Z_{M} l'affixe du point M. \index{Affixe}\newline Soit A le point d'affixe 4 et B le point d'affixe 4i.\newline \begin{enumerate} \item [1.]Soit \theta un r\'{e}el de [0,\ 2\pi\lbrack et r un r\'{e}el strictement positif.\newline On consid\{e}re le point E d'affixe re^{i\theta} et F le point tel que OEF est un triangle rectangle \index{Triangle!rectangle} isoc\{e}le v\'{e}rifiant (\overrightarrow{\strut OE},\ \overrightarrow{\strut OF})=\displaystyle\frac{\pi}{2}.\newline Quelle est, en fonction de r et \theta, l'affixe de F ? \item[2.] Faire une figure et la compl\'{e}ter au fur et \{a} mesure de l'exercice. On choisira, uniquement pour cette figure : \[ \theta= \displaystyle\frac{5\pi}{6}\ \text{et}\ r=3.$

\item[3.] On appelle $P$, $Q$, $R$, $S$ les milieux respectifs des segments
$[AB]$, $[BE]$, $[EF]$, $[FA]$.
\index{Milieu}

\begin{enumerate}
\item [a)]Prouver que $PQRS$ est un parall\{e}logramme.
\index{Parall\'{e}logramme}

\item[b)] On pose : $Z=\displaystyle\frac{Z_{R}-Z_{Q}}{Z_{Q}-Z_{P}}.$%
\newline D\'{e}terminer le module et un argument de Z. En d\'{e}duire que
$PQRS$ est un carr\'{e}.
\index{Module}
\index{Argument}
\index{Carr\'{e}}
\end{enumerate}

\item[4.]

\begin{enumerate}
\item [a)]Calculer, en fonction de $r$ et $\theta$, les affixes respectives
des points $P$ et $Q$.

\item[b)] Quelle est, en fonction dr $r$ et $\theta$, l'aire du carr\'{e}
$PQRS$ ?

\item[c)] $r$ \'{e}tant fix\'{e}, pour quelle valeur de $\theta$ cette aire
est-elle maximale ?\newline
\index{Aire}Quelle est alors l'affixe de $E$ ?\$0.3cm] \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBL\{E}ME} (\textit{11 points})\\[0.3cm] \end{center} Soit f la fonction d\'{e}finie sur ]0,\ +\infty\lbrack par f(x)=\displaystyle\frac{(\ln x)^{2}}{x}. \index{Fonction!logarithme}\newline On appelle \mathcal{C} la repr\'{e}% sentation graphique de f, dans un rep\{e}re orthogonal \mbox {\left(O;\ \vect{i},\vect{j}\right)} du plan (unit\'{e}s graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonn\'{e}es). \textbf{\underline{Partie I}} \begin{enumerate} \item [1.]D\'{e}terminer les limites de f en +\infty et 0. \index{Limite} \item[2.] Calculer f^{\prime}(x) en fonction de x.\newline Montrer que f^{\prime}(x) a le m\^{e}me signe que \ln x\ (2 - \ln x).\newline D\'{e}terminer le sens de variation de f sur ]0,\ + \infty[. \item[3.] Tracer la repr\'{e}sentation graphique \mathcal{C} de f dans \mbox{\left(O;\ \vect{i},\vect{j}\right)}. \item[4.] On pose pour p \geqslant1,\ I_{p} = \displaystyle{\int_{\,1} ^{\,e^{2}} \displaystyle\frac{(\ln x)^{p}}{x^{2}} \mathrm{d}x}. \begin{enumerate} \item [a)]\{A} l'aide d'une int\'{e}gration par parties, calculer : \index{Int\'{e}gration!par parties} I_{1}=\displaystyle{\int_{\,1}^{\,e^{2}% }\displaystyle\frac{\ln x}{x^{2}}\mathrm{d}x}. \item[b)] Prouver, en effectuant une int\'{e}gration par parties, que pour tout entier p sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 1 : \[ I_{p+1} = - \displaystyle\frac{2^{\,p+1}}{e^{2}} + (p+1)\, I_{p}%$

\item[c)] En utilisant les r\'{e}sultats pr\'{e}c\'{e}dents, calculer
successivement $I_{2}$, $I_{3}$, $I_{4}$.

\item[d)] On fait tourner autour de l'axe des abscisses l'arc de courbe
constitu\'{e} des points de $\mathcal{C}$, d'abscisses comprises entre $1$ et
$e^{2}$. Le point $M$ de $\mathcal{C}$, d'abscisse $x$, d\'{e}crit alors un
cercle de rayon $f(x)$.\newline Calculer le volume du solide ainsi
engendr\'{e}, en unit\'{e}s de volume.
\index{Calcul!de volume}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\underline{Partie II}}\$0.2cm]Soit a un r\'{e}el strictement positif et A le point de \mathcal{C} d'abscisse a. Soit T_{a} la tangente \{a} \mathcal{C} au point A. \begin{enumerate} \item [1.]\'{E}crire une \'{e}quation de T_{a}. \index{Tangente} \item[2.] D\'{e}terminer les r\'{e}els a pour lesquels T_{a} passe par l'origine O du rep\{e}re. \item[3.] Donner une \'{e}quation de chacune des tangentes \{a} \mathcal{C}% , passant par O. Tracer ces tangentes sur la figure. \end{enumerate} \textbf{\underline{Partie III}}\\[0.2cm]On \'{e}tudie maintenant l'intersection de \mathcal{C} avec la droite \Delta d'\'{e}quation y = \displaystyle\frac{1}{e^{2}} x. \begin{enumerate} \item [1.]On pose pour x strictement positif, \varphi_{1}(x) = x - e\,\ln x.\newline Montrer que \varphi_{1} est strictement croissante sur ]e,\, +\infty[ et strictement d\'{e}croissante sur ]0,\,e[. \item[2.] On pose pour x strictement positif, \varphi_{2}(x) = x + e\,\ln x. \begin{enumerate} \item [a)]\'Etudier le sens de variation de \varphi_{2} sur ]0,\,+ \infty[. \item[b)] Prouver que \varphi_{2}(x)=0 a une solution unique sur \left[ \displaystyle\frac{1}{2},\,1\right] . On appelle \alpha cette solution ; donner un encadrement de \alpha, d'amplitude 10^{-1}. \item[c)] En d\'{e}duire que \varphi_{2} (x) = 0 a une seule solution sur ]0,\,+\infty[. \end{enumerate} \item[3.] D\'{e}terminer les points d'intersection de \mathcal{C} et de \Delta. \end{enumerate} \section{Sujet national 1999\label{bac99}} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1} (\textit{5\ points)}\\[0pt]\textbf{Commun \{a} tous les candidats}\\[0pt] \end{center} Le plan P est rapport\'{e} au rep\{e}re orthonormal direct \left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) . On prendra 4 cm comme unit\'{e} sur les deux axes. On consid\{e}re l'application F du plan dans lui-m\^{e}me qui, \{a} tout point m, d'affixe z, associe le point M d'affixe \index{Complexe} \index{Affixe} \[ \frac{1}{2}z^{2}-z$

L'objet de cet exercice est de tracer la courbe $\Gamma$ d\'{e}crite par $M$
lorsque $m$ d\'{e}crit le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon 1.

Soit $t$ un r\'{e}el de $\left[ -\pi,\pi\right]$ et $m$ le point de
$\mathcal{C}$ d'affixe $z=e^{it}.$

\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'image $M$ de $m$ par $F$ est le point de coordonn\'{e}es
:
$\left\{ \begin{array} [c]{l}% x\left( t\right) =\frac{1}{2}\cos2t-\cos t\\ \\ y\left( t\right) =\frac{1}{2}\sin2t-\sin t \end{array} \right.$
Ces relations constituent une repr\'{e}sentation param\'{e}trique
\index{Courbe!param\'{e}tr\'{e}e}de la courbe $\Gamma.$

\item  Comparer $x\left( -t\right)$ et $x\left( t\right)$ d'une part,
$y\left( -t\right)$ et $y\left( t\right)$ d'autre part. En d\'{e}duire
que $\Gamma$ admet un axe de sym\'{e}trie que l'on pr\'{e}cisera.

\item  Montrer que $x^{\prime}\left( t\right) =\sin t\left( 1-2\cos t\right)$. \'{E}tudier les variations de $x$ sur $\left[ 0,\pi\right]$.
\index{Trigonom\'{e}trie}

\item  Montrer que $y^{\prime}\left( t\right) =\left( \cos t-1\right) \left( 1+2\cos t\right)$. \'{E}tudier les variations de $y$ sur $\left[ 0,\pi\right]$.

\item  Dans un m\^{e}me tableau faire figurer les variations de $x$ et $y$ sur
$\left[ 0,\pi\right] .$

\item  Placer les points de $\Gamma$ correspondant aux valeurs $0,$ $\frac {\pi}{3},$ $\frac{2\pi}{3}$ et $\pi$ du param\{e}tre $t$ et tracer les
tangentes en ces points ( on admettra que pour $t=0$ la tangente \{a}
$\Gamma$ est horizontale). Tracer la partie de $\Gamma$ obtenue lorsque $t$
d\'{e}crit $\left[ 0,\pi\right]$ puis tracer $\Gamma$ compl\{e}tement.\medskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2} (\textit{5 points)}\$0pt]\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}} \end{center} Dans cet exercice, n est un entier naturel non nul. On consid\{e}re la suite \left( u_{n}\right)  d\'{e}finie par : \index{Suite} \index{Int\'{e}grale} \[ u_{n}=\int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}e^{\frac{t}{n}}dt$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Soit $\varphi$ la fonction d\'{e}finie sur $\left[ 0,2\right]$ par
$\varphi\left( t\right) =\frac{2t+3}{t+2}%$
\'{E}tudier les variations de $\varphi$ sur $\left[ 0,2\right] .$ En
d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $t$ dans $\left[ 0,2\right] ,$%
$\frac{3}{2}\leqslant\varphi\left( t\right) \leqslant\frac{7}{4}%$

\item  Montrer que, pour tout r\'{e}el $t$ dans $\left[ 0,2\right]$, on a :
$\frac{3}{2}e^{\frac{t}{n}}\leqslant\varphi\left( t\right) e^{\frac{t}{n}% }\leqslant\frac{7}{4}e^{\frac{t}{n}}%$

\item  Par int\'{e}gration en d\'{e}duire que :
$\frac{3}{2}n\left( e^{\frac{2}{n}}-1\right) \leqslant u_{n}\leqslant\frac {7}{4}n\left( e^{\frac{2}{n}}-1\right)$

\item  On rappelle que
$\lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{h}-1}{h}=1$
Montrer {}que, si $\left( u_{n}\right)$ poss\{e}de une limite $L$, alors
$3\leqslant L\leqslant\frac{7}{2}%$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  V\'{e}rifier que pour tout $t$ dans $\left[ 0,2\right]$, on a
$\frac{2t+3}{t+2}=2-\frac{1}{t+2}%$
En d\'{e}duire l'int\'{e}grale
$I=\int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}dt$

\item  Montrer que, pour tout $t$ dans $\left[ 0,2\right] ,$ on a
$1\leqslant e^{\frac{t}{n}}\leqslant e^{\frac{2}{n}}%$
En d\'{e}duire que
$I\leqslant u_{n}\leqslant e^{\frac{2}{n}}I$

\item  Montrer que $\left( u_{n}\right)$ est convergente et d\'{e}terminer
sa limite $L$.\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBLEME} ( \textit{10 points)}
\end{center}

Dans tout le probl\{e}me le plan est rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re
orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$ : on prendra 2 cm
comme unit\'{e} sur les deux axes et on placera l'axe des abscisses au milieu
de la feuille et l'axe des ordonn\'{e}es sur le bord gauche de la feuille
millim\'{e}tr\'{e}e.

\textbf{Partie A: \'{E}tude d'une fonction }$f$\textbf{\ et de sa courbe
repr\'{e}sentative }$C$\textbf{.}

On consid\{e}re la fonction $f$, d\'{e}finie sur $\left] 0,+\infty\right[$
par :
\index{Fonction!logarithme}
$f\left( x\right) =\left( 1-\frac{1}{x}\right) \left( \ln x-2\right)$
et on d\'{e}signe par $\mathcal{C}$ sa courbe repr\'{e}sentative relativement
au rep\{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $0.$

\item  Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\left] 0,+\infty\right[$ et
calculer $f^{\prime}\left( x\right)$.
\index{Fonction!d\'{e}rivable}

\item  Soit $u$ la fonction d\'{e}finie sur $\left] 0,+\infty\right[$ par
$u\left( x\right) =\ln x+x-3$

\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier les variations de $u$.

\item  Montrer que l'\'{e}quation $u\left( x\right) =0$ poss\{e}de une
solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[ 2,3\right] .$ Montrer que
$2,20<\alpha<2,21$.

\item \'{E}tudier le signe de $u\left( x\right)$ sur $\left] 0,+\infty\right[ .$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier les variations de $f$.

\item  Exprimer $\ln\alpha$ comme polyn\^{o}me en $\alpha$. Montrer que
\index{Polyn\^{o}me}
$f\left( \alpha\right) =-\frac{\left( \alpha-1\right) ^{2}}{\alpha}%$
En d\'{e}duire un encadrement de $f\left( \alpha\right)$ d'amplitude
$2\times10^{-2}$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier le signe de $f\left( x\right) .$

\item  Tracer $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : \'{E}tude d'une primitive de }$f$\textbf{\ sur }$\left] 0,+\infty\right[ .$

Soit $F$ la primitive de $f$ sur $\left] 0,+\infty\right[$ qui s'annule
pour $x=1.$ On appelle $\Gamma$ la courbe repr\'{e}sentative de $F$
relativement au rep\{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$
\index{Primitive}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Sans calculer $F\left( x\right) ,$ \'{e}tudier les variations de $F$
sur $\left] 0,+\infty\right[ .$

\item  Que peut-on dire des tangentes \{a} $\Gamma$ en ses points d'abscisses
$1$ et $e^{2}$?
\end{enumerate}

\item \emph{Calcu1 de }$F\left( x\right)$\emph{.}

\begin{enumerate}
\item $x$ \'{e}tant un r\'{e}el strictement positif, calculer l'int\'{e}grale
$\int_{1}^{x}\ln t\,dt$
( on pourra faire une int\'{e}gration par parties).
\index{Int\'{e}gration!par parties}

\item  Montrer que, pour tout $x$ strictement positif :
$f\left( x\right) =\ln x-\frac{\ln x}{x}+\frac{2}{x}-2$

\item  En d\'{e}duire l'expression de $F\left( x\right)$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\lim_{x\rightarrow0}\left( x\ln x\right) =0$. En
d\'{e}duire la limite de $F$ en $0.$

\item  Montrer que, pour $x$ strictement sup\'{e}rieur \{a} $1,$
$F\left( x\right) =x\ln x\left( 1-\frac{1}{2}\times\frac{\ln x}{x}+\frac {2}{x}-\frac{3}{\ln x}\right) +3$
En d\'{e}duire la limite de $F$ en $+\infty$

\item  Dresser le tableau de variation de $F$.

\item  Tracer $\Gamma$ sur le m\^{e}me graphique que $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\item \emph{Calcul d'une aire.}\newline Calculer, en cm$^{2}$, l'aire du
domaine limit\'{e} par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les
droites d'\'{e}quations $x=1$ et $x=e^{2}.$
\index{Calcul!d'aire}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 ( 4 points)}
\end{center}

Lors d'un examen , un questionnaire \{a} choix multiple (Q.C.M.) est
utilis\'{e}.\newline On s'int\'{e}resse \{a} cinq questions de ce
Q.C.M.\textbf{suppos\'{e}es ind\'{e}pendantes}.A chaque question sont
associ\'{e}es quatre affirmations , num\'{e}rot\'{e}es 1,2,3 et 4, dont une
seule est exacte.\newline Un candidat doit r\'{e}pondre \{a} chaque question
en donnant seulement le num\'{e}ro de l'affirmation qu'il juge exacte ; sa
r\'{e}ponse est correcte si l'affirmation qu'il a retenue est vraie, sinon sa
r\'{e}ponse est incorrecte. \newline Dans cet exercice , les probabilit\'{e}s
demand\'{e}es seront donn\'{e}es sous forme fractionnaire.\newline

\begin{enumerate}
\item  Un candidat r\'{e}pond \{a} chaque question au hasard , c'est-\{a}%
-dire qu'il consid\{e}re que les quatre affirmations correspondantes sont
\'{e}quiprobables.\newline

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'{e} de chacun des \'{e}v\'{e}nements suivants:
\index{Probabilit\'{e}}\newline A : ''Le candidat r\'{e}pond correctement
\{a} la premi\{e}re des cinq questions'';\newline B : ''Le candidat
r\'{e}pond correctement \{a} deux questions au moins sur cinq''.\newline

\item  On attribue la note 4 \{a} toute r\'{e}ponse correcte et la note -1
\{a} toute r\'{e}ponse incorrecte.\newline Calculer la probabilit\'{e} de
l'\'{e}v\{e}nement C : ''Le candidat obtient une note au moins \'{e}gale
\{a} 10 pour l'ensemble des cinq questions''.\newline
\end{enumerate}

\item  On suppose maintenant qu'un candidat conna\^{i}t la r\'{e}ponse
correcte \{a} deux questions et qu'il r\'{e}pond au hasard aux trois autres
questions.\newline Quelle est la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\{e}nement C
d\'{e}crit au \textbf{1.b}?\bigskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 ( 5 points)}
\end{center}

Le plan est rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re orthonormal direct (O ;$\vec{u}$,
$\vec{v}$).\newline On consid\{e}re le point A d'affixe 1 et , pour tout
$\theta$ appartenant \{a} $[0;2\pi\lbrack$ , le point M d'affixe
$z=e^{i\theta}$. On d\'{e}signe par P le point d'affixe $1+z$ et par Q le
point d'affixe $z^{2}$.\newline
\index{Affixe}

\begin{enumerate}
\item \'{A} partir du point M ,donner une construction g\'{e}om\'{e}trique du
point P et une construction g\'{e}om\'{e}trique du point Q. Les points O ,A ,
M, Q et P seront plac\'{e}s sur une m\^{e}me figure.

\item  D\'{e}terminer l'ensemble des points P pour $\theta$ appartenant \{a}
$[0,2\pi\lbrack$.\newline Tracer cet ensemble sur la figure pr\'{e}c\'{e}dente
.\newline
\index{Ensemble!de points}

\item  Soit S le point d'affixe $1+z+z^{2}$ , o\{u} $z$ d\'{e}signe toujours
l'affixe du point M . Construire S , en justifiant la construction.\newline

\item  Dans le cas o\{u} S est diff\'{e}rent de O , Tracer la droite
(OS).\newline Quelle conjecture appara\^{i}t , relativement au point
M?\newline D\'{e}montrer que le nombre
\index{Complexe}
$\frac{1+z+z^{2}}{z}%$
est un r\'{e}el , quel que soit $\theta$ appartenant \{a} $[0,2\pi\lbrack$.\newline Conclure sur la conjecture pr\'{e}c\'{e}dente.\bigskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBLEME}{\ }\textbf{(11 points)}
\end{center}

L'objet de ce probl\{e}me est d'\'{e}tudier une fonction \{a} l'aide d'une
fonction auxiliaire et de calculer l'aire d'un domaine plan.

\textbf{PARTIE A}

Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $\left] -1,+\infty\right[$ par :
\index{Fonction!logarithme}
$f\left( x\right) =\frac{x}{x+1}-2\ln\left( x+1\right)$

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f^{\prime}\left( x\right) ,$ \'{e}tudier son signe et en
d\'{e}duire le tableau de variation de la fonction $f.$

\item  Calculer $f\left( 0\right) .$ Montrer que l'\'{e}quation $f\left( x\right) =0$ admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on d\'{e}signe
par $\alpha,$ appartient \{a} $\left[ -0,72;-0,71\right] .$

\item  Donner le signe de $f\left( x\right) ,$ pour $x$ appartenant \{a}
$\left] -1,+\infty\right[ .$
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE B}

Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur l'ensemble $\left] -1;0\right[ \cup\left] 0,+\infty\right[$ par :
$g\left( x\right) =\frac{\ln\left( x+1\right) }{x^{2}}%$

\begin{enumerate}
\item \emph{Etude de }$g$\emph{\ aux bornes de son ensemble de d\'{e}finition.}

\begin{enumerate}
\item  Calculer les limites de $g\left( x\right)$ quand $x$ tend vers $0$
par valeurs inf\'{e}rieures et quand $x$ tend vers $0$ par valeurs
sup\'{e}rieures.
\index{Limite}

\item  Calculer $\lim_{x\rightarrow-1}g\left( x\right)$ et $\lim _{x\rightarrow+\infty}g\left( x\right) .$
\end{enumerate}

\item \emph{Sens de variation de }$g.$

\begin{enumerate}
\item  Calculer $g^{\prime}\left( x\right)$ et d\'{e}duire, \{a} l'aide de
la partie $A,$ son signe.

\item  Montrer que
$g\left( \alpha\right) =\frac{1}{2\alpha\left( \alpha+1\right) }%$
En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e de $g\left( \alpha\right)$ en
prenant $\alpha=-0,715.$
\end{enumerate}

\item \emph{Tableau de variation et repr\'{e}sentation graphique de }$g.$

\begin{enumerate}
\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $g.$

\item  Repr\'{e}senter graphiquement la fonction $g$ dans le plan rapport\'{e}
\{a} un rep\{e}re orthonormal ( unit\'{e} graphique : $2$ cm ).
\end{enumerate}

\item \emph{Calcul d'aire}\newline Soit $a$ un r\'{e}el strictement
sup\'{e}rieur \{a} $0.$ On pose :
$I\left( a\right) =\int_{1}^{a}g\left( x\right) \;dx$

\begin{enumerate}
\item  Donner, suivant les valeurs de $a,$ une interpr\'{e}tation
g\'{e}om\'{e}trique du r\'{e}el $I\left( a\right) .$

\item  En remarquant que, pour $x$ appartenant \{a} $\left] 0,+\infty \right[$ :
$\frac{1}{x\left( 1+x\right) }=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}%$
calculer $I\left( a\right)$ \{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties.
\index{Int\'{e}gration!par parties}

\item  Calculer $\lim_{a\rightarrow+\infty}I\left( a\right)$ et
$\lim_{a\rightarrow0}I\left( a\right) .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Polyn%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
esie 1999}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)}
\end{center}

Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches.\newline On en
pr\'{e}l\{e}ve $n$ successivement et avec remise, $n$ \'{e}tant un entier
naturel sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 2.\newline On consid\{e}re les deux
\'{e}v\'{e}nements suivants :\newline $A$:
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
On obtient des boules des deux couleurs
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
; \newline $B$ :
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
On obtient au plus une blanche
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\{e}nement :\newline
\index{Probabilit\'{e}}%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
Toutes les boules tir\'{e}es sont de la m\^{e}me couleur
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.

\item  Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\{e}nement :\newline
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
On obtient exactement une boule blanche
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.

\item  En d\'{e}duire que les probabilit\'{e}s $p(A\cap B)$, $p(A)$, $p(B)$
sont :
\index{Intersection}
$p(A\cap B)=\frac{n}{2^{n}}\qquad p(A)=1-\frac{1}{2^{n-1}}\qquad p(B)=\frac {n+1}{2^{n}}%$
\end{enumerate}

\item  Montrer que : $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ si et seulement si :
$2^{n-1}=n+1$

\item  Soit $(u_{n})$ la suite d\'{e}finie pour tout entier naturel
sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} deux par :
\index{Suite}
$u_{n}=2^{n-1}-(n+1)$
Calculer $u_{2}$, $u_{3}$, $u_{4}$.\newline D\'{e}montrer que la suite
$(u_{n})$ est strictement croissante.

\item  En d\'{e}duire la valeur de l'entier $n$ tel que les \'{e}v\'{e}nements
$A$ et $B$ soient ind\'{e}pendants.\bigskip
\index{Ev\{e}nements!ind\'{e}pendants}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 ( 4 points)}
\end{center}

Le plan complexe $(P)$ est rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re orthonormal direct
$(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ d'unit\'{e} graphique 2 cm.

\begin{enumerate}
\item  R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation :
\index{Equation}
$z^{3}-8=0$

\item  On consid\{e}re dans le plan $(P)$ les points $A$, $B$ et $C$
d'affixes respectives :
\index{Affixe}
$z_{A}=-1+i\sqrt{3}\qquad z_{B}=2\qquad z_{C}=-1-i\sqrt{3}%$

\begin{enumerate}
\item  Ecrire $z_{A}$ et $z_{C}$ sous la forme trigonom\'{e}trique.
\index{Forme!trigonom\'{e}trique}

\item  Placer les points $A$, $B$ et $C$.

\item  D\'{e}terminer la nature du triangle $ABC$.
\index{Triangle}
\end{enumerate}

\item  On consid\{e}re l'application $f$ du plan dans lui-m\^{e}me qui \{a}
tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe
$\displaystyle{z^{\prime}=e^{\frac{2i\pi}{3}}z.}$
\index{Affixe}

\begin{enumerate}
\item  Caract\'{e}riser g\'{e}om\'{e}triquement l'application $f$.

\item  D\'{e}terminer les images des points $A$ et $C$ par $f$.\newline En
d\'{e}duire l'image de la droite $(AC)$ par $f$.\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBLEME ( 11 points )}
\end{center}

\textbf{Partie A}\newline Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$
par :
\index{Fonction!exponentielle}
$f(x)=x-e^{2x-2}%$
On note $(C)$ la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans un rep\{e}re
orthonormal $\left( O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$.\newline On prendra 5 cm comme unit\'{e}.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la limite de $f$ en $-\infty$ .

\item  V\'{e}rifier que pour tout r\'{e}el $x$ non nul :
$f(x)=x\,\left[ 1-2e^{-2}\times\left( \frac{e^{2x}}{2x}\right) \right]$
D\'{e}terminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}

\item  D\'{e}terminer $f^{\prime}$. Etudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et
calculer la valeur exacte du maximum de $f$.
\index{Maximum}

\item  D\'{e}montrer que la droite $(D)$ d'\'{e}quation : $y=x$ est asymptote
\{a} la courbe $(C)$.\newline
\index{Asymptote}Etudier la position relative de $(C)$ et de $(D)$.

\item  On note $A$ le point de la courbe $(C)$ d'abscisse 1.\newline
D\'{e}terminer une \'{e}quation de la tangente $(T)$ en $A$ \{a} la courbe
$(C)$.
\index{Tangente}

\item
\begin{enumerate}
\item  On note $I$ l'intervalle $[0; 0,5]$.\newline D\'{e}montrer que
l'\'{e}quation : $f(x)=0$ admet dans l'intervalle $I$ une unique solution
qu'on notera $a$.

\item  D\'{e}terminer une valeur approch\'{e}e \{a} $10^{-1}$ pr\{e}s de $a$.
\end{enumerate}

\item  Construire la courbe $(C)$, l'asymptote $(D)$ et la tangente $(T)$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}\newline \textbf{D\'{e}termination d'une valeur approch\'{e}e
de $\mathbf{a}$}\newline On d\'{e}finit dans $\mathbb{R}$ la suite $(u_{n})$
par :
\index{Suite!r\'{e}currente}\newline $u_{o}=0$ et $\displaystyle {u_{n+1}=e^{2u_{n}-2}}$

\begin{enumerate}
\item  Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=e^{2x-2}%$\newline D\'{e}montrer que l'\'{e}quation : $f(x)=0$ est \'{e}quivalente
\{a} : $g(x)=x$.\newline En d\'{e}duire $g(a)$.

\item  D\'{e}montrer que, pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle $I$ on a :
$|g^{\prime}(x)|\leqslant\frac{2}{e}%$

\item  D\'{e}montrer que pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle $I$, $g(x)$
appartient \{a} $I$.

\item  Utiliser l'in\'{e}galit\'{e} des accroissements finis pour
d\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$ :
\index{In\'{e}galit\'{e}!des accroissements finis}
$|u_{n+1}-a|\leqslant\frac{2}{e}|u_{n}-a|$

\item  D\'{e}montrer, par r\'{e}currence que :
\index{R\'{e}currence}
$|u_{n}-a|\leqslant\left( \frac{2}{e}\right) ^{n}%$

\item  En d\'{e}duire que la suite $(u_{n})$ converge et donner sa limite.

\item  D\'{e}terminer un entier naturel $p$ tel que : $|u_{p}-a|<10^{-5}$.

\item  En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e de $a$ \{a} $10^{-5}$ pr\{e}s
: on expliquera l'algorithme utilis\'{e} sur la calculatrice.
\index{Algorithme}
\end{enumerate}

\section{Asie 1999}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 ( 4 points)}
\end{center}

Voici le tableau des principaux groupes sanguins des habitants de la France :
$% \begin{tabular} [c]{l|c|c|c|c|}\cline{2-5}% & O & A & B & AB\\\hline \multicolumn{1}{|l|}{Rh\'{e}sus +} & 35,0 \% & 38,1 \% & 6,2 \% & 2,8 \%\\\hline \multicolumn{1}{|l|}{Rh\'{e}sus -} & 9,0 \% & 7,2 \% & 1,2 \% & 0,5 \%\\\hline \end{tabular}$
Dans cet exercice, les r\'{e}sultats num\'{e}riques demand\'{e}s seront, s'il
y a lieu, arrondis \{a} 3 d\'{e}cimales.

\begin{enumerate}
\item  L'objectif de cette question est de compl\'{e}ter \{a} l'aide de
donn\'{e}es de ce tableau l'arbre suivant, \{a} recopier sur la
copie.\newline
%TCIMACRO{\TeXButton{arbre}{\hspace{1cm}
%\unitlength=0.8cm
%\begin{picture}(4,5.8)
%\put(0,2){\line(1,1){2}}
%\put(0,2){\line(1,-1){2}}
%\put(3,4){\line(4,1){4}}
%\put(3,4){\line(1,0){4}}
%\put(3,4){\line(2,-1){4}}
%\put(3,4){\line(4,-1){4}}
%\put(3,0){\line(4,1){4}}
%\put(3,0){\line(1,0){4}}
%\put(3,0){\line(2,-1){4}}
%\put(3,0){\line(4,-1){4}}
%\put(2.1,3.9){Rh+}
%\put(2.1,-0.2){Rh-}
%\put(0.1,3.5){$p_{1}=$?}
%\put(0.3,0.8){?}
%\put(7.2,-2.2){AB}
%\put(7.2,-1.2){B}
%\put(7.2,-0.1){A}
%\put(7.2,0.9){O}
%\put(7.2,1.9){AB}
%\put(7.2,2.8){B}
%\put(7.2,3.9){A}
%\put(7.2,4.9){O}
%\put(6,-1.5){?}
%\put(6,-0.7){?}
%\put(6,0.1){?}
%\put(6,0.8){?}
%\put(6,2.5){?}
%\put(6,3.3){?}
%\put(6,4.0){?}
%\put(5.56,5.0){$p_{2}=$?}
%\end{picture}
%}}%
%BeginExpansion
\hspace{1cm}
\unitlength=0.8cm
\begin{picture}(4,5.8)
\put(0,2){\line(1,1){2}}
\put(0,2){\line(1,-1){2}}
\put(3,4){\line(4,1){4}}
\put(3,4){\line(1,0){4}}
\put(3,4){\line(2,-1){4}}
\put(3,4){\line(4,-1){4}}
\put(3,0){\line(4,1){4}}
\put(3,0){\line(1,0){4}}
\put(3,0){\line(2,-1){4}}
\put(3,0){\line(4,-1){4}}
\put(2.1,3.9){Rh+}
\put(2.1,-0.2){Rh-}
\put(0.1,3.5){$p_{1}=$?}
\put(0.3,0.8){?}
\put(7.2,-2.2){AB}
\put(7.2,-1.2){B}
\put(7.2,-0.1){A}
\put(7.2,0.9){O}
\put(7.2,1.9){AB}
\put(7.2,2.8){B}
\put(7.2,3.9){A}
\put(7.2,4.9){O}
\put(6,-1.5){?}
\put(6,-0.7){?}
\put(6,0.1){?}
\put(6,0.8){?}
\put(6,2.5){?}
\put(6,3.3){?}
\put(6,4.0){?}
\put(5.56,5.0){$p_{2}=$?}
\end{picture}
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TeXButton{vskip}{\vskip2cm}}%
%BeginExpansion
\vskip2cm%
%EndExpansion
L'exp\'{e}rience consiste \{a} choisir une personne au hasard dans la
population donn\'{e}e\newline ( les habitants de la France ).\newline On note
Rh+ l'\'{e}v\{e}nement '' la personne a le facteur Rh+ ''\newline On note O
l'\'{e}v\{e}nement '' la personne appartient au groupe O ''

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la probabilit\'{e} $p_{1},$ c'est \{a} dire $p\left( \text{Rh+}\right) .$ On d\'{e}taillera le calcul effectu\'{e} puis on
reportera ce r\'{e}sultat dans l'arbre.\newline
\index{Probabilit\'{e}}
\index{Arbre!de probabilit\'{e}}D\'{e}terminer de m\^{e}me la probabilit\'{e}
$p_{2}$ ( en d\'{e}taillant les calculs ).

\item  Compl\'{e}ter le reste de l'arbre, en rempla\c{c}ant chaque point
d'interrogation par la probabilit\'{e} correspondante ( il est inutile de
d\'{e}tailler les nouveaux calculs ).
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Comment peut-on, \{a} partir de l'arbre compl\'{e}t\'{e},
d\'{e}terminer la probabilit\'{e} de O ?\newline V\'{e}rifier ce r\'{e}sultat
\{a} l'aide du tableau.

\item  Quelle est la probabilit\'{e} pour qu'une personne appartenant au
groupe O ait le facteur Rh+ ?
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  On consid\{e}re $n$ personnes choisies au hasard dans la population
donn\'{e}e ( les habitants de la France ).\newline Calculer, en fonction de
$n,$ la probabilit\'{e} $p$ pour qu'il y ait, parmi elles, au moins une
personne du groupe O.

\item  Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle on a $p\geqslant 0,999.\bigskip$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 ( 5 points)}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Pour tout nombre complexe $Z,$ on pose $P\left( Z\right) =Z^{4}-1.$
\index{Complexe}

\begin{enumerate}
\item  Factoriser $P\left( Z\right) .$

\item  En d\'{e}duire les solutions dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres
complexes de l'\'{e}quation $P\left( Z\right) =0,$ d'inconnue $Z.$

\item  D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente les solutions dans
$\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation d'inconnue $z$ :
$\left( \frac{2z+1}{z-1}\right) ^{4}=1$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Le plan complexe $\left( P\right)$ est rapport\'{e} \{a} un
rep\{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow {v}\right)$ ( l'unit\'{e} graphique est $5$ cm ).\newline Placer les points
$A,$ $B$ et $C$ d'affixes respectives :
\index{Affixe}
$a=-2\quad b=-\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i\quad c=-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i$

\item  D\'{e}montrer que les points $O,$ $A,$ $B$ et $C$ sont situ\'{e}s sur
un cercle, que l'on d\'{e}terminera.
\index{Cercle}
\end{enumerate}

\item  Placer le point $D$ d'affixe $d=-\frac{1}{2}.$\newline Exprimer sous
forme trigonom\'{e}trique le nombre complexe $z^{\prime}$ d\'{e}fini par :
\index{Forme!trigonom\'{e}trique}
$z^{\prime}=\frac{a-c}{d-c}%$
En d\'{e}duire le rapport $\dfrac{CA}{CD}.$\newline Quelle autre
cons\'{e}quence g\'{e}om\'{e}trique peut-on tirer de l'expression de
$z^{\prime}$ ?\bigskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBLEME ( 11 points )}
\end{center}

\textbf{PARTIE A}

$\blacksquare$ \emph{R\'{e}solution de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle}
$\left( E\right) :$ $y^{\prime}+y=x-1.$
\index{Equation!diff\'{e}rentielle}

\begin{enumerate}
\item  A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, calculer
\index{Int\'{e}gration!par parties}
$\int_{1}^{x}e^{t}\left( t-1\right) \,dt$

\item
\begin{enumerate}
\item  Soit $z$ une fonction d\'{e}rivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des
nombres r\'{e}els. On pose $f\left( x\right) =z\left( x\right) e^{-x}.$
Montrer que la fonction $f$ est solution de $\left( E\right)$ si et
seulement si pour tout $x$ de $\mathbb{R},$ $z^{\prime}\left( x\right) =e^{x}\left( x-1\right) .$

\item  A l'aide de la premi\{e}re question, d\'{e}terminer toutes les
fonctions $z$ v\'{e}rifiant pour tout $x$ de $\mathbb{R},$ $z^{\prime}\left( x\right) =e^{x}\left( x-1\right) .$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente les solutions de $\left( E\right) .$

\item  D\'{e}terminer la solution de $\left( E\right)$ pour laquelle
l'image de $1$ est $0.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE B}

$\blacksquare$ \emph{Etude d'une fonction}

Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $f\left( x\right) =x-2+e^{1-x}.$ Le plan est rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re orthonormal
$\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$ ( unit\'{e} graphique : $1$ cm
). On d\'{e}signe par $\left( C_{f}\right)$ la courbe repr\'{e}sentative de
$f.$
\index{Fonction!exponentielle}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Etudier le sens de variation de $f.$

\item  Pr\'{e}ciser $\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left( x\right)$ et
$\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left( x\right) .$
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer que la droite $\left( D\right) ,$ d'\'{e}quation $y=x-2$, est
asymptote \{a} la courbe $\left( C_{f}\right) .$
\index{Asymptote}

\item  Pr\'{e}ciser la position de $\left( C_{f}\right)$ par rapport \{a}
$\left( D\right) .$
\end{enumerate}

\item  Tracer $\left( D\right)$ et $\left( C_{f}\right) .$
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE C}

$\blacksquare$ \emph{Calcul d'aires}

Soit $x_{0}$ un nombre r\'{e}el strictement positif.

\begin{enumerate}
\item  On consid\{e}re le domaine limit\'{e} par la courbe $\left( C_{f}\right) ,$ son asymptote $\left( D\right)$ et les droites
d'\'{e}quations $x=0$ et $x=x_{0}.$ \newline Exprimer, \{a} l'aide de $x_{0}%$, l'aire $S_{1}$ de ce domaine.
\index{Calcul!d'aire}

\item  On consid\{e}re la fonction $g,$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par
$g\left( x\right) =e^{1-x}.$

\begin{enumerate}
\item  Etudier rapidement $g,$ puis tracer sa courbe repr\'{e}sentative
$\left( C_{g}\right) .$

\item  Donner une interpr\'{e}tation, en terme d'aire, de l'int\'{e}grale
ayant servie au calcul de $S_{1}$ \{a} l'aide de la courbe $\left( C_{g}\right) .$
\index{Int\'{e}grale}
\end{enumerate}

\item $A$ est le point de coordonn\'{e}es $\left( x_{0},0\right) .$
\newline $B$ est le point de la courbe $\left( C_{g}\right)$ d'abscisse
$x_{0}.$ \newline Soit $\left( T\right)$ la tangente \{a} la courbe
$\left( C_{g}\right)$ au point d'abscisse $x_{0}.$
\index{Tangente}\newline $C$ est le point d'intersection de $\left( T\right)$ et de l'axe des abscisses.\newline D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es de $C.$

\item  Calculer ( en unit\'{e}s d'aire ) l'aire $S_{2}$ du triangle $ABC.$
V\'{e}rifier que $S_{1}+2S_{2}=0.$
\end{enumerate}

\section{Am%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
erique 1999}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 (4\ points)}\$0pt] \end{center} \textbf{I-} Lors de la pr\'{e}paration d'un concours, un \'{e}l\{e}ve n'a \'{e}tudi\'{e} que 50 des 100 le\c{c}ons. On a mis 100 papiers contenant chacun une question dans une urne, ces questions portant sur des le\c{c}ons diff\'{e}rentes. Le candidat tire simultan\'{e}ment au hasard 2 papiers. On donnera les r\'{e}ponses sous forme de fractions irr\'{e}ductibles. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilit\'{e} qu'il ne connaisse aucun de ces sujets ? \index{Probabilit\'{e}} \item Quelle est la probabilit\'{e} qu'il connaisse les deux sujets ? \item Quelle est la probabilit\'{e} qu'il connaisse un et un seul de ces sujets ? \item Quelle est la probabilit\'{e} qu'il connaisse au moins un de ces sujets ? \end{enumerate} \textbf{II-} On consid\{e}re maintenant que l'\'{e}l\{e}ve a \'{e}tudi\'{e} n des 100 le\c{c}ons. ( n \'{e}tant un entier inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 100). \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilit\'{e} p_{n} qu'il connaisse au moins un de ces sujets ? \item D\'{e}terminer les entiers n tels que p_{n} soit sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 0,95.\bigskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2 ( 5 points)}\\[0pt] \end{center} Le plan orient\'{e} est rapport\'{e} au rep\{e}re orthonormal \left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) , l'unit\'{e} graphique \'{e}tant 4 cm.\newline On consid\{e}re les points A_{0}, A_{1} d'affixes respectives : \index{Affixe} \[ a_{0}=1\quad a_{1}=e^{i\frac{\pi}{12}}%$
Le point $A_{2}$ est l'image du point $A_{1}$ par la rotation $r$ de centre
$O$ et d'angle $\frac{\pi}{12}$.
\index{Rotation}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer l'affixe $a_{2}$ du point $A_{2}$ sous forme exponentielle
puis sous forme alg\'{e}brique.
\index{Forme!exponentielle}
\index{Forme!alg\'{e}brique}

\item  Soit $I$ le milieu du segment $\left[ A_{0}A_{2}\right]$. Calculer
l'affixe du point $I.$

\item  Faire une figure.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Prouver que les droites $\left( OI\right)$ et $\left( OA_{1}\right)$ sont confondues.

\item  Ecrire sous forme trigonom\'{e}trique l'affixe de $I$.
\index{Forme!trigonom\'{e}trique}

\item  D\'{e}terminer $\cos\left( \frac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left( \frac{\pi}{12}\right)$ ( les valeurs exactes sont exig\'{e}es), sachant que
\index{Cosinus}
\index{Sinus}
$\sqrt{4\sqrt{3}+8}=\sqrt{6}+\sqrt{2}%$
\medskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBLEME ( 11 points)\$0pt]} \end{center} On consid\{e}re la fonction num\'{e}rique f d\'{e}finie sur \left] -\infty,1\right[  par : \[ f\left( x\right) =\frac{2}{\left( x-1\right) ^{2}}\,e^{\frac{x+1}{x-1}}%$

On d\'{e}signe par $\Gamma$ la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans le plan
rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath}\right) ,$ l'unit\'{e} graphique \'{e}tant 2 cm.
\index{Fonction!exponentielle}

\textbf{PARTIE I}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Soit $X=\frac{2}{x-1}.$ Prouver l'\'{e}galit\'{e} :
\index{Changement!de variable}
$\frac{2}{\left( x-1\right) ^{2}}e^{\frac{x+1}{x-1}}=\frac{e}{2}X^{2}e^{X}%$
En d\'{e}duire la limite de $f$ quand $x$ tend vers $1.$

\item  D\'{e}terminer la limite de $f$ en $-\infty.$
\index{Limite}

\item  En d\'{e}duire une asymptote \{a} la courbe $\Gamma$.
\index{Asymptote}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Soit $v$ la fonction num\'{e}rique d\'{e}finie sur $\left] -\infty,1\right[$ par :
$v\left( x\right) =e^{\frac{x+1}{x-1}}%$
calculer $v^{\prime}\left( x\right) .$

\item  D\'{e}montrer que
$f^{\prime}\left( x\right) =\frac{-4x}{\left( x-1\right) ^{4}}e^{\frac {x+1}{x-1}}%$
\end{enumerate}

\item  Etudier les variations de $f$.

\item  Tracer la courbe $\Gamma$.
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE II}

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer une primitive de $f$ sur $\left] -\infty,1\right[ .$
\index{Primitive}

\item  Soit $\alpha$ r\'{e}el tel que $0<\alpha<1$, d\'{e}terminer :
\index{Int\'{e}grale}
$g\left( \alpha\right) =\int_{-\alpha}^{\alpha}f\left( x\right) dx$

\item  Quelle est la limite de $g\left( \alpha\right)$ quand $\alpha$ tend
vers 1.

\item  Quelle est l'aire en cm$^{2}$ du domaine limit\'{e} par la courbe de
$f,$ l'axe des abscisses, les droites d'\'{e}quations respectives $x=-\alpha$
et $x=\alpha.$
\index{Calcul!d'aire}
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE III}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que l'\'{e}quation $f\left( x\right) =\dfrac{1}{2}$ a
deux solutions dont l'une est $-1$. On notera $\beta$ l'autre solution.

\item  Donner un encadrement de largeur $10^{-2}$ de $\beta.$
\end{enumerate}

\item  Soit $a$ un \'{e}l\'{e}ment de $\left] -\infty,1\right[ .$
D\'{e}terminer graphiquement, en fonction de $a$, le nombre de solutions de
l'\'{e}quation $f\left( x\right) =f\left( a\right) .$
\end{enumerate}

\section{Pondich%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
ery 1999}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 ( 5 points )}
\end{center}

\textit{Les questions 2 et 3 sont ind\'{e}pendantes.}\newline

\begin{enumerate}
\item  R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation $z^{2}-2\sqrt{2}z+4=0$.
\index{Complexe}\newline On d\'{e}signera par $z_{1}$ la solution dont la
partie imaginaire est positive et par $z_{2}$ l'autre solution.
\index{Partie!imaginaire}

\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer le module et un argument de chacun des nombres $z_{1}$
et $z_{2}$.
\index{Module}
\index{Argument}

\item  D\'{e}terminer le module et un argument du nombre complexe $\left( \dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right) ^{2}$.
\end{enumerate}

\item  Dans le plan complexe rapport\'{e} au rep\{e}re orthonormal direct
$\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$ (unit\'{e} : 1 cm), on consid\{e}re
le point $\mathrm{M_{1}}$ d'affixe $\sqrt{2}(1+i)$, le point $\mathrm{M_{2}}$
d'affixe $\sqrt{2}(1-i)$ et le point A d'affixe $z_{A}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\index{Affixe}

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer l'affixe du point $\mathrm{M_{3}}$, image de
$\mathrm{M_{2}}$ par l'homoth\'{e}tie $h$ de centre A et de rapport -3.
\index{Homoth\'{e}tie}

\item  D\'{e}terminer l'affixe du point $\mathrm{M_{4}}$, image de
$\mathrm{M_{2}}$ par la rotation $r$ de centre O et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$.
\index{Rotation}

\item  Placer dans le m\^{e}me rep\{e}re les points A, $\mathrm{M_{1}}$,
$\mathrm{M_{2}}$, $\mathrm{M_{3}}$, et $\mathrm{M_{4}}$.

\item  Calculer $\dfrac{z_{3}-z_{1}}{z_{4}-z1}$.

\item  Soient I le milieu du segment [$\mathrm{M_{3}}$$\mathrm{M_{4}}$] et
$\mathrm{M_{5}}$ le sym\'{e}trique de $\mathrm{M_{1}}$ par rapport \{a} I.
Montrer que les points $\mathrm{M_{1}}$, $\mathrm{M_{3}}$, $\mathrm{M_{5}}$ et
$\mathrm{M_{4}}$ forment un carr\'{e}.\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 (4 points )}
\end{center}

On consid\{e}re un triangle ABC du plan.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer et construire le point G, barycentre de
$[(A;1);(B;-1);(C;1)]$.
\index{Barycentre}

\item  D\'{e}terminer et construire le point G', barycentre de $[(A ; 1) ; (B ; 5) ; (C ; -2)]$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Soit J le milieu de [AB].\newline Exprimer $\overrightarrow {\strut\mathrm{GG^{\prime}}}$ et $\overrightarrow{\strut\mathrm{JG^{\prime}}}$
en fonction de $\overrightarrow{\strut\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow {\strut\mathrm{AC}}$ et en d\'{e}duire l'intersection des droites (GG') et (AB).

\item  Montrer que le barycentre I de [(B ; 2) ; (C ; -1)] appartient \{a} (GG').
\end{enumerate}

\item  Soit D un point quelconque du plan.\newline Soient O le milieu de [CD]
et K le milieu de [OA].

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer trois r\'{e}els $a$, $d$, et $c$ tels que K soit
barycentre de
$\lbrack(A;a);(D;d);(C;c)]$

\item  Soit X le point d'intersection de (DK) et (AC).\newline D\'{e}terminer
les r\'{e}els $a^{\prime}$ et $c^{\prime}$ tels que X soit barycentre de [(A
;$a^{\prime}$) ; (C ; $c^{\prime}$)].\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBLEME ( 11 points )}
\end{center}

Soit la fonction num\'{e}rique $f$ d\'{e}finie sur $]0;+\infty\lbrack$ par
$f(x)=\frac{e^{x}-1}{x^{2}}$.\newline
\index{Fonction!exponentielle}

\textbf{Partie A}\newline $\bullet$ \textbf{Recherche graphique d'un extremum}
\newline L'observation de la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $f$ sur
l'\'{e}cran graphique d'une calculatrice donne \{a} penser que $f$ admet un
minimum sur l'intervalle [0,5 ; 2].\newline
\index{Calculatrice}On se propose d'en donner une valeur approch\'{e}e.
\index{Valeur!approch\'{e}e}\newline Observer ci-dessous la repr\'{e}sentation
graphique de la fonction $f^{\prime}$, d\'{e}riv\'{e}e de $f$, sur
l'intervalle [0,5 ; 2].\newline
%TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{4.6899in}{3.1315in}{0pt}{}{}{fig1.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
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%original-height 3.0597in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'fig1.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=3.1315in,
width=4.6899in
]%
{fig1.eps}%
\end{center}
%EndExpansion
Quels sont les \'{e}l\'{e}ments graphiques concernant $f^{\prime}$ qui vont
dans le sens de l'existence d'un minimum de $f$ sur [0,5 ; 2].
\index{Minimum}\newline A l'aide de ce graphique donner un encadrement
d'amplitude 0,2 de l'abscisse de ce minimum.

\textbf{Partie B}\newline $\bullet$ \textbf{\'{E}tude de la fonction
F}\newline On consid\{e}re la fonction $h$ d\'{e}finie sur [0 ;+$\infty$[ par
$h(x)=xe^{x}-2x^{x}+2$.

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer les variations de $h$ (on pr\'{e}cisera $h(0)$ mais la
limite en $+\infty$ n'est pas demand\'{e}e).

\item  D\'{e}terminer le signe de $h\left( \frac{3}{2}\right)$.\newline En
d\'{e}duire qu'il existe un unique r\'{e}el $a$ appartenant \{a} l'intervalle
$\left[ \frac{3}{2}; 2\right]$ tel que $h(a)=0$.\newline En d\'{e}duire le
signe de $h$ sur [0 ;+$\infty$[.

\item \textbf{\'{E}tude de la fonction} \boldmath$f$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item  Calculer les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle ]0; $\infty$[.

\item  Montrer que, pour tout nombre $x$, strictement positif,
$f^{\prime}(x)=\frac{xe^{x}-2e^{x}+2}{x^{3}}.$
En d\'{e}duire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation.

\item  Montrer que
$f(a)=\frac{-1}{a(a-2)}%$
et en d\'{e}duire le signe de $f(a)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}\newline $\bullet$ \textbf{Recherche d'un encadrement du
nombre} \boldmath$a$ \unboldmath

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que, sur [0; +$\infty$[, l'\'{e}quation $h(x)=0$
\'{e}quivaut \{a} $2(1-e^{-x})=x$

\item  Soit la fonction $g$ d\'{e}finie sur [0; +$\infty$[ par
$g(x)=2(1-e^{-x})$. On pose $I=\left[ \frac{3}{2}; 2\right]$.\newline Montrer
que, pour tout $x$ de l'intervalle I, $\vert g^{\prime}(x)\vert\leqslant \frac{1}{2}$.

\item  Soit la suite $(x_{n})_{n\geqslant1}$ d\'{e}finie par
\index{Suite!r\'{e}currente}
$\left\{ \begin{array} [c]{l}% x_{1}=\frac{3}{2}\\ x_{n+1}=g(x_{n})\quad\text{pour}\quad n\geqslant1 \end{array} \right.$
On admet que, pour tout entier $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 1, $x_{n}$
appartient \{a} I.

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que, pout tout entier $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a}
1 :
$|x_{n+1}-a|\leqslant\frac{1}{2}|x_{n}-a|$%
$\text{et}\qquad|x_{n}-a|\leqslant\frac{1}{2^{n}}%$
En d\'{e}duire que la suite $(x_{n})$ converge vers $a$.
\index{Suite!convergente}

\item  D\'{e}terminer un entier $p$ tel que $x_{p}$ soit une valeur
approch\'{e}e \{a} $10^{-3}$ pr\{e}s du nombre r\'{e}el $a$. Donner une
valeur approch\'{e}e de $x_{p}$ avec trois d\'{e}cimales.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie D}\newline $\bullet$ \textbf{Quelques propri\'{e}t\'{e}s d'une
primitive de} \boldmath$f$ \unboldmath\newline
\index{Primitive}On appelle F la primitive de $f$ sur ]0;+$\infty$[ qui
s'annule en 1.\newline Ainsi l'on a, pour tout r\'{e}el $x$ de ]0;+$\infty$[,
$\text{F}(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$.
\index{Int\'{e}grale}

\begin{enumerate}
\item \'{E}tudier le sens de variation de F sur ]0;+$\infty$[.

\item  D\'{e}montrer que, pour tout $x$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 2,
$\int_{2}^{x}f(2)dt\leqslant\int_{2}^{x}f(t)dt$
Par comparaison de limites, et en utilisant la relation de Chasles, en
d\'{e}duire $\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{F}(x)$.
\index{Relation!de Chasles}
\end{enumerate}

\section{Centres
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
etrangers 1999}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Une urne $U_{1}$ contient 2 jetons num\'{e}rot\'{e}s 1 et
2.\newline Une urne $U_{2}$ contient 4 jetons num\'{e}rot\'{e}s 1, 2, 3 et
4.\newline On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette
urne.\newline (Les choix sont suppos\'{e}s \'{e}quiprobables)

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilit\'{e} de tirer un jeton portant le num\'{e}ro 1
?
\index{Probabilit\'{e}}

\item  On a tir\'{e} un jeton portant le num\'{e}ro 1. Quelle est la
probabilit\'{e} qu'il provienne de l'urne $U_{1}$ ?
\end{enumerate}

\item  On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc
les 6 jetons pr\'{e}c\'{e}dents. On tire simultan\'{e}ment et au hasard 2
jetons de cette urne.\newline Les tirages sont suppos\'{e}s \'{e}quiprobables.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'{e} de tirer 2 jetons identiques ?

\item  Soit $S$ la variable al\'{e}atoire qui, \{a} chaque tirage , associe
la somme des num\'{e}ros des 2 jetons tir\'{e}s.
\index{Variable!al\'{e}atoire}\newline D\'{e}terminer la loi de
probabilit\'{e} de $S$.
\index{Loi!de probabilit\'{e}}

\item  Deux joueurs, Claude et Dominique, d\'{e}cident que si la somme des
num\'{e}ros tir\'{e}s est impaire, Claude donne 10 euros \{a} Dominique et
que, dans le cas contraire, Claude re\c{c}oit $\lambda$ euros de
Dominique.\newline On note $X$ la variable al\'{e}atoire qui, \{a} chaque
tirage, associe le gain alg\'{e}brique de Claude.\newline Calculer
l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de $X$ en fonction de $\lambda$ puis
d\'{e}terminer $\lambda$ pour que le jeu soit \'{e}quitable ( c'est \{a} dire
pour que $E(X)$ soit \'{e}gale \{a} 0 ).
\index{Esp\'{e}rance}\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2 ( 5 points )}
\end{center}

Dans le plan complexe rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re orthonormal
$(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, $A$, $A^{\prime}$, $B$,
$B^{\prime}$ sont les points d'affixes respectives $1,-1,i,-i$.
\index{Affixe}\newline A tout point $M$ d'affixe $z$, distinct des points $O$,
$A$, $A^{\prime}$,$B$, $B^{\prime}$, on associe les points $M_{1}$ et $M_{2}$
d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ , tels que les triangles $BMM_{1}$ et
$AMM_{2}$ soient rectangles isoc\{e}les, avec :
$(\overrightarrow{M_{1}B},\overrightarrow{M_{1}M})=(\overrightarrow{M_{2}% M},\overrightarrow{M_{2}A})=\frac{\pi}{2}%$
\textit{On fera une figure.}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Justifier les \'{e}galit\'{e}s :\newline $z-z_{1}=i(i-z_{1})$ et
$1-z_{2}=i(z-z_{2})$\newline

\item  V\'{e}rifier que $z_{1}$ et $z_{2}$ peuvent s'\'{e}crire :
\newline $\displaystyle{z_{1}= \frac{1+i}{2}\, (z+1)}$ et $\displaystyle {z_{2}= \frac{1-i}{2}\, (z+i)}$\newline
\end{enumerate}

\item  On se propose dans cette question de d\'{e}terminer les points $M$ pour
lesquels le triangle $OM_{1}M_{2}$ est \'{e}quilat\'{e}ral.
\index{Triangle!\'{e}quilat\'{e}ral}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que : $OM_{1}=OM_{2}$ \'{e}quivaut \{a} $|z+1|=|z+i|$%
.\newline En d\'{e}duire l'ensemble $(\Delta)$ des points $M$ tels que
$OM_{1}=OM_{2}$ et tracer $(\Delta)$ sur la figure.
\index{Ensemble!de points}

\item  Montrer que : $OM_{1}=M_{1}M_{2}$ \'{e}quivaut \{a} : $|z+1|^{2}% =2|z|^{2}$.

\item  En d\'{e}duire l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan pour
lesquels : $OM_{1}=M_{1}M_{2}$.\newline On pourra montrer que : $|z+1|^{2}% =2|z|^{2}$ \'{e}quivaut \{a} $|z-1|^{2}=2$.\newline Tracer $(\Gamma)$ sur la figure.

\item  En d\'{e}duire les deux points $M$ pour lesquels $OM_{1}M_{2}$ est un
triangle \'{e}quilat\'{e}ral et les placer sur la figure.\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{PROBLEME ( 10 points )}
\end{center}

Le but du probl\{e}me est l'\'{e}tude d'une fonction $f$ d\'{e}finie sur
l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$ et d'une primitive de $f$.\newline
\index{Primitive}

\textbf{Premi\{e}re partie}\newline $\bullet$ \textbf{\'{E}tude d'une
fonction auxiliaire} \boldmath$g$ \unboldmath
\newline Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$
par : $g(x)=2x^{2}-(x^{2}+1)\ln(x^{2}+1)$.
\index{Fonction!logarithme}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $g$ est d\'{e}rivable sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$
et, en d\'{e}taillant les calculs effectu\'{e}s, montrer que
\index{Fonction!d\'{e}rivable}
$g^{\prime}(x)=2x-2x\ln(x^{2}+1)$

\item  Faire l'\'{e}tude du sens de variation de $g$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

\item  Montrer qu'il existe un unique r\'{e}el, que l'on notera $\alpha$, dans
l'intervalle $[\sqrt{e-1},\sqrt{e^{2}-1}]$, tel que $g(\alpha)=0$ ; donner
l'approximation d\'{e}cimale \{a} $10^{-2}$ pr\{e}s par d\'{e}faut de
$\alpha$.
\index{Approximation!d\'{e}cimale}

\item  En d\'{e}duire le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant \{a}
l'intervalle $[0 ; +\infty[$.
\end{enumerate}

\textbf{Deuxi\{e}me partie}\newline $\bullet$ \textbf{\'{E}tude de la
fonction} \boldmath$f$ \unboldmath
\newline La fonction $f$ est d\'{e}finie sur [0 ;+$\infty$[ par :
$f(0)=0\text{ et }f(x)=\frac{\ln(1+x^{2})}{x}\text{ lorsque }x\neq0$
Montrer que $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=1$.\newline En d\'{e}duire que
$f$ est d\'{e}rivable en 0 et donner la valeur de $f^{\prime}(0)$.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  V\'{e}rifier que, pour $x$ strictement positif,
$f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x^{2}(1+x^{2})}%$
\newline Faire l'\'{e}tude du sens de variation de $f$ sur l'intervalle
$[0;+\infty\lbrack$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour $x\geqslant1,\qquad0\leqslant f(x)\leqslant\frac {\ln(2x^{2})}{x}$.

\item  En d\'{e}duire la limite de $f$ en $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Troisi\{e}me partie}\newline $\bullet$ \textbf{\'{E}tude d'une
primitive de} \boldmath$f$ \unboldmath
\newline On note F la primitive de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$,
qui s'annule pour $x=1$.
\index{Primitive}\newline On rappelle que $\text{F}(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$ :
(on ne cherchera pas \{a} calculer F($x$).

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer que, pour $x>0$, \ $f(x)\geqslant\frac{2\ln(x)}{x}$.

\item  Calculer $\int_{1}^{x}\frac{2\ln(t)}{t}dt$ pour $x\geqslant1$ et en
d\'{e}duire la limite de F en $+\infty$.
\end{enumerate}

\item  Dresser le tableau de variation de F.

\item  Montrer que $f(1)<\text{F}(2)<f(\alpha)$ et en d\'{e}duire un
encadrement de F(2). (On prendra $f(\alpha)\approx0,8$).

\item  On note I le point de coordonn\'{e}es (1 ; 0), A le point de
($\mathcal{C}$) de coordonn\'{e}es (1 ; $\ln2$) et B le point de
coordonn\'{e}es ($\ln2$ ; $\ln2$).

\begin{enumerate}
\item  V\'{e}rifier que B appartient \{a} la tangente \{a} ($\mathcal{C}$)
en O.
\index{Tangente}

\item  Placer les points I, A et B sur une figure et tracer les segments [OA],
[OB], [BA] et [AI].

\item  On admet que, pour les abscisses appartenant \{a} l'intervalle [0 ;
1], la courbe ($\mathcal{C}$) est situ\'{e}e au-dessus de [OA] et au dessous
de [OB] et de [BA].\newline D\'{e}terminer un encadrement de F(0), d'amplitude
inf\'{e}rieure \{a} $2.10^{-1}.$
\end{enumerate}

\item  Tracer la repr\'{e}sentation graphique ($\Gamma$) de F en exploitant au
maximum les r\'{e}sultats pr\'{e}c\'{e}dents ; on pr\'{e}cisera notamment la
tangente \{a} ($\Gamma$) au point d'abscisse 1 en la tra\c{c}ant et en
donnant son coefficient directeur. (Unit\'{e} graphique : 2 cm).
\index{Coefficient!directeur}
\end{enumerate}

\section{Polyn%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
esie 1998}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)}
\end{center}

Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3
boules rouges et deux boules noires. On tire au hasard une boule de l'urne A :

\begin{itemize}
\item [$\bullet$]si elle est noire, on la place dans l'urne B,

\item[$\bullet$] sinon, on l'\'{e}carte du jeu.
\end{itemize}

On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B. On consid\{e}re les
\'{e}v\'{e}n\'{e}ments suivants :

R$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de A est rouge
\guilsinglright\guilsinglright

N$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de A est noire
\guilsinglright\guilsinglright

R$_{2}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de B est rouge
\guilsinglright\guilsinglright

N$_{2}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de B est noire
\guilsinglright\guilsinglright

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements ${R_{1}}$ et
${N_{1}}$.
\index{Probabilit\'{e}}

\item  Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements \guilsinglleft
\guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant R$_{1}$ \guilsinglright\guilsinglright\ et
\guilsinglleft\guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant N$_{1}$ \guilsinglright
\guilsinglright. En d\'{e}duire que la probabilit\'{e} de ${R_{2}}$ est de
${\displaystyle\frac{27}{50}}$.

\item  Calculer la probabilit\'{e} de ${N_{2}}$.
\end{enumerate}

\item  On r\'{e}p\{e}te $n$ fois l'\'{e}preuve pr\'{e}c\'{e}dente (tirage
d'une boule de A, suivie du tirage d'une boule de B dans les m\^{e}mes
conditions initiales indiqu\'{e}es ci-dessus), en supposant les diff\'{e}%
rentes \'{e}preuves ind\'{e}pendantes.\newline
\index{Sch\'{e}ma!de Bernouilli}Quel nombre minimum d'essais doit-on effectuer
pour que la probabilit\'{e} d'obtenir au moins une fois une boule rouge de
l'urne B soit sup\'{e}rieure \{a} 0,99 ?\bigskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 2\ ( 5 points)}
\end{center}

Le plan complexe est muni d'un rep\{e}re orthonormal $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ ( unit\'{e} graphique 2 cm
). On note A le point d'affixe 1 et B le point
\index{Affixe}d'affixe $3+2i$.\newline On appelle $f$ l'application qui, \{a}
tout point M distinct de A et d'affixe $z$, associe le point M' d'affixe
$z^{\prime}$ d\'{e}finie par
\index{Application!complexe}
${z^{\prime}=\frac{z-1+2i}{z-1}}%$

\begin{enumerate}
\item  Calculer les affixes des points O' et B', images respectives des points
O et B par $f$. Placer les points A, O', B et B' dans le plan.

\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer, pour tout complexe $z$ diff\'{e}rent de 1, le produit
$\left( z^{\prime}-1\right) \left( z-1\right)$

\item  En d\'{e}duire que, pour tout point M distinct de A, on a :
$\text{AM}\times\text{AM'}=2\text{ et }\left( \overrightarrow{u}% ,\overrightarrow{\text{AM}}\right) +\left( \overrightarrow{u}% ,\overrightarrow{\text{AM'}}\right) \text{=}\frac{\pi}{2}+2k\pi ,\;k\in\mathbb{Z}%$
\end{enumerate}

\item  D\'{e}montrer que, si M appartient au cercle ($C$) de centre A passant
par O, alors M' appartient \{a} un cercle ($C^{\prime}$). En pr\'{e}ciser le
centre et le rayon.
\index{Cercle}Construire ($C$) et ($C^{\prime}$).

\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer l'angle ${(\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow {\strut\text{AB}})}$.
\index{Angle}

\item  D\'{e}montrer que, si M est un point autre que A de la demi-droite ($d$) d'origine A, passant par B, alors M' appartient \{a} une demi-droite que
l'on pr\'{e}cisera.
\index{Demi-droite}
\end{enumerate}

\item  On appelle P le point d'intersection du cercle ($C$) et de la
demi-droite ($d$).\newline Placer son image P' sur la figure.\bigskip
\end{enumerate}

\begin{center}
\vspace{0.5cm}\textbf{PROBLEME}{\ }\textbf{(10 points)\$0pt]} \end{center} \textbf{Partie A : \'{E}tude d'une fonction \boldmath{f} \unboldmath et courbe repr\'{e}sentative}\newline On appelle f la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle [0,+\infty[ par : \[ f(x)=x+1+xe^{-x}.$
On note ($\mathcal{C}$) la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans le plan muni
du rep\{e}re orthonormal $\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}$
\ (unit\'{e} graphique 2 cm).
\index{Fonction!exponentielle}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $f^{\prime}$ et $f^{\prime\prime}$ d\'{e}signant respectivement les
d\'{e}riv\'{e}es premi\{e}re et seconde de $f$, calculer, pour tout r\'{e}el
$x$, $f^{\prime}(x)$ et $f^{\prime\prime}(x)$.

\item  Etudier le sens de variation de la d\'{e}riv\'{e}e $f^{\prime}$.

\item  D\'{e}montrer que, pour tout r\'{e}el $x$, $f^{\prime}(x)>0$.

\item  Calculer la limite de $f$ en +$\infty$.

\item  Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'\'{e}quation $y=x+1$ est
asymptote \{a} ($\mathcal{C}$) et pr\'{e}ciser la position relative de
($\mathcal{D}$) et ($\mathcal{C}$).
\index{Position!relative}

\item  La courbe ($\mathcal{C}$) admet en un point A une tangente
parall\{e}le \{a} la droite ($\mathcal{D}$).\newline D\'{e}terminer les
coordonn\'{e}es de A.
\end{enumerate}

\item  D\'{e}montrer que l'\'{e}quation de $f(x)=2$ admet sur [0,$+\infty$[
une unique solution not\'{e}e $\alpha$ , puis v\'{e}rifier que $0<\alpha<1$.

\item
\begin{enumerate}
\item  Construire la droite ($\mathcal{D}$), le point A d\'{e}fini au
\textbf{2.(b)}, la courbe ($\mathcal{C}$) et la tangente en A \{a} la courbe
($\mathcal{C}$).
\index{Tangente}

\item  Donner par lecture graphique une valeur approch\'{e}e de $\alpha$.
\index{Valeur!approch\'{e}e}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C : Recherche d'une approximation d\'{e}cimale de
\boldmath{$\alpha$} \unboldmath}\newline

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que, sur [0,$+\infty$[, l'\'{e}quation : $f(x)=2$
\'{e}quivaut \{a} l'\'{e}quation :
${\frac{e^{x}}{e^{x}+1}=x}%$

\item  On appelle $h$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle [0 , 1] par :
$h(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}.$

\begin{enumerate}
\item  Calculer $h^{\prime}(x)$ pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle [0 , 1]
et r\'{e}aliser le tableau de variations de la fonction $h$.

\item  En d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $x$ de [0 , 1], $h(x)$
appartient \{a} [0 , 1].

\item  Calculer $h^{\prime\prime}(x)$ pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle
[0 , 1] ; \'{e}tudier le sens de variations de $h^{\prime}$.
\index{D\'{e}riv\'{e}e!seconde}

\item  En d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $x$ de [0 , 1],
${0\leqslant h^{\prime}(x)\leqslant\frac{1}{4}}%$
\end{enumerate}

\item  On d\'{e}finit la suite ${(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\text{ par :}\ }$%
${\left\{ \begin{array} [c]{l}% u_{0}=0\\ u_{n+1}=h(u_{n}) \end{array} \right. }%$
pour tout entier naturel $n$.
\index{Suite!r\'{e}currente}

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ appartient
\{a} l'intervalle [0 , 1].

\item  D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$,
${|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\frac{1}{4}|u_{n}-\alpha|}%$

\item  En d\'{e}duire que, pour tout entier naturel $n$,
${|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\left( \frac{1}{4}\right) ^{n}}%$
puis que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$.

\item  D\'{e}terminer un entier $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur
approch\'{e}e \{a} $10^{-6}$ pr\{e}s de $\alpha$ et, \{a} l'aide de la
calculatrice, proposer une approximation d\'{e}cimale de $u_{p}$ \{a}
$10^{-6}$ pr\{e}s. Que peut-on en d\'{e}duire pour $\alpha$ ?
\index{Valeur!approch\'{e}e}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Pondich%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
ery 1998}

\begin{center}
\vspace{0cm}\noindent\textbf{EXERCICE 1 ( 4 points )}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item [\textbf{1.}]On dispose d'une urne U$_{1}$ contenant trois boules rouges
et sept boules noires.\newline On extrait simultan\'{e}ment deux boules de
cette urne ; on consid\{e}re que tous les tirages sont \'{e}quiprobables.
\index{Probabilit\'{e}}

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]Quelle est la probabilit\'{e} $p_{1}$ que les deux boules
tir\'{e}es soient rouges~?

\item[\textbf{b.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{2}$ que les deux boules
tir\'{e}es soient noires~?

\item[\textbf{c.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{3}$ que les deux boules
tir\'{e}es soient de m\^{e}me couleur~?

\item[\textbf{d.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{4}$ que les deux boules
tir\'{e}es soient de couleurs diff\'{e}rentes~?
\end{enumerate}

\item[\textbf{2.}] On dispose aussi d'une deuxi\{e}me urne U$_{2}$ contenant
quatre boules rouges et six boules noires.\newline On tire maintenant deux
boules de l'urne U$_{1}$ et une boule de l'urne U$_{2}$ ; on suppose que tous
les tirages sont \'{e}quiprobables.\newline On consid\{e}re les \'{e}%
v\'{e}nements suivants :\newline R~:
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
~Les boules tir\'{e}es sont rouges~%
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%BeginExpansion
$>$%
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$>$%
%EndExpansion
;\newline D~:
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%BeginExpansion
$<$%
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%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
Les trois boules tir\'{e}es ne sont pas toutes de la m\^{e}me couleur
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
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%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
;\newline B~:
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
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%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
La boule tir\'{e}e dans l'urne U$_{2}$ est rouge
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\{e}nement R.

\item[\textbf{b.}] Quelle est la probabilit\'{e} de tirer trois boules de
m\^{e}me couleur~?

\item[\textbf{c.}] Calculer la probabilit\'{e} conditionnelle $p_{D}$(B) de
l'\'{e}v\{e}nement B sachant que l'\'{e}v\{e}nement D est r\'{e}alis\'{e}.
\index{Probabilit\'{e}!conditionnelle}\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\noindent\textbf{EXERCICE 2 ( 5 points)}\$0pt] \end{center} On consid\{e}re le polyn\^{o}me P(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260, o\{u} z est un nombre complexe. \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]D\'{e}terminer deux nombres r\'{e}els a et b tels que : \index{Polyn\^{o}me!complexe} \[ \mathrm{P}(z)=(z^{2}+az+b)(z^{2}+4\,z+20).$

\item[\textbf{2.}] R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation P$(z)=0$.

\item[\textbf{3.}] Placer dans un rep\{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$, les images M, N, P et Q des
nombres complexes respectifs $m=-2+4i,\;n=-2-4i,\;p=2+3i$ et $q=2-3i$.

\item[\textbf{4.}]

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]D\'{e}terminer le nombre complexe $z$ v\'{e}rifiant
$\displaystyle\frac{z-p}{z-m}=i$. Placer son image K.

\item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire que le triangle MPK est isoc\{e}le
rectangle en K.
\index{Triangle!isoc\{e}le}
\end{enumerate}

\item[\textbf{5.}]

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]D\'{e}teminer par le calcul l'affixe du point L,
quatri\{e}me sommet du carr\'{e} MKPL.

\item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer l'abscisse du point d'intersection R de la
droite (KL) et de l'axe des abscisses.

\item[\textbf{c.}] Montrer que M, N, P et Q sont sur un m\^{e}me cercle de
centre R. \bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\vspace{0cm}\textbf{\noindent PROBLEME} \textbf{( 11 points)\$0pt]} \end{center} On consid\{e}re la fonction f d\'{e}finie sur [0\ ;\ +\infty\lbrack par \[ f(x)=\frac{e^{x}-1}{xe^{x}+1}%$
\newline On d\'{e}signe par $\mathcal{C}$ sa courbe
\index{Fonction!exponentielle} repr\'{e}sentative dans le plan rapport\'{e}
\{a} un rep\{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$
; unit\'{e} graphique : 4 cm.\newline \textbf{Partie A}\newline
\textbf{$\star$} \textbf{\'{E}tude d'une fonction auxiliaire}\newline Soit la
fonction $g$ d\'{e}finie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$ par
$g(x)=x+2-e^{x}.$
\index{Fonction!auxiliaire}

\begin{enumerate}
\item [\textbf{1.}]\'{E}tudier le sens de variation de $g$ sur $[0\,;\,+\infty \lbrack$ et d\'{e}terminer la limite de $g$ en $+\infty$.

\item[\textbf{2.}]

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]Montrer que l'\'{e}quation $g(x)=0$ admet une solution et
une seule dans $[0\ ;\ +\infty\lbrack$.\newline On note $\alpha$ cette solution.

\item[\textbf{b.}] Prouver que $1,14 < \alpha<1,15$.
\end{enumerate}

\item[\textbf{3.}] En d\'{e}duire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de
$x$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B} \$0,2cm]\textbf{\star} \textbf{\'Etude de la fonction f et trac\'{e} de la courbe \mathcal{C}} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que, pour tout x appartenant \{a} [0\,;\,+\infty\lbrack, \[ f\,^{\prime}(x)=\frac{e^{x}g(x)}{(xe^{x}+1)^{2}}.$

\item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire le sens de variation de la fonction $f$ sur
$[0\,;\,+ \infty[$.
\end{enumerate}

\item[\textbf{2.}]

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]Montrer que pour tout r\'{e}el positif $x$,
$f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x+e^{-x}}%$

\item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire la limite de $f$ en $+\infty$.
Interpr\'{e}ter graphiquement le r\'{e}sultat trouv\'{e}.
\end{enumerate}

\item[\textbf{3.}]

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]\'Etablir que $f(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\alpha+ 1}$.

\item[\textbf{b.}] En utilisant l'encadrement de $\alpha$ \'{e}tabli dans la
question \textbf{A.2.}, donner un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude
$10^{-2}$.
\end{enumerate}

\item[\textbf{4.}] D\'{e}terminer une \'{e}quation de la tangente (T) \{a} la
courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
\index{Tangente}

\item[\textbf{5.}]

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]\'{E}tablir que, pour tout $x$ appartenant \{a}
l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$,
$f(x)-x=\frac{(x+1)\,u(x)}{xe^{x}+1}\quad\mathrm{avec}\ u(x)=e^{x}-xe^{x}-1.$

\item[\textbf{b.}] \'{E}tudier le sens de variation de la fonction u sur
l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$. En d\'{e}duire le signe de $u(x)$.

\item[\textbf{c.}] D\'{e}duire des questions pr\'{e}c\'{e}dentes la position
de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport \{a} la droite (T).
\end{enumerate}

\item[\textbf{6.}] Tracer $\mathcal{C}$ et (T).
\end{enumerate}

\textbf{Partie C} \$0,2cm]\textbf{\star} \textbf{Calcul d'aire et \'{e}tude d'une suite} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]D\'{e}terminer une primitive F de f sur [0\,;\,+\infty \lbrack ; on pourra utiliser l'expression de f(x) \'{e}tablie dans la question \textbf{B.2. \index{Primitive}} \item[\textbf{2.}] On note \mathcal{D} le domaine d\'{e}limit\'{e} par la courbe \mathcal{C}, la tangente (T) et les droites d'\'{e}quations x=0 et x=1.\newline \index{Calcul!d'aire}Calculer, en cm^{2}, l'aire A du domaine \mathcal{D}% .\newline Donner une valeur d\'{e}cimale au mm^{2} pr\{e}s de l'aire A. \item[\textbf{3.}] Pour tout entier naturel n, on pose \[ v_{n}=\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx$

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]Calculer $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$.\newline On donnera
des valeurs d\'{e}cimales approch\'{e}es \{a} 10$^{-2}$ pr\{e}s de $v_{0}$,
$v_{1}$ et $v_{2}$.

\item[\textbf{b.}] Interpr\'{e}ter graphiquement $v_{n}$.
\index{Suite!et int\'{e}grale}

\item[\textbf{c.}] Montrer que, pour tout $n\geqslant2,\quad$%
$f(n+1)\leqslant\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx\leqslant f(n)$
\newline En d\'{e}duire la monotonie de la suite $(v_{n})$ \{a} partir de
$n=1$.

\item[\textbf{d.}] D\'{e}terminer la limite de la suite $(v_{n})$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Am%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
erique du Nord 1998}

\begin{center}
\medskip\textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)\$0pt]} \end{center} Afin de cr\'{e}er une loterie, on met dans une urne n billets diff\'{e}rents (n sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 3), dont deux et deux seulement sont gagnants. \begin{enumerate} \item Dans cette question, on choisit au hasard et simultan\'{e}ment deux billets dans l'urne. \begin{enumerate} \item On suppose ici n=10. X d\'{e}signe la variable al\'{e}atoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. \index{Tirage!simultan\'{e}}\newline D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de X. \index{Loi!de probabilit\'{e}} \item On revient au cas g\'{e}n\'{e}ral avec n sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 3.\newline Calculer la probabilit\'{e}, not\'{e}e p_{n}, d'avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis. \end{enumerate} \item Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en remettant le premier billet tir\'{e} avant de tirer le second. \begin{enumerate} \item On suppose ici n=10. Y d\'{e}signe la variable al\'{e}atoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux billets choisis. \index{Variable!al\'{e}atoire}\newline D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de Y. \item On revient au cas g\'{e}n\'{e}ral avec n sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 3.\newline Calculer la probabilit\'{e}, not\'{e}e q_{n}, d'avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout n sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 3, on a : \[ p_{n}-q_{n}=\frac{4(n-2)}{n^{2}(n-1)}.$

\item  En remarquant que pour tout entier $n$, $n-2$ est inf\'{e}rieur \{a}
$n-1$, d\'{e}terminer un entier naturel $n_{0}$ tel que pour tout $n$
sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} $n_{0}$, on ait
${p_{n}-q_{n}<10^{-3}}%$

\item  Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets
de cette loterie, est-il pr\'{e}f\'{e}rable de les tirer simultan\'{e}ment ou
de les tirer l'un apr\{e}s l'autre en remettant le premier billet tir\'{e} ?\bigskip
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\medskip\textbf{EXERCICE 2}{\ }\textbf{( 5 points)}\$0pt] \end{center} Dans le plan complexe rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re orthonormal direct \mbox{\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)}, (unit\'{e} graphique : 4 cm), on donne les points A et B d'affixes \index{Affixe}respectives 1 et {\displaystyle\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}% }.\newline Pour chaque point M du plan, d'affixe z, \text{M}_{1} d'affixe z_{1} d\'{e}signe l'image de M par la rotation de centre O et d'angle {\displaystyle\frac{\pi}{3}}, puis M' d'affixe z^{\prime} l'image de \text{M}_{1} par la translation de vecteur -\overrightarrow{\strut u}. \index{Rotation}\newline Enfin, on note T la transformation qui \{a} chaque point M associe le point M'. \index{Transformation} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer : {\displaystyle z^{\prime}=e^{i\frac{\pi}{3}}z-1}. \item D\'{e}terminer l'image du point B. \item Montrer que T admet un unique point invariant dont on pr\'{e}cisera l'affixe. \index{Point!invariant} \end{enumerate} \item On pose z=x+iy, avec x et y r\'{e}els. \begin{enumerate} \item Pour z non nul, calculer la partie r\'{e}elle du quotient {\displaystyle \frac{z^{\prime}}{z}} en fonction de x et de y. \item D\'{e}montrer que l'ensemble (E), des points M du plan tels que le triangle OMM' soit rectangle en O, est un cercle (C), dont on pr\'{e}cisera le centre et le rayon, priv\'{e} de deux points.\newline Tracer (E). \end{enumerate} \item Dans cette question on pose z=1+i. \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que M appartient \{a} (E). Placer M et M' sur la figure. \item Calculer le module de z^{\prime}. \index{Module} \item Calculer l'aire, en \text{cm}^{2}, du triangle OMM'. \index{Aire!d'un triangle}\bigskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME ( 10 points)}\medskip \end{center} On d\'{e}signe par n un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \{a} 2 et on consid\{e}re les fonctions, not\'{e}es f_{n}, qui sont d\'{e}finies pour x appartenant \{a} l'intervalle ]0,+\infty\lbrack par : \index{Fonction!logarithme} \[ f_{n}(x)=\frac{1+n\ln(x)}{x^{2}}%$

\textbf{PARTIE A }

\textbf{I : Etude des fonctions $f_{n}$}

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f^{\prime}_{n}(x)$ et montrer que l'on peut \'{e}crire le
r\'{e}sultat sous la forme d'un quotient dont le num\'{e}rateur et $n-2-2n \ln(x)$.

\item  R\'{e}soudre l'\'{e}quation $f^{\prime}_{n}(x)=0$. Etudier le signe de
$f^{\prime}_{n}(x)$

\item  D\'{e}terminer la limite de $f_{n}$ en $+\infty$

\item  Etablir le tableau de variation de la fonction $f_{n}$ et calculer sa
valeur maximale en fonction de $n$.
\end{enumerate}

\textbf{II : Repr\'{e}sentation graphique de quelques fonctions $f_{n}$}

Le plan est rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re orthonormal $(O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath})$ ( unit\'{e} graphique : 5 cm ). On note $(C_{n})$ la courbe
repr\'{e}sentative de la fonction $f_{n}$ dans ce rep\{e}re.

\begin{enumerate}
\item  Tracer $\left( C_{2}\right)$ et $\left( C_{3}\right) .$

\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f_{n+1}\left( x\right) -f_{n}\left( x\right) .$ Cette
diff\'{e}rence est-elle d\'{e}pendante de l'entier $n$ ?

\item  Expliquer comment il est possible de construire point par point la
courbe $\left( C_{4}\right)$ \{a} partir de $\left( C_{2}\right)$ et
$\left( C_{3}\right) .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE B }

\textbf{Calculs d'aires}

\begin{enumerate}
\item  Calculer, en int\'{e}grant par parties, l'int\'{e}grale :
\index{Int\'{e}gration!par parties}
$I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx$

\item  En d\'{e}duire l'aire, en unit\'{e}s d'aire, du domaine plan limit\'{e}
par les courbes $\left( C_{n}\right)$ et $\left( C_{n+1}\right)$ et les
droites d'\'{e}quations $x=1$ et $x=e.$
\index{Calcul!d'aire}

\item  On note $A_{n}$ l'aire, en unit\'{e}s d'aire, du domaine limit\'{e} par
la courbe $\left( C_{n}\right)$ et les droites d'\'{e}quations $y=0,$ $x=1$
et $x=e.$

\begin{enumerate}
\item  Calculer $A_{2}.$

\item  D\'{e}terminer la nature de la suite $\left( A_{n}\right)$ en
pr\'{e}cisant l'interpr\'{e}tation graphique de sa raison.
\index{Suite}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{PARTIE C }

\textbf{Etude sur l'intervalle }$\left] 1;+\infty\right[$\textbf{\ de
l'\'{e}quation }$f_{n}\left( x\right) =1$\textbf{.}

Dans toute la suite, on prendra $n\geqslant3.$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  V\'{e}rifier que, pour tout $n,$%
$e^{\frac{n-2}{2n}}>1\text{ et }f_{n}\left( e^{\frac{n-2}{2n}}\right) >1$

\item  V\'{e}rifier que l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =1$ n'a pas de
solution sur l'intervalle $\left] 1;e^{\frac{n-2}{2n}}\right[ .$
\end{enumerate}

\item  Montrer que l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =1$ admet sur
l'intervalle $\left[ e^{\frac{n-2}{2n}};+\infty\right[$ exactement une
solution not\'{e}e $\alpha_{n}.$

\item  On se propose de d\'{e}terminer la limite de la suite $\left( \alpha_{n}\right) .$

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f_{n}\left( \sqrt{n}\right)$ et montrer que, pour
$n>e^{2},$ on a $f_{n}\left( \sqrt{n}\right) \geqslant1.$

\item  En d\'{e}duire que, pour $n\geqslant8,$ on a $\alpha_{n}\geqslant \sqrt{n}$ et donner la limite de la suite $\left( \alpha_{n}\right) .$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Sujet exp%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
erimental 1998}

\begin{center}
\textbf{Premi\{e}re partie avec calculatrice \$0pt]Probl\{e}me (11 points)} \end{center} \textbf{Avertissement : l'usage d'une calculatrice n'est pas n\'{e}cessaire pour traiter la partie C.} On consid\{e}re la fonction d\'{e}finie sur \mathbb{R}_{+}^{\ast} par \[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^{2}%$
on note $f^{\prime}$ sa fonction d\'{e}riv\'{e}e et $g$ la fonction
d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x$.\newline Dans un rep\{e}re
orthogonal donn\'{e}, on appelle $\Gamma$ la repr\'{e}sentation graphique de
$f$, $\Gamma^{\prime}$ la repr\'{e}sentation graphique de $f^{\prime}$, et
$\Delta$ celle de $g$.\newline
\index{Fonction!logarithme}

Voir figure 1 ces trois courbes sur l'\'{e}cran d'une calculatrice pour $x$
compris entre $0$ et $5$.

\textbf{A - Etude de $f$}

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)$.

\item  Montrer que
$f^{\prime}(x)=(1-\frac{2}{x})(1+\ln x)$

\item  En d\'{e}duire le sens de variation de $f$.

\item  Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=0$ admet trois solutions.
\newline Donner un encadrement de longueur $10^{-2}$ pour les deux solutions
non enti\{e}res.
\end{enumerate}

\textbf{B - Intersection des repr\'{e}sentations graphiques de $f$ et de $g$}

\begin{enumerate}
\item  Reproduire sur la copie et compl\'{e}ter le tableau des valeurs suivant
en donnant les r\'{e}sultats \{a} $10^{-2}$ pr\{e}s.\newline
\begin{tabular}
[c]{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Point de $\Gamma$ & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $E$ & $F$ & $G$ & $H$ & $I$ &
$J$\\\hline
$x$ & $0,05$ & $0,25$ & $e^{-1}$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ &
$7$\\\hline
$f(x)$ &  &  &  &  &  &  &  &  &  & \\\hline
\end{tabular}

\item  On veut d\'{e}terminer si la courbe repr\'{e}sentative de $f$ coupe la
droite $\Delta$ pour\newline $0<x<7$. Que peut-on, \{a} l'aide de sa
calculatrice, conjecturer ? \newline Pr\'{e}ciser les \'{e}l\'{e}ments qui
permettent de faire cette conjecture. (noter le type de calculatrice
utilis\'{e}e).
\index{Calculatrice}

\item  On s'int\'{e}resse aux solutions de l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$
appartenant \{a} l'intervalle $[7 ; +\infty[$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f^{\prime}$ est une fonction croissante sur $[7 ; +\infty[$.

\item  En d\'{e}duire que $f^{\prime}(x)>2,1$ pour tout $x$ appartenant \{a}
$[7 ; +\infty[$.

\item  Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$ admet une solution unique sur
$[7;+\infty\lbrack$. (on pourra utiliser le sens de variation de la fonction
$h$ d\'{e}finie sur $[7;+\infty\lbrack$ par : $h(x)=f(x)-2x$ ).
\end{enumerate}

\textbf{Dans la suite, on notera $\alpha$ cette solution.}

\item  Mise en \'{e}vidence de $\alpha$ sur un graphique. \newline Choisir un
nombre entier $a$ tel que $a<\alpha<a+5$. \newline Sur papier millim\'{e}%
tr\'{e}, on trace un carr\'{e} de $10$ $cm$ de c\^{o}t\'{e}.\newline Le sommet
inf\'{e}rieur gauche repr\'{e}sentera le point de coordonn\'{e}es $(a;2a)$ et
le sommet diagonalement oppos\'{e} le point de coordonn\'{e}es $(a+5;2(a+5))$%
.\newline Tracer dans ce carr\'{e} $\Gamma$ et $\Delta$. \newline Mettre le
nombre $\alpha$ en \'{e}vidence sur le graphique et en donner une valeur
approch\'{e}e.
\end{enumerate}

\textbf{C - Calcul de probabilit\'{e}.
\index{Probabilit\'{e}}}

Dans cette partie, on se r\'{e}f\{e}re au tableau des valeurs construit dans
la partie B.1) \newline Les trois questions sont ind\'{e}pendantes.
\newline Pour chacune des trois questions, les choix effectu\'{e}s sont \'{e}quiprobables.

\begin{enumerate}
\item  On place les $4$ points $A$, $C$, $H$ et $J$ dans un rep\{e}re, et on
les relie \{a} l'aide de $3$ segments formant une ligne bris\'{e}e continue
(par exemple la ligne bris\'{e}e $AHJC$).

\begin{enumerate}
\item  Combien de lignes bris\'{e}es diff\'{e}rentes peut-on former ainsi
?\newline ($AHJC$ et $CJHA$ repr\'{e}sentent la m\^{e}me ligne bris\'{e}e)

\item  On choisit l'une de ces lignes bris\'{e}es. \newline Quelle est la
probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ?
\end{enumerate}

\item  On choisit cinq points parmi les dix du tableau ; on les relie suivant
l'ordre de leurs abscisses croissantes, \{a} l'aide de segments formant une
ligne bris\'{e}e.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir une ligne
qui ne coupe pas l'axe des abscisses ? (le point $D$ peut \^{e}tre choisi).

\item  On choisit cinq points cons\'{e}cutifs parmi les dix (par exemple
$BCDEF$).

\begin{enumerate}
\item  Combien y-a-t-il de possibilit\'{e}s ?

\item  On \'{e}change l'abscisse et l'ordonn\'{e}e de chacun de ces cinq
points.\newline Les nouveaux points ainsi obtenus sont joints \{a} l'aide de
segments dans l'ordre de leurs ordonn\'{e}es croissantes.\newline Quelle est
la probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Figure 1 (courbes $\Gamma$, $\Gamma^{\prime}$ et $\Delta$) :%
%TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{5.3151in}{2.399in}{0pt}{}{}{fig2.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 5.3151in;  height 2.399in;  depth 0pt;  original-width 5.2131in;
%original-height 2.3385in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'fig2.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=2.399in,
width=5.3151in
]%
{fig2.eps}%
\end{center}
%EndExpansion
}

\textbf{Seconde partie sans calculatrice}
\end{center}

\textbf{Exercice 1 (4 points) }

Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}$, par
$f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}%$
et repr\'{e}sent\'{e}e dans le rep\{e}re de la figure 1.
\index{Fonction!exponentielle}

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}_{+}$.

\item  Soit la suite $(U_{n})$ d\'{e}finie pour $n>0$ par :
\index{Suite}
$U_{n}=\int_{\ln(n)}^{\ln(n+1)}f(x)dx$

\begin{enumerate}
\item  Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$. Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$.

\item  Que repr\'{e}sente graphiquement le nombre $U_{n}$ ?
\end{enumerate}

\item  Montrer que $\left( U_{n}\right)$ est une suite d\'{e}croissante
positive.\newline Calculer la limite de cette suite.

\item  On pose $S_{n} = U_{1}+U_{2}+ ... +U_{n}$

\begin{enumerate}
\item  Calculer $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ et exprimer $S_{n}$ en fonction de
$n$.

\item  D\'{e}terminer $\lim_{n \to+ \infty}S_{n}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Exercice 2 (5 points) }\newline Le plan complexe est rapport\'{e}
\{a} un rep\{e}re $(O;\vec{u};\vec{v})$ orthonorm\'{e} direct.\newline
(Unit\'{e} graphique $4cm$).\newline On d\'{e}signe par $\theta$ un nombre
r\'{e}el tel que $-\pi<\theta<\pi$.\newline On appelle $A$, $M$ et $N$ les
points d'affixes respectives $1$, $e^{i\theta}$ et $1+e^{i\theta}$.\newline
\index{Exponentielle!complexe}On d\'{e}signe par $(C)$ le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, et par $(C^{\prime})$ le cercle de centre $A$ et de rayon
$1$.

\begin{enumerate}
\item  Tracer $(C)$ et $(C^{\prime})$, et placer $A$, $M$ et $N$ dans le cas
ou $\theta=\frac{\pi}{6}$.

\item  Montrer que $N$ appartient \{a} $(C^{\prime})$ et donner la nature du
triangle $OANM$. D\'{e}terminer un argument de $1+e^{i\theta}$.
\index{Argument}

\item $u=1+e^{i\theta}$ avec $- \pi< \theta< \pi$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $u$ est solution dans $\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation :
$z^{2}-(2+2\cos\theta)z + 2 + 2 \cos\theta= 0$
En d\'{e}duire la seconde solution de cette \'{e}quation.

\item  Quelle sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation
$z^{2}-3z+3=0$ ?
\end{enumerate}

\item  On consid\{e}re l'\'{e}quation $(E)$ : $z^{2}-az+a=0$ o\{u} $a$ est
un nombre r\'{e}el tel que $0<a\leqslant4$. On nomme $R$ le point d'affixe
$a$, et $T$ le milieu de $[OR]$.\newline La perpendiculaire \{a} l'axe
r\'{e}el passant par $T$ coupe $(C^{\prime})$ en deux points $U$ et
$U^{\prime}$.\newline Montrer que les affixes de $U$ et de $U^{\prime}$ sont
les solutions de $(E)$.
\index{Affixe}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Figure 1 (courbe repr\'{e}sentative de $f$) :}\newline
%TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{3.2007in}{1.7054in}{0pt}{}{}{fig3.eps}%
%{\special{ language "Scientific Word";  type "GRAPHIC";
%maintain-aspect-ratio TRUE;  display "USEDEF";  valid_file "F";
%width 3.2007in;  height 1.7054in;  depth 0pt;  original-width 3.128in;
%original-height 1.6544in;  cropleft "0";  croptop "1";  cropright "1";
%cropbottom "0";  filename 'fig3.eps';file-properties "XNPEU";}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\includegraphics[
height=1.7054in,
width=3.2007in
]%
{fig3.eps}%
\end{center}
%EndExpansion
\end{center}

\chapter{Exercices}

\section{Int%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
egration}

\subsection{Asie 1998}

\textit{Les questions 1 et 2 sont ind\'{e}pendantes}. $\mathbb{N}^{\ast}$
\textit{est l'ensemble des entiers strictement positifs}.\newline Pour tout
entier n de $\mathbb{N}^{\ast}$, on consid\{e}re l'int\'{e}grale :
\index{Int\'{e}grale}
$I_{n}=\int_{1}^{e}(\ln x)^{n}dx$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que pour tout $x$ dans l'intervalle $]1,e[$ et pour tout
entier naturel n, on a :
$(\ln x)^{n}-(\ln x)^{n+1}>0$

\item  En d\'{e}duire que la suite $(I_{n})$ est d\'{e}croissante.
\index{Suite!d\'{e}croissante}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer $I_{1}$ \{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties.
\index{Int\'{e}gration!par parties}

\item  D\'{e}montrer \{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties que, pour
tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ :
$I_{n+1}=e-(n+1)I_{n}%$

\item  En d\'{e}duire $I_{2}$, $I_{3}$ et $I_{4}$. Donner les valeurs exactes,
exprim\'{e}es en fonction de $e$ et les valeurs approch\'{e}es \{a} $10^{-3}$
pr\{e}s par d\'{e}faut.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $I_{n}\geqslant0$

\item  D\'{e}montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $(n+1)I_{n}% \leqslant e$

\item  En d\'{e}duire la limite de $I_{n}$.

\item  D\'{e}terminer la valeur de $nI_{n}+(I_{n}+I_{n+1})$ et en d\'{e}duire
la limite de $nI_{n}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Am%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
erique du Sud 1995}

On pose pour tout entier naturel $n$ non nul :
\index{Int\'{e}grale}
$I_{n}=\int_{1}^{e}x^{2}(\ln x)^{n}\ dx\$
o\{u} $\ln$ d\'{e}signe la fonction logarithme n\'{e}p\'{e}rien, et
$\hspace{-5cm}\text{pour n=0}\quad I_{0}=\int_{1}^{e}x^{2}\ dx.$

\begin{enumerate}
\item  Calculer $I_{o}$.

\item  En utilisant une int\'{e}gration par parties, calculer $I_{1}$.
\index{Int\'{e}gration!par parties}

\item  En utilisant une int\'{e}gration par parties, d\'{e}montrer que pour
tout entier naturel $n$ non nul :
$3I_{n+1}+(n+1)I_{n}=e^{3}.\qquad\qquad(1)$
En d\'{e}duire $I_{2}$.

\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_{n}$ est positive.

\item  D\'{e}duire de l'\'{e}galit\'{e} (1) que, pour tout entier naturel $n$
non nul,
$I_{n}\leqslant\frac{e^{3}}{n+1}%$

\item  D\'{e}terminer $\underset{n\rightarrow+\infty}{\text{lim}}I_{n}.$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Sportifs de haut niveau 1994}

On consid\{e}re la suite $I$ d\'{e}finie par :
\index{Int\'{e}grale}
\index{Suite}
$I_{0}=\int_{0}^{1}e^{x}\,dx$
et pour tout entier naturel $n\geqslant1$ par :
$I_{n}=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}\left( 1-x\right) ^{n}e^{x}\,dx$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer
$\int_{0}^{1}\left( 1-x\right) ^{n}\,dx$

\item  A l'aide de l'encadrement :
$1\leqslant e^{x}\leqslant e$
valable sur l'intervalle $\left[ 0,1\right] ,$ montrer que pour tout entier
$n\geqslant1$ on a :
$\frac{1}{\left( n+1\right) !}\leqslant I_{n}\leqslant\frac{e}{\left( n+1\right) !}%$

\item  Montrer que la suite $I$ est convergente et d\'{e}terminer sa limite.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer $I_{0},$ puis $I_{1}$ \{a} l'aide d'une int\'{e}gration par
parties.
\index{Int\'{e}gration!par parties}

\item  Etablir, en int\'{e}grant par parties, que pour tout entier
$n\geqslant1,$ on a :
\begin{equation}
I_{n-1}-I_{n}=\frac{1}{n!}\tag{1}%
\end{equation}
\end{enumerate}

\item  On pose, pour tout entier $n\geqslant1$ :
$J_{n}=1+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{n!}%$

\begin{enumerate}
\item  En utilisant les relations $\left( 1\right)$, exprimer $J_{n}$ \{a}
l'aide de $I_{0}$ et $I_{n}.$

\item  En d\'{e}duire la limite $J$ de la suite $\left( J_{n}\right) .$

$\frac{1}{\left( n+1\right) !}\leqslant J-J_{n}\leqslant\frac{e}{\left( n+1\right) !}%$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Probabilit%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
es}

\subsection{National 1998}

Dans tout l'exercice, A et B \'{e}tant deux \'{e}v\'{e}nements, P(A)
d\'{e}signe la probabilit\'{e} de A ; \textit{p}(B/A) la probabilit\'{e} de B
sachant que A est r\'{e}alis\'{e}.

\begin{enumerate}
\item  Le nombre de clients se pr\'{e}sentant en cinq minutes dans une
station-service est une variable al\'{e}atoire X dont on donne la loi de
probabilit\'{e} :
\index{Loi!de probabilit\'{e}}

$p_{i}=\text{P(X}=i\text{)}$\newline
\begin{tabular}
[c]{|c|ccc|}\hline
$i$ & 0 & 1 & 2\\\hline
$p_{i}$ & 0,1 & 0,5 & 0,4\\\hline
\end{tabular}

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}finir et repr\'{e}senter graphiquement la fonction de
r\'{e}partition de X.
\index{Fonction!de r\'{e}partition}

\item  Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de X.
\index{Esp\'{e}rance}
\end{enumerate}

\item  Dans cette station-service, la probabilit\'{e} qu'un client ach\{e}te
de l'essence est 0,7 ; celle qu'il ach\{e}te du gazole est 0,3. Son choix est
ind\'{e}pendant de celui des autres clients. On consid\{e}re les \'{e}%
v\'{e}nements suivants :\newline $\text{C}_{1}$ : \guillemotleft\ en cinq
minutes, un seul client se pr\'{e}sente \guillemotright\ ;\newline
$\text{C}_{2}$ : \guillemotleft\ en cinq minutes, deux clients se
pr\'{e}sentent \guillemotright\ ;\newline E\ \ : \guillemotleft\ en cinq
minutes, un seul client ach\{e}te de l'essence \guillemotright\ ;

\begin{enumerate}
\item  Calculer P($\text{C}_{1}\cap\text{E}$).

\item  Montrer que $\text{P(E}/\text{C}_{2})=0,42$ et calculer P($\text{C}% _{2}\cap\text{E}$).

\item  En d\'{e}duire la probabilit\'{e} qu'en cinq minutes un seul client
ach\{e}te de l'essence.
\end{enumerate}

\item  Soit Y la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de clients
achetant de l'essence en cinq minutes ; d\'{e}terminer la loi de
probabilit\'{e} de Y.
\end{enumerate}

Un jeu de dominos est fabriqu\'{e} avec les sept couleurs : \emph{violet,
indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge}. Un domino se compose de deux cases
portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois
sur le m\^{e}me domino : c'est un double.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le jeu comporte 28 dominos diff\'{e}rents. Les 28 dominos,
indiscernables au toucher, sont mis dans un sac.

\item  On tire simultan\'{e}ment trois dominos du sac.
\index{Tirage!simultan\'{e}}\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir
exactement deux doubles parmi ces trois dominos ?

\item  Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la
probabili\-t\'{e} des \'{e}v\'{e}nements suivants :
\index{Probabilit\'{e}}

\begin{enumerate}
\item  J$_{2}$ : \guillemotleft\ Le jaune figure deux fois \guillemotright

\item  J$_{1}$ : \guillemotleft\ Le jaune figure une seule fois \guillemotright

\item  J : \guillemotleft\ Le jaune figure au moins une fois \guillemotright
\end{enumerate}

\item  On effectue $n$ tirages successifs d'un domino, en notant \{a} chaque
tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le
domino tir\'{e} et de proc\'{e}der au tirage suivant ; les tirages sont
ind\'{e}pen\-dants.
\index{Tirages!successifs}\newline Calculer, en fonction de $n$, la
probabilit\'{e} p$_{n}$, que J soit r\'{e}alis\'{e} au moins une fois.
\newline Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle
p$_{n}\geqslant0,99.$
\end{enumerate}

\subsection{Centres
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
etrangers 1998}

Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au
toucher. On effectue $n$ tirages successifs ($n$ entier sup\'{e}rieur ou
\'{e}gal \{a} 1) d'une boule en respectant la r\{e}gle suivante : si la
boule tir\'{e}e est rouge, on la remet dans l'urne ; si elle est blanche, on
ne la remet pas.\newline Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont
ind\'{e}pendantes.\newline \textbf{Partie A}\newline Dans cette partie $n=3$.
On donnera les r\'{e}sultats sous forme de fractions irr\'{e}%
ductibles.\newline Si $k$ est un entier compris entre 1 et 3, on note $E_{k}$
l'\'{e}v\{e}nement \newline
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
seule la $k$ i\{e}me boule tir\'{e}e est blanche%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\{e}nement $E_{1}$ est
$\displaystyle{p(E_{1})=\frac{5}{36}}$.

\item  Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements $E_{2}$ et $E_{3}$.\newline
\index{Probabilit\'{e}}En d\'{e}duire la probabilit\'{e} qu'on ait tir\'{e}
une seule boule blanche \{a} l'issue des 3 tirages.

\item  Sachant que l'on a tir\'{e} exactement une boule blanche, quelle est la
probabilit\'{e} que cette boule blanche ait \'{e}t\'{e} tir\'{e}e en dernier ?
\index{Probabilit\'{e}!conditionnelle}
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}\newline On effectue maintenant $n$ tirages.

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer, en fonction de n, la probabilit\'{e} $p_{n}$ de tirer
au moins une boule blanche en $n$ tirages.

\item  Quelles valeurs faut-il donner \{a} $n$ pour que : $p_{n}>0,99$ ?
\end{enumerate}

\subsection{Groupe II bis 1997}

Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules
sont indiscernables au toucher.
\index{Probabilit\'{e}}

\begin{enumerate}
\item  On effectue quatre tirages successifs d'une boule sans remise.
\index{Urne}

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilit\'{e} de tirer dans l'ordre une boule noire, une
boule noire, une boule noire et une boule blanche.

\item  Calculer la probabilit\'{e} de tirer une boule blanche au cours de ces
quatre tirages.
\end{enumerate}

\item  On effectue maintenant quatre tirages successifs d'une boule avec
remise. R\'{e}pondre aux m\^{e}mes questions qu'\{a} la question 1.

\item $n$ \'{e}tant un nombre entier strictement positif, on effectue $n$
tirages successifs avec remise. On appelle P$_{n}$ la probabilit\'{e}
d'obtenir au cours de ces $n$ tirages une boule blanche uniquement au dernier tirage.

\begin{enumerate}
\item  Calculer $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ et $P_{n}$.
\index{Suite}

\item  Soit $S_{n}=P_{1}+P_{2}+P_{3}+\cdots+P_{n}$.\newline Exprimer $S_{n}$
en fonction de $n$ et d\'{e}terminer la limite de $S_{n}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Pondich%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
ery 1997\label{exo_pondichery_97}}

Voici le plan de la salle 308 du lyc\'{e}e Dupont :
\index{Probabilit\'{e}}%

%TCIMACRO{\TeXButton{Plan de la classe}{\begin{center}
%\unitlength1cm
%\begin{picture}(11,6)
%\put(1,2){\line(1,0){4}}
%\put(1,3){\line(1,0){4}}
%\put(1,4){\line(1,0){4}}
%\put(1,5){\line(1,0){4}}
%\put(1,6){\line(1,0){4}}
%\put(7,2){\line(1,0){4}}
%\put(7,3){\line(1,0){4}}
%\put(7,4){\line(1,0){4}}
%\put(7,5){\line(1,0){4}}
%\put(7,6){\line(1,0){4}}
%\put(4,0){\line(1,0){4}}
%\put(4,1){\line(1,0){4}}
%\put(1,2){\line(0,1){4}}
%\put(2,2){\line(0,1){4}}
%\put(3,2){\line(0,1){4}}
%\put(4,2){\line(0,1){4}}
%\put(5,2){\line(0,1){4}}
%\put(7,2){\line(0,1){4}}
%\put(8,2){\line(0,1){4}}
%\put(9,2){\line(0,1){4}}
%\put(10,2){\line(0,1){4}}
%\put(11,2){\line(0,1){4}}
%\put(4,0){\line(0,1){1}}
%\put(8,0){\line(0,1){1}}
%\put(0.3,2.4){R1}
%\put(0.3,3.4){R2}
%\put(0.3,4.4){R3}
%\put(0.3,5.4){R4}
%\put(5.4,0.4){bureau}
%\put(5.6,4.4){all\'ee}
%\put(5.3,3.4){centrale}
%\end{picture}
%\end{center}}}%
%BeginExpansion
\begin{center}
\unitlength1cm
\begin{picture}(11,6)
\put(1,2){\line(1,0){4}}
\put(1,3){\line(1,0){4}}
\put(1,4){\line(1,0){4}}
\put(1,5){\line(1,0){4}}
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\put(7,2){\line(1,0){4}}
\put(7,3){\line(1,0){4}}
\put(7,4){\line(1,0){4}}
\put(7,5){\line(1,0){4}}
\put(7,6){\line(1,0){4}}
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\put(4,1){\line(1,0){4}}
\put(1,2){\line(0,1){4}}
\put(2,2){\line(0,1){4}}
\put(3,2){\line(0,1){4}}
\put(4,2){\line(0,1){4}}
\put(5,2){\line(0,1){4}}
\put(7,2){\line(0,1){4}}
\put(8,2){\line(0,1){4}}
\put(9,2){\line(0,1){4}}
\put(10,2){\line(0,1){4}}
\put(11,2){\line(0,1){4}}
\put(4,0){\line(0,1){1}}
\put(8,0){\line(0,1){1}}
\put(0.3,2.4){R1}
\put(0.3,3.4){R2}
\put(0.3,4.4){R3}
\put(0.3,5.4){R4}
\put(5.4,0.4){bureau}
\put(5.6,4.4){all\'ee}
\put(5.3,3.4){centrale}
\end{picture}
\end{center}%
%EndExpansion

Le premier jour de l'ann\'ee scolaire, les \'el\eves de la classe de TS1 sont
invit\'es par leur professeur principal \a s'installer au hasard des places
disponibles dans cette salle. La classe de TS1 comporte 28 \'el\eves.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Quel est le nombre de r\'epartitions possibles des places inoccup\'ees ?

\item  Calculer \a $10^{-1}$ pr\es, les probabilit\'es des \'ev\enements
suivants :\newline A : '' les huit places du rang R4 sont toutes occup\'ees
''\newline B : ''Il y a autant d'\'el\eves \a gauche qu'\a droite de
l'all\'ee centrale ''
\end{enumerate}

\item  Dans cette question, les r\'{e}sultats seront donn\'{e}s sous forme
fractionnaire. Soit $X$ la variable al\'{e}atoire '' nombre de places
inoccup\'{e}es au rang R4 ''.

\begin{enumerate}
\item  Donner la loi de probabilit\'{e} de $X$.
\index{Variable!al\'{e}atoire}

\item  Calculer son esp\'{e}rance math\'{e}matique.
\index{Esp\'{e}rance}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Am%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
erique du Nord 1997}

\index{Probabilit\'{e}}Juliette d\'{e}bute un jeu dans lequel elle a autant de
chances de gagner ou de perdre la premi\{e}re partie. On admet que, si elle
gagne une partie, la probabilit\'{e} qu'elle gagne la partie suivante est 0,6,
et si elle perd une partie, la probabilit\'{e} pour qu'elle perde la partie
suivante est 0,7. On note, pour $n$ entier naturel ou nul :\newline $G_{n}$
l'\'{e}v\{e}nement  Juliette gagne la $n$-i\{e}me partie ''\newline
$P_{n}$ l'\'{e}v\{e}nement  Juliette perd la $n$-i\{e}me partie ''\newline

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer les probabilit\'{e}s $p\left( G_{1}\right) ,$
$p\left( G_{2}/G_{1}\right)$ et $p\left( G_{2}/P_{1}\right) .$ En
d\'{e}duire la probabilit\'{e} $p\left( G_{2}\right) .$

\item  Calculer $p\left( P_{2}\right) .$
\end{enumerate}

\item  On pose, pour $n$ entier naturel non nul, $x_{n}=p\left( G_{n}\right)$ et $y_{n}=p\left( P_{n}\right) .$

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer pour $n$ entier naturel non nul les probabilit\'{e}s
$p\left( P_{n+1}/G_{n}\right)$ et $p\left( G_{n+1}/P_{n}\right) .$

\item  Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul :
\index{Suite!et probabilit\'{e}}
$\left\{ \begin{array} [c]{l}% x_{n+1}=0,6x_{n}+0,3y_{n}\\ y_{n+1}=0,4x_{n}+0,7y_{n}% \end{array} \right.$
\end{enumerate}

\item  Pour $n$ entier naturel non nul, on pose
$v_{n}=x_{n}+y_{n}\text{ et }w_{n}=4x_{n}-3y_{n}%$

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la suite $\left( v_{n}\right)$ est constante de terme
g\'{e}n\'{e}ral \'{e}gal \{a} $1.$
\index{Suite!constante}

\item  Montrer que la suite $\left( w_{n}\right)$ est g\'{e}om\'{e}trique
et exprimer $w_{n}$ en fonction de $n.$
\index{Suite!g\'{e}om\'{e}trique}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  D\'{e}duire du 3. l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n.$

\item  Montrer que la suite $\left( x_{n}\right)$ converge et
d\'{e}terminer sa limite.
\index{Suite!convergente}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Remplacement 1996}

Un livreur de pizzas doit servir un client qui se trouve \{a} $6$ km et qui
exige d'\^{e}tre servi \{a} $20$ h $00$ pr\'{e}cis\'{e}ment. Pour se
d\'{e}placer, il utilise un scooter qui roule constamment \{a} $36$ $km/h$. (
on n\'{e}glige les phases d'acc\'{e}l\'{e}ration et de d\'{e}c\'{e}%
l\'{e}ration ). Sur son trajet, il va rencontrer $2$ deux tricolores non
synchronis\'{e}s et ind\'{e}pendants.
\index{Probabilit\'{e}!conditionnelle}

S'il arrive \a un feu orange, il s'arr\^ete $60$ secondes et repart.

S'il arrive \a un feu rouge, il s'arr\^ete 3$0$ secondes et repart.

Pour chaque feu :

\begin{itemize}
\item  la probabilit\'e d'\^etre vert \a l'arriv\'ee du livreur est $\frac12$.

\item  la probabilit\'e d'\^etre orange \a l'arriv\'ee du livreur est
$\frac14$.
\end{itemize}

Soit $T$ la variable al\'eatoire '' temps en minutes mis par le livreur pour
arriver \a destination ''.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer, en justifiant le calcul, la probabilit\'e $p\left( T=11\right)$.

\item  Donner la loi de probabilit\'e de $T$.
\end{enumerate}

\item  Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de $T$.
\index{Esp\'{e}rance}

\item  Repr\'{e}senter la fonction de r\'{e}partition de $T$.
\index{Fonction!de r\'{e}partition}

\item  Le livreur part \{a} $19$ h $49$.

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilit\'{e} pour le livreur d'arriver en retard ?

\item  Quelle est la probabilit\'{e} pour le livreur d'arrive en avance ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Groupe II bis 1996}

On dispose de deux urnes :\newline \hspace*{0cm}$\bullet$\hspace*{0cm} une
urne U$_{1}$ dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules
noires;\newline \hspace*{0cm}$\bullet$\hspace*{0cm} une urne U$_{2}$ dans
laquelle se trouvent deux boules blanches et trois boules noires.\newline Une
\'{e}preuve consiste \{a} tirer simultan\'{e}ment et au hasard deux boules de
chaque urne : on obtient ainsi quatre boules, les tirages dans chaque urne
\'{e}tant \'{e}quiprobable.
\index{Probabilit\'{e}}

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\{e}nement E :
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
parmi les quatre boules tir\'{e}es, il y a exactement deux boules blanches
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
est \'{e}gale \{a} $0,46.$

\item  On note X la variable al\'{e}atoire qui \{a} chaque tirage associe le
nombre de boules blanches obtenues.

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de X.
\index{Variable!al\'{e}atoire}

\item  Le joueur doit verser $2,50$ F avant d'effectuer le tirage ; il re\c
{c}oit \{a} l'issue du tirage 1 F par boule blanche obtenue. Le jeu est-il
\'{e}quitable~?
\end{enumerate}

\item  Calculer la probabilit\'{e} d'avoir tir\'{e} une et une seule boule
blanche de l'urne U$_{1}$ sachant qu'on a tir\'{e} deux boules blanches.
\index{Probabilit\'{e}!conditionnelle}

\item  On ne consid\{e}re que l'urne U$_{1}$, de laquelle on tire toujours au
hasard et simultan\'{e}ment deux boules. On nomme succ\{e}s le tirage de deux
boules blanches. On renouvelle dix fois la m\^{e}me \'{e}preuve (en remettant
chaque fois les boules tir\'{e}es dans l'urne). D\'{e}terminer la
probabilit\'{e} d'avoir au moins un succ\{e}s sur les dix tirages.
\end{enumerate}

\subsection{La R%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
eunion 1996}

Au cours d'une f\^{e}te, le jeu suivant est propos\'{e} au public :
\newline Dans une urne se trouvent plac\'{e}es 7 boules noires et 3 boules
rouges indiscernables au toucher.\newline Le joueur prend une boule au hasard
; si cette boule est noire, le jeu s'arr\^{e}te ; si cette boule est rouge, le
joueur prend une deuxi\{e}me boule (sans remettre la premi\{e}re boule
tir\'{e}e dans l'urne) et le jeu s'arr\^{e}te.\newline Une boule noire
tir\'{e}e apporte au joueur 1 F et chaque boule rouge 2 F.\newline Pour faire
un jeu, le joueur paie 2 F. On d\'{e}signe par X la variable al\'{e}atoire
associ\'{e}e au gain alg\'{e}brique du joueur (c'est \{a} dire la
diff\'{e}rence entre la somme rapport\'{e}e par les boules tir\'{e}es et le
prix du jeu).

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Quelles sont les valeurs que X peut prendre~?

\item  D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de X et son esp\'{e}rance
math\'{e}matique.
\index{Variable!al\'{e}atoire}
\index{Esp\'{e}rance}
\end{enumerate}

\item  Un joueur fait trois jeux. Ceux-ci se d\'{e}roulent dans des conditions
identiques (apr\{e}s chaque jeu, les boules tir\'{e}es sont remises dans
l'urne).\newline D\'{e}terminer la probabilit\'{e} des \'{e}v\'{e}nements
suivants : \newline A : le joueur perd 3 F.\newline B : le joueur perd 1 F.
\newline C : le gain du joueur est nul.\newline En d\'{e}duire la
probabilit\'{e} de l'\'{e}v\{e}nement D :
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}%
%BeginExpansion
$<$%
%EndExpansion
le joueur a un gain strictement positif
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion%
%TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}%
%BeginExpansion
$>$%
%EndExpansion
.
\end{enumerate}

\subsection{Nouvelle Cal%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
edonie 1996}

On donnera les r\'{e}sultats sous forme de fraction irr\'{e}ductible.
\index{Probabilit\'{e}}

\begin{enumerate}
\item  Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 noirs. On tire successivement
les 7 jetons sans remise.\newline X est la variable al\'{e}atoire qui prend
pour valeur $k$ si le premier jeton blanc appara\^{i}t au $k$-i\{e}me
tirage.\newline Donner la loi de probabilit\'{e} de X et calculer son
esp\'{e}rance math\'{e}matique.
\index{Variable!al\'{e}atoire}
\index{Esp\'{e}rance}

\item  Une autre urne U$^{\prime}$ contient 17 jetons blancs et 18
noirs.\newline On jette un d\'{e} cubique dont chaque face a la m\^{e}me
probabilit\'{e} d'appara\^{i}tre.\newline Si le 6 appara\^{i}t, on tire un
jeton de l'urne U, sinon on tire un jeton de l'urne U$^{\prime}$.
\index{Probabilit\'{e}!conditionnelle}

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que la probabilit\'{e} de tirer un jeton blanc est
\'{e}gale \{a} 0,5.

\item  On a tir\'{e} un jeton blanc, calculer la probabilit\'{e} pour qu'il
provienne de U.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Exercice compl%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
ementaire}

On consid\{e}re le syst\{e}me d'\'{e}quations lin\'{e}aires :
\index{Syst\{e}me!d'\'{e}quations}
$\left\{ \begin{array} [c]{l}% x-2y=3\\ ax-by=c \end{array} \right.$
Pour d\'{e}terminer les coefficients $a,\;b,\;c$ on lance trois fois un d\'{e}
cubique parfait dont les faces sont num\'{e}rot\'{e}es de 1 \{a} 6 et les
num\'{e}ros sortis donnent les valeurs de $a,\;b,\;,c\;$.\newline Calculer les
probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements suivants :
\index{Probabilit\'{e}}

\begin{enumerate}
\item $E_{1}$ : le syst\{e}me a une infinit\'{e} de solutions

\item $E_{2}$ : le syst\{e}me n'a aucune solution

\item $E_{3}$ : le syst\{e}me a une seule solution

\item $E_{4}$ : le syst\{e}me a une seule solution qui est $(3;0)$
\end{enumerate}

Les r\'{e}sultats seront donn\'{e}s sous la forme de fractions de
d\'{e}nominateur 108.\$0.2cm] \section{Nombres complexes} \subsection{Remplacement 1998} \begin{enumerate} \item On consid\{e}re le polyn\^{o}me P d\'{e}fini par : P(z)=z^{3}% -6z^{2}+12z-16. \index{Polyn\^{o}me!complexe} \begin{enumerate} \item Calculer P(4). \item R\'{e}soudre dans C l'\'{e}quation : P(z)=0. \end{enumerate} \item Le plan est rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re orthonorm\'{e} direct (O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}) tel que : \Vert\overrightarrow {u}\Vert=\Vert\overrightarrow{v}\Vert=2\;cm.\newline Soient A, B, C les points d'affixes respectives : \index{Affixe} \[ a=4\qquad b=1+i\sqrt{3}\qquad c=1-i\sqrt{3}%$

\begin{enumerate}
\item  Placer les points $A,B,C$ sur une figure que l'on compl\'{e}tera tout
au long de l'exercice.

\item  Montrer que le triangle $ABC$ est \'{e}quilat\'{e}ral.
\index{Triangle!\'{e}quilat\'{e}ral}
\end{enumerate}

\item  Soit $K$ le point d'affixe $k=-\sqrt{3}+i$\newline

On appelle $F$ l'image de $K$ par la rotation de centre $O$ et d'angle de
mesure $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ et $G$ l'image de $K$ par la translation
de vecteur $\overrightarrow{OB}$.
\index{Rotation}

\begin{enumerate}
\item  Quelles sont les affixes respectives de $F$ et de $G$ ?

\item  Montrer que les droites $(OC)$ et $(OF)$ sont perpendiculaires.
\end{enumerate}

\item  Soit $H$ le quatri\{e}me sommet du parall\'{e}logramme $COFH$

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le quadrilat\{e}re $COFH$ est un carr\'{e}.
\index{Carr\'{e}}

\item  Calculer l'affixe du point $H$.

\item  Le triangle $AGH$ est-il \'{e}quilat\'{e}ral ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{National 1998}

Le plan complexe est rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re orthonorm\'{e} direct
\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$} .\newline

\begin{enumerate}
\item  R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (1) :
\index{Equation!complexe}
$\frac{z-2}{z-1}=z$
On donnera le module et un argument de chaque solution.

\item  R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (2) :
$\frac{z-2}{z-1}=i$
On donnera la solution sous forme alg\'{e}brique.

\item  Soit M, A et B les points d'affixes respectives : $z$, 1 et
2.\newline On suppose que M est distinct des points A et B.
\index{Module}
\index{Argument}

\begin{enumerate}
\item  Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et un argument de
${\displaystyle\frac{z-2}{z-1}}$.

\item  Retrouver g\'{e}om\'{e}triquement la solution de l'\'{e}quation (2).
\index{Interpr\'{e}tation!g\'{e}om\'{e}trique}
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer, \{a} l'aide d'une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique, que
toute solution de l'\'{e}quation dans~$\mathbb{C}$~:
$\left( \frac{z-2}{z-1}\right) ^{n}=i$
o\{u} $n$ d\'{e}signe un entier naturel non nul donn\'{e}, a pour partie
r\'{e}elle ${\displaystyle\frac{3}{2}}$.

\item  R\'{e}soudre alors dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (3) :
$\left( \frac{z-2}{z-1}\right) ^{2}=i$
On cherchera les solutions sous forme alg\'{e}brique.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie A}

On consid\{e}re le polyn\^{o}me $P$ de la variable complexe $z$ d\'{e}fini
par :
\index{Polyn\^{o}me!complexe}
$P\left( z\right) =z^{4}+2\sqrt{3}z^{3}+8z^{2}+2\sqrt{3}z+7$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Calculer $P\left( i\right)$ et $P\left( -i\right) .$

\item  Montrer qu'il existe un polyn\^{o}me $Q$ du second degr\'{e}, que l'on
d\'{e}terminera, tel que :
$\text{pour tout }z\in\mathbb{C},\text{ }P\left( z\right) =\left( z^{2}+1\right) Q\left( z\right)$
\end{enumerate}

\item  R\'{e}soudre dans l'ensemble des nombres complexes l'\'{e}quation
$P\left( z\right) =0.$
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

Le plan est rapport\'{e} au rep\{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ (unit\'{e} graphique $2$ cm).

\begin{enumerate}
\item  Placer dans ce rep\{e}re les points $A,$ $B,$ $C$ et $D$ d'affixes
respectives $z_{A}=i$, $z_{B}=-i,$ $z_{C}=-\sqrt{3}+2i$ et $z_{D}=-\sqrt {3}-2i$.\newline Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de
diam\{e}tre $\left[ CD\right] .$
\index{Affixe}

\item  Montrer qu'il existe une rotation de centre $O$ qui transforme $C$ en
$D.$ Calculer une valeur enti\{e}re approch\'{e}e \{a} un degr\'{e} pr\{e}s
d'une mesure de l'angle de cette rotation.
\index{Rotation}

\item  Calculer, sous forme alg\'{e}brique, puis sous forme trigonom\'{e}%
trique, le rapport :
$\frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}%$
Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et l'argument de ce rapport.
\index{Module}
\index{Argument}
\end{enumerate}

\subsection{Groupe I bis 1997}

\index{Complexe}
\index{Affixe}Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \{a} un
rep\{e}re orthonormal direct $\left( O;\vec{u},\vec{v}\right)$, ayant
comme unit\'{e} graphique 4~cm. On note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes
respectives $2i$, $-1$ et $i$.\newline On consid\{e}re la fonction $f$ de
$\mathcal{P}-\{A\}$ dans $\mathcal{P}$ qui \{a} tout point $M$ de
$\mathcal{P}-\{A\}$, d'affixe $z$, associe le point $M^{\prime}$ d'affixe
$z^{\prime}$ tel que :
$z^{\prime}=\frac{z+1}{z-2i}%$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Faire une figure que l'on compl\{e}tera au cours de l'exercice.

\item  D\'{e}terminer l'affixe du point $C^{\prime}$ image de $C$. Quelle est
la nature du quadrilat\{e}re $ACBC^{\prime}$ ?

\item  Montrer que le point $C$ admet un ant\'{e}c\'{e}dent unique par $f$ que
l'on notera $C^{\prime\prime}$. Quelle est la nature du triangle
$BCC^{\prime\prime}$ ?
\end{enumerate}

\item  Donner une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique de l'argument et du
module de $z^{\prime}$.
\index{Argument}
\index{Module}

\item  D\'{e}terminer, en utilisant la question pr\'{e}c\'{e}dente, quels sont
les ensembles suivants :

\begin{enumerate}
\item  L'ensemble $E_{a}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour
affixe un nombre r\'{e}el strictement n\'{e}gatif.

\item  L'ensemble $E_{b}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour
affixe un nombre imaginaire pur non nul.

\item  L'ensemble $E_{c}$ des points $M$ dont les images appartiennent au
cercle de centre $O$ et de rayon 1.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Groupe II bis 1997}

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re
orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}, (unit\'{e}
graphique 3~cm).
\index{Complexe} \newline On d\'{e}signe par A le point d'affixe $i$%
.\newline A tout point M du plan, distinct de A, d'affixe $z$, on associe le
point M$^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}fini par :
\index{Affixe}
$z^{\prime}=\frac{z^{2}}{i-z}%$

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer les points M confondus avec leur image M$^{\prime}$.

\item \'{E}tant donn\'{e} un complexe $z$ distinct de $i$, on pose : $z=x+iy$
et $z^{\prime}=x^{\prime}+iy^{\prime}$, avec $x,y,x^{\prime},y^{\prime}$
r\'{e}els.\newline Montrer que :
$x^{\prime}=\frac{-x(x^{2}+y^{2}-2y)}{x^{2}+(1-y)^{2}}%$
En d\'{e}duire l'ensemble $\mathcal{E}$ des points M dont l'image M$^{\prime}$
est situ\'{e}e sur l'axe des imaginaires purs. Dessiner l'ensemble
$\mathcal{E}$ .

\item  Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM$^{\prime}%$. En d\'{e}duire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points M du plan tels que M et
M$^{\prime}$ soient situ\'{e}s sur un m\^{e}me cercle de centre O. Dessiner
l'ensemble $\mathcal{F}$.

\item  Dans toute cette question, on consid\{e}re un point M d'affixe $z$,
situ\'{e} sur le cercle de centre A et de rayon ${\displaystyle\frac{1}{2}}$.
M$^{\prime}$ est le point d'affixe $z^{\prime}$ correspondant, et G
l'isobarycentre des points A, M et M$^{\prime}$.
\index{Barycentre}\newline Calculer l'affixe $z_{G}$ de G en fonction de
$z$.\newline Montrer que G est situ\'{e} sur un cercle un centre O dont on
pr\'{e}cisera le rayon. Apr\{e}s avoir compar\'{e} les angles ${\displaystyle (\overrightarrow{u},\overrightarrow{\strut OG})}$ et ${\displaystyle (\overrightarrow{u},\overrightarrow{\strut AM})}$, effectuer la construction
de G. En d\'{e}duire celle de M$^{\prime}$.
\end{enumerate}

\subsection{Polyn%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
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\'%
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esie 1997}

{Dans le plan complexe rapport\'{e} au rep\{e}re orthonormal direct
\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}, on consid\{e}re les points $M_{n}$
d'affixes ${\displaystyle z_{n}=\left( \frac{1}{2}i\right) ^{n}(1+i\sqrt {3})}$ o\{u} $n$ est un entier naturel.
\index{Complexe}
\index{Affixe}}

\begin{enumerate}
\item  Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$ puis $z_{n}$ en fonction de
$z_{0}$ et $n$.\newline Donner $z_{0}$, $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$ et $z_{4}$
sous forme alg\'{e}brique et sous forme trigonom\'{e}trique.

\item  Placer les points $M_{0}$, $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ et $M_{4}$
(unit\'{e} graphique : 4~cm).

\item  D\'{e}terminer la distance $OM_{n}$ en fonction de $n$.

\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer que l\rq on a ${\displaystyle M_{n}M_{n+1}=\frac{\sqrt{5}% }{2^{n}}}$ pour tout $n$ entier naturel.

\item  On pose ${\displaystyle L_{n}=\sum_{k=0}^{n}M_{k}M_{k+1}}$%
\newline (C'est \{a} dire $L_{n}=M_{0}M_{1}+M_{1}M_{2}+\dots+M_{n}M_{n+1}$).
D\'{e}terminer $L_{n}$ en fonction de $n$ puis la limite de $L_{n}$ quand $n$
tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\item  D\'{e}terminer une mesure de l'angle $\left( \overrightarrow{\strut OM_{0}},\overrightarrow{\strut OM_{n}}\right)$ en fonction de $n$%
.\newline Pour quelles valeurs de $n$ les points $O$, $M_{0}$ et $M_{n}$
sont-ils align\'{e}s ?
\end{enumerate}

\subsection{Centres
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
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etrangers 1997\label{exo_cent-etran97}}

Dans le plan complexe rapport\'{e} au rep\{e}re orthonormal direct
$\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$ , on donne les points A d'affixe $2i$, B d'affixe $2$ et I milieu de [AB] (on prendra 2 cm d'unit\'{e} graphique).
On consid\{e}re la fonction $f$ qui, \{a} tout point M distinct de A,
d'affixe $z$, associe le point M$^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que :
$z^{\prime}=\frac{2z}{z-2i}%$

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f$ admet comme points invariants le point O et un
deuxi\{e}me point dont on pr\'{e}cisera l'affixe.
\index{Complexe}
\index{Affixe}

\item  D\'{e}terminer les images par $f$ des points B et I.
\end{enumerate}

\item  Soit M un point quelconque distinct de A et O.\newline Etablir que :
$\left\{ \begin{array} [c]{l}% (\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow{\strut\text{OM}^{\prime}% })=(\overrightarrow{\strut\text{MA}},\overrightarrow{\strut\text{MO}}% )+k2\pi,\;k\in\mathbb{Z}\\ {\displaystyle OM^{\prime}=2\;\frac{MO}{MA}}% \end{array} \right.$

\item  Soit ($\Delta$) la m\'{e}diatrice de [OA].\newline Montrer que les
transform\'{e}s par $f$ des points de ($\Delta$) appartiennent \{a} un cercle
(C) que l\rq on pr\'{e}cisera.

\item  Soit ($\Gamma$) le cercle de diam\{e}tre [OA], priv\'{e} du point A.
Montrer que les transform\'{e}s par $f$ des points de ($\Gamma$) appartiennent
\{a} une droite (D) que l\rq on pr\'{e}cisera.

\item  Tracer ($\Delta$), ($\Gamma$),(C), (D) sur la m\^{e}me figure.
\end{enumerate}

\subsection{Japon 1997}

On consid\{e}re le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un rep\{e}re
orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}% }\right) .$

\begin{enumerate}
\item  Soit le polyn\^{o}me $P$ tel que pour tout $z$ de $\mathbb{C},$
\index{Polyn\^{o}me}
$P\left( z\right) =z^{3}-4z^{2}+6z-4$
D\'{e}terminer les r\'{e}els $u$ et $v$ tels que
$P\left( z\right) =\left( z-2\right) \left( z^{2}+uz+v\right)$
et r\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation $P\left( z\right) =0.$

\item  On note $\alpha$ la solution de l'\'{e}quation ci-dessus dont la partie
imaginaire est strictement positive et $\beta$ le conjugu\'{e} de $\alpha.$
Soient $A,$ $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $\alpha,$ $\beta$ et
$2,$ $I$ le milieu de $\left[ AB\right]$ et $r$ la rotation de centre $O$
et d'angle $\frac{\pi}{2}.$
\index{Affixe}
\index{Conjugu\'{e}}
\index{Rotation}\newline D\'{e}terminer l'affixe du point $r\left( B\right)$ et en d\'{e}duire la nature du quadrilat\{e}re $OACB.$

\item  Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ priv\'{e} du point $C$ dans
$\mathcal{P}$ qui au point $M$ d'affixe $z$ ( $z\neq2$ ) associe le point
$M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}fini par :
\index{Application!complexe}
$z^{\prime}=\frac{z-\left( 1+i\right) }{z-2}%$

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer $f\left( A\right)$ et $f\left( B\right) .$%
\newline D\'{e}terminer le point $E$ tel que $f\left( E\right) =C.$

\item  Quelles distances repr\'{e}sentent les r\'{e}els $\left| z-\left( 1+i\right) \right|$ et $\left| z-2\right|$ ?\newline En d\'{e}duire que
si $M$ appartient \{a} la m\'{e}diatrice de $\left[ AC\right] ,$
$M^{\prime}$ appartient \{a} un cercle dont on donnera le centre et le rayon.
\index{M\'{e}diatrice}
\index{Cercle}
\index{Distance}
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{La R%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
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eunion 1996}

\begin{enumerate}
\item  R\'{e}soudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes les
\'{e}quations suivantes :
\index{Equation}

\begin{enumerate}
\item $z^{2}-2z+5=0.$

\item $z^{2}-2(1+\sqrt{3})z+5+2\sqrt{3}=0$.
\end{enumerate}

\item  On consid\{e}re dans le plan complexe rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re
orthonormal direct\newline $\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}$ les
points $A,\ B,\ C,\ D$ d'affixes respectives :
\index{Affixe}
$z_{A}=1+2i,\;z_{B}=1+\sqrt{3}+i,\;z_{C}=1+\sqrt{3}-i,\text{ et }z_{D}=1-2i.$

\begin{enumerate}
\item  Placer les points $A,\ B,\ C,\ D$ et pr\'{e}ciser la nature du
quadrilat\{e}re $ABCD$.

\item[\textbf{b.}] V\'{e}rifier que
$\frac{z_{D}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}=i\sqrt{3}%$
Que peut-on en d\'{e}duire pour les droites $(AB)$ et $(BD)$~?

\item[\textbf{c.}] Prouver que les points $A,\ B,\ C,\ D$ appartiennent \{a}
un m\^{e}me cercle $\Gamma$ dont on pr\'{e}cisera le centre et le rayon.
Tracer $\Gamma$.
\end{enumerate}

\item[\textbf{3.}] On consid\{e}re l'\'{e}quation :
$z^{2}-2(1+2\cos\theta)z+5+4\cos\theta=0\qquad\hfill(1)$
o\{u} $\theta$ d\'{e}signe un nombre r\'{e}el quelconque.

\begin{enumerate}
\item [\textbf{a.}]R\'{e}soudre l'\'{e}quation (1) dans $\mathbb{C}$.

\item[\textbf{b.}] Montrer que les images des solutions appartiennent au
cercle $\Gamma$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{Nouvelle Cal%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
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\'%
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edonie 1996}

Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re
orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$} \ (unit\'{e}
graphique : 2 cm).\newline On d\'{e}signe par A et B les points d'affixes
respectives 1 et 4.\newline L'application $f$ \/associe \{a} tout point M
d'affixe $z$ de $\mathcal{P}$, distinct de A, le point M$^{\prime}$ d'affixe
$Z$ d\'{e}finie par :
${Z=\frac{z-4}{z-1}}%$

\begin{enumerate}
\item  Soit C le point d'affixe $i\sqrt{2}$.\newline D\'{e}terminer l'affixe
de C$^{\prime}$\ =\ $f$(C).

\item  D\'{e}montrer que $f$ admet deux points invariants I et J. (On notera I
celui d'ordonn\'{e}e positive.)\newline Placer les points I, J, C et
C$^{\prime}$.

\item  On pose $z=x+iy$ et $Z=X+iY$ avec $x$, $y$, $X$, $Y$ r\'{e}els.

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer $X$ \/et $Y$ en fonction de $x$ et $y$.

\item  D\'{e}terminer l'ensemble E des points M d'affixe $z$ tels que $Z$ soit
r\'{e}el.

\item  D\'{e}terminer et construire l'ensemble F des points M d'affixe $z$
tels que $Z$ soit imaginaire pur.
\end{enumerate}

\item  Donner une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique de $\mid Z\mid$,
$\mid z-4\mid$, $\mid z-1\mid$.\newline En d\'{e}duire l'ensemble D des points
M d'affixe $z$ tels que $\mid Z\mid=1$.\newline Construire D.
\end{enumerate}

\subsection{Sportifs de haut niveau 1996}

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item  R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation suivante :
$z^{2}-6\cos\left( \frac{\pi}{6}\right) z+9=0$
On notera $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions trouv\'{e}es, $z_{1}$ \'{e}tant la
solution de partie imaginaire positive.

\item  D\'{e}terminer le module et un argument de $z_{1}$ et de $z_{2},$ et
donner l'\'{e}criture exponentielle de $z_{1}$ et de $z_{2}.$
\index{Module}
\index{Argument}
\end{enumerate}

\item  Placer dans le plan $P$ rapport\'{e} \{a} un rep\{e}re orthonormal
direct $\left( 0;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ d'unit\'{e}
graphique $1$ cm, les images $M_{1}$ et $M_{2}$ de $z_{1}$ et $z_{2}% .$\newline Expliquer pourquoi $M_{1}$ et $M_{2}$ sont situ\'{e}s sur le cercle
$\Gamma$ de centre $O$ de rayon $3,$ que l'on tracera.
\index{Cercle}
\end{enumerate}

\item  On consid\{e}re la transformation du plan $P$ qui \{a} tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que :
\index{Transformation}
$z^{\prime}=\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) z$
On consid\{e}re les points $A$ et $B$ d'affixes
$z_{A}=3e^{i\frac{\pi}{6}}\text{ et }z_{B}=3e^{-i\frac{\pi}{6}}%$
et $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ leurs images par $f.$

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $f$ est une rotation dont on pr\'{e}cisera le centre et
l'angle.
\index{Rotation}

\item  D\'{e}terminer sous forme exponentielle les affixes $z_{A^{\prime}}$ et
$z_{B^{\prime}}$ des points $A^{\prime}$ et $B^{\prime}.$ Placer les points
$A,$ $B,$ $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ sur la figure.\newline
\index{Forme!exponentielle}Expliquer pourquoi ces points sont sur le cercle
$\Gamma.$
\end{enumerate}

\item  Calculer $\arg\left( \dfrac{z_{A^{\prime}}}{z_{B}}\right)$ et
montrer que $B$ et $A^{\prime}$ sont sym\'{e}triques par rapport au point $O.$
En d\'{e}duire que le triangle $ABA^{\prime}$ est rectangle.
\index{Sym\'{e}trie}
\index{Triangle!rectangle}
\end{enumerate}

\subsection{Sujet compl%
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ementaire}

Le plan complexe est muni d'un rep\{e}re orthonormal direct d'origine O.
$\Omega$ et $A$ sont les points d'affixes respectives 1 et 2. On appelle $F$
l'application qui \{a} tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de $\Omega$
associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que :
\index{Fonction!complexe}
\index{Affixe}
$z^{\prime}=\frac{z^{2}}{2(z-1)}%$

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer les points invariants par $F$.
\index{Point!invariant}

\item  Soit $E_{1}$ la droite $(OA)$ priv\'{e}e de $\Omega$.

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}terminer le tableau de variation de la fonction $g$ d\'{e}finie
pour tout r\'{e}el $x\not = 1$ par :
$g(x)=\frac{x^{2}}{2(x-1)}%$

\item  En d\'{e}duire l'image de $E_{1}$ par $F$.
\index{Image}
\end{enumerate}

\item  Soit $E_{3}$ le cercle de centre $\Omega$ et de rayon 1. Pour tout
point $M(z)$ de ce cercle, on pose :
${z=1+e^{i\theta}}%$

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que : $z^{\prime}=1+\cos\theta$

\item  En d\'{e}duire l'image de $E_{3}$ par $F$.
\end{enumerate}

\item  On pose $z=x+iy$ avec $z\not =1$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la partie imaginaire de $z^{\prime}$ en fonction de $x$ et de
$y$.

\item  En d\'{e}duire l'ensemble des points $M(z)$ tels que l'image de $M$ par
$F$ se trouve sur $(OA)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section{Courbes param%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
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\'%
%EndExpansion
etr%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
ees}

\subsection{Sujet compl%
%TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}%
%BeginExpansion
\'%
%EndExpansion
ementaire}

Dans le plan muni du rep\{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath}\right) ,$ on consid\{e}re le cercle $C$ de centre $O$ et de
rayon $1.$ Soit $A$ le point de coordonn\'{e}es $\left( -1;0\right) .$ A
tout point $m$ de $C,$ on associe le point $M,$ projet\'{e} orthogonal de $A$
sur la tangente en $m$ \{a} $C.$ On appelle $t$ une mesure de l'angle
$\left( \vec{\imath},\overrightarrow{Om}\right) .$
\index{Courbe!param\'{e}tr\'{e}e}

\begin{enumerate}
\item  D\'{e}montrer que le point