%% This document created by Scientific Word (R) Version 3.0 \documentclass[a4paper,12pt,twoside]{book} \usepackage{graphicx} \usepackage{amsmath} \usepackage{geometry} \usepackage{fancybox} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \usepackage{multicol} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amssymb,palatino,euler} \usepackage[french]{babel} %TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll} %TCIDATA{CSTFile=LaTeX Book.cst} %TCIDATA{Created=Wed Jun 03 11:07:27 1998} %TCIDATA{LastRevised=Fri Oct 29 14:48:56 1999} %TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">} %TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Books\Standard LaTeX Book">} %TCIDATA{Language=American English} %TCIDATA{MapleDefs= %$f\left( x\right) =\ln x-2-\frac{1}{x}\ln x+\frac{2}{x}$ %$F\left( x\right) =\int_{1}^{x}f\left( t\right) dt$ %} \geometry{ hmargin=2.5cm, vmargin=1.5cm } \newtheorem{theorem}{Theorem} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture} \newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{definition}[theorem]{Definition} \newtheorem{example}[theorem]{Example} \newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise} \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} \newtheorem{remark}[theorem]{Remark} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \setcounter{tocdepth}{3} \makeindex \pagestyle{fancy} \fancyhead{} \fancyfoot{} \fancyhead[LO,RE]{\textbf{Annales du baccalaur\'eat S 2000}} \fancyhead[RO]{\rightmark} \fancyhead[LE]{\leftmark} \fancyfoot[RO,LE]{\textbf{\thepage}} \fancyfoot[RE,LO]{Lyc\'ee Louis Armand} \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} \fancypagestyle{plain}{ \fancyhead[L]{\textbf{Annales du baccalaur\'eat S 2000}} \fancyhead[R]{\leftmark} \fancyfoot[R]{\textbf{\thepage}} \fancyfoot[L]{Lyc\'ee Louis Armand} \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt} } \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\REP}{\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}} \newcommand{\REPB}{\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}} \def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}} \begin{document} \title{% %TCIMACRO{\TeXButton{TITRE}{\begin{minipage}{15cm} %\begin{center} %\Huge{\textbf{ANNALES DE MATHEMATIQUES}} %\vskip2cm %\LARGE{TERMINALE S} %\vskip2cm %\LARGE{LYCEE LOUIS ARMAND} %\end{center} %\end{minipage}}}% %BeginExpansion \begin{minipage}{15cm} \begin{center} \Huge{\textbf{ANNALES DE MATHEMATIQUES}} \vskip2cm \LARGE{TERMINALE S} \vskip2cm \LARGE{LYCEE LOUIS ARMAND} \end{center} \end{minipage}}% %EndExpansion} \date{Ann\'{e}e scolaire 1999/2000} \author{ } \maketitle \tableofcontents % %TCIMACRO{\TeXButton{chapitres}{\renewcommand{\chaptername}{} %\renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}}}% %BeginExpansion \renewcommand{\chaptername}{} \renewcommand{\thechapter}{\Alph{chapter}}% %EndExpansion \chapter{Sujets du baccalaur% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eat} \section{Remplacement 1999} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1} (\textit{4 points})\\[0pt] \end{center} Dans tout l'exercice, on donnera les r\'{e}sultats sous forme de fractions irr\'{e}ductibles. \newline Une urne contient trois boules noires et une boule blanche. On consid\`{e}re l'exp\'{e}rience suivante :\newline On lance un jeton parfaitement \'{e}quilibr\'{e}, pr\'{e}sentant une face noire et une face blanche. Si le jeton tombe sur la face blanche, on ajoute une boule blanche dans l'urne ; si le jeton tombe sur la face noire, on ajoute une boule noire dans l'urne.\newline Puis on tire simultan\'{e}ment, et au hasard, trois boules de l'urne. \begin{enumerate} \item [1.]On appelle $E_{0}$ l'\'{e}v\'{e}nement : aucune boule blanche ne figure parmi les trois boules tir\'{e}es et $B$ l'\'{e}v\'{e}nement : le jeton est tomb\'{e} sur la face blanche. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item [a)]Calculer P ($E_{0} \cap B$), P ($E_{0} \cap\overline{B}$), puis P ($E_{0}$). \item[b)] On tire trois boules de l'urne, aucune boule blanche ne figure dans ce tirage. Quelle est la probabilit\'{e} que le jeton soit tomb\'{e} sur la face noire ? \end{enumerate} \item[2.] On appelle $E_{1}$ l'\'{e}v\'{e}nement : une boule blanche et une seule figure parmi les trois boules tir\'{e}es et $B$ l'\'{e}v\'{e}nement : le jeton est tomb\'{e} sur la face blanche. \begin{enumerate} \item [a)]Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\'{e}nement $E_{1}$. \item[b)] On effectue successivement quatre fois l'exp\'{e}rience d\'{e}crite au d\'{e}but, qui consiste \`{a} lancer le jeton, puis \`{a} tirer les trois boules de l'urne.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir au moins une fois une et une seule boule blanche ?\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2} (\textit{5 points})\\[0pt]\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}}\\[0.3cm] \end{center} Le plan est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\mbox{$\left(O ;\ \vect{u},\vect{v}\right)$}$ (unit\'{e} graphique : 2 cm).\newline On note $Z_{M}$ l'affixe du point $M$. \index{Affixe}\newline Soit $A$ le point d'affixe $4$ et $B$ le point d'affixe $4i$.\newline \begin{enumerate} \item [1.]Soit $\theta$ un r\'{e}el de $[0,\ 2\pi\lbrack$ et $r$ un r\'{e}el strictement positif.\newline On consid\`{e}re le point $E$ d'affixe $re^{i\theta}$ et $F$ le point tel que $OEF$ est un triangle rectangle \index{Triangle!rectangle} isoc\`{e}le v\'{e}rifiant $(\overrightarrow{\strut OE},\ \overrightarrow{\strut OF})=\displaystyle\frac{\pi}{2}$.\newline Quelle est, en fonction de $r$ et $\theta$, l'affixe de $F$ ? \item[2.] Faire une figure et la compl\'{e}ter au fur et \`{a} mesure de l'exercice. On choisira, uniquement pour cette figure : \[ \theta= \displaystyle\frac{5\pi}{6}\ \text{et}\ r=3. \] \item[3.] On appelle $P$, $Q$, $R$, $S$ les milieux respectifs des segments $[AB]$, $[BE]$, $[EF]$, $[FA]$. \index{Milieu} \begin{enumerate} \item [a)]Prouver que $PQRS$ est un parall\`{e}logramme. \index{Parall\'{e}logramme} \item[b)] On pose : $Z=\displaystyle\frac{Z_{R}-Z_{Q}}{Z_{Q}-Z_{P}}.$% \newline D\'{e}terminer le module et un argument de Z. En d\'{e}duire que $PQRS$ est un carr\'{e}. \index{Module} \index{Argument} \index{Carr\'{e}} \end{enumerate} \item[4.] \begin{enumerate} \item [a)]Calculer, en fonction de $r$ et $\theta$, les affixes respectives des points $P$ et $Q$. \item[b)] Quelle est, en fonction dr $r$ et $\theta$, l'aire du carr\'{e} $PQRS$ ? \item[c)] $r$ \'{e}tant fix\'{e}, pour quelle valeur de $\theta$ cette aire est-elle maximale ?\newline \index{Aire}Quelle est alors l'affixe de $E$ ?\\[0.3cm] \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBL\`{E}ME} (\textit{11 points})\\[0.3cm] \end{center} Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $]0,\ +\infty\lbrack$ par $f(x)=\displaystyle\frac{(\ln x)^{2}}{x}.$ \index{Fonction!logarithme}\newline On appelle $\mathcal{C}$ la repr\'{e}% sentation graphique de $f$, dans un rep\`{e}re orthogonal $\mbox {$\left(O;\ \vect{i},\vect{j}\right)$}$ du plan (unit\'{e}s graphiques : 1 cm sur l'axe des abscisses, 2 cm sur l'axe des ordonn\'{e}es). \textbf{\underline{Partie I}} \begin{enumerate} \item [1.]D\'{e}terminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $0$. \index{Limite} \item[2.] Calculer $f^{\prime}(x)$ en fonction de $x$.\newline Montrer que $f^{\prime}(x)$ a le m\^{e}me signe que $\ln x\ (2 - \ln x)$.\newline D\'{e}terminer le sens de variation de $f$ sur $]0,\ + \infty[$. \item[3.] Tracer la repr\'{e}sentation graphique $\mathcal{C}$ de $f$ dans $\mbox{$\left(O;\ \vect{i},\vect{j}\right)$}$. \item[4.] On pose pour $p \geqslant1,\ I_{p} = \displaystyle{\int_{\,1} ^{\,e^{2}} \displaystyle\frac{(\ln x)^{p}}{x^{2}} \mathrm{d}x}.$ \begin{enumerate} \item [a)]\`{A} l'aide d'une int\'{e}gration par parties, calculer : \index{Int\'{e}gration!par parties} $I_{1}=\displaystyle{\int_{\,1}^{\,e^{2}% }\displaystyle\frac{\ln x}{x^{2}}\mathrm{d}x}.$ \item[b)] Prouver, en effectuant une int\'{e}gration par parties, que pour tout entier $p$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $1$ : \[ I_{p+1} = - \displaystyle\frac{2^{\,p+1}}{e^{2}} + (p+1)\, I_{p}% \] \item[c)] En utilisant les r\'{e}sultats pr\'{e}c\'{e}dents, calculer successivement $I_{2}$, $I_{3}$, $I_{4}$. \item[d)] On fait tourner autour de l'axe des abscisses l'arc de courbe constitu\'{e} des points de $\mathcal{C}$, d'abscisses comprises entre $1$ et $e^{2}$. Le point $M$ de $\mathcal{C}$, d'abscisse $x$, d\'{e}crit alors un cercle de rayon $f(x)$.\newline Calculer le volume du solide ainsi engendr\'{e}, en unit\'{e}s de volume. \index{Calcul!de volume} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{\underline{Partie II}}\\[0.2cm]Soit $a$ un r\'{e}el strictement positif et $A$ le point de $\mathcal{C}$ d'abscisse $a$. Soit T$_{a}$ la tangente \`{a} $\mathcal{C}$ au point $A$. \begin{enumerate} \item [1.]\'{E}crire une \'{e}quation de T$_{a}$. \index{Tangente} \item[2.] D\'{e}terminer les r\'{e}els $a$ pour lesquels T$_{a}$ passe par l'origine $O$ du rep\`{e}re. \item[3.] Donner une \'{e}quation de chacune des tangentes \`{a} $\mathcal{C}% $, passant par $O$. Tracer ces tangentes sur la figure. \end{enumerate} \textbf{\underline{Partie III}}\\[0.2cm]On \'{e}tudie maintenant l'intersection de $\mathcal{C}$ avec la droite $\Delta$ d'\'{e}quation $y = \displaystyle\frac{1}{e^{2}} x.$ \begin{enumerate} \item [1.]On pose pour $x$ strictement positif, $\varphi_{1}(x) = x - e\,\ln x$.\newline Montrer que $\varphi_{1}$ est strictement croissante sur $]e,\, +\infty[$ et strictement d\'{e}croissante sur $]0,\,e[$. \item[2.] On pose pour $x$ strictement positif, $\varphi_{2}(x) = x + e\,\ln x$. \begin{enumerate} \item [a)]\'Etudier le sens de variation de $\varphi_{2}$ sur $]0,\,+ \infty[$. \item[b)] Prouver que $\varphi_{2}(x)=0$ a une solution unique sur $\left[ \displaystyle\frac{1}{2},\,1\right] $. On appelle $\alpha$ cette solution ; donner un encadrement de $\alpha$, d'amplitude $10^{-1}$. \item[c)] En d\'{e}duire que $\varphi_{2} (x) = 0$ a une seule solution sur $]0,\,+\infty[$. \end{enumerate} \item[3.] D\'{e}terminer les points d'intersection de $\mathcal{C}$ et de $\Delta$. \end{enumerate} \section{Sujet national 1999\label{bac99}} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1} (\textit{5\ points)}\\[0pt]\textbf{Commun \`{a} tous les candidats}\\[0pt] \end{center} Le plan P est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) .$ On prendra 4 cm comme unit\'{e} sur les deux axes. On consid\`{e}re l'application $F$ du plan dans lui-m\^{e}me qui, \`{a} tout point $m$, d'affixe $z$, associe le point $M$ d'affixe \index{Complexe} \index{Affixe} \[ \frac{1}{2}z^{2}-z \] L'objet de cet exercice est de tracer la courbe $\Gamma$ d\'{e}crite par $M$ lorsque $m$ d\'{e}crit le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon 1. Soit $t$ un r\'{e}el de $\left[ -\pi,\pi\right] $ et $m$ le point de $\mathcal{C}$ d'affixe $z=e^{it}.$ \begin{enumerate} \item Montrer que l'image $M$ de $m$ par $F$ est le point de coordonn\'{e}es : \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x\left( t\right) =\frac{1}{2}\cos2t-\cos t\\ \\ y\left( t\right) =\frac{1}{2}\sin2t-\sin t \end{array} \right. \] Ces relations constituent une repr\'{e}sentation param\'{e}trique \index{Courbe!param\'{e}tr\'{e}e}de la courbe $\Gamma.$ \item Comparer $x\left( -t\right) $ et $x\left( t\right) $ d'une part, $y\left( -t\right) $ et $y\left( t\right) $ d'autre part. En d\'{e}duire que $\Gamma$ admet un axe de sym\'{e}trie que l'on pr\'{e}cisera. \item Montrer que $x^{\prime}\left( t\right) =\sin t\left( 1-2\cos t\right) $. \'{E}tudier les variations de $x$ sur $\left[ 0,\pi\right] $. \index{Trigonom\'{e}trie} \item Montrer que $y^{\prime}\left( t\right) =\left( \cos t-1\right) \left( 1+2\cos t\right) $. \'{E}tudier les variations de $y$ sur $\left[ 0,\pi\right] $. \item Dans un m\^{e}me tableau faire figurer les variations de $x$ et $y$ sur $\left[ 0,\pi\right] .$ \item Placer les points de $\Gamma$ correspondant aux valeurs $0,$ $\frac {\pi}{3},$ $\frac{2\pi}{3}$ et $\pi$ du param\`{e}tre $t$ et tracer les tangentes en ces points ( on admettra que pour $t=0$ la tangente \`{a} $\Gamma$ est horizontale). Tracer la partie de $\Gamma$ obtenue lorsque $t$ d\'{e}crit $\left[ 0,\pi\right] $ puis tracer $\Gamma$ compl\`{e}tement.\medskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2} (\textit{5 points)}\\[0pt]\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'{e}cialit\'{e}} \end{center} Dans cet exercice, $n$ est un entier naturel non nul. On consid\`{e}re la suite $\left( u_{n}\right) $ d\'{e}finie par : \index{Suite} \index{Int\'{e}grale} \[ u_{n}=\int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}e^{\frac{t}{n}}dt \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $\varphi$ la fonction d\'{e}finie sur $\left[ 0,2\right] $ par \[ \varphi\left( t\right) =\frac{2t+3}{t+2}% \] \'{E}tudier les variations de $\varphi$ sur $\left[ 0,2\right] .$ En d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $t$ dans $\left[ 0,2\right] ,$% \[ \frac{3}{2}\leqslant\varphi\left( t\right) \leqslant\frac{7}{4}% \] \item Montrer que, pour tout r\'{e}el $t$ dans $\left[ 0,2\right] $, on a : \index{Encadrement} \[ \frac{3}{2}e^{\frac{t}{n}}\leqslant\varphi\left( t\right) e^{\frac{t}{n}% }\leqslant\frac{7}{4}e^{\frac{t}{n}}% \] \item Par int\'{e}gration en d\'{e}duire que : \[ \frac{3}{2}n\left( e^{\frac{2}{n}}-1\right) \leqslant u_{n}\leqslant\frac {7}{4}n\left( e^{\frac{2}{n}}-1\right) \] \item On rappelle que \[ \lim_{h\rightarrow0}\frac{e^{h}-1}{h}=1 \] Montrer {}que, si $\left( u_{n}\right) $ poss\`{e}de une limite $L$, alors \[ 3\leqslant L\leqslant\frac{7}{2}% \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que pour tout $t$ dans $\left[ 0,2\right] $, on a \[ \frac{2t+3}{t+2}=2-\frac{1}{t+2}% \] En d\'{e}duire l'int\'{e}grale \[ I=\int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}dt \] \item Montrer que, pour tout $t$ dans $\left[ 0,2\right] ,$ on a \[ 1\leqslant e^{\frac{t}{n}}\leqslant e^{\frac{2}{n}}% \] En d\'{e}duire que \[ I\leqslant u_{n}\leqslant e^{\frac{2}{n}}I \] \item Montrer que $\left( u_{n}\right) $ est convergente et d\'{e}terminer sa limite $L$.\medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME} ( \textit{10 points)} \end{center} Dans tout le probl\`{e}me le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ : on prendra 2 cm comme unit\'{e} sur les deux axes et on placera l'axe des abscisses au milieu de la feuille et l'axe des ordonn\'{e}es sur le bord gauche de la feuille millim\'{e}tr\'{e}e. \textbf{Partie A: \'{E}tude d'une fonction }$f$\textbf{\ et de sa courbe repr\'{e}sentative }$C$\textbf{.} On consid\`{e}re la fonction $f$, d\'{e}finie sur $\left] 0,+\infty\right[ $ par : \index{Fonction!logarithme} \[ f\left( x\right) =\left( 1-\frac{1}{x}\right) \left( \ln x-2\right) \] et on d\'{e}signe par $\mathcal{C}$ sa courbe repr\'{e}sentative relativement au rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les limites de $f$ en $+\infty$ et $0.$ \item Montrer que $f$ est d\'{e}rivable sur $\left] 0,+\infty\right[ $ et calculer $f^{\prime}\left( x\right) $. \index{Fonction!d\'{e}rivable} \item Soit $u$ la fonction d\'{e}finie sur $\left] 0,+\infty\right[ $ par \[ u\left( x\right) =\ln x+x-3 \] \begin{enumerate} \item \'{E}tudier les variations de $u$. \item Montrer que l'\'{e}quation $u\left( x\right) =0$ poss\`{e}de une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[ 2,3\right] .$ Montrer que $2,20<\alpha<2,21$. \item \'{E}tudier le signe de $u\left( x\right) $ sur $\left] 0,+\infty\right[ .$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \'{E}tudier les variations de $f$. \item Exprimer $\ln\alpha$ comme polyn\^{o}me en $\alpha$. Montrer que \index{Polyn\^{o}me} \[ f\left( \alpha\right) =-\frac{\left( \alpha-1\right) ^{2}}{\alpha}% \] En d\'{e}duire un encadrement de $f\left( \alpha\right) $ d'amplitude $2\times10^{-2}$. \index{Encadrement} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \'{E}tudier le signe de $f\left( x\right) .$ \item Tracer $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B : \'{E}tude d'une primitive de }$f$\textbf{\ sur }$\left] 0,+\infty\right[ .$ Soit $F$ la primitive de $f$ sur $\left] 0,+\infty\right[ $ qui s'annule pour $x=1.$ On appelle $\Gamma$ la courbe repr\'{e}sentative de $F$ relativement au rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ \index{Primitive} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sans calculer $F\left( x\right) ,$ \'{e}tudier les variations de $F$ sur $\left] 0,+\infty\right[ .$ \item Que peut-on dire des tangentes \`{a} $\Gamma$ en ses points d'abscisses $1$ et $e^{2}$? \end{enumerate} \item \emph{Calcu1 de }$F\left( x\right) $\emph{.} \begin{enumerate} \item $x$ \'{e}tant un r\'{e}el strictement positif, calculer l'int\'{e}grale \[ \int_{1}^{x}\ln t\,dt \] ( on pourra faire une int\'{e}gration par parties). \index{Int\'{e}gration!par parties} \item Montrer que, pour tout $x$ strictement positif : \[ f\left( x\right) =\ln x-\frac{\ln x}{x}+\frac{2}{x}-2 \] \item En d\'{e}duire l'expression de $F\left( x\right) $ en fonction de $x$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $\lim_{x\rightarrow0}\left( x\ln x\right) =0$. En d\'{e}duire la limite de $F$ en $0.$ \item Montrer que, pour $x$ strictement sup\'{e}rieur \`{a} $1,$ \[ F\left( x\right) =x\ln x\left( 1-\frac{1}{2}\times\frac{\ln x}{x}+\frac {2}{x}-\frac{3}{\ln x}\right) +3 \] En d\'{e}duire la limite de $F$ en $+\infty$ \item Dresser le tableau de variation de $F$. \item Tracer $\Gamma$ sur le m\^{e}me graphique que $\mathcal{C}$. \end{enumerate} \item \emph{Calcul d'une aire.}\newline Calculer, en cm$^{2}$, l'aire du domaine limit\'{e} par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'\'{e}quations $x=1$ et $x=e^{2}.$ \index{Calcul!d'aire} \end{enumerate} \section{Guadeloupe 1999} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1 ( 4 points)} \end{center} Lors d'un examen , un questionnaire \`{a} choix multiple (Q.C.M.) est utilis\'{e}.\newline On s'int\'{e}resse \`{a} cinq questions de ce Q.C.M.\textbf{suppos\'{e}es ind\'{e}pendantes}.A chaque question sont associ\'{e}es quatre affirmations , num\'{e}rot\'{e}es 1,2,3 et 4, dont une seule est exacte.\newline Un candidat doit r\'{e}pondre \`{a} chaque question en donnant seulement le num\'{e}ro de l'affirmation qu'il juge exacte ; sa r\'{e}ponse est correcte si l'affirmation qu'il a retenue est vraie, sinon sa r\'{e}ponse est incorrecte. \newline Dans cet exercice , les probabilit\'{e}s demand\'{e}es seront donn\'{e}es sous forme fractionnaire.\newline \begin{enumerate} \item Un candidat r\'{e}pond \`{a} chaque question au hasard , c'est-\`{a}% -dire qu'il consid\`{e}re que les quatre affirmations correspondantes sont \'{e}quiprobables.\newline \begin{enumerate} \item Calculer la probabilit\'{e} de chacun des \'{e}v\'{e}nements suivants: \index{Probabilit\'{e}}\newline A : ''Le candidat r\'{e}pond correctement \`{a} la premi\`{e}re des cinq questions'';\newline B : ''Le candidat r\'{e}pond correctement \`{a} deux questions au moins sur cinq''.\newline \item On attribue la note 4 \`{a} toute r\'{e}ponse correcte et la note -1 \`{a} toute r\'{e}ponse incorrecte.\newline Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement C : ''Le candidat obtient une note au moins \'{e}gale \`{a} 10 pour l'ensemble des cinq questions''.\newline \end{enumerate} \item On suppose maintenant qu'un candidat conna\^{i}t la r\'{e}ponse correcte \`{a} deux questions et qu'il r\'{e}pond au hasard aux trois autres questions.\newline Quelle est la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement C d\'{e}crit au \textbf{1.b}?\bigskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2 ( 5 points)} \end{center} Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct (O ;$\vec{u}$, $\vec{v}$).\newline On consid\`{e}re le point A d'affixe 1 et , pour tout $\theta$ appartenant \`{a} $[0;2\pi\lbrack$ , le point M d'affixe $z=e^{i\theta}$. On d\'{e}signe par P le point d'affixe $1+z$ et par Q le point d'affixe $z^{2}$.\newline \index{Affixe} \begin{enumerate} \item \'{A} partir du point M ,donner une construction g\'{e}om\'{e}trique du point P et une construction g\'{e}om\'{e}trique du point Q. Les points O ,A , M, Q et P seront plac\'{e}s sur une m\^{e}me figure. \item D\'{e}terminer l'ensemble des points P pour $\theta$ appartenant \`{a} $[0,2\pi\lbrack$.\newline Tracer cet ensemble sur la figure pr\'{e}c\'{e}dente .\newline \index{Ensemble!de points} \item Soit S le point d'affixe $1+z+z^{2}$ , o\`{u} $z$ d\'{e}signe toujours l'affixe du point M . Construire S , en justifiant la construction.\newline \item Dans le cas o\`{u} S est diff\'{e}rent de O , Tracer la droite (OS).\newline Quelle conjecture appara\^{i}t , relativement au point M?\newline D\'{e}montrer que le nombre \index{Complexe} \[ \frac{1+z+z^{2}}{z}% \] est un r\'{e}el , quel que soit $\theta$ appartenant \`{a} $[0,2\pi\lbrack $.\newline Conclure sur la conjecture pr\'{e}c\'{e}dente.\bigskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME}{\ }\textbf{(11 points)} \end{center} L'objet de ce probl\`{e}me est d'\'{e}tudier une fonction \`{a} l'aide d'une fonction auxiliaire et de calculer l'aire d'un domaine plan. \textbf{PARTIE A} Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $\left] -1,+\infty\right[ $ par : \index{Fonction!logarithme} \[ f\left( x\right) =\frac{x}{x+1}-2\ln\left( x+1\right) \] \begin{enumerate} \item Calculer $f^{\prime}\left( x\right) ,$ \'{e}tudier son signe et en d\'{e}duire le tableau de variation de la fonction $f.$ \item Calculer $f\left( 0\right) .$ Montrer que l'\'{e}quation $f\left( x\right) =0$ admet exactement deux solutions dont l'une, que l'on d\'{e}signe par $\alpha,$ appartient \`{a} $\left[ -0,72;-0,71\right] .$ \item Donner le signe de $f\left( x\right) ,$ pour $x$ appartenant \`{a} $\left] -1,+\infty\right[ .$ \end{enumerate} \textbf{PARTIE B} Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur l'ensemble $\left] -1;0\right[ \cup\left] 0,+\infty\right[ $ par : \[ g\left( x\right) =\frac{\ln\left( x+1\right) }{x^{2}}% \] \begin{enumerate} \item \emph{Etude de }$g$\emph{\ aux bornes de son ensemble de d\'{e}finition.} \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $g\left( x\right) $ quand $x$ tend vers $0$ par valeurs inf\'{e}rieures et quand $x$ tend vers $0$ par valeurs sup\'{e}rieures. \index{Limite} \item Calculer $\lim_{x\rightarrow-1}g\left( x\right) $ et $\lim _{x\rightarrow+\infty}g\left( x\right) .$ \end{enumerate} \item \emph{Sens de variation de }$g.$ \begin{enumerate} \item Calculer $g^{\prime}\left( x\right) $ et d\'{e}duire, \`{a} l'aide de la partie $A,$ son signe. \item Montrer que \[ g\left( \alpha\right) =\frac{1}{2\alpha\left( \alpha+1\right) }% \] En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e de $g\left( \alpha\right) $ en prenant $\alpha=-0,715.$ \end{enumerate} \item \emph{Tableau de variation et repr\'{e}sentation graphique de }$g.$ \begin{enumerate} \item Dresser le tableau de variation de la fonction $g.$ \item Repr\'{e}senter graphiquement la fonction $g$ dans le plan rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal ( unit\'{e} graphique : $2$ cm ). \end{enumerate} \item \emph{Calcul d'aire}\newline Soit $a$ un r\'{e}el strictement sup\'{e}rieur \`{a} $0.$ On pose : \[ I\left( a\right) =\int_{1}^{a}g\left( x\right) \;dx \] \begin{enumerate} \item Donner, suivant les valeurs de $a,$ une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique du r\'{e}el $I\left( a\right) .$ \item En remarquant que, pour $x$ appartenant \`{a} $\left] 0,+\infty \right[ $ : \[ \frac{1}{x\left( 1+x\right) }=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}% \] calculer $I\left( a\right) $ \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties. \index{Int\'{e}gration!par parties} \item Calculer $\lim_{a\rightarrow+\infty}I\left( a\right) $ et $\lim_{a\rightarrow0}I\left( a\right) .$ \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Polyn% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion esie 1999} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)} \end{center} Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches.\newline On en pr\'{e}l\`{e}ve $n$ successivement et avec remise, $n$ \'{e}tant un entier naturel sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2.\newline On consid\`{e}re les deux \'{e}v\'{e}nements suivants :\newline $A$: %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion On obtient des boules des deux couleurs %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion ; \newline $B$ : %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion On obtient au plus une blanche %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement :\newline \index{Probabilit\'{e}}% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion Toutes les boules tir\'{e}es sont de la m\^{e}me couleur %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \item Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement :\newline %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion On obtient exactement une boule blanche %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \item En d\'{e}duire que les probabilit\'{e}s $p(A\cap B)$, $p(A)$, $p(B)$ sont : \index{Intersection} \[ p(A\cap B)=\frac{n}{2^{n}}\qquad p(A)=1-\frac{1}{2^{n-1}}\qquad p(B)=\frac {n+1}{2^{n}}% \] \end{enumerate} \item Montrer que : $p(A\cap B)=p(A)\times p(B)$ si et seulement si : \[ 2^{n-1}=n+1 \] \item Soit $(u_{n})$ la suite d\'{e}finie pour tout entier naturel sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} deux par : \index{Suite} \[ u_{n}=2^{n-1}-(n+1) \] Calculer $u_{2}$, $u_{3}$, $u_{4}$.\newline D\'{e}montrer que la suite $(u_{n})$ est strictement croissante. \item En d\'{e}duire la valeur de l'entier $n$ tel que les \'{e}v\'{e}nements $A$ et $B$ soient ind\'{e}pendants.\bigskip \index{Ev\`{e}nements!ind\'{e}pendants} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2 ( 4 points)} \end{center} Le plan complexe $(P)$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ d'unit\'{e} graphique 2 cm. \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation : \index{Equation} \[ z^{3}-8=0 \] \item On consid\`{e}re dans le plan $(P)$ les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : \index{Affixe} \[ z_{A}=-1+i\sqrt{3}\qquad z_{B}=2\qquad z_{C}=-1-i\sqrt{3}% \] \begin{enumerate} \item Ecrire $z_{A}$ et $z_{C}$ sous la forme trigonom\'{e}trique. \index{Forme!trigonom\'{e}trique} \item Placer les points $A$, $B$ et $C$. \item D\'{e}terminer la nature du triangle $ABC$. \index{Triangle} \end{enumerate} \item On consid\`{e}re l'application $f$ du plan dans lui-m\^{e}me qui \`{a} tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $\displaystyle{z^{\prime}=e^{\frac{2i\pi}{3}}z.}$ \index{Affixe} \begin{enumerate} \item Caract\'{e}riser g\'{e}om\'{e}triquement l'application $f$. \item D\'{e}terminer les images des points $A$ et $C$ par $f$.\newline En d\'{e}duire l'image de la droite $(AC)$ par $f$.\bigskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME ( 11 points )} \end{center} \textbf{Partie A}\newline Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \index{Fonction!exponentielle} \[ f(x)=x-e^{2x-2}% \] On note $(C)$ la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans un rep\`{e}re orthonormal $\left( O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right) $.\newline On prendra 5 cm comme unit\'{e}. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la limite de $f$ en $-\infty$ . \item V\'{e}rifier que pour tout r\'{e}el $x$ non nul : \[ f(x)=x\,\left[ 1-2e^{-2}\times\left( \frac{e^{2x}}{2x}\right) \right] \] D\'{e}terminer la limite de $f$ en $+\infty$. \end{enumerate} \item D\'{e}terminer $f^{\prime}$. Etudier le signe de $f^{\prime}(x)$ et calculer la valeur exacte du maximum de $f$. \index{Maximum} \item D\'{e}montrer que la droite $(D)$ d'\'{e}quation : $y=x$ est asymptote \`{a} la courbe $(C)$.\newline \index{Asymptote}Etudier la position relative de $(C)$ et de $(D)$. \item On note $A$ le point de la courbe $(C)$ d'abscisse 1.\newline D\'{e}terminer une \'{e}quation de la tangente $(T)$ en $A$ \`{a} la courbe $(C)$. \index{Tangente} \item \begin{enumerate} \item On note $I$ l'intervalle $[0; 0,5]$.\newline D\'{e}montrer que l'\'{e}quation : $f(x)=0$ admet dans l'intervalle $I$ une unique solution qu'on notera $a$. \item D\'{e}terminer une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-1}$ pr\`{e}s de $a $. \end{enumerate} \item Construire la courbe $(C)$, l'asymptote $(D)$ et la tangente $(T)$. \end{enumerate} \textbf{Partie B}\newline \textbf{D\'{e}termination d'une valeur approch\'{e}e de $\mathbf{a}$}\newline On d\'{e}finit dans $\mathbb{R}$ la suite $(u_{n})$ par : \index{Suite!r\'{e}currente}\newline $u_{o}=0$ et $\displaystyle {u_{n+1}=e^{2u_{n}-2}}$ \begin{enumerate} \item Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x)=e^{2x-2}% $\newline D\'{e}montrer que l'\'{e}quation : $f(x)=0$ est \'{e}quivalente \`{a} : $g(x)=x$.\newline En d\'{e}duire $g(a)$. \item D\'{e}montrer que, pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle $I$ on a : \[ |g^{\prime}(x)|\leqslant\frac{2}{e}% \] \item D\'{e}montrer que pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle $I$, $g(x)$ appartient \`{a} $I$. \item Utiliser l'in\'{e}galit\'{e} des accroissements finis pour d\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$ : \index{In\'{e}galit\'{e}!des accroissements finis} \[ |u_{n+1}-a|\leqslant\frac{2}{e}|u_{n}-a| \] \item D\'{e}montrer, par r\'{e}currence que : \index{R\'{e}currence} \[ |u_{n}-a|\leqslant\left( \frac{2}{e}\right) ^{n}% \] \item En d\'{e}duire que la suite $(u_{n})$ converge et donner sa limite. \item D\'{e}terminer un entier naturel $p$ tel que : $|u_{p}-a|<10^{-5}$. \item En d\'{e}duire une valeur approch\'{e}e de $a$ \`{a} $10^{-5}$ pr\`{e}s : on expliquera l'algorithme utilis\'{e} sur la calculatrice. \index{Algorithme} \end{enumerate} \section{Asie 1999} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1 ( 4 points)} \end{center} Voici le tableau des principaux groupes sanguins des habitants de la France : \[% \begin{tabular} [c]{l|c|c|c|c|}\cline{2-5}% & O & A & B & AB\\\hline \multicolumn{1}{|l|}{Rh\'{e}sus +} & 35,0 \% & 38,1 \% & 6,2 \% & 2,8 \%\\\hline \multicolumn{1}{|l|}{Rh\'{e}sus -} & 9,0 \% & 7,2 \% & 1,2 \% & 0,5 \%\\\hline \end{tabular} \] Dans cet exercice, les r\'{e}sultats num\'{e}riques demand\'{e}s seront, s'il y a lieu, arrondis \`{a} 3 d\'{e}cimales. \begin{enumerate} \item L'objectif de cette question est de compl\'{e}ter \`{a} l'aide de donn\'{e}es de ce tableau l'arbre suivant, \`{a} recopier sur la copie.\newline %TCIMACRO{\TeXButton{arbre}{\hspace{1cm} %\unitlength=0.8cm %\begin{picture}(4,5.8) %\put(0,2){\line(1,1){2}} %\put(0,2){\line(1,-1){2}} %\put(3,4){\line(4,1){4}} %\put(3,4){\line(1,0){4}} %\put(3,4){\line(2,-1){4}} %\put(3,4){\line(4,-1){4}} %\put(3,0){\line(4,1){4}} %\put(3,0){\line(1,0){4}} %\put(3,0){\line(2,-1){4}} %\put(3,0){\line(4,-1){4}} %\put(2.1,3.9){Rh+} %\put(2.1,-0.2){Rh-} %\put(0.1,3.5){$p_{1}=$?} %\put(0.3,0.8){?} %\put(7.2,-2.2){AB} %\put(7.2,-1.2){B} %\put(7.2,-0.1){A} %\put(7.2,0.9){O} %\put(7.2,1.9){AB} %\put(7.2,2.8){B} %\put(7.2,3.9){A} %\put(7.2,4.9){O} %\put(6,-1.5){?} %\put(6,-0.7){?} %\put(6,0.1){?} %\put(6,0.8){?} %\put(6,2.5){?} %\put(6,3.3){?} %\put(6,4.0){?} %\put(5.56,5.0){$p_{2}=$?} %\end{picture} %}}% %BeginExpansion \hspace{1cm} \unitlength=0.8cm \begin{picture}(4,5.8) \put(0,2){\line(1,1){2}} \put(0,2){\line(1,-1){2}} \put(3,4){\line(4,1){4}} \put(3,4){\line(1,0){4}} \put(3,4){\line(2,-1){4}} \put(3,4){\line(4,-1){4}} \put(3,0){\line(4,1){4}} \put(3,0){\line(1,0){4}} \put(3,0){\line(2,-1){4}} \put(3,0){\line(4,-1){4}} \put(2.1,3.9){Rh+} \put(2.1,-0.2){Rh-} \put(0.1,3.5){$p_{1}=$?} \put(0.3,0.8){?} \put(7.2,-2.2){AB} \put(7.2,-1.2){B} \put(7.2,-0.1){A} \put(7.2,0.9){O} \put(7.2,1.9){AB} \put(7.2,2.8){B} \put(7.2,3.9){A} \put(7.2,4.9){O} \put(6,-1.5){?} \put(6,-0.7){?} \put(6,0.1){?} \put(6,0.8){?} \put(6,2.5){?} \put(6,3.3){?} \put(6,4.0){?} \put(5.56,5.0){$p_{2}=$?} \end{picture} %EndExpansion% %TCIMACRO{\TeXButton{vskip}{\vskip2cm}}% %BeginExpansion \vskip2cm% %EndExpansion L'exp\'{e}rience consiste \`{a} choisir une personne au hasard dans la population donn\'{e}e\newline ( les habitants de la France ).\newline On note Rh+ l'\'{e}v\`{e}nement '' la personne a le facteur Rh+ ''\newline On note O l'\'{e}v\`{e}nement '' la personne appartient au groupe O '' \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la probabilit\'{e} $p_{1},$ c'est \`{a} dire $p\left( \text{Rh+}\right) .$ On d\'{e}taillera le calcul effectu\'{e} puis on reportera ce r\'{e}sultat dans l'arbre.\newline \index{Probabilit\'{e}} \index{Arbre!de probabilit\'{e}}D\'{e}terminer de m\^{e}me la probabilit\'{e} $p_{2}$ ( en d\'{e}taillant les calculs ). \item Compl\'{e}ter le reste de l'arbre, en rempla\c{c}ant chaque point d'interrogation par la probabilit\'{e} correspondante ( il est inutile de d\'{e}tailler les nouveaux calculs ). \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Comment peut-on, \`{a} partir de l'arbre compl\'{e}t\'{e}, d\'{e}terminer la probabilit\'{e} de O ?\newline V\'{e}rifier ce r\'{e}sultat \`{a} l'aide du tableau. \item Quelle est la probabilit\'{e} pour qu'une personne appartenant au groupe O ait le facteur Rh+ ? \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On consid\`{e}re $n$ personnes choisies au hasard dans la population donn\'{e}e ( les habitants de la France ).\newline Calculer, en fonction de $n,$ la probabilit\'{e} $p$ pour qu'il y ait, parmi elles, au moins une personne du groupe O. \item Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle on a $p\geqslant 0,999.\bigskip$ \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2 ( 5 points)} \end{center} \begin{enumerate} \item Pour tout nombre complexe $Z,$ on pose $P\left( Z\right) =Z^{4}-1.$ \index{Complexe} \begin{enumerate} \item Factoriser $P\left( Z\right) .$ \item En d\'{e}duire les solutions dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes de l'\'{e}quation $P\left( Z\right) =0,$ d'inconnue $Z.$ \item D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation d'inconnue $z$ : \[ \left( \frac{2z+1}{z-1}\right) ^{4}=1 \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le plan complexe $\left( P\right) $ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow {v}\right) $ ( l'unit\'{e} graphique est $5$ cm ).\newline Placer les points $A,$ $B$ et $C$ d'affixes respectives : \index{Affixe} \[ a=-2\quad b=-\frac{1}{5}-\frac{3}{5}i\quad c=-\frac{1}{5}+\frac{3}{5}i \] \item D\'{e}montrer que les points $O,$ $A,$ $B$ et $C$ sont situ\'{e}s sur un cercle, que l'on d\'{e}terminera. \index{Cercle} \end{enumerate} \item Placer le point $D$ d'affixe $d=-\frac{1}{2}.$\newline Exprimer sous forme trigonom\'{e}trique le nombre complexe $z^{\prime}$ d\'{e}fini par : \index{Forme!trigonom\'{e}trique} \[ z^{\prime}=\frac{a-c}{d-c}% \] En d\'{e}duire le rapport $\dfrac{CA}{CD}.$\newline Quelle autre cons\'{e}quence g\'{e}om\'{e}trique peut-on tirer de l'expression de $z^{\prime}$ ?\bigskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME ( 11 points )} \end{center} \textbf{PARTIE A} $\blacksquare$ \emph{R\'{e}solution de l'\'{e}quation diff\'{e}rentielle} $\left( E\right) :$ $y^{\prime}+y=x-1.$ \index{Equation!diff\'{e}rentielle} \begin{enumerate} \item A l'aide d'une int\'{e}gration par parties, calculer \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ \int_{1}^{x}e^{t}\left( t-1\right) \,dt \] \item \begin{enumerate} \item Soit $z$ une fonction d\'{e}rivable sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres r\'{e}els. On pose $f\left( x\right) =z\left( x\right) e^{-x}.$ Montrer que la fonction $f$ est solution de $\left( E\right) $ si et seulement si pour tout $x$ de $\mathbb{R},$ $z^{\prime}\left( x\right) =e^{x}\left( x-1\right) .$ \item A l'aide de la premi\`{e}re question, d\'{e}terminer toutes les fonctions $z$ v\'{e}rifiant pour tout $x$ de $\mathbb{R},$ $z^{\prime}\left( x\right) =e^{x}\left( x-1\right) .$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente les solutions de $\left( E\right) .$ \item D\'{e}terminer la solution de $\left( E\right) $ pour laquelle l'image de $1$ est $0.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE B} $\blacksquare$ \emph{Etude d'une fonction} Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $f\left( x\right) =x-2+e^{1-x}.$ Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ ( unit\'{e} graphique : $1$ cm ). On d\'{e}signe par $\left( C_{f}\right) $ la courbe repr\'{e}sentative de $f.$ \index{Fonction!exponentielle} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Etudier le sens de variation de $f.$ \item Pr\'{e}ciser $\lim_{x\rightarrow-\infty}f\left( x\right) $ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left( x\right) .$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $\left( D\right) ,$ d'\'{e}quation $y=x-2$, est asymptote \`{a} la courbe $\left( C_{f}\right) .$ \index{Asymptote} \item Pr\'{e}ciser la position de $\left( C_{f}\right) $ par rapport \`{a} $\left( D\right) .$ \end{enumerate} \item Tracer $\left( D\right) $ et $\left( C_{f}\right) .$ \end{enumerate} \textbf{PARTIE C} $\blacksquare$ \emph{Calcul d'aires} Soit $x_{0}$ un nombre r\'{e}el strictement positif. \begin{enumerate} \item On consid\`{e}re le domaine limit\'{e} par la courbe $\left( C_{f}\right) ,$ son asymptote $\left( D\right) $ et les droites d'\'{e}quations $x=0$ et $x=x_{0}.$ \newline Exprimer, \`{a} l'aide de $x_{0}% $, l'aire $S_{1}$ de ce domaine. \index{Calcul!d'aire} \item On consid\`{e}re la fonction $g,$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $g\left( x\right) =e^{1-x}.$ \begin{enumerate} \item Etudier rapidement $g,$ puis tracer sa courbe repr\'{e}sentative $\left( C_{g}\right) .$ \item Donner une interpr\'{e}tation, en terme d'aire, de l'int\'{e}grale ayant servie au calcul de $S_{1}$ \`{a} l'aide de la courbe $\left( C_{g}\right) .$ \index{Int\'{e}grale} \end{enumerate} \item $A$ est le point de coordonn\'{e}es $\left( x_{0},0\right) .$ \newline $B$ est le point de la courbe $\left( C_{g}\right) $ d'abscisse $x_{0}.$ \newline Soit $\left( T\right) $ la tangente \`{a} la courbe $\left( C_{g}\right) $ au point d'abscisse $x_{0}.$ \index{Tangente}\newline $C$ est le point d'intersection de $\left( T\right) $ et de l'axe des abscisses.\newline D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es de $C.$ \item Calculer ( en unit\'{e}s d'aire ) l'aire $S_{2}$ du triangle $ABC.$ V\'{e}rifier que $S_{1}+2S_{2}=0.$ \end{enumerate} \section{Am% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erique 1999} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1 (4\ points)}\\[0pt] \end{center} \textbf{I-} Lors de la pr\'{e}paration d'un concours, un \'{e}l\`{e}ve n'a \'{e}tudi\'{e} que 50 des 100 le\c{c}ons. On a mis 100 papiers contenant chacun une question dans une urne, ces questions portant sur des le\c{c}ons diff\'{e}rentes. Le candidat tire simultan\'{e}ment au hasard 2 papiers. On donnera les r\'{e}ponses sous forme de fractions irr\'{e}ductibles. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilit\'{e} qu'il ne connaisse aucun de ces sujets ? \index{Probabilit\'{e}} \item Quelle est la probabilit\'{e} qu'il connaisse les deux sujets ? \item Quelle est la probabilit\'{e} qu'il connaisse un et un seul de ces sujets ? \item Quelle est la probabilit\'{e} qu'il connaisse au moins un de ces sujets ? \end{enumerate} \textbf{II-} On consid\`{e}re maintenant que l'\'{e}l\`{e}ve a \'{e}tudi\'{e} $n$ des 100 le\c{c}ons. ( $n$ \'{e}tant un entier inf\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 100). \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilit\'{e} $p_{n}$ qu'il connaisse au moins un de ces sujets ? \item D\'{e}terminer les entiers $n$ tels que $p_{n}$ soit sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 0,95.\bigskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2 ( 5 points)}\\[0pt] \end{center} Le plan orient\'{e} est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $, l'unit\'{e} graphique \'{e}tant 4 cm.\newline On consid\`{e}re les points $A_{0},$ $A_{1}$ d'affixes respectives : \index{Affixe} \[ a_{0}=1\quad a_{1}=e^{i\frac{\pi}{12}}% \] Le point $A_{2}$ est l'image du point $A_{1}$ par la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{12}$. \index{Rotation} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'affixe $a_{2}$ du point $A_{2}$ sous forme exponentielle puis sous forme alg\'{e}brique. \index{Forme!exponentielle} \index{Forme!alg\'{e}brique} \item Soit $I$ le milieu du segment $\left[ A_{0}A_{2}\right] $. Calculer l'affixe du point $I.$ \item Faire une figure. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Prouver que les droites $\left( OI\right) $ et $\left( OA_{1}\right) $ sont confondues. \item Ecrire sous forme trigonom\'{e}trique l'affixe de $I$. \index{Forme!trigonom\'{e}trique} \item D\'{e}terminer $\cos\left( \frac{\pi}{12}\right) $ et $\sin\left( \frac{\pi}{12}\right) $ ( les valeurs exactes sont exig\'{e}es), sachant que \index{Cosinus} \index{Sinus} \[ \sqrt{4\sqrt{3}+8}=\sqrt{6}+\sqrt{2}% \] \medskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME ( 11 points)\\[0pt]} \end{center} On consid\`{e}re la fonction num\'{e}rique $f$ d\'{e}finie sur $\left] -\infty,1\right[ $ par : \[ f\left( x\right) =\frac{2}{\left( x-1\right) ^{2}}\,e^{\frac{x+1}{x-1}}% \] On d\'{e}signe par $\Gamma$ la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans le plan rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath}\right) ,$ l'unit\'{e} graphique \'{e}tant 2 cm. \index{Fonction!exponentielle} \textbf{PARTIE I} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $X=\frac{2}{x-1}.$ Prouver l'\'{e}galit\'{e} : \index{Changement!de variable} \[ \frac{2}{\left( x-1\right) ^{2}}e^{\frac{x+1}{x-1}}=\frac{e}{2}X^{2}e^{X}% \] En d\'{e}duire la limite de $f$ quand $x$ tend vers $1.$ \item D\'{e}terminer la limite de $f$ en $-\infty.$ \index{Limite} \item En d\'{e}duire une asymptote \`{a} la courbe $\Gamma$. \index{Asymptote} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit $v$ la fonction num\'{e}rique d\'{e}finie sur $\left] -\infty,1\right[ $ par : \[ v\left( x\right) =e^{\frac{x+1}{x-1}}% \] calculer $v^{\prime}\left( x\right) .$ \item D\'{e}montrer que \[ f^{\prime}\left( x\right) =\frac{-4x}{\left( x-1\right) ^{4}}e^{\frac {x+1}{x-1}}% \] \end{enumerate} \item Etudier les variations de $f$. \item Tracer la courbe $\Gamma$. \end{enumerate} \textbf{PARTIE II} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer une primitive de $f$ sur $\left] -\infty,1\right[ .$ \index{Primitive} \item Soit $\alpha$ r\'{e}el tel que $0<\alpha<1$, d\'{e}terminer : \index{Int\'{e}grale} \[ g\left( \alpha\right) =\int_{-\alpha}^{\alpha}f\left( x\right) dx \] \item Quelle est la limite de $g\left( \alpha\right) $ quand $\alpha$ tend vers 1. \item Quelle est l'aire en cm$^{2}$ du domaine limit\'{e} par la courbe de $f,$ l'axe des abscisses, les droites d'\'{e}quations respectives $x=-\alpha$ et $x=\alpha.$ \index{Calcul!d'aire} \end{enumerate} \textbf{PARTIE III} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que l'\'{e}quation $f\left( x\right) =\dfrac{1}{2}$ a deux solutions dont l'une est $-1$. On notera $\beta$ l'autre solution. \item Donner un encadrement de largeur $10^{-2}$ de $\beta.$ \end{enumerate} \item Soit $a$ un \'{e}l\'{e}ment de $\left] -\infty,1\right[ .$ D\'{e}terminer graphiquement, en fonction de $a$, le nombre de solutions de l'\'{e}quation $f\left( x\right) =f\left( a\right) .$ \end{enumerate} \section{Pondich% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ery 1999} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1 ( 5 points )} \end{center} \textit{Les questions 2 et 3 sont ind\'{e}pendantes.}\newline \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation $z^{2}-2\sqrt{2}z+4=0$. \index{Complexe}\newline On d\'{e}signera par $z_{1}$ la solution dont la partie imaginaire est positive et par $z_{2}$ l'autre solution. \index{Partie!imaginaire} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer le module et un argument de chacun des nombres $z_{1}$ et $z_{2}$. \index{Module} \index{Argument} \item D\'{e}terminer le module et un argument du nombre complexe $\left( \dfrac{z_{1}}{z_{2}}\right) ^{2}$. \end{enumerate} \item Dans le plan complexe rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$ (unit\'{e} : 1 cm), on consid\`{e}re le point $\mathrm{M_{1}}$ d'affixe $\sqrt{2}(1+i)$, le point $\mathrm{M_{2}}$ d'affixe $\sqrt{2}(1-i)$ et le point A d'affixe $z_{A}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. \index{Affixe} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer l'affixe du point $\mathrm{M_{3}}$, image de $\mathrm{M_{2}}$ par l'homoth\'{e}tie $h$ de centre A et de rapport -3. \index{Homoth\'{e}tie} \item D\'{e}terminer l'affixe du point $\mathrm{M_{4}}$, image de $\mathrm{M_{2}}$ par la rotation $r$ de centre O et d'angle $-\dfrac{\pi}{2}$. \index{Rotation} \item Placer dans le m\^{e}me rep\`{e}re les points A, $\mathrm{M_{1}}$, $\mathrm{M_{2}}$, $\mathrm{M_{3}}$, et $\mathrm{M_{4}}$. \item Calculer $\dfrac{z_{3}-z_{1}}{z_{4}-z1}$. \item Soient I le milieu du segment [$\mathrm{M_{3}}$$\mathrm{M_{4}}$] et $\mathrm{M_{5}}$ le sym\'{e}trique de $\mathrm{M_{1}}$ par rapport \`{a} I. Montrer que les points $\mathrm{M_{1}}$, $\mathrm{M_{3}}$, $\mathrm{M_{5}}$ et $\mathrm{M_{4}}$ forment un carr\'{e}.\bigskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2 (4 points )} \end{center} On consid\`{e}re un triangle ABC du plan. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer et construire le point G, barycentre de $[(A;1);(B;-1);(C;1)]$. \index{Barycentre} \item D\'{e}terminer et construire le point G', barycentre de $[(A ; 1) ; (B ; 5) ; (C ; -2)]$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Soit J le milieu de [AB].\newline Exprimer $\overrightarrow {\strut\mathrm{GG^{\prime}}}$ et $\overrightarrow{\strut\mathrm{JG^{\prime}}}$ en fonction de $\overrightarrow{\strut\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow {\strut\mathrm{AC}}$ et en d\'{e}duire l'intersection des droites (GG') et (AB). \item Montrer que le barycentre I de [(B ; 2) ; (C ; -1)] appartient \`{a} (GG'). \end{enumerate} \item Soit D un point quelconque du plan.\newline Soient O le milieu de [CD] et K le milieu de [OA]. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer trois r\'{e}els $a$, $d$, et $c$ tels que K soit barycentre de \[ \lbrack(A;a);(D;d);(C;c)] \] \item Soit X le point d'intersection de (DK) et (AC).\newline D\'{e}terminer les r\'{e}els $a^{\prime}$ et $c^{\prime}$ tels que X soit barycentre de [(A ;$a^{\prime}$) ; (C ; $c^{\prime}$)].\bigskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME ( 11 points )} \end{center} Soit la fonction num\'{e}rique $f$ d\'{e}finie sur $]0;+\infty\lbrack$ par $f(x)=\frac{e^{x}-1}{x^{2}}$.\newline \index{Fonction!exponentielle} \textbf{Partie A}\newline $\bullet$ \textbf{Recherche graphique d'un extremum} \newline L'observation de la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $f$ sur l'\'{e}cran graphique d'une calculatrice donne \`{a} penser que $f$ admet un minimum sur l'intervalle [0,5 ; 2].\newline \index{Calculatrice}On se propose d'en donner une valeur approch\'{e}e. \index{Valeur!approch\'{e}e}\newline Observer ci-dessous la repr\'{e}sentation graphique de la fonction $f^{\prime}$, d\'{e}riv\'{e}e de $f$, sur l'intervalle [0,5 ; 2].\newline %TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{4.6899in}{3.1315in}{0pt}{}{}{fig1.eps}% %{\special{ language "Scientific Word"; type "GRAPHIC"; %maintain-aspect-ratio TRUE; display "USEDEF"; valid_file "F"; %width 4.6899in; height 3.1315in; depth 0pt; original-width 4.5965in; %original-height 3.0597in; cropleft "0"; croptop "1"; cropright "1"; %cropbottom "0"; filename 'fig1.eps';file-properties "XNPEU";}}}% %BeginExpansion \begin{center} \includegraphics[ height=3.1315in, width=4.6899in ]% {fig1.eps}% \end{center} %EndExpansion Quels sont les \'{e}l\'{e}ments graphiques concernant $f^{\prime}$ qui vont dans le sens de l'existence d'un minimum de $f$ sur [0,5 ; 2]. \index{Minimum}\newline A l'aide de ce graphique donner un encadrement d'amplitude 0,2 de l'abscisse de ce minimum. \index{Encadrement} \textbf{Partie B}\newline $\bullet$ \textbf{\'{E}tude de la fonction F}\newline On consid\`{e}re la fonction $h$ d\'{e}finie sur [0 ;+$\infty$[ par $h(x)=xe^{x}-2x^{x}+2$. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les variations de $h$ (on pr\'{e}cisera $h(0)$ mais la limite en $+\infty$ n'est pas demand\'{e}e). \item D\'{e}terminer le signe de $h\left( \frac{3}{2}\right) $.\newline En d\'{e}duire qu'il existe un unique r\'{e}el $a$ appartenant \`{a} l'intervalle $\left[ \frac{3}{2}; 2\right] $ tel que $h(a)=0$.\newline En d\'{e}duire le signe de $h$ sur [0 ;+$\infty$[. \item \textbf{\'{E}tude de la fonction} \boldmath$f$ \unboldmath \begin{enumerate} \item Calculer les limites de $f$ aux bornes de l'intervalle ]0; $\infty$[. \item Montrer que, pour tout nombre $x$, strictement positif, \[ f^{\prime}(x)=\frac{xe^{x}-2e^{x}+2}{x^{3}}. \] En d\'{e}duire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau de variation. \item Montrer que \[ f(a)=\frac{-1}{a(a-2)}% \] et en d\'{e}duire le signe de $f(a)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C}\newline $\bullet$ \textbf{Recherche d'un encadrement du nombre} \boldmath$a$ \unboldmath \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, sur [0; +$\infty$[, l'\'{e}quation $h(x)=0$ \'{e}quivaut \`{a} $2(1-e^{-x})=x$ \item Soit la fonction $g$ d\'{e}finie sur [0; +$\infty$[ par $g(x)=2(1-e^{-x})$. On pose $I=\left[ \frac{3}{2}; 2\right] $.\newline Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle I, $\vert g^{\prime}(x)\vert\leqslant \frac{1}{2}$. \item Soit la suite $(x_{n})_{n\geqslant1}$ d\'{e}finie par \index{Suite!r\'{e}currente} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x_{1}=\frac{3}{2}\\ x_{n+1}=g(x_{n})\quad\text{pour}\quad n\geqslant1 \end{array} \right. \] On admet que, pour tout entier $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 1, $x_{n}$ appartient \`{a} I. \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, pout tout entier $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 1 : \[ |x_{n+1}-a|\leqslant\frac{1}{2}|x_{n}-a| \]% \[ \text{et}\qquad|x_{n}-a|\leqslant\frac{1}{2^{n}}% \] En d\'{e}duire que la suite $(x_{n})$ converge vers $a$. \index{Suite!convergente} \item D\'{e}terminer un entier $p$ tel que $x_{p}$ soit une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s du nombre r\'{e}el $a$. Donner une valeur approch\'{e}e de $x_{p}$ avec trois d\'{e}cimales. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie D}\newline $\bullet$ \textbf{Quelques propri\'{e}t\'{e}s d'une primitive de} \boldmath$f$ \unboldmath\newline \index{Primitive}On appelle F la primitive de $f$ sur ]0;+$\infty$[ qui s'annule en 1.\newline Ainsi l'on a, pour tout r\'{e}el $x$ de ]0;+$\infty$[, $\text{F}(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$. \index{Int\'{e}grale} \begin{enumerate} \item \'{E}tudier le sens de variation de F sur ]0;+$\infty$[. \item D\'{e}montrer que, pour tout $x$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2, \[ \int_{2}^{x}f(2)dt\leqslant\int_{2}^{x}f(t)dt \] Par comparaison de limites, et en utilisant la relation de Chasles, en d\'{e}duire $\lim_{x\rightarrow+\infty}\text{F}(x)$. \index{Relation!de Chasles} \end{enumerate} \section{Centres %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion etrangers 1999} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)} \end{center} \begin{enumerate} \item Une urne $U_{1}$ contient 2 jetons num\'{e}rot\'{e}s 1 et 2.\newline Une urne $U_{2}$ contient 4 jetons num\'{e}rot\'{e}s 1, 2, 3 et 4.\newline On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne.\newline (Les choix sont suppos\'{e}s \'{e}quiprobables) \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilit\'{e} de tirer un jeton portant le num\'{e}ro 1 ? \index{Probabilit\'{e}} \item On a tir\'{e} un jeton portant le num\'{e}ro 1. Quelle est la probabilit\'{e} qu'il provienne de l'urne $U_{1}$ ? \end{enumerate} \item On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc les 6 jetons pr\'{e}c\'{e}dents. On tire simultan\'{e}ment et au hasard 2 jetons de cette urne.\newline Les tirages sont suppos\'{e}s \'{e}quiprobables. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilit\'{e} de tirer 2 jetons identiques ? \item Soit $S$ la variable al\'{e}atoire qui, \`{a} chaque tirage , associe la somme des num\'{e}ros des 2 jetons tir\'{e}s. \index{Variable!al\'{e}atoire}\newline D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $S$. \index{Loi!de probabilit\'{e}} \item Deux joueurs, Claude et Dominique, d\'{e}cident que si la somme des num\'{e}ros tir\'{e}s est impaire, Claude donne 10 euros \`{a} Dominique et que, dans le cas contraire, Claude re\c{c}oit $\lambda$ euros de Dominique.\newline On note $X$ la variable al\'{e}atoire qui, \`{a} chaque tirage, associe le gain alg\'{e}brique de Claude.\newline Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de $X$ en fonction de $\lambda$ puis d\'{e}terminer $\lambda$ pour que le jeu soit \'{e}quitable ( c'est \`{a} dire pour que $E(X)$ soit \'{e}gale \`{a} 0 ). \index{Esp\'{e}rance}\bigskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2 ( 5 points )} \end{center} Dans le plan complexe rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, $A$, $A^{\prime}$, $B$, $B^{\prime}$ sont les points d'affixes respectives $1,-1,i,-i$. \index{Affixe}\newline A tout point $M$ d'affixe $z$, distinct des points $O$, $A$, $A^{\prime}$,$B $, $B^{\prime}$, on associe les points $M_{1}$ et $M_{2}$ d'affixes respectives $z_{1}$ et $z_{2}$ , tels que les triangles $BMM_{1}$ et $AMM_{2} $ soient rectangles isoc\`{e}les, avec : \[ (\overrightarrow{M_{1}B},\overrightarrow{M_{1}M})=(\overrightarrow{M_{2}% M},\overrightarrow{M_{2}A})=\frac{\pi}{2}% \] \textit{On fera une figure.} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Justifier les \'{e}galit\'{e}s :\newline $z-z_{1}=i(i-z_{1})$ et $1-z_{2}=i(z-z_{2})$\newline \item V\'{e}rifier que $z_{1}$ et $z_{2}$ peuvent s'\'{e}crire : \newline $\displaystyle{z_{1}= \frac{1+i}{2}\, (z+1)}$ et $\displaystyle {z_{2}= \frac{1-i}{2}\, (z+i)}$\newline \end{enumerate} \item On se propose dans cette question de d\'{e}terminer les points $M$ pour lesquels le triangle $OM_{1}M_{2}$ est \'{e}quilat\'{e}ral. \index{Triangle!\'{e}quilat\'{e}ral} \begin{enumerate} \item Montrer que : $OM_{1}=OM_{2}$ \'{e}quivaut \`{a} $|z+1|=|z+i|$% .\newline En d\'{e}duire l'ensemble $(\Delta)$ des points $M$ tels que $OM_{1}=OM_{2}$ et tracer $(\Delta)$ sur la figure. \index{Ensemble!de points} \item Montrer que : $OM_{1}=M_{1}M_{2}$ \'{e}quivaut \`{a} : $|z+1|^{2}% =2|z|^{2}$. \item En d\'{e}duire l'ensemble $(\Gamma)$ des points $M$ du plan pour lesquels : $OM_{1}=M_{1}M_{2}$.\newline On pourra montrer que : $|z+1|^{2}% =2|z|^{2}$ \'{e}quivaut \`{a} $|z-1|^{2}=2$.\newline Tracer $(\Gamma)$ sur la figure. \item En d\'{e}duire les deux points $M$ pour lesquels $OM_{1}M_{2}$ est un triangle \'{e}quilat\'{e}ral et les placer sur la figure.\bigskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME ( 10 points )} \end{center} Le but du probl\`{e}me est l'\'{e}tude d'une fonction $f$ d\'{e}finie sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$ et d'une primitive de $f$.\newline \index{Primitive} \textbf{Premi\`{e}re partie}\newline $\bullet$ \textbf{\'{E}tude d'une fonction auxiliaire} \boldmath$g$ \unboldmath \newline Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$ par : $g(x)=2x^{2}-(x^{2}+1)\ln(x^{2}+1)$. \index{Fonction!logarithme} \begin{enumerate} \item Montrer que $g$ est d\'{e}rivable sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$ et, en d\'{e}taillant les calculs effectu\'{e}s, montrer que \index{Fonction!d\'{e}rivable} \[ g^{\prime}(x)=2x-2x\ln(x^{2}+1) \] \item Faire l'\'{e}tude du sens de variation de $g$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$. \item Montrer qu'il existe un unique r\'{e}el, que l'on notera $\alpha$, dans l'intervalle $[\sqrt{e-1},\sqrt{e^{2}-1}]$, tel que $g(\alpha)=0$ ; donner l'approximation d\'{e}cimale \`{a} $10^{-2}$ pr\`{e}s par d\'{e}faut de $\alpha$. \index{Approximation!d\'{e}cimale} \item En d\'{e}duire le signe de $g(x)$, pour $x$ appartenant \`{a} l'intervalle $[0 ; +\infty[$. \end{enumerate} \textbf{Deuxi\`{e}me partie}\newline $\bullet$ \textbf{\'{E}tude de la fonction} \boldmath$f$ \unboldmath \newline La fonction $f$ est d\'{e}finie sur [0 ;+$\infty$[ par : \[ f(0)=0\text{ et }f(x)=\frac{\ln(1+x^{2})}{x}\text{ lorsque }x\neq0 \] Montrer que $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=1$.\newline En d\'{e}duire que $f$ est d\'{e}rivable en 0 et donner la valeur de $f^{\prime}(0)$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que, pour $x$ strictement positif, \[ f^{\prime}(x)=\frac{g(x)}{x^{2}(1+x^{2})}% \] \newline Faire l'\'{e}tude du sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour $x\geqslant1,\qquad0\leqslant f(x)\leqslant\frac {\ln(2x^{2})}{x}$. \item En d\'{e}duire la limite de $f$ en $+\infty$. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Troisi\`{e}me partie}\newline $\bullet$ \textbf{\'{E}tude d'une primitive de} \boldmath$f$ \unboldmath \newline On note F la primitive de $f$ sur l'intervalle $[0;+\infty\lbrack$, qui s'annule pour $x=1$. \index{Primitive}\newline On rappelle que $\text{F}(x)=\int_{1}^{x}f(t)dt$ : (on ne cherchera pas \`{a} calculer F($x$). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour $x>0$, \ $f(x)\geqslant\frac{2\ln(x)}{x}$. \item Calculer $\int_{1}^{x}\frac{2\ln(t)}{t}dt$ pour $x\geqslant1$ et en d\'{e}duire la limite de F en $+\infty$. \end{enumerate} \item Dresser le tableau de variation de F. \item Montrer que $f(1)<\text{F}(2)<f(\alpha)$ et en d\'{e}duire un encadrement de F(2). (On prendra $f(\alpha)\approx0,8$). \item On note I le point de coordonn\'{e}es (1 ; 0), A le point de ($\mathcal{C}$) de coordonn\'{e}es (1 ; $\ln2$) et B le point de coordonn\'{e}es ($\ln2$ ; $\ln2$). \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que B appartient \`{a} la tangente \`{a} ($\mathcal{C}$) en O. \index{Tangente} \item Placer les points I, A et B sur une figure et tracer les segments [OA], [OB], [BA] et [AI]. \item On admet que, pour les abscisses appartenant \`{a} l'intervalle [0 ; 1], la courbe ($\mathcal{C}$) est situ\'{e}e au-dessus de [OA] et au dessous de [OB] et de [BA].\newline D\'{e}terminer un encadrement de F(0), d'amplitude inf\'{e}rieure \`{a} $2.10^{-1}.$ \index{Encadrement} \end{enumerate} \item Tracer la repr\'{e}sentation graphique ($\Gamma$) de F en exploitant au maximum les r\'{e}sultats pr\'{e}c\'{e}dents ; on pr\'{e}cisera notamment la tangente \`{a} ($\Gamma$) au point d'abscisse 1 en la tra\c{c}ant et en donnant son coefficient directeur. (Unit\'{e} graphique : 2 cm). \index{Coefficient!directeur} \end{enumerate} \section{Polyn% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion esie 1998} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)} \end{center} Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3 boules rouges et deux boules noires. On tire au hasard une boule de l'urne A : \begin{itemize} \item [$\bullet$]si elle est noire, on la place dans l'urne B, \item[$\bullet$] sinon, on l'\'{e}carte du jeu. \end{itemize} On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B. On consid\`{e}re les \'{e}v\'{e}n\'{e}ments suivants : R$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de A est rouge \guilsinglright\guilsinglright N$_{1}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de A est noire \guilsinglright\guilsinglright R$_{2}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de B est rouge \guilsinglright\guilsinglright N$_{2}$ : \guilsinglleft\guilsinglleft\ La boule tir\'{e}e de B est noire \guilsinglright\guilsinglright \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements ${R_{1}}$ et ${N_{1}}$. \index{Probabilit\'{e}} \item Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements \guilsinglleft \guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant R$_{1}$ \guilsinglright\guilsinglright\ et \guilsinglleft\guilsinglleft\ R$_{2}$ sachant N$_{1}$ \guilsinglright \guilsinglright. En d\'{e}duire que la probabilit\'{e} de ${R_{2}}$ est de ${\displaystyle\frac{27}{50}}$. \item Calculer la probabilit\'{e} de ${N_{2}}$. \end{enumerate} \item On r\'{e}p\`{e}te $n$ fois l'\'{e}preuve pr\'{e}c\'{e}dente (tirage d'une boule de A, suivie du tirage d'une boule de B dans les m\^{e}mes conditions initiales indiqu\'{e}es ci-dessus), en supposant les diff\'{e}% rentes \'{e}preuves ind\'{e}pendantes.\newline \index{Sch\'{e}ma!de Bernouilli}Quel nombre minimum d'essais doit-on effectuer pour que la probabilit\'{e} d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit sup\'{e}rieure \`{a} 0,99 ?\bigskip \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2\ ( 5 points)} \end{center} Le plan complexe est muni d'un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ ( unit\'{e} graphique 2 cm ). On note A le point d'affixe 1 et B le point \index{Affixe}d'affixe $3+2i$.\newline On appelle $f$ l'application qui, \`{a} tout point M distinct de A et d'affixe $z$, associe le point M' d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}finie par \index{Application!complexe} \[ {z^{\prime}=\frac{z-1+2i}{z-1}}% \] \begin{enumerate} \item Calculer les affixes des points O' et B', images respectives des points O et B par $f$. Placer les points A, O', B et B' dans le plan. \item \begin{enumerate} \item Calculer, pour tout complexe $z$ diff\'{e}rent de 1, le produit \[ \left( z^{\prime}-1\right) \left( z-1\right) \] \item En d\'{e}duire que, pour tout point M distinct de A, on a : \[ \text{AM}\times\text{AM'}=2\text{ et }\left( \overrightarrow{u}% ,\overrightarrow{\text{AM}}\right) +\left( \overrightarrow{u}% ,\overrightarrow{\text{AM'}}\right) \text{=}\frac{\pi}{2}+2k\pi ,\;k\in\mathbb{Z}% \] \end{enumerate} \item D\'{e}montrer que, si M appartient au cercle ($C$) de centre A passant par O, alors M' appartient \`{a} un cercle ($C^{\prime}$). En pr\'{e}ciser le centre et le rayon. \index{Cercle}Construire ($C$) et ($C^{\prime}$). \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer l'angle ${(\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow {\strut\text{AB}})}$. \index{Angle} \item D\'{e}montrer que, si M est un point autre que A de la demi-droite ($d $) d'origine A, passant par B, alors M' appartient \`{a} une demi-droite que l'on pr\'{e}cisera. \index{Demi-droite} \end{enumerate} \item On appelle P le point d'intersection du cercle ($C$) et de la demi-droite ($d$).\newline Placer son image P' sur la figure.\bigskip \end{enumerate} \begin{center} \vspace{0.5cm}\textbf{PROBLEME}{\ }\textbf{(10 points)\\[0pt]} \end{center} \textbf{Partie A : \'{E}tude d'une fonction \boldmath{$f$} \unboldmath et courbe repr\'{e}sentative}\newline On appelle $f$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle [0,$+\infty$[ par : \[ f(x)=x+1+xe^{-x}. \] On note ($\mathcal{C}$) la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans le plan muni du rep\`{e}re orthonormal $\mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$}$ \ (unit\'{e} graphique 2 cm). \index{Fonction!exponentielle} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $f^{\prime}$ et $f^{\prime\prime}$ d\'{e}signant respectivement les d\'{e}riv\'{e}es premi\`{e}re et seconde de $f$, calculer, pour tout r\'{e}el $x$, $f^{\prime}(x)$ et $f^{\prime\prime}(x)$. \item Etudier le sens de variation de la d\'{e}riv\'{e}e $f^{\prime}$. \item D\'{e}montrer que, pour tout r\'{e}el $x$, $f^{\prime}(x)>0$. \item Calculer la limite de $f$ en +$\infty$. \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que la droite ($\mathcal{D}$) d'\'{e}quation $y=x+1$ est asymptote \`{a} ($\mathcal{C}$) et pr\'{e}ciser la position relative de ($\mathcal{D}$) et ($\mathcal{C}$). \index{Position!relative} \item La courbe ($\mathcal{C}$) admet en un point A une tangente parall\`{e}le \`{a} la droite ($\mathcal{D}$).\newline D\'{e}terminer les coordonn\'{e}es de A. \end{enumerate} \item D\'{e}montrer que l'\'{e}quation de $f(x)=2$ admet sur [0,$+\infty$[ une unique solution not\'{e}e $\alpha$ , puis v\'{e}rifier que $0<\alpha<1$. \item \begin{enumerate} \item Construire la droite ($\mathcal{D}$), le point A d\'{e}fini au \textbf{2.(b)}, la courbe ($\mathcal{C}$) et la tangente en A \`{a} la courbe ($\mathcal{C}$). \index{Tangente} \item Donner par lecture graphique une valeur approch\'{e}e de $\alpha$. \index{Valeur!approch\'{e}e} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C : Recherche d'une approximation d\'{e}cimale de \boldmath{$\alpha$} \unboldmath}\newline \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, sur [0,$+\infty$[, l'\'{e}quation : $f(x)=2$ \'{e}quivaut \`{a} l'\'{e}quation : \[ {\frac{e^{x}}{e^{x}+1}=x}% \] \item On appelle $h$ la fonction d\'{e}finie sur l'intervalle [0 , 1] par : \[ h(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}. \] \begin{enumerate} \item Calculer $h^{\prime}(x)$ pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle [0 , 1] et r\'{e}aliser le tableau de variations de la fonction $h$. \item En d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $x$ de [0 , 1], $h(x)$ appartient \`{a} [0 , 1]. \item Calculer $h^{\prime\prime}(x)$ pour tout r\'{e}el $x$ de l'intervalle [0 , 1] ; \'{e}tudier le sens de variations de $h^{\prime}$. \index{D\'{e}riv\'{e}e!seconde} \item En d\'{e}duire que, pour tout r\'{e}el $x$ de [0 , 1], \[ {0\leqslant h^{\prime}(x)\leqslant\frac{1}{4}}% \] \end{enumerate} \item On d\'{e}finit la suite ${(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}\text{ par :}\ }$% \[ {\left\{ \begin{array} [c]{l}% u_{0}=0\\ u_{n+1}=h(u_{n}) \end{array} \right. }% \] pour tout entier naturel $n$. \index{Suite!r\'{e}currente} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_{n}$ appartient \`{a} l'intervalle [0 , 1]. \item D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$, \[ {|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\frac{1}{4}|u_{n}-\alpha|}% \] \item En d\'{e}duire que, pour tout entier naturel $n$, \[ {|u_{n+1}-\alpha|\leqslant\left( \frac{1}{4}\right) ^{n}}% \] puis que la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers $\alpha$. \item D\'{e}terminer un entier $p$ tel que $u_{p}$ soit une valeur approch\'{e}e \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s de $\alpha$ et, \`{a} l'aide de la calculatrice, proposer une approximation d\'{e}cimale de $u_{p}$ \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s. Que peut-on en d\'{e}duire pour $\alpha$ ? \index{Valeur!approch\'{e}e} \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Pondich% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ery 1998} \begin{center} \vspace{0cm}\noindent\textbf{EXERCICE 1 ( 4 points )} \end{center} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]On dispose d'une urne U$_{1}$ contenant trois boules rouges et sept boules noires.\newline On extrait simultan\'{e}ment deux boules de cette urne ; on consid\`{e}re que tous les tirages sont \'{e}quiprobables. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Quelle est la probabilit\'{e} $p_{1}$ que les deux boules tir\'{e}es soient rouges~? \item[\textbf{b.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{2}$ que les deux boules tir\'{e}es soient noires~? \item[\textbf{c.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{3}$ que les deux boules tir\'{e}es soient de m\^{e}me couleur~? \item[\textbf{d.}] Quelle est la probabilit\'{e} $p_{4}$ que les deux boules tir\'{e}es soient de couleurs diff\'{e}rentes~? \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] On dispose aussi d'une deuxi\`{e}me urne U$_{2}$ contenant quatre boules rouges et six boules noires.\newline On tire maintenant deux boules de l'urne U$_{1}$ et une boule de l'urne U$_{2}$ ; on suppose que tous les tirages sont \'{e}quiprobables.\newline On consid\`{e}re les \'{e}% v\'{e}nements suivants :\newline R~: %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion ~Les boules tir\'{e}es sont rouges~% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion ;\newline D~: %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion Les trois boules tir\'{e}es ne sont pas toutes de la m\^{e}me couleur %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion ;\newline B~: %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion La boule tir\'{e}e dans l'urne U$_{2}$ est rouge %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement R. \item[\textbf{b.}] Quelle est la probabilit\'{e} de tirer trois boules de m\^{e}me couleur~? \item[\textbf{c.}] Calculer la probabilit\'{e} conditionnelle $p_{D}$(B) de l'\'{e}v\`{e}nement B sachant que l'\'{e}v\`{e}nement D est r\'{e}alis\'{e}. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle}\bigskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \noindent\textbf{EXERCICE 2 ( 5 points)}\\[0pt] \end{center} On consid\`{e}re le polyn\^{o}me P$(z)=z^{4}+17\,z^{2}-28\,z+260$, o\`{u} $z$ est un nombre complexe. \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]D\'{e}terminer deux nombres r\'{e}els $a$ et $b$ tels que : \index{Polyn\^{o}me!complexe} \[ \mathrm{P}(z)=(z^{2}+az+b)(z^{2}+4\,z+20). \] \item[\textbf{2.}] R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation P$(z)=0$. \item[\textbf{3.}] Placer dans un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $, les images M, N, P et Q des nombres complexes respectifs $m=-2+4i,\;n=-2-4i,\;p=2+3i$ et $q=2-3i$. \item[\textbf{4.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]D\'{e}terminer le nombre complexe $z$ v\'{e}rifiant $\displaystyle\frac{z-p}{z-m}=i$. Placer son image K. \item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire que le triangle MPK est isoc\`{e}le rectangle en K. \index{Triangle!isoc\`{e}le} \end{enumerate} \item[\textbf{5.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]D\'{e}teminer par le calcul l'affixe du point L, quatri\`{e}me sommet du carr\'{e} MKPL. \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer l'abscisse du point d'intersection R de la droite (KL) et de l'axe des abscisses. \item[\textbf{c.}] Montrer que M, N, P et Q sont sur un m\^{e}me cercle de centre R. \bigskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \vspace{0cm}\textbf{\noindent PROBLEME} \textbf{( 11 points)\\[0pt]} \end{center} On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $[0\ ;\ +\infty\lbrack$ par \[ f(x)=\frac{e^{x}-1}{xe^{x}+1}% \] \newline On d\'{e}signe par $\mathcal{C}$ sa courbe \index{Fonction!exponentielle} repr\'{e}sentative dans le plan rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ ; unit\'{e} graphique : 4 cm.\newline \textbf{Partie A}\newline \textbf{$\star$} \textbf{\'{E}tude d'une fonction auxiliaire}\newline Soit la fonction $g$ d\'{e}finie sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$ par $g(x)=x+2-e^{x}.$ \index{Fonction!auxiliaire} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]\'{E}tudier le sens de variation de $g$ sur $[0\,;\,+\infty \lbrack$ et d\'{e}terminer la limite de $g$ en $+\infty$. \item[\textbf{2.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que l'\'{e}quation $g(x)=0$ admet une solution et une seule dans $[0\ ;\ +\infty\lbrack$.\newline On note $\alpha$ cette solution. \item[\textbf{b.}] Prouver que $1,14 < \alpha<1,15$. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] En d\'{e}duire le signe de $g(x)$ suivant les valeurs de $x$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \\[0,2cm]\textbf{$\star$} \textbf{\'Etude de la fonction $f$ et trac\'{e} de la courbe $\mathcal{C}$} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que, pour tout $x$ appartenant \`{a} $[0\,;\,+\infty\lbrack$, \[ f\,^{\prime}(x)=\frac{e^{x}g(x)}{(xe^{x}+1)^{2}}. \] \item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0\,;\,+ \infty[$. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que pour tout r\'{e}el positif $x$, \[ f(x)=\frac{1-e^{-x}}{x+e^{-x}}% \] \item[\textbf{b.}] En d\'{e}duire la limite de $f$ en $+\infty$. Interpr\'{e}ter graphiquement le r\'{e}sultat trouv\'{e}. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]\'Etablir que $f(\alpha) = \displaystyle\frac{1}{\alpha+ 1}$. \item[\textbf{b.}] En utilisant l'encadrement de $\alpha$ \'{e}tabli dans la question \textbf{A.2.}, donner un encadrement de $f(\alpha)$ d'amplitude $10^{-2}$. \index{Encadrement} \end{enumerate} \item[\textbf{4.}] D\'{e}terminer une \'{e}quation de la tangente (T) \`{a} la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0. \index{Tangente} \item[\textbf{5.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]\'{E}tablir que, pour tout $x$ appartenant \`{a} l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$, \[ f(x)-x=\frac{(x+1)\,u(x)}{xe^{x}+1}\quad\mathrm{avec}\ u(x)=e^{x}-xe^{x}-1. \] \item[\textbf{b.}] \'{E}tudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$. En d\'{e}duire le signe de $u(x)$. \item[\textbf{c.}] D\'{e}duire des questions pr\'{e}c\'{e}dentes la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport \`{a} la droite (T). \end{enumerate} \item[\textbf{6.}] Tracer $\mathcal{C}$ et (T). \end{enumerate} \textbf{Partie C} \\[0,2cm]\textbf{$\star$} \textbf{Calcul d'aire et \'{e}tude d'une suite} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]D\'{e}terminer une primitive F de $f$ sur $[0\,;\,+\infty \lbrack$ ; on pourra utiliser l'expression de $f(x)$ \'{e}tablie dans la question \textbf{B.2. \index{Primitive}} \item[\textbf{2.}] On note $\mathcal{D}$ le domaine d\'{e}limit\'{e} par la courbe $\mathcal{C}$, la tangente (T) et les droites d'\'{e}quations $x=0$ et $x=1$.\newline \index{Calcul!d'aire}Calculer, en cm$^{2}$, l'aire A du domaine $\mathcal{D}% $.\newline Donner une valeur d\'{e}cimale au mm$^{2}$ pr\`{e}s de l'aire A. \item[\textbf{3.}] Pour tout entier naturel $n$, on pose \[ v_{n}=\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx \] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$.\newline On donnera des valeurs d\'{e}cimales approch\'{e}es \`{a} 10$^{-2}$ pr\`{e}s de $v_{0}$, $v_{1}$ et $v_{2}$. \item[\textbf{b.}] Interpr\'{e}ter graphiquement $v_{n}$. \index{Suite!et int\'{e}grale} \item[\textbf{c.}] Montrer que, pour tout $n\geqslant2,\quad$% \[ f(n+1)\leqslant\int_{n}^{n+1}f(x)\,dx\leqslant f(n) \] \newline En d\'{e}duire la monotonie de la suite $(v_{n})$ \`{a} partir de $n=1$. \item[\textbf{d.}] D\'{e}terminer la limite de la suite $(v_{n})$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Am% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erique du Nord 1998} \begin{center} \medskip\textbf{EXERCICE 1 ( 5 points)\\[0pt]} \end{center} Afin de cr\'{e}er une loterie, on met dans une urne $n$ billets diff\'{e}rents ($n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3), dont deux et deux seulement sont gagnants. \begin{enumerate} \item Dans cette question, on choisit au hasard et simultan\'{e}ment deux billets dans l'urne. \begin{enumerate} \item On suppose ici $n=10$. $X$ d\'{e}signe la variable al\'{e}atoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux choisis. \index{Tirage!simultan\'{e}}\newline D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $X$. \index{Loi!de probabilit\'{e}} \item On revient au cas g\'{e}n\'{e}ral avec $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3.\newline Calculer la probabilit\'{e}, not\'{e}e $p_{n}$, d'avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis. \end{enumerate} \item Dans cette question, on choisit au hasard deux billets dans cette urne en remettant le premier billet tir\'{e} avant de tirer le second. \begin{enumerate} \item On suppose ici $n=10$. $Y$ d\'{e}signe la variable al\'{e}atoire qui donne le nombre de billets gagnants parmi les deux billets choisis. \index{Variable!al\'{e}atoire}\newline D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de $Y$. \item On revient au cas g\'{e}n\'{e}ral avec $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3.\newline Calculer la probabilit\'{e}, not\'{e}e $q_{n}$, d'avoir exactement un billet gagnant parmi les deux choisis. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 3, on a : \[ p_{n}-q_{n}=\frac{4(n-2)}{n^{2}(n-1)}. \] \item En remarquant que pour tout entier $n$, $n-2$ est inf\'{e}rieur \`{a} $n-1$, d\'{e}terminer un entier naturel $n_{0}$ tel que pour tout $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n_{0}$, on ait \[ {p_{n}-q_{n}<10^{-3}}% \] \item Pour obtenir exactement un billet gagnant en choisissant deux billets de cette loterie, est-il pr\'{e}f\'{e}rable de les tirer simultan\'{e}ment ou de les tirer l'un apr\`{e}s l'autre en remettant le premier billet tir\'{e} ?\bigskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \medskip\textbf{EXERCICE 2}{\ }\textbf{( 5 points)}\\[0pt] \end{center} Dans le plan complexe rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$, (unit\'{e} graphique : 4 cm), on donne les points A et B d'affixes \index{Affixe}respectives 1 et ${\displaystyle\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}% }$.\newline Pour chaque point M du plan, d'affixe $z$, $\text{M}_{1}$ d'affixe $z_{1}$ d\'{e}signe l'image de M par la rotation de centre O et d'angle ${\displaystyle\frac{\pi}{3}}$, puis M' d'affixe $z^{\prime}$ l'image de $\text{M}_{1}$ par la translation de vecteur $-\overrightarrow{\strut u}$. \index{Rotation}\newline Enfin, on note $T$ la transformation qui \`{a} chaque point M associe le point M'. \index{Transformation} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer : ${\displaystyle z^{\prime}=e^{i\frac{\pi}{3}}z-1}$. \item D\'{e}terminer l'image du point B. \item Montrer que $T$ admet un unique point invariant dont on pr\'{e}cisera l'affixe. \index{Point!invariant} \end{enumerate} \item On pose $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ r\'{e}els. \begin{enumerate} \item Pour $z$ non nul, calculer la partie r\'{e}elle du quotient ${\displaystyle \frac{z^{\prime}}{z}}$ en fonction de $x$ et de $y$. \item D\'{e}montrer que l'ensemble ($E$), des points M du plan tels que le triangle OMM' soit rectangle en O, est un cercle ($C$), dont on pr\'{e}cisera le centre et le rayon, priv\'{e} de deux points.\newline Tracer ($E$). \end{enumerate} \item Dans cette question on pose $z=1+i$. \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que M appartient \`{a} ($E$). Placer M et M' sur la figure. \item Calculer le module de $z^{\prime}$. \index{Module} \item Calculer l'aire, en $\text{cm}^{2}$, du triangle OMM'. \index{Aire!d'un triangle}\bigskip \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{PROBLEME ( 10 points)}\medskip \end{center} On d\'{e}signe par $n$ un entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 2 et on consid\`{e}re les fonctions, not\'{e}es $f_{n}$, qui sont d\'{e}finies pour $x$ appartenant \`{a} l'intervalle $]0,+\infty\lbrack$ par : \index{Fonction!logarithme} \[ f_{n}(x)=\frac{1+n\ln(x)}{x^{2}}% \] \textbf{PARTIE A } \textbf{I : Etude des fonctions $f_{n}$} \begin{enumerate} \item Calculer $f^{\prime}_{n}(x)$ et montrer que l'on peut \'{e}crire le r\'{e}sultat sous la forme d'un quotient dont le num\'{e}rateur et $n-2-2n \ln(x)$. \item R\'{e}soudre l'\'{e}quation $f^{\prime}_{n}(x)=0$. Etudier le signe de $f^{\prime}_{n}(x)$ \item D\'{e}terminer la limite de $f_{n}$ en $+\infty$ \item Etablir le tableau de variation de la fonction $f_{n}$ et calculer sa valeur maximale en fonction de $n$. \end{enumerate} \textbf{II : Repr\'{e}sentation graphique de quelques fonctions $f_{n}$} Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal $(O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath})$ ( unit\'{e} graphique : 5 cm ). On note $(C_{n})$ la courbe repr\'{e}sentative de la fonction $f_{n}$ dans ce rep\`{e}re. \begin{enumerate} \item Tracer $\left( C_{2}\right) $ et $\left( C_{3}\right) .$ \item \begin{enumerate} \item Calculer $f_{n+1}\left( x\right) -f_{n}\left( x\right) .$ Cette diff\'{e}rence est-elle d\'{e}pendante de l'entier $n$ ? \item Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe $\left( C_{4}\right) $ \`{a} partir de $\left( C_{2}\right) $ et $\left( C_{3}\right) .$ \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE B } \textbf{Calculs d'aires} \begin{enumerate} \item Calculer, en int\'{e}grant par parties, l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ I=\int_{1}^{e}\frac{\ln x}{x^{2}}\,dx \] \item En d\'{e}duire l'aire, en unit\'{e}s d'aire, du domaine plan limit\'{e} par les courbes $\left( C_{n}\right) $ et $\left( C_{n+1}\right) $ et les droites d'\'{e}quations $x=1$ et $x=e.$ \index{Calcul!d'aire} \item On note $A_{n}$ l'aire, en unit\'{e}s d'aire, du domaine limit\'{e} par la courbe $\left( C_{n}\right) $ et les droites d'\'{e}quations $y=0,$ $x=1$ et $x=e.$ \begin{enumerate} \item Calculer $A_{2}.$ \item D\'{e}terminer la nature de la suite $\left( A_{n}\right) $ en pr\'{e}cisant l'interpr\'{e}tation graphique de sa raison. \index{Suite} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{PARTIE C } \textbf{Etude sur l'intervalle }$\left] 1;+\infty\right[ $\textbf{\ de l'\'{e}quation }$f_{n}\left( x\right) =1$\textbf{.} Dans toute la suite, on prendra $n\geqslant3.$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que, pour tout $n,$% \[ e^{\frac{n-2}{2n}}>1\text{ et }f_{n}\left( e^{\frac{n-2}{2n}}\right) >1 \] \item V\'{e}rifier que l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =1$ n'a pas de solution sur l'intervalle $\left] 1;e^{\frac{n-2}{2n}}\right[ .$ \end{enumerate} \item Montrer que l'\'{e}quation $f_{n}\left( x\right) =1$ admet sur l'intervalle $\left[ e^{\frac{n-2}{2n}};+\infty\right[ $ exactement une solution not\'{e}e $\alpha_{n}.$ \item On se propose de d\'{e}terminer la limite de la suite $\left( \alpha_{n}\right) .$ \begin{enumerate} \item Calculer $f_{n}\left( \sqrt{n}\right) $ et montrer que, pour $n>e^{2}, $ on a $f_{n}\left( \sqrt{n}\right) \geqslant1.$ \item En d\'{e}duire que, pour $n\geqslant8,$ on a $\alpha_{n}\geqslant \sqrt{n}$ et donner la limite de la suite $\left( \alpha_{n}\right) .$ \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Sujet exp% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erimental 1998} \begin{center} \textbf{Premi\`{e}re partie avec calculatrice \\[0pt]Probl\`{e}me (11 points)} \end{center} \textbf{Avertissement : l'usage d'une calculatrice n'est pas n\'{e}cessaire pour traiter la partie C.} On consid\`{e}re la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ par \[ f(x)=x\ln x-2\ln x-(\ln x)^{2}% \] on note $f^{\prime}$ sa fonction d\'{e}riv\'{e}e et $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x$.\newline Dans un rep\`{e}re orthogonal donn\'{e}, on appelle $\Gamma$ la repr\'{e}sentation graphique de $f$, $\Gamma^{\prime}$ la repr\'{e}sentation graphique de $f^{\prime}$, et $\Delta$ celle de $g$.\newline \index{Fonction!logarithme} Voir figure 1 ces trois courbes sur l'\'{e}cran d'une calculatrice pour $x$ compris entre $0$ et $5$. \textbf{A - Etude de $f$} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f(x)$. \item Montrer que \[ f^{\prime}(x)=(1-\frac{2}{x})(1+\ln x) \] \item En d\'{e}duire le sens de variation de $f$. \item Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=0$ admet trois solutions. \newline Donner un encadrement de longueur $10^{-2}$ pour les deux solutions non enti\`{e}res. \end{enumerate} \textbf{B - Intersection des repr\'{e}sentations graphiques de $f$ et de $g$} \begin{enumerate} \item Reproduire sur la copie et compl\'{e}ter le tableau des valeurs suivant en donnant les r\'{e}sultats \`{a} $10^{-2}$ pr\`{e}s.\newline \begin{tabular} [c]{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline Point de $\Gamma$ & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $E$ & $F$ & $G$ & $H$ & $I$ & $J$\\\hline $x$ & $0,05$ & $0,25$ & $e^{-1}$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$\\\hline $f(x)$ & & & & & & & & & & \\\hline \end{tabular} \item On veut d\'{e}terminer si la courbe repr\'{e}sentative de $f$ coupe la droite $\Delta$ pour\newline $0<x<7$. Que peut-on, \`{a} l'aide de sa calculatrice, conjecturer ? \newline Pr\'{e}ciser les \'{e}l\'{e}ments qui permettent de faire cette conjecture. (noter le type de calculatrice utilis\'{e}e). \index{Calculatrice} \item On s'int\'{e}resse aux solutions de l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$ appartenant \`{a} l'intervalle $[7 ; +\infty[$. \begin{enumerate} \item Montrer que $f^{\prime}$ est une fonction croissante sur $[7 ; +\infty[$. \item En d\'{e}duire que $f^{\prime}(x)>2,1$ pour tout $x$ appartenant \`{a} $[7 ; +\infty[$. \item Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=g(x)$ admet une solution unique sur $[7;+\infty\lbrack$. (on pourra utiliser le sens de variation de la fonction $h$ d\'{e}finie sur $[7;+\infty\lbrack$ par : $h(x)=f(x)-2x$ ). \end{enumerate} \textbf{Dans la suite, on notera $\alpha$ cette solution.} \item Mise en \'{e}vidence de $\alpha$ sur un graphique. \newline Choisir un nombre entier $a$ tel que $a<\alpha<a+5$. \newline Sur papier millim\'{e}% tr\'{e}, on trace un carr\'{e} de $10$ $cm$ de c\^{o}t\'{e}.\newline Le sommet inf\'{e}rieur gauche repr\'{e}sentera le point de coordonn\'{e}es $(a;2a)$ et le sommet diagonalement oppos\'{e} le point de coordonn\'{e}es $(a+5;2(a+5))$% .\newline Tracer dans ce carr\'{e} $\Gamma$ et $\Delta$. \newline Mettre le nombre $\alpha$ en \'{e}vidence sur le graphique et en donner une valeur approch\'{e}e. \end{enumerate} \textbf{C - Calcul de probabilit\'{e}. \index{Probabilit\'{e}}} Dans cette partie, on se r\'{e}f\`{e}re au tableau des valeurs construit dans la partie B.1) \newline Les trois questions sont ind\'{e}pendantes. \newline Pour chacune des trois questions, les choix effectu\'{e}s sont \'{e}quiprobables. \begin{enumerate} \item On place les $4$ points $A$, $C$, $H$ et $J$ dans un rep\`{e}re, et on les relie \`{a} l'aide de $3$ segments formant une ligne bris\'{e}e continue (par exemple la ligne bris\'{e}e $AHJC$). \begin{enumerate} \item Combien de lignes bris\'{e}es diff\'{e}rentes peut-on former ainsi ?\newline ($AHJC$ et $CJHA$ repr\'{e}sentent la m\^{e}me ligne bris\'{e}e) \item On choisit l'une de ces lignes bris\'{e}es. \newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ? \end{enumerate} \item On choisit cinq points parmi les dix du tableau ; on les relie suivant l'ordre de leurs abscisses croissantes, \`{a} l'aide de segments formant une ligne bris\'{e}e.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir une ligne qui ne coupe pas l'axe des abscisses ? (le point $D$ peut \^{e}tre choisi). \item On choisit cinq points cons\'{e}cutifs parmi les dix (par exemple $BCDEF$). \begin{enumerate} \item Combien y-a-t-il de possibilit\'{e}s ? \item On \'{e}change l'abscisse et l'ordonn\'{e}e de chacun de ces cinq points.\newline Les nouveaux points ainsi obtenus sont joints \`{a} l'aide de segments dans l'ordre de leurs ordonn\'{e}es croissantes.\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir la repr\'{e}sentation graphique d'une fonction ? \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Figure 1 (courbes $\Gamma$, $\Gamma^{\prime}$ et $\Delta$) :% %TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{5.3151in}{2.399in}{0pt}{}{}{fig2.eps}% %{\special{ language "Scientific Word"; type "GRAPHIC"; %maintain-aspect-ratio TRUE; display "USEDEF"; valid_file "F"; %width 5.3151in; height 2.399in; depth 0pt; original-width 5.2131in; %original-height 2.3385in; cropleft "0"; croptop "1"; cropright "1"; %cropbottom "0"; filename 'fig2.eps';file-properties "XNPEU";}}}% %BeginExpansion \begin{center} \includegraphics[ height=2.399in, width=5.3151in ]% {fig2.eps}% \end{center} %EndExpansion } \textbf{Seconde partie sans calculatrice} \end{center} \textbf{Exercice 1 (4 points) } Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}_{+}$, par \[ f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}% \] et repr\'{e}sent\'{e}e dans le rep\`{e}re de la figure 1. \index{Fonction!exponentielle} \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}_{+}$. \item Soit la suite $(U_{n})$ d\'{e}finie pour $n>0$ par : \index{Suite} \[ U_{n}=\int_{\ln(n)}^{\ln(n+1)}f(x)dx \] \begin{enumerate} \item Calculer $U_{1}$ et $U_{2}$. Exprimer $U_{n}$ en fonction de $n$. \item Que repr\'{e}sente graphiquement le nombre $U_{n}$ ? \end{enumerate} \item Montrer que $\left( U_{n}\right) $ est une suite d\'{e}croissante positive.\newline Calculer la limite de cette suite. \item On pose $S_{n} = U_{1}+U_{2}+ ... +U_{n}$ \begin{enumerate} \item Calculer $S_{1}$, $S_{2}$, $S_{3}$ et exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$. \item D\'{e}terminer $\lim_{n \to+ \infty}S_{n} $. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Exercice 2 (5 points) }\newline Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re $(O;\vec{u};\vec{v})$ orthonorm\'{e} direct.\newline (Unit\'{e} graphique $4cm$).\newline On d\'{e}signe par $\theta$ un nombre r\'{e}el tel que $-\pi<\theta<\pi$.\newline On appelle $A$, $M$ et $N$ les points d'affixes respectives $1$, $e^{i\theta}$ et $1+e^{i\theta}$.\newline \index{Exponentielle!complexe}On d\'{e}signe par $(C)$ le cercle de centre $O $ et de rayon $1$, et par $(C^{\prime})$ le cercle de centre $A$ et de rayon $1$. \begin{enumerate} \item Tracer $(C)$ et $(C^{\prime})$, et placer $A$, $M$ et $N$ dans le cas ou $\theta=\frac{\pi}{6}$. \item Montrer que $N$ appartient \`{a} $(C^{\prime})$ et donner la nature du triangle $OANM$. D\'{e}terminer un argument de $1+e^{i\theta}$. \index{Argument} \item $u=1+e^{i\theta}$ avec $- \pi< \theta< \pi$. \begin{enumerate} \item Montrer que $u$ est solution dans $\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation : \[ z^{2}-(2+2\cos\theta)z + 2 + 2 \cos\theta= 0 \] En d\'{e}duire la seconde solution de cette \'{e}quation. \item Quelle sont les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'\'{e}quation $z^{2}-3z+3=0$ ? \end{enumerate} \item On consid\`{e}re l'\'{e}quation $(E)$ : $z^{2}-az+a=0$ o\`{u} $a$ est un nombre r\'{e}el tel que $0<a\leqslant4$. On nomme $R$ le point d'affixe $a$, et $T$ le milieu de $[OR]$.\newline La perpendiculaire \`{a} l'axe r\'{e}el passant par $T$ coupe $(C^{\prime})$ en deux points $U$ et $U^{\prime}$.\newline Montrer que les affixes de $U$ et de $U^{\prime}$ sont les solutions de $(E) $. \index{Affixe} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Figure 1 (courbe repr\'{e}sentative de $f$) :}\newline %TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{3.2007in}{1.7054in}{0pt}{}{}{fig3.eps}% %{\special{ language "Scientific Word"; type "GRAPHIC"; %maintain-aspect-ratio TRUE; display "USEDEF"; valid_file "F"; %width 3.2007in; height 1.7054in; depth 0pt; original-width 3.128in; %original-height 1.6544in; cropleft "0"; croptop "1"; cropright "1"; %cropbottom "0"; filename 'fig3.eps';file-properties "XNPEU";}}}% %BeginExpansion \begin{center} \includegraphics[ height=1.7054in, width=3.2007in ]% {fig3.eps}% \end{center} %EndExpansion \end{center} \chapter{Exercices} \section{Int% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion egration} \subsection{Asie 1998} \textit{Les questions 1 et 2 sont ind\'{e}pendantes}. $\mathbb{N}^{\ast}$ \textit{est l'ensemble des entiers strictement positifs}.\newline Pour tout entier n de $\mathbb{N}^{\ast}$, on consid\`{e}re l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}grale} \[ I_{n}=\int_{1}^{e}(\ln x)^{n}dx \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que pour tout $x$ dans l'intervalle $]1,e[$ et pour tout entier naturel n, on a : \[ (\ln x)^{n}-(\ln x)^{n+1}>0 \] \item En d\'{e}duire que la suite $(I_{n})$ est d\'{e}croissante. \index{Suite!d\'{e}croissante} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $I_{1}$ \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties. \index{Int\'{e}gration!par parties} \item D\'{e}montrer \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : \[ I_{n+1}=e-(n+1)I_{n}% \] \item En d\'{e}duire $I_{2}$, $I_{3}$ et $I_{4}$. Donner les valeurs exactes, exprim\'{e}es en fonction de $e$ et les valeurs approch\'{e}es \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s par d\'{e}faut. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $I_{n}\geqslant0 $ \item D\'{e}montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$ : $(n+1)I_{n}% \leqslant e$ \item En d\'{e}duire la limite de $I_{n}$. \item D\'{e}terminer la valeur de $nI_{n}+(I_{n}+I_{n+1})$ et en d\'{e}duire la limite de $nI_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Am% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erique du Sud 1995} On pose pour tout entier naturel $n$ non nul : \index{Int\'{e}grale} \[ I_{n}=\int_{1}^{e}x^{2}(\ln x)^{n}\ dx\ \] o\`{u} $\ln$ d\'{e}signe la fonction logarithme n\'{e}p\'{e}rien, et \[ \hspace{-5cm}\text{pour $n=0$}\quad I_{0}=\int_{1}^{e}x^{2}\ dx. \] \begin{enumerate} \item Calculer $I_{o}$. \item En utilisant une int\'{e}gration par parties, calculer $I_{1}$. \index{Int\'{e}gration!par parties} \item En utilisant une int\'{e}gration par parties, d\'{e}montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : \[ 3I_{n+1}+(n+1)I_{n}=e^{3}.\qquad\qquad(1) \] En d\'{e}duire $I_{2}$. \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $I_{n}$ est positive. \item D\'{e}duire de l'\'{e}galit\'{e} (1) que, pour tout entier naturel $n$ non nul, \[ I_{n}\leqslant\frac{e^{3}}{n+1}% \] \item D\'{e}terminer $\underset{n\rightarrow+\infty}{\text{lim}}I_{n}.$ \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Sportifs de haut niveau 1994} On consid\`{e}re la suite $I$ d\'{e}finie par : \index{Int\'{e}grale} \index{Suite} \[ I_{0}=\int_{0}^{1}e^{x}\,dx \] et pour tout entier naturel $n\geqslant1$ par : \[ I_{n}=\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}\left( 1-x\right) ^{n}e^{x}\,dx \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer \[ \int_{0}^{1}\left( 1-x\right) ^{n}\,dx \] \item A l'aide de l'encadrement : \index{Encadrement} \[ 1\leqslant e^{x}\leqslant e \] valable sur l'intervalle $\left[ 0,1\right] ,$ montrer que pour tout entier $n\geqslant1$ on a : \[ \frac{1}{\left( n+1\right) !}\leqslant I_{n}\leqslant\frac{e}{\left( n+1\right) !}% \] \item Montrer que la suite $I$ est convergente et d\'{e}terminer sa limite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $I_{0},$ puis $I_{1}$ \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties. \index{Int\'{e}gration!par parties} \item Etablir, en int\'{e}grant par parties, que pour tout entier $n\geqslant1,$ on a : \begin{equation} I_{n-1}-I_{n}=\frac{1}{n!}\tag{1}% \end{equation} \end{enumerate} \item On pose, pour tout entier $n\geqslant1$ : \[ J_{n}=1+\frac{1}{1!}+\cdots+\frac{1}{n!}% \] \begin{enumerate} \item En utilisant les relations $\left( 1\right) $, exprimer $J_{n}$ \`{a} l'aide de $I_{0}$ et $I_{n}.$ \item En d\'{e}duire la limite $J$ de la suite $\left( J_{n}\right) .$ \item Justifier l'encadrement : \[ \frac{1}{\left( n+1\right) !}\leqslant J-J_{n}\leqslant\frac{e}{\left( n+1\right) !}% \] \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Probabilit% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion es} \subsection{National 1998} Dans tout l'exercice, A et B \'{e}tant deux \'{e}v\'{e}nements, P(A) d\'{e}signe la probabilit\'{e} de A ; \textit{p}(B/A) la probabilit\'{e} de B sachant que A est r\'{e}alis\'{e}. \begin{enumerate} \item Le nombre de clients se pr\'{e}sentant en cinq minutes dans une station-service est une variable al\'{e}atoire X dont on donne la loi de probabilit\'{e} : \index{Loi!de probabilit\'{e}} $p_{i}=\text{P(X}=i\text{)}$\newline \begin{tabular} [c]{|c|ccc|}\hline $i$ & 0 & 1 & 2\\\hline $p_{i}$ & 0,1 & 0,5 & 0,4\\\hline \end{tabular} \begin{enumerate} \item D\'{e}finir et repr\'{e}senter graphiquement la fonction de r\'{e}partition de X. \index{Fonction!de r\'{e}partition} \item Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de X. \index{Esp\'{e}rance} \end{enumerate} \item Dans cette station-service, la probabilit\'{e} qu'un client ach\`{e}te de l'essence est 0,7 ; celle qu'il ach\`{e}te du gazole est 0,3. Son choix est ind\'{e}pendant de celui des autres clients. On consid\`{e}re les \'{e}% v\'{e}nements suivants :\newline $\text{C}_{1}$ : \guillemotleft\ en cinq minutes, un seul client se pr\'{e}sente \guillemotright\ ;\newline $\text{C}_{2}$ : \guillemotleft\ en cinq minutes, deux clients se pr\'{e}sentent \guillemotright\ ;\newline E\ \ : \guillemotleft\ en cinq minutes, un seul client ach\`{e}te de l'essence \guillemotright\ ; \begin{enumerate} \item Calculer P($\text{C}_{1}\cap\text{E}$). \item Montrer que $\text{P(E}/\text{C}_{2})=0,42$ et calculer P($\text{C}% _{2}\cap\text{E}$). \item En d\'{e}duire la probabilit\'{e} qu'en cinq minutes un seul client ach\`{e}te de l'essence. \end{enumerate} \item Soit Y la variable al\'{e}atoire \'{e}gale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes ; d\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de Y. \end{enumerate} \subsection{Guadeloupe 1998} Un jeu de dominos est fabriqu\'{e} avec les sept couleurs : \emph{violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge}. Un domino se compose de deux cases portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le m\^{e}me domino : c'est un double. \begin{enumerate} \item Montrer que le jeu comporte 28 dominos diff\'{e}rents. Les 28 dominos, indiscernables au toucher, sont mis dans un sac. \item On tire simultan\'{e}ment trois dominos du sac. \index{Tirage!simultan\'{e}}\newline Quelle est la probabilit\'{e} d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ? \item Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabili\-t\'{e} des \'{e}v\'{e}nements suivants : \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item J$_{2}$ : \guillemotleft\ Le jaune figure deux fois \guillemotright \item J$_{1}$ : \guillemotleft\ Le jaune figure une seule fois \guillemotright \item J : \guillemotleft\ Le jaune figure au moins une fois \guillemotright \end{enumerate} \item On effectue $n$ tirages successifs d'un domino, en notant \`{a} chaque tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tir\'{e} et de proc\'{e}der au tirage suivant ; les tirages sont ind\'{e}pen\-dants. \index{Tirages!successifs}\newline Calculer, en fonction de $n$, la probabilit\'{e} p$_{n}$, que J soit r\'{e}alis\'{e} au moins une fois. \newline Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ pour laquelle p$_{n}\geqslant0,99.$ \end{enumerate} \subsection{Centres %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion etrangers 1998} Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On effectue $n$ tirages successifs ($n$ entier sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} 1) d'une boule en respectant la r\`{e}gle suivante : si la boule tir\'{e}e est rouge, on la remet dans l'urne ; si elle est blanche, on ne la remet pas.\newline Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont ind\'{e}pendantes.\newline \textbf{Partie A}\newline Dans cette partie $n=3$. On donnera les r\'{e}sultats sous forme de fractions irr\'{e}% ductibles.\newline Si $k$ est un entier compris entre 1 et 3, on note $E_{k}$ l'\'{e}v\`{e}nement \newline %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion seule la $k$ i\`{e}me boule tir\'{e}e est blanche% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement $E_{1}$ est $\displaystyle{p(E_{1})=\frac{5}{36}}$. \item Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements $E_{2}$ et $E_{3} $.\newline \index{Probabilit\'{e}}En d\'{e}duire la probabilit\'{e} qu'on ait tir\'{e} une seule boule blanche \`{a} l'issue des 3 tirages. \item Sachant que l'on a tir\'{e} exactement une boule blanche, quelle est la probabilit\'{e} que cette boule blanche ait \'{e}t\'{e} tir\'{e}e en dernier ? \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \end{enumerate} \textbf{Partie B}\newline On effectue maintenant $n$ tirages. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer, en fonction de n, la probabilit\'{e} $p_{n}$ de tirer au moins une boule blanche en $n$ tirages. \item Quelles valeurs faut-il donner \`{a} $n$ pour que : $p_{n}>0,99$ ? \end{enumerate} \subsection{Groupe II bis 1997} Une urne contient deux boules blanches et quatre boules noires. Ces six boules sont indiscernables au toucher. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item On effectue quatre tirages successifs d'une boule sans remise. \index{Urne} \begin{enumerate} \item Calculer la probabilit\'{e} de tirer dans l'ordre une boule noire, une boule noire, une boule noire et une boule blanche. \item Calculer la probabilit\'{e} de tirer une boule blanche au cours de ces quatre tirages. \end{enumerate} \item On effectue maintenant quatre tirages successifs d'une boule avec remise. R\'{e}pondre aux m\^{e}mes questions qu'\`{a} la question 1. \item $n$ \'{e}tant un nombre entier strictement positif, on effectue $n$ tirages successifs avec remise. On appelle P$_{n}$ la probabilit\'{e} d'obtenir au cours de ces $n$ tirages une boule blanche uniquement au dernier tirage. \begin{enumerate} \item Calculer $P_{1}$, $P_{2}$, $P_{3}$ et $P_{n}$. \index{Suite} \item Soit $S_{n}=P_{1}+P_{2}+P_{3}+\cdots+P_{n}$.\newline Exprimer $S_{n}$ en fonction de $n$ et d\'{e}terminer la limite de $S_{n}$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Pondich% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ery 1997\label{exo_pondichery_97}} Voici le plan de la salle 308 du lyc\'{e}e Dupont : \index{Probabilit\'{e}}% %TCIMACRO{\TeXButton{Plan de la classe}{\begin{center} %\unitlength1cm %\begin{picture}(11,6) %\put(1,2){\line(1,0){4}} %\put(1,3){\line(1,0){4}} %\put(1,4){\line(1,0){4}} %\put(1,5){\line(1,0){4}} %\put(1,6){\line(1,0){4}} %\put(7,2){\line(1,0){4}} %\put(7,3){\line(1,0){4}} %\put(7,4){\line(1,0){4}} %\put(7,5){\line(1,0){4}} %\put(7,6){\line(1,0){4}} %\put(4,0){\line(1,0){4}} %\put(4,1){\line(1,0){4}} %\put(1,2){\line(0,1){4}} %\put(2,2){\line(0,1){4}} %\put(3,2){\line(0,1){4}} %\put(4,2){\line(0,1){4}} %\put(5,2){\line(0,1){4}} %\put(7,2){\line(0,1){4}} %\put(8,2){\line(0,1){4}} %\put(9,2){\line(0,1){4}} %\put(10,2){\line(0,1){4}} %\put(11,2){\line(0,1){4}} %\put(4,0){\line(0,1){1}} %\put(8,0){\line(0,1){1}} %\put(0.3,2.4){R1} %\put(0.3,3.4){R2} %\put(0.3,4.4){R3} %\put(0.3,5.4){R4} %\put(5.4,0.4){bureau} %\put(5.6,4.4){all\'ee} %\put(5.3,3.4){centrale} %\end{picture} %\end{center}}}% %BeginExpansion \begin{center} \unitlength1cm \begin{picture}(11,6) \put(1,2){\line(1,0){4}} \put(1,3){\line(1,0){4}} \put(1,4){\line(1,0){4}} \put(1,5){\line(1,0){4}} \put(1,6){\line(1,0){4}} \put(7,2){\line(1,0){4}} \put(7,3){\line(1,0){4}} \put(7,4){\line(1,0){4}} \put(7,5){\line(1,0){4}} \put(7,6){\line(1,0){4}} \put(4,0){\line(1,0){4}} \put(4,1){\line(1,0){4}} \put(1,2){\line(0,1){4}} \put(2,2){\line(0,1){4}} \put(3,2){\line(0,1){4}} \put(4,2){\line(0,1){4}} \put(5,2){\line(0,1){4}} \put(7,2){\line(0,1){4}} \put(8,2){\line(0,1){4}} \put(9,2){\line(0,1){4}} \put(10,2){\line(0,1){4}} \put(11,2){\line(0,1){4}} \put(4,0){\line(0,1){1}} \put(8,0){\line(0,1){1}} \put(0.3,2.4){R1} \put(0.3,3.4){R2} \put(0.3,4.4){R3} \put(0.3,5.4){R4} \put(5.4,0.4){bureau} \put(5.6,4.4){all\'ee} \put(5.3,3.4){centrale} \end{picture} \end{center}% %EndExpansion Le premier jour de l'ann\'ee scolaire, les \'el\`eves de la classe de TS1 sont invit\'es par leur professeur principal \`a s'installer au hasard des places disponibles dans cette salle. La classe de TS1 comporte 28 \'el\`eves. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quel est le nombre de r\'epartitions possibles des places inoccup\'ees ? \item Calculer \`a $10^{-1}$ pr\`es, les probabilit\'es des \'ev\`enements suivants :\newline A : '' les huit places du rang R4 sont toutes occup\'ees ''\newline B : ''Il y a autant d'\'el\`eves \`a gauche qu'\`a droite de l'all\'ee centrale '' \end{enumerate} \item Dans cette question, les r\'{e}sultats seront donn\'{e}s sous forme fractionnaire. Soit $X$ la variable al\'{e}atoire '' nombre de places inoccup\'{e}es au rang R4 ''. \begin{enumerate} \item Donner la loi de probabilit\'{e} de $X$. \index{Variable!al\'{e}atoire} \item Calculer son esp\'{e}rance math\'{e}matique. \index{Esp\'{e}rance} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Am% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion erique du Nord 1997} \index{Probabilit\'{e}}Juliette d\'{e}bute un jeu dans lequel elle a autant de chances de gagner ou de perdre la premi\`{e}re partie. On admet que, si elle gagne une partie, la probabilit\'{e} qu'elle gagne la partie suivante est 0,6, et si elle perd une partie, la probabilit\'{e} pour qu'elle perde la partie suivante est 0,7. On note, pour $n$ entier naturel ou nul :\newline $G_{n}$ l'\'{e}v\`{e}nement `` Juliette gagne la $n$-i\`{e}me partie ''\newline $P_{n}$ l'\'{e}v\`{e}nement `` Juliette perd la $n$-i\`{e}me partie ''\newline \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les probabilit\'{e}s $p\left( G_{1}\right) ,$ $p\left( G_{2}/G_{1}\right) $ et $p\left( G_{2}/P_{1}\right) .$ En d\'{e}duire la probabilit\'{e} $p\left( G_{2}\right) .$ \item Calculer $p\left( P_{2}\right) .$ \end{enumerate} \item On pose, pour $n$ entier naturel non nul, $x_{n}=p\left( G_{n}\right) $ et $y_{n}=p\left( P_{n}\right) .$ \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer pour $n$ entier naturel non nul les probabilit\'{e}s $p\left( P_{n+1}/G_{n}\right) $ et $p\left( G_{n+1}/P_{n}\right) .$ \item Montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul : \index{Suite!et probabilit\'{e}} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x_{n+1}=0,6x_{n}+0,3y_{n}\\ y_{n+1}=0,4x_{n}+0,7y_{n}% \end{array} \right. \] \end{enumerate} \item Pour $n$ entier naturel non nul, on pose \[ v_{n}=x_{n}+y_{n}\text{ et }w_{n}=4x_{n}-3y_{n}% \] \begin{enumerate} \item Montrer que la suite $\left( v_{n}\right) $ est constante de terme g\'{e}n\'{e}ral \'{e}gal \`{a} $1.$ \index{Suite!constante} \item Montrer que la suite $\left( w_{n}\right) $ est g\'{e}om\'{e}trique et exprimer $w_{n}$ en fonction de $n.$ \index{Suite!g\'{e}om\'{e}trique} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D\'{e}duire du 3. l'expression de $x_{n}$ en fonction de $n.$ \item Montrer que la suite $\left( x_{n}\right) $ converge et d\'{e}terminer sa limite. \index{Suite!convergente} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Remplacement 1996} Un livreur de pizzas doit servir un client qui se trouve \`{a} $6$ km et qui exige d'\^{e}tre servi \`{a} $20$ h $00$ pr\'{e}cis\'{e}ment. Pour se d\'{e}placer, il utilise un scooter qui roule constamment \`{a} $36$ $km/h$. ( on n\'{e}glige les phases d'acc\'{e}l\'{e}ration et de d\'{e}c\'{e}% l\'{e}ration ). Sur son trajet, il va rencontrer $2$ deux tricolores non synchronis\'{e}s et ind\'{e}pendants. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} S'il arrive \`a un feu orange, il s'arr\^ete $60$ secondes et repart. S'il arrive \`a un feu rouge, il s'arr\^ete 3$0$ secondes et repart. Pour chaque feu : \begin{itemize} \item la probabilit\'e d'\^etre vert \`a l'arriv\'ee du livreur est $\frac12$. \item la probabilit\'e d'\^etre orange \`a l'arriv\'ee du livreur est $\frac14$. \end{itemize} Soit $T$ la variable al\'eatoire '' temps en minutes mis par le livreur pour arriver \`a destination ''. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer, en justifiant le calcul, la probabilit\'e $p\left( T=11\right) $. \item Donner la loi de probabilit\'e de $T$. \end{enumerate} \item Calculer l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de $T$. \index{Esp\'{e}rance} \item Repr\'{e}senter la fonction de r\'{e}partition de $T$. \index{Fonction!de r\'{e}partition} \item Le livreur part \`{a} $19$ h $49$. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilit\'{e} pour le livreur d'arriver en retard ? \item Quelle est la probabilit\'{e} pour le livreur d'arrive en avance ? \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Groupe II bis 1996} On dispose de deux urnes :\newline \hspace*{0cm}$\bullet$\hspace*{0cm} une urne U$_{1}$ dans laquelle se trouvent trois boules blanches et deux boules noires;\newline \hspace*{0cm}$\bullet$\hspace*{0cm} une urne U$_{2}$ dans laquelle se trouvent deux boules blanches et trois boules noires.\newline Une \'{e}preuve consiste \`{a} tirer simultan\'{e}ment et au hasard deux boules de chaque urne : on obtient ainsi quatre boules, les tirages dans chaque urne \'{e}tant \'{e}quiprobable. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item Montrer que la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement E : %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion parmi les quatre boules tir\'{e}es, il y a exactement deux boules blanches %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion est \'{e}gale \`{a} $0,46.$ \item On note X la variable al\'{e}atoire qui \`{a} chaque tirage associe le nombre de boules blanches obtenues. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de X. \index{Variable!al\'{e}atoire} \item Le joueur doit verser $2,50$ F avant d'effectuer le tirage ; il re\c {c}oit \`{a} l'issue du tirage 1 F par boule blanche obtenue. Le jeu est-il \'{e}quitable~? \end{enumerate} \item Calculer la probabilit\'{e} d'avoir tir\'{e} une et une seule boule blanche de l'urne U$_{1}$ sachant qu'on a tir\'{e} deux boules blanches. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \item On ne consid\`{e}re que l'urne U$_{1}$, de laquelle on tire toujours au hasard et simultan\'{e}ment deux boules. On nomme succ\`{e}s le tirage de deux boules blanches. On renouvelle dix fois la m\^{e}me \'{e}preuve (en remettant chaque fois les boules tir\'{e}es dans l'urne). D\'{e}terminer la probabilit\'{e} d'avoir au moins un succ\`{e}s sur les dix tirages. \end{enumerate} \subsection{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1996} Au cours d'une f\^{e}te, le jeu suivant est propos\'{e} au public : \newline Dans une urne se trouvent plac\'{e}es 7 boules noires et 3 boules rouges indiscernables au toucher.\newline Le joueur prend une boule au hasard ; si cette boule est noire, le jeu s'arr\^{e}te ; si cette boule est rouge, le joueur prend une deuxi\`{e}me boule (sans remettre la premi\`{e}re boule tir\'{e}e dans l'urne) et le jeu s'arr\^{e}te.\newline Une boule noire tir\'{e}e apporte au joueur 1 F et chaque boule rouge 2 F.\newline Pour faire un jeu, le joueur paie 2 F. On d\'{e}signe par X la variable al\'{e}atoire associ\'{e}e au gain alg\'{e}brique du joueur (c'est \`{a} dire la diff\'{e}rence entre la somme rapport\'{e}e par les boules tir\'{e}es et le prix du jeu). \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Quelles sont les valeurs que X peut prendre~? \item D\'{e}terminer la loi de probabilit\'{e} de X et son esp\'{e}rance math\'{e}matique. \index{Variable!al\'{e}atoire} \index{Esp\'{e}rance} \end{enumerate} \item Un joueur fait trois jeux. Ceux-ci se d\'{e}roulent dans des conditions identiques (apr\`{e}s chaque jeu, les boules tir\'{e}es sont remises dans l'urne).\newline D\'{e}terminer la probabilit\'{e} des \'{e}v\'{e}nements suivants : \newline A : le joueur perd 3 F.\newline B : le joueur perd 1 F. \newline C : le gain du joueur est nul.\newline En d\'{e}duire la probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement D : %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{<}}% %BeginExpansion $<$% %EndExpansion le joueur a un gain strictement positif %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion% %TCIMACRO{\TEXTsymbol{>}}% %BeginExpansion $>$% %EndExpansion . \end{enumerate} \subsection{Nouvelle Cal% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion edonie 1996} On donnera les r\'{e}sultats sous forme de fraction irr\'{e}ductible. \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item Une urne U contient 4 jetons blancs et 3 noirs. On tire successivement les 7 jetons sans remise.\newline X est la variable al\'{e}atoire qui prend pour valeur $k$ si le premier jeton blanc appara\^{i}t au $k$-i\`{e}me tirage.\newline Donner la loi de probabilit\'{e} de X et calculer son esp\'{e}rance math\'{e}matique. \index{Variable!al\'{e}atoire} \index{Esp\'{e}rance} \item Une autre urne U$^{\prime}$ contient 17 jetons blancs et 18 noirs.\newline On jette un d\'{e} cubique dont chaque face a la m\^{e}me probabilit\'{e} d'appara\^{i}tre.\newline Si le 6 appara\^{i}t, on tire un jeton de l'urne U, sinon on tire un jeton de l'urne U$^{\prime}$. \index{Probabilit\'{e}!conditionnelle} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que la probabilit\'{e} de tirer un jeton blanc est \'{e}gale \`{a} 0,5. \item On a tir\'{e} un jeton blanc, calculer la probabilit\'{e} pour qu'il provienne de U. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} On consid\`{e}re le syst\`{e}me d'\'{e}quations lin\'{e}aires : \index{Syst\`{e}me!d'\'{e}quations} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x-2y=3\\ ax-by=c \end{array} \right. \] Pour d\'{e}terminer les coefficients $a,\;b,\;c$ on lance trois fois un d\'{e} cubique parfait dont les faces sont num\'{e}rot\'{e}es de 1 \`{a} 6 et les num\'{e}ros sortis donnent les valeurs de $a,\;b,\;,c\;$.\newline Calculer les probabilit\'{e}s des \'{e}v\'{e}nements suivants : \index{Probabilit\'{e}} \begin{enumerate} \item $E_{1}$ : le syst\`{e}me a une infinit\'{e} de solutions \item $E_{2}$ : le syst\`{e}me n'a aucune solution \item $E_{3}$ : le syst\`{e}me a une seule solution \item $E_{4}$ : le syst\`{e}me a une seule solution qui est $(3;0)$ \end{enumerate} Les r\'{e}sultats seront donn\'{e}s sous la forme de fractions de d\'{e}nominateur 108.\\[0.2cm] \section{Nombres complexes} \subsection{Remplacement 1998} \begin{enumerate} \item On consid\`{e}re le polyn\^{o}me $P$ d\'{e}fini par : $P(z)=z^{3}% -6z^{2}+12z-16$. \index{Polyn\^{o}me!complexe} \begin{enumerate} \item Calculer $P(4)$. \item R\'{e}soudre dans $C$ l'\'{e}quation : $P(z)=0$. \end{enumerate} \item Le plan est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonorm\'{e} direct $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$ tel que : $\Vert\overrightarrow {u}\Vert=\Vert\overrightarrow{v}\Vert=2\;cm$.\newline Soient $A$, $B$, $C$ les points d'affixes respectives : \index{Affixe} \[ a=4\qquad b=1+i\sqrt{3}\qquad c=1-i\sqrt{3}% \] \begin{enumerate} \item Placer les points $A,B,C$ sur une figure que l'on compl\'{e}tera tout au long de l'exercice. \item Montrer que le triangle $ABC$ est \'{e}quilat\'{e}ral. \index{Triangle!\'{e}quilat\'{e}ral} \end{enumerate} \item Soit $K$ le point d'affixe $k=-\sqrt{3}+i$\newline On appelle $F$ l'image de $K$ par la rotation de centre $O$ et d'angle de mesure $\displaystyle{\frac{\pi}{3}}$ et $G$ l'image de $K$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{OB}$. \index{Rotation} \begin{enumerate} \item Quelles sont les affixes respectives de $F$ et de $G$ ? \item Montrer que les droites $(OC)$ et $(OF)$ sont perpendiculaires. \end{enumerate} \item Soit $H$ le quatri\`{e}me sommet du parall\'{e}logramme $COFH$ \begin{enumerate} \item Montrer que le quadrilat\`{e}re $COFH$ est un carr\'{e}. \index{Carr\'{e}} \item Calculer l'affixe du point $H$. \item Le triangle $AGH$ est-il \'{e}quilat\'{e}ral ? \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{National 1998} Le plan complexe est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonorm\'{e} direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$} .\newline \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (1) : \index{Equation!complexe} \[ \frac{z-2}{z-1}=z \] On donnera le module et un argument de chaque solution. \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (2) : \[ \frac{z-2}{z-1}=i \] On donnera la solution sous forme alg\'{e}brique. \item Soit M, A et B les points d'affixes respectives : $z$, 1 et 2.\newline On suppose que M est distinct des points A et B. \index{Module} \index{Argument} \begin{enumerate} \item Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et un argument de ${\displaystyle\frac{z-2}{z-1}}$. \item Retrouver g\'{e}om\'{e}triquement la solution de l'\'{e}quation (2). \index{Interpr\'{e}tation!g\'{e}om\'{e}trique} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer, \`{a} l'aide d'une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique, que toute solution de l'\'{e}quation dans~$\mathbb{C}$~: \[ \left( \frac{z-2}{z-1}\right) ^{n}=i \] o\`{u} $n$ d\'{e}signe un entier naturel non nul donn\'{e}, a pour partie r\'{e}elle ${\displaystyle\frac{3}{2}}$. \item R\'{e}soudre alors dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation (3) : \[ \left( \frac{z-2}{z-1}\right) ^{2}=i \] On cherchera les solutions sous forme alg\'{e}brique. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Guadeloupe 1998} \textbf{Partie A} On consid\`{e}re le polyn\^{o}me $P$ de la variable complexe $z$ d\'{e}fini par : \index{Polyn\^{o}me!complexe} \[ P\left( z\right) =z^{4}+2\sqrt{3}z^{3}+8z^{2}+2\sqrt{3}z+7 \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer $P\left( i\right) $ et $P\left( -i\right) .$ \item Montrer qu'il existe un polyn\^{o}me $Q$ du second degr\'{e}, que l'on d\'{e}terminera, tel que : \[ \text{pour tout }z\in\mathbb{C},\text{ }P\left( z\right) =\left( z^{2}+1\right) Q\left( z\right) \] \end{enumerate} \item R\'{e}soudre dans l'ensemble des nombres complexes l'\'{e}quation $P\left( z\right) =0.$ \end{enumerate} \textbf{Partie B} Le plan est rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ (unit\'{e} graphique $2$ cm). \begin{enumerate} \item Placer dans ce rep\`{e}re les points $A,$ $B,$ $C$ et $D$ d'affixes respectives $z_{A}=i$, $z_{B}=-i,$ $z_{C}=-\sqrt{3}+2i$ et $z_{D}=-\sqrt {3}-2i$.\newline Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diam\`{e}tre $\left[ CD\right] .$ \index{Affixe} \item Montrer qu'il existe une rotation de centre $O$ qui transforme $C$ en $D.$ Calculer une valeur enti\`{e}re approch\'{e}e \`{a} un degr\'{e} pr\`{e}s d'une mesure de l'angle de cette rotation. \index{Rotation} \item Calculer, sous forme alg\'{e}brique, puis sous forme trigonom\'{e}% trique, le rapport : \[ \frac{z_{B}-z_{C}}{z_{A}-z_{C}}% \] Interpr\'{e}ter g\'{e}om\'{e}triquement le module et l'argument de ce rapport. \index{Module} \index{Argument} \end{enumerate} \subsection{Groupe I bis 1997} \index{Complexe} \index{Affixe}Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\vec{u},\vec{v}\right) $, ayant comme unit\'{e} graphique 4~cm. On note $A$, $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $2i$, $-1$ et $i$.\newline On consid\`{e}re la fonction $f$ de $\mathcal{P}-\{A\}$ dans $\mathcal{P}$ qui \`{a} tout point $M$ de $\mathcal{P}-\{A\}$, d'affixe $z$, associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \[ z^{\prime}=\frac{z+1}{z-2i}% \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Faire une figure que l'on compl\`{e}tera au cours de l'exercice. \item D\'{e}terminer l'affixe du point $C^{\prime}$ image de $C$. Quelle est la nature du quadrilat\`{e}re $ACBC^{\prime}$ ? \item Montrer que le point $C$ admet un ant\'{e}c\'{e}dent unique par $f$ que l'on notera $C^{\prime\prime}$. Quelle est la nature du triangle $BCC^{\prime\prime}$ ? \end{enumerate} \item Donner une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique de l'argument et du module de $z^{\prime}$. \index{Argument} \index{Module} \item D\'{e}terminer, en utilisant la question pr\'{e}c\'{e}dente, quels sont les ensembles suivants : \begin{enumerate} \item L'ensemble $E_{a}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour affixe un nombre r\'{e}el strictement n\'{e}gatif. \item L'ensemble $E_{b}$ des points $M$ dont les images par $f$ ont pour affixe un nombre imaginaire pur non nul. \item L'ensemble $E_{c}$ des points $M$ dont les images appartiennent au cercle de centre $O$ et de rayon 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Groupe II bis 1997} Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}, (unit\'{e} graphique 3~cm). \index{Complexe} \newline On d\'{e}signe par A le point d'affixe $i$% .\newline A tout point M du plan, distinct de A, d'affixe $z$, on associe le point M$^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}fini par : \index{Affixe} \[ z^{\prime}=\frac{z^{2}}{i-z}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les points M confondus avec leur image M$^{\prime}$. \item \'{E}tant donn\'{e} un complexe $z$ distinct de $i$, on pose : $z=x+iy $ et $z^{\prime}=x^{\prime}+iy^{\prime}$, avec $x,y,x^{\prime},y^{\prime}$ r\'{e}els.\newline Montrer que : \[ x^{\prime}=\frac{-x(x^{2}+y^{2}-2y)}{x^{2}+(1-y)^{2}}% \] En d\'{e}duire l'ensemble $\mathcal{E}$ des points M dont l'image M$^{\prime}$ est situ\'{e}e sur l'axe des imaginaires purs. Dessiner l'ensemble $\mathcal{E}$ . \item Trouver une relation simple liant les longueurs OM, AM et OM$^{\prime}% $. En d\'{e}duire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points M du plan tels que M et M$^{\prime}$ soient situ\'{e}s sur un m\^{e}me cercle de centre O. Dessiner l'ensemble $\mathcal{F}$. \item Dans toute cette question, on consid\`{e}re un point M d'affixe $z$, situ\'{e} sur le cercle de centre A et de rayon ${\displaystyle\frac{1}{2}}$. M$^{\prime}$ est le point d'affixe $z^{\prime}$ correspondant, et G l'isobarycentre des points A, M et M$^{\prime}$. \index{Barycentre}\newline Calculer l'affixe $z_{G}$ de G en fonction de $z$.\newline Montrer que G est situ\'{e} sur un cercle un centre O dont on pr\'{e}cisera le rayon. Apr\`{e}s avoir compar\'{e} les angles ${\displaystyle (\overrightarrow{u},\overrightarrow{\strut OG})}$ et ${\displaystyle (\overrightarrow{u},\overrightarrow{\strut AM})}$, effectuer la construction de G. En d\'{e}duire celle de M$^{\prime}$. \end{enumerate} \subsection{Polyn% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion esie 1997} {Dans le plan complexe rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}, on consid\`{e}re les points $M_{n}$ d'affixes ${\displaystyle z_{n}=\left( \frac{1}{2}i\right) ^{n}(1+i\sqrt {3})} $ o\`{u} $n$ est un entier naturel. \index{Complexe} \index{Affixe}} \begin{enumerate} \item Exprimer $z_{n+1}$ en fonction de $z_{n}$ puis $z_{n}$ en fonction de $z_{0}$ et $n$.\newline Donner $z_{0}$, $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$ et $z_{4}$ sous forme alg\'{e}brique et sous forme trigonom\'{e}trique. \item Placer les points $M_{0}$, $M_{1}$, $M_{2}$, $M_{3}$ et $M_{4}$ (unit\'{e} graphique : 4~cm). \item D\'{e}terminer la distance $OM_{n}$ en fonction de $n$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que l\rq on a ${\displaystyle M_{n}M_{n+1}=\frac{\sqrt{5}% }{2^{n}}}$ pour tout $n$ entier naturel. \item On pose ${\displaystyle L_{n}=\sum_{k=0}^{n}M_{k}M_{k+1}}$% \newline (C'est \`{a} dire $L_{n}=M_{0}M_{1}+M_{1}M_{2}+\dots+M_{n}M_{n+1}$). D\'{e}terminer $L_{n}$ en fonction de $n$ puis la limite de $L_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. \end{enumerate} \item D\'{e}terminer une mesure de l'angle $\left( \overrightarrow{\strut OM_{0}},\overrightarrow{\strut OM_{n}}\right) $ en fonction de $n$% .\newline Pour quelles valeurs de $n$ les points $O$, $M_{0}$ et $M_{n}$ sont-ils align\'{e}s ? \end{enumerate} \subsection{Centres %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion etrangers 1997\label{exo_cent-etran97}} Dans le plan complexe rapport\'{e} au rep\`{e}re orthonormal direct $\mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$}$ , on donne les points A d'affixe $2i $, B d'affixe $2$ et I milieu de [AB] (on prendra 2 cm d'unit\'{e} graphique). On consid\`{e}re la fonction $f$ qui, \`{a} tout point M distinct de A, d'affixe $z$, associe le point M$^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \[ z^{\prime}=\frac{2z}{z-2i}% \] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ admet comme points invariants le point O et un deuxi\`{e}me point dont on pr\'{e}cisera l'affixe. \index{Complexe} \index{Affixe} \item D\'{e}terminer les images par $f$ des points B et I. \end{enumerate} \item Soit M un point quelconque distinct de A et O.\newline Etablir que : \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% (\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow{\strut\text{OM}^{\prime}% })=(\overrightarrow{\strut\text{MA}},\overrightarrow{\strut\text{MO}}% )+k2\pi,\;k\in\mathbb{Z}\\ {\displaystyle OM^{\prime}=2\;\frac{MO}{MA}}% \end{array} \right. \] \item Soit ($\Delta$) la m\'{e}diatrice de [OA].\newline Montrer que les transform\'{e}s par $f$ des points de ($\Delta$) appartiennent \`{a} un cercle (C) que l\rq on pr\'{e}cisera. \item Soit ($\Gamma$) le cercle de diam\`{e}tre [OA], priv\'{e} du point A. Montrer que les transform\'{e}s par $f$ des points de ($\Gamma$) appartiennent \`{a} une droite (D) que l\rq on pr\'{e}cisera. \item Tracer ($\Delta$), ($\Gamma$),(C), (D) sur la m\^{e}me figure. \end{enumerate} \subsection{Japon 1997} On consid\`{e}re le plan complexe $\mathcal{P}$ muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\overrightarrow{e_{1}},\overrightarrow{e_{2}% }\right) .$ \begin{enumerate} \item Soit le polyn\^{o}me $P$ tel que pour tout $z$ de $\mathbb{C},$ \index{Polyn\^{o}me} \[ P\left( z\right) =z^{3}-4z^{2}+6z-4 \] D\'{e}terminer les r\'{e}els $u$ et $v$ tels que \[ P\left( z\right) =\left( z-2\right) \left( z^{2}+uz+v\right) \] et r\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation $P\left( z\right) =0.$ \item On note $\alpha$ la solution de l'\'{e}quation ci-dessus dont la partie imaginaire est strictement positive et $\beta$ le conjugu\'{e} de $\alpha.$ Soient $A,$ $B$ et $C$ les points d'affixes respectives $\alpha,$ $\beta$ et $2,$ $I$ le milieu de $\left[ AB\right] $ et $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}.$ \index{Affixe} \index{Conjugu\'{e}} \index{Rotation}\newline D\'{e}terminer l'affixe du point $r\left( B\right) $ et en d\'{e}duire la nature du quadrilat\`{e}re $OACB.$ \item Soit $f$ l'application de $\mathcal{P}$ priv\'{e} du point $C$ dans $\mathcal{P}$ qui au point $M$ d'affixe $z$ ( $z\neq2$ ) associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ d\'{e}fini par : \index{Application!complexe} \[ z^{\prime}=\frac{z-\left( 1+i\right) }{z-2}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $f\left( A\right) $ et $f\left( B\right) .$% \newline D\'{e}terminer le point $E$ tel que $f\left( E\right) =C.$ \item Quelles distances repr\'{e}sentent les r\'{e}els $\left| z-\left( 1+i\right) \right| $ et $\left| z-2\right| $ ?\newline En d\'{e}duire que si $M$ appartient \`{a} la m\'{e}diatrice de $\left[ AC\right] ,$ $M^{\prime}$ appartient \`{a} un cercle dont on donnera le centre et le rayon. \index{M\'{e}diatrice} \index{Cercle} \index{Distance} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1996} \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes les \'{e}quations suivantes : \index{Equation} \begin{enumerate} \item $z^{2}-2z+5=0.$ \item $z^{2}-2(1+\sqrt{3})z+5+2\sqrt{3}=0$. \end{enumerate} \item On consid\`{e}re dans le plan complexe rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct\newline $\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}$ les points $A,\ B,\ C,\ D$ d'affixes respectives : \index{Affixe} \[ z_{A}=1+2i,\;z_{B}=1+\sqrt{3}+i,\;z_{C}=1+\sqrt{3}-i,\text{ et }z_{D}=1-2i. \] \begin{enumerate} \item Placer les points $A,\ B,\ C,\ D$ et pr\'{e}ciser la nature du quadrilat\`{e}re $ABCD$. \item[\textbf{b.}] V\'{e}rifier que \[ \frac{z_{D}-z_{B}}{z_{A}-z_{B}}=i\sqrt{3}% \] Que peut-on en d\'{e}duire pour les droites $(AB)$ et $(BD)$~? \item[\textbf{c.}] Prouver que les points $A,\ B,\ C,\ D$ appartiennent \`{a} un m\^{e}me cercle $\Gamma$ dont on pr\'{e}cisera le centre et le rayon. Tracer $\Gamma$. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] On consid\`{e}re l'\'{e}quation : \[ z^{2}-2(1+2\cos\theta)z+5+4\cos\theta=0\qquad\hfill(1) \] o\`{u} $\theta$ d\'{e}signe un nombre r\'{e}el quelconque. \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]R\'{e}soudre l'\'{e}quation (1) dans $\mathbb{C}$. \item[\textbf{b.}] Montrer que les images des solutions appartiennent au cercle $\Gamma$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Nouvelle Cal% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion edonie 1996} Le plan complexe $\mathcal{P}$ est rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct \mbox{$\left(O,\vec{u},\vec{v}\right)$} \ (unit\'{e} graphique : 2 cm).\newline On d\'{e}signe par A et B les points d'affixes respectives 1 et 4.\newline L'application $f$ \/associe \`{a} tout point M d'affixe $z$ de $\mathcal{P}$, distinct de A, le point M$^{\prime}$ d'affixe $Z$ d\'{e}finie par : \[ {Z=\frac{z-4}{z-1}}% \] \begin{enumerate} \item Soit C le point d'affixe $i\sqrt{2}$.\newline D\'{e}terminer l'affixe de C$^{\prime}$\ =\ $f$(C). \item D\'{e}montrer que $f$ admet deux points invariants I et J. (On notera I celui d'ordonn\'{e}e positive.)\newline Placer les points I, J, C et C$^{\prime}$. \item On pose $z=x+iy$ et $Z=X+iY$ avec $x$, $y$, $X$, $Y$ r\'{e}els. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $X$ \/et $Y$ en fonction de $x$ et $y$. \item D\'{e}terminer l'ensemble E des points M d'affixe $z$ tels que $Z$ soit r\'{e}el. \item D\'{e}terminer et construire l'ensemble F des points M d'affixe $z$ tels que $Z$ soit imaginaire pur. \end{enumerate} \item Donner une interpr\'{e}tation g\'{e}om\'{e}trique de $\mid Z\mid$, $\mid z-4\mid$, $\mid z-1\mid$.\newline En d\'{e}duire l'ensemble D des points M d'affixe $z$ tels que $\mid Z\mid=1 $.\newline Construire D. \end{enumerate} \subsection{Sportifs de haut niveau 1996} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item R\'{e}soudre dans $\mathbb{C}$ l'\'{e}quation suivante : \[ z^{2}-6\cos\left( \frac{\pi}{6}\right) z+9=0 \] On notera $z_{1}$ et $z_{2}$ les solutions trouv\'{e}es, $z_{1}$ \'{e}tant la solution de partie imaginaire positive. \item D\'{e}terminer le module et un argument de $z_{1}$ et de $z_{2},$ et donner l'\'{e}criture exponentielle de $z_{1}$ et de $z_{2}.$ \index{Module} \index{Argument} \end{enumerate} \item Placer dans le plan $P$ rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( 0;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) $ d'unit\'{e} graphique $1$ cm, les images $M_{1}$ et $M_{2}$ de $z_{1}$ et $z_{2}% .$\newline Expliquer pourquoi $M_{1}$ et $M_{2}$ sont situ\'{e}s sur le cercle $\Gamma$ de centre $O$ de rayon $3,$ que l'on tracera. \index{Cercle} \end{enumerate} \item On consid\`{e}re la transformation du plan $P$ qui \`{a} tout point $M $ d'affixe $z$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \index{Transformation} \[ z^{\prime}=\left( -\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right) z \] On consid\`{e}re les points $A$ et $B$ d'affixes \[ z_{A}=3e^{i\frac{\pi}{6}}\text{ et }z_{B}=3e^{-i\frac{\pi}{6}}% \] et $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ leurs images par $f.$ \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une rotation dont on pr\'{e}cisera le centre et l'angle. \index{Rotation} \item D\'{e}terminer sous forme exponentielle les affixes $z_{A^{\prime}}$ et $z_{B^{\prime}}$ des points $A^{\prime}$ et $B^{\prime}.$ Placer les points $A,$ $B,$ $A^{\prime}$ et $B^{\prime}$ sur la figure.\newline \index{Forme!exponentielle}Expliquer pourquoi ces points sont sur le cercle $\Gamma.$ \end{enumerate} \item Calculer $\arg\left( \dfrac{z_{A^{\prime}}}{z_{B}}\right) $ et montrer que $B$ et $A^{\prime}$ sont sym\'{e}triques par rapport au point $O.$ En d\'{e}duire que le triangle $ABA^{\prime}$ est rectangle. \index{Sym\'{e}trie} \index{Triangle!rectangle} \end{enumerate} \subsection{Sujet compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} Le plan complexe est muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct d'origine O. $\Omega$ et $A$ sont les points d'affixes respectives 1 et 2. On appelle $F$ l'application qui \`{a} tout point $M$ d'affixe $z$ distinct de $\Omega$ associe le point $M^{\prime}$ d'affixe $z^{\prime}$ tel que : \index{Fonction!complexe} \index{Affixe} \[ z^{\prime}=\frac{z^{2}}{2(z-1)}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les points invariants par $F$. \index{Point!invariant} \item Soit $E_{1}$ la droite $(OA)$ priv\'{e}e de $\Omega$. \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer le tableau de variation de la fonction $g$ d\'{e}finie pour tout r\'{e}el $x\not = 1$ par : \[ g(x)=\frac{x^{2}}{2(x-1)}% \] \item En d\'{e}duire l'image de $E_{1}$ par $F$. \index{Image} \end{enumerate} \item Soit $E_{3}$ le cercle de centre $\Omega$ et de rayon 1. Pour tout point $M(z)$ de ce cercle, on pose : \[ {z=1+e^{i\theta}}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que : $z^{\prime}=1+\cos\theta$ \item En d\'{e}duire l'image de $E_{3}$ par $F$. \end{enumerate} \item On pose $z=x+iy$ avec $z\not =1$. \begin{enumerate} \item Calculer la partie imaginaire de $z^{\prime}$ en fonction de $x$ et de $y$. \item En d\'{e}duire l'ensemble des points $M(z)$ tels que l'image de $M$ par $F$ se trouve sur $(OA)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Courbes param% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion etr% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ees} \subsection{Sujet compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} Dans le plan muni du rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath}\right) ,$ on consid\`{e}re le cercle $C$ de centre $O$ et de rayon $1.$ Soit $A$ le point de coordonn\'{e}es $\left( -1;0\right) .$ A tout point $m$ de $C,$ on associe le point $M,$ projet\'{e} orthogonal de $A$ sur la tangente en $m$ \`{a} $C.$ On appelle $t$ une mesure de l'angle $\left( \vec{\imath},\overrightarrow{Om}\right) .$ \index{Courbe!param\'{e}tr\'{e}e} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que le point $M$ a pour coordonn\'{e}es : \[ \left( \left( \cos t-\sin^{2}t\right) ,\sin t\cos t+\sin t\right) \] Lorsque $m$ d\'{e}crit $C,$ l'ensemble des points $M$ est une courbe $C^{\prime}$ d\'{e}finie comme la courbe param\'{e}tr\'{e}e ensemble des points $M\left( t\right) $ lorsque $t$ varie dans $\mathbb{R}.$ \item Etudier les positions relatives des points $M\left( t\right) ,$ $M\left( t+2\pi\right) ,$ $M\left( -t\right) .$ En d\'{e}duire qu'il suffit, pour tracer la courbe $C^{\prime},$ de limiter les variations de $t$ \`{a} l'intervalle $\left[ 0;\pi\right] .$ \item Tracer $C^{\prime}$ en pr\'{e}cisant les tangentes aux points de param\`{e}tres $0,$ $\frac{\pi}{3},$ $\frac{2\pi}{3}.$ On admettra qu'au point de param\`{e}tre $\pi,$ la courbe $C^{\prime}$ admet une tangente horizontale. \end{enumerate} \section{Barycentre} \subsection{Nouvelle Cal% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion edonie 1996 (modifi% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion e)} Soit $ABCD$ un quadrilat\`{e}re quelconque, $I$ le milieu de $\left[ AC\right] ,$ $J$ le milieu de $\left[ BD\right] .$ Soit $K$ le point tel que $\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB},$ $L$ le point tel que $\overrightarrow{LC}=-2\overrightarrow{LD},$ et $\;M$ le milieu de $\left[ LK\right] .$ Le but du probl\`{e}me est de montrer que $M,$ $I,$ $J$ sont align\'{e}s et de donner la position de $M$ sur la droite $\left( IJ\right) . $ \begin{enumerate} \item Justifier l'existence du barycentre $G$ du syst\`{e}me : \index{Barycentre} \[ \left\{ \left( A,1\right) ,\left( B,2\right) ,\left( C,1\right) ,\left( D,2\right) \right\} \] En regroupant les points de diff\'{e}rentes fa\c{c}ons, montrer que $G$ appartient aux deux droites $\left( KL\right) $ et $\left( IJ\right) .$ \item Montrer que $G$ est en $M,$ que $M,$ $I,$ $J$ sont align\'{e}s, et donner la position de $M$ sur $\left( IJ\right) .$ \item D\'{e}terminer l'ensemble $\mathcal{S}$ des points $X$ du plan tels que : \index{Ligne!de niveau} \[ \left\| \overrightarrow{XA}+2\overrightarrow{XB}+\overrightarrow {XC}+2\overrightarrow{XD}\right\| =4\left\| \overrightarrow{IJ}\right\| \] \item Faire une figure soign\'{e}e o\`{u} tous les points consid\'{e}r\'{e}s seront report\'{e}s. \end{enumerate} \subsection{Centres %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion etrangers 1994} On donne trois points $A,$ $B,$ $C$ distincts non align\'{e}s du plan et on note $a,$ $b,$ $c$ les longueurs des c\^{o}t\'{e}s du triangle $ABC.$ \[ a=BC\quad b=CA\quad c=AB \] On se propose d'\'{e}tudier l'ensemble $\left( E\right) $ des points $M$ du plan tels que : \index{Ligne!de niveau} \[ MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}% \] \begin{enumerate} \item Soit $G$ l'isobarycentre du triangle $ABC$ et soit $I$ le milieu du segment $\left[ BC\right] .$ \index{Isobarycentre} \begin{enumerate} \item Calculer $AB^{2}+AC^{2}$ en fonction de $AI^{2}$ et de $BC^{2}.$ En d\'{e}duire : \[ AG^{2}=\frac{1}{9}\left( 2b^{2}+2c^{2}-a^{2}\right) \] Ecrire de m\^{e}me les expressions de $BG^{2}$ et de $CG^{2}.$ \item Montrer que : \[ AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}=\frac{1}{3}\left( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) \] \end{enumerate} \item D\'{e}terminer l'ensemble $\left( E\right) .$ \item On choisit $a=5,$ $b=4,$ $c=3.$ Placer trois points $A,$ $B,$ $C$ et dessiner $\left( E\right) $ dans ce cas particulier. \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} $ABC$ est un triangle isoc\`{e}le, $A^{\prime}$ est le milieu de $[BC]$ et $H$ l'orthocentre du triangle. On pose : $BC=2a\quad AB=AC=3a$. \index{Barycentre} \index{Orthocentre} \begin{enumerate} \item Soit $\theta$ une mesure de l'angle $\widehat{BAC}$. Calculer $\cos{\theta}$. \item Soit $D$ le projet\'{e} orthogonal de $B$ sur $[AC]$. D\'{e}montrer que $D$ est barycentre de $(A,2)$ et $(C,7)$. \index{Projet\'{e}!orthogonal} \item D\'{e}terminer trois entiers $a,\;b,\;c$ afin que $H$ soit barycentre de $(A,a)$, $(B,b)$ et $(C,c)$. \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} Soit ABC un triangle. Le point I est le sym\'{e}trique de B par rapport \`{a} C. Le point J est le sym\'{e}trique de C par rapport \`{a} A. Le point K est le sym\'{e}trique de A par rapport \`{a} B. On obtient un nouveau triangle IJK. \index{Barycentre} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que A est le barycentre de $($I$,2)$, $($J$,4)$, $($K$,1)$.\newline Exprimer de m\^{e}me sans calculs B et C comme barycentres de I, J, K. \item Soient P, Q, R les points d'intersection respectifs des droites (BC), (AC), (AB) avec les droites (KJ), (IK), (JI). \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que R est le barycentre de $($I$,1)$ et $($J$,2)$. \item Enoncer les r\'{e}sultats analogues pour les points P et Q. \end{enumerate} \item On donne le triangle IJK. Retrouver le triangle ABC. \end{enumerate} \subsection{Exercice compl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ementaire} $ABC$ est un triangle dont les 3 angles sont aigus. On appelle $A^{\prime},$ $B^{\prime},$ $C^{\prime}$ les pieds des hauteurs, $H$ l'orthocentre du triangle. On pose : $BC=a\quad CA=b\quad AB=c$. \index{Hauteur} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que $A^{\prime}$ est le barycentre de $(B,b\cos\hat{C})$ et $(C,c\cos\hat{B})$. \index{Barycentre} \item En d\'{e}duire que $A^{\prime}$ est le barycentre de $(B,\tan\hat{B})$ et $(C,\tan\hat{C})$. \item D\'{e}montrer que le barycentre de $(A,\tan\hat{A})\;(B,\tan\hat {B})\;(C,\tan\hat{C})$ est le point $H$. \item On suppose que le triangle n'est pas isoc\`{e}le. Les droites $(BC)$ et $(B^{\prime}C^{\prime})$ se coupent en $A^{\prime\prime}$. On d\'{e}finit de m\^{e}me $B^{\prime\prime}$ et $C^{\prime\prime}$.\newline D\'{e}montrer que le barycentre de $(B,\tan\hat{B})$ et $(C,-\tan\hat{C})$ est $A^{\prime\prime }$.\newline D\'{e}montrer que les points $A^{\prime\prime}$, $B^{\prime\prime }$ et $C^{\prime\prime}$ sont align\'{e}s. \end{enumerate} \section{G% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eometrie dans l'espace} \subsection{Remplacement 1998} L'espace est muni d'un rep\`{e}re orthonormal direct $(O\,;\,\vec{i},\,\vec {j},\,\vec{k})$.\newline Il n'est pas demand\'{e} de faire de figure.\newline Les questions 3 et 4 sont ind\'{e}pendantes des questions 1 et 2.\newline On consid\`{e}re les quatre points $A,\ B,\ C$ et $I$ de coordonn\'{e}es respectives : \[ A\left( \begin{array} [c]{c}% -1\\ 2\\ 1 \end{array} \right) \qquad\quad B\left( \begin{array} [c]{c}% 1\\ -6\\ -1 \end{array} \right) \qquad\quad C\left( \begin{array} [c]{c}% 2\\ 2\\ 2 \end{array} \right) \qquad\quad I\left( \begin{array} [c]{c}% 0\\ 1\\ -1 \end{array} \right) \] \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer le produit vectoriel $\overrightarrow{\strut AB}\wedge\overrightarrow{\strut AC}$. \index{Produit!vectoriel} \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer une \'{e}quation cart\'{e}sienne du plan contenant les trois points $A,\ B$ et $C$. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] Soit $Q$ le plan d'\'{e}quation : \index{Equation!de plan} \[ x+y-3z+2=0 \] et $Q^{\prime}$ le plan de rep\`{e}re $(O\,;\,\vec{i},\,\vec{k})$. \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Pourquoi $Q$ et $Q^{\prime}$ sont-ils s\'{e}cants~? \item[\textbf{b.}] Donner un point $E$ et un vecteur directeur $\overrightarrow{\strut u}$ de la droite d'intersection $\Delta$ des plans $Q $ et $Q^{\prime}$. \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] \'{E}crire une \'{e}quation cart\'{e}sienne de la sph\`{e}re S de centre $I$ et de rayon 2. \index{Sph\`{e}re} \item[\textbf{4.}] On consid\`{e}re les points $J$ et $K$ de coordonn\'{e}es respectives : \[ J\left( \begin{array} [c]{c}% -2\\ 0\\ 0 \end{array} \right) \qquad\quad K\left( \begin{array} [c]{c}% 1\\ 0\\ 1 \end{array} \right) \] D\'{e}terminer avec soin l'intersection de la sph\`{e}re S et de la droite $(JK)$. \end{enumerate} \subsection{Sportifs de haut niveau 1995} Dans l'espace rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\right) $, on consid\`{e}re les points $A(3;2;-1)$ et $H(1;-1;3)$.\newline \begin{enumerate} \item Calculer la longueur $AH$. \item D\'{e}terminer une \'{e}quation du plan $\mathcal{P}$ passant par $H$ et orthogonal \`{a} la droite $(AH)$. \index{Equation!de plan} \item On donne les points : $B(-6;1;1),\ C(4;-3;3)$ et $D(-1;-5;-1)$. \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que les points $B,\ C$ et $D$ appartiennent au plan $\mathcal{P}$. \item Calculer les coordonn\'{e}es du vecteur $\overrightarrow{\strut BC}\wedge\overrightarrow{\strut BD}$. \index{Produit!vectoriel} \item D\'{e}montrer que l'aire du triangle $BCD$ est \'{e}gale \`{a} $5\ \sqrt{29}$. \index{Aire!d'un triangle} \item D\'{e}montrer que le volume du t\'{e}tra\`{e}dre $ABCD$ est \'{e}gal \`{a} $\displaystyle\frac{145}{3}$. \index{T\'{e}tra\`{e}dre} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Calculer l'aire du triangle $ABC$. \item Calculer la distance du point $D$ au plan $ABC$. \end{enumerate} \end{enumerate} \chapter{Probl% %TCIMACRO{\TeXButton{`}{\`}}% %BeginExpansion \`% %EndExpansion emes} \section{Remplacement 1998} \begin{center} \textbf{Partie A}\\[0pt] \end{center} \begin{enumerate} \item On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \index{Fonction!exponentielle} \[ f(x)=-xe^{2x+1}. \] \begin{enumerate} \item Quel est, suivant les valeurs de $x$, le signe de $f(x)$ ? \item Etudier le sens de variation de $f$. \item D\'{e}terminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$. \item Dresser le tableau de variation de $f$. \item On appelle ($\mathcal{C}$) la repr\'{e}sentation graphique de $f$ dans un rep\`{e}re orthonorm\'{e} \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} \ (unit\'{e} graphique : 4 cm).\newline Quelle est la tangente \`{a} ($\mathcal{C}$) au point O ?\newline \index{Tangente}Ecrire une \'{e}quation de la tangente T \`{a} ($\mathcal{C}$) au point d'abscisse (-1). \item On appelle ($\Gamma$) la repr\'{e}sentation graphique dans le rep\`{e}re \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} \ de la fonction $g$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ g(x)=e^{x}. \] Quelle est la tangente \`{a} ($\Gamma$) au point d'abscisse (-1) ? \end{enumerate} \item On appelle $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ h(x)=1+exe^{x}. \] \begin{enumerate} \item Etudier le sens de variation de $h$.\newline En d\'{e}duire le signe de $h(x)$ suivant les valeurs de $x$. \item Etudier la position de ($\mathcal{C}$) par rapport \`{a} ($\Gamma$). \item Tracer, sur le m\^{e}me graphique, les courbes T, ($\mathcal{C}$) et ($\Gamma$). \end{enumerate} \item $m$ d\'{e}signe un r\'{e}el quelconque et M d\'{e}signe le point de la courbe ($\Gamma$) d'abscisse $m$. \begin{enumerate} \item Ecrire une \'{e}quation de la tangente D \`{a} ($\Gamma$) en M. \item La tangente D coupe les axes de coordonn\'{e}es en A et B.\newline Calculer, en fonction de $m$, les coordonn\'{e}es du milieu J du segment [AB]. \item Prouver que J appartient \`{a} ($\mathcal{C}$). \item Tracer D et J pour $m=0$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} \textbf{Partie B}\\[0pt] \end{center} \begin{enumerate} \item Soit $x$ un r\'{e}el quelconque.\newline A l'aide d'une int\'{e}gration par partie, calculer l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ \text{I}(x)=\int_{0}^{x}{te^{2t}}dt. \] \item Soit $x$ un r\'{e}el n\'{e}gatif.\newline \index{Calcul!d'aire}Calculer l'aire $\mathcal{A}(x)$, exprim\'{e}e en $\text{cm}^{2}$, de l'ensemble des points N du plan dont les coordonn\'{e}es ($u,v$) v\'{e}rifient : \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x\leqslant u\leqslant0\\ 0\leqslant v\leqslant f(x) \end{array} \right. \] \item Calculer $\mathcal{A}(-1)$. \item $\mathcal{A}(x)$ admet-elle une limite quand $x$ tend vers moins l'infini ? Si oui laquelle ? \end{enumerate} \section{Asie 1998} \textbf{Partie A}\newline Soit la fonction $g$, d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$, qui, \`{a} tout $x$, associe : \index{Fonction!exponentielle} \[ g(x)=e^{x}(x-1)+x^{2}. \] \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que la d\'{e}riv\'{e}e de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$ est : \[ g\,^{\prime}(x)=x(e^{x}+2). \] \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer les limites de $g$ en $(+ \infty)$ et en $(- \infty)$. \item[\textbf{c.}] \'{E}tudier le signe de $g\,^{\prime}(x)$ sur $\mathbb{R}$, et dresser le tableau de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$. \end{enumerate} \item[\textbf{2.}] Montrer que l'\'{e}quation $g(x)=0$ admet une solution $\alpha$ et une seule sur l'intervalle $[0\,;\,+\infty\lbrack$.\newline Montrer que $\alpha$ est dans l'intervalle I $=\left[ \displaystyle\frac {1}{2}\,;\,1\right] .$ \end{enumerate} \textbf{Partie B}\\[0,3cm]Soit la fonction $f$ d\'{e}finie sur $[0\,;\,+\infty [$ par : \[ f(x) = \displaystyle\frac{e^{x}}{e^{x} + x}. \] \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]Montrer que les \'{e}quations $f(x)=x$ et $g(x)=0$ sont \'{e}quivalentes sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$, et que, par suite, l'\'{e}quation $f(x)=x$ admet $\alpha$ pour solution unique sur I. \item[\textbf{2.}] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Calculer la d\'{e}riv\'{e}e de $f$ et en d\'{e}duire le sens de variation de $f$ sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$. \item[\textbf{b.}] D\'{e}terminer la limite de $f$ en $+ \infty$. \item[\textbf{c.}] Dresser le tableau de variation de $f$. \item[\textbf{d.}] Construire la courbe repr\'{e}sentative $\mathcal{C}$ de $f$ sur $[0\,;\,+\infty\lbrack$ dans un rep\`{e}re orthonormal (unit\'{e} 2 cm). On indiquera en particulier les tangentes \`{a} $\mathcal{C}$ aux points d'abscisses 0 et 1. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie C} \begin{enumerate} \item [\textbf{1.}]Montrer que, pour tout $x$ appartenant \`{a} I, $f(x)$ appartient \`{a} I. \item[\textbf{2.}] Soit la suite $(u_{n})_{n\in\mathbb{N}^{\star}}$ d\'{e}finie par \index{Suite!r\'{e}currente} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% u_{1}=\frac{1}{2}\\[0cm]% u_{n}=f(u_{n-1})\quad\text{pour tout}\ n>1 \end{array} \right. \] \begin{enumerate} \item [\textbf{a.}]Montrer que, pour tout $n \in\mathbb{N}^{\star}$, $\ u_{n} \in I$. \item[\textbf{b.}] Montrer que, pour tout $x\in$ I, $\ $% \[ \left| f\,^{\prime}(x)\right| \leqslant\frac{1}{2}% \] \item[\textbf{c.}] En appliquant le th\'{e}or\`{e}me de l'in\'{e}galit\'{e} des accroissements finis, \index{In\'{e}galit\'{e}!des accroissements finis}d\'{e}montrer que : \[ \text{pour tout}\ n>1,\quad\left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant\frac{1}% {2}\left| u_{n-1}-\alpha\right| . \] \item[\textbf{d.}] En d\'{e}duire, par un raisonnement par r\'{e}currence, que : \index{R\'{e}currence} \[ \text{pour tout}\ n\in\mathbb{N}^{\star},\quad\left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant\left( \frac{1}{2}\right) ^{n}. \] \item[\textbf{e.}] En d\'{e}duire que $(u_{n})$ converge vers $\alpha$ \item[\textbf{f.}] A priori, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour obtenir une valeur approch\'{e}e de $\alpha$ \`{a} $10^{-7}$ pr\`{e}s~? \end{enumerate} \item[\textbf{3.}] En utilisant la d\'{e}croissance de $f$, montrer que $\alpha$ est compris entre deux termes cons\'{e}cutifs quelconques de la suite. En d\'{e}duire un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-7}$. \end{enumerate} \section{Groupe I bis 1997}% \[ \text{\textbf{Partie I}}% \] Soit la fonction $\varphi$ d\'{e}finie dans $\mathbb{R}$ par $\varphi\left( x\right) =e^{x}+x+1. \index{Fonction!exponentielle}$ \begin{enumerate} \item Etudier le sens de variation de $\varphi$ et ses limites en $+\infty$ et en $-\infty.$ \item Montrer que l'\'{e}quation $\varphi\left( x\right) =0$ a une solution et une seule $\alpha$ et que l'on a : \[ -1,28<\alpha<-1,27 \] \item En d\'{e}duire le signe de $\varphi\left( x\right) $ sur $\mathbb{R}. $ \end{enumerate}% \[ \text{\textbf{Partie II}}% \] Soit la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f\left( x\right) =\frac{xe^{x}}{e^{x}+1}% \] et $\left( C\right) $ sa courbe repr\'{e}sentative dans un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ du plan ( unit\'{e} graphique : 4 cm ). \begin{enumerate} \item Montrer que : \[ f^{\prime}\left( x\right) =\frac{e^{x}\varphi\left( x\right) }{\left( e^{x}+1\right) ^{2}}% \] En d\'{e}duire le sens de variation de $f.$ \item Montrer que $f\left( \alpha\right) =\alpha+1$ et en d\'{e}duire un encadrement de $f\left( \alpha\right) .$ \item Soit $T$ la tangente \`{a} $\left( C\right) $ au point d'abscisse $0.$ Donner une \'{e}quation de $T$ et \'{e}tudier la position de $\left( C\right) $ par rapport \`{a} $T.$ \index{Tangente} \item Chercher les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty.$% \newline D\'{e}montrer que la droite $D$ d'\'{e}quation $y=x$ est asymptote \`{a} $\left( C\right) $ et \'{e}tudier la position de $\left( C\right) $ par rapport \`{a} $D.$ b \index{Asymptote} \item Faire le tableau de variation de $f.$ \item Tracer sur un m\^{e}me dessin $\left( C\right) ,$ $T$ et $D.$ La figure demand\'{e}e fera appara\^{i}tre les points de $\left( C\right) $ dont les abscisses appartiennent \`{a} $\left[ -2;4\right] .$ \end{enumerate}% \[ \text{\textbf{Partie III}}% \] On consid\`{e}re la fonction $g$ d\'{e}finie sur $\left[ 0,1\right] $ par : \[ g\left( x\right) =\ln\left( 1+e^{x}\right) \] On note $\left( L\right) $ la courbe repr\'{e}sentative de $g$ dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $, $I$ le point d\'{e}fini par $\overrightarrow{OI}=\vec{\imath},$ $A$ le point d'abscisse $0 $ de $\left( L\right) $ et $B$ son point d'abscisse $1.$ \begin{enumerate} \item Etudier bri\`{e}vement les variations de $g.$ \item Donner une \'{e}quation de la tangente en $A$ \`{a} $\left( L\right) . $ \item On note $P$ l'intersection de cette tangente avec le segment $\left[ IB\right] .$ Calculer les aires des trap\`{e}zes $OIPA$ et $OIBA$. \index{Aire} \item On admet que la courbe $\left( L\right) $ est situ\'{e}e entre les segments $\left[ AP\right] $ et $\left[ AB\right] .$ Montrer alors que : \[ \ln2+\frac{1}{4}\leqslant\int_{0}^{1}g\left( x\right) \,dx\leqslant\ln \sqrt{2\left( 1+e\right) }% \] \item Au moyen d'une int\'{e}gration par parties, justifier que : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ \int_{0}^{1}f\left( x\right) \,dx=\ln\left( 1+e\right) -\int_{0}% ^{1}g\left( x\right) \,dx \] \item En d\'{e}duire un encadrement de \[ \int_{0}^{1}f\left( x\right) \,dx \] \end{enumerate} \section{Groupe II bis 1997} Dans tout le probl\`{e}me, on se place dans un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ L'unit\'{e} graphique est $2$ cm. \textbf{Partie I : Etude d'une fonction }$g.$ Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\left] 0;+\infty\right[ $ par : \[ g\left( x\right) =x\ln x-x+1 \] et $\mathcal{C}$ sa repr\'{e}sentation graphique dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $g$ en $0$ et $+\infty.$ \item Etudier les variations de $g.$ En d\'{e}duire le signe de $g\left( x\right) $ en fonction de $x.$ \item On note $\mathcal{C}^{\prime}$ la repr\'{e}sentation graphique de la fonction $x\mapsto\ln x$ dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath}% ,\vec{\jmath}\right) .$ Montrer que $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}^{\prime}$ ont deux points communs d'abscisses respectives $1$ et $e$ et que, pour tout $x$ \'{e}l\'{e}ment de $\left[ 1,e\right] ,$ on a : \index{Points!communs} \[ x\ln x-x+1\leqslant\ln x \] On ne demande pas de repr\'{e}senter $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}^{\prime}. $ \item \begin{enumerate} \item Calculer, \`{a} l'aide d'une int\'{e}gration par parties, l'int\'{e}grale : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ J=\int_{1}^{e}\left( x-1\right) \ln x\,dx \] \item Soit $\Delta$ le domaine plan d\'{e}fini par : \[ \Delta=\left\{ M\left( x,y\right) ;1\leqslant x\leqslant e\text{ et }g\left( x\right) \leqslant y\leqslant\ln x\right\} \] D\'{e}terminer, en cm$^{2},$ l'aire de $\Delta.$ Donner une valeur d\'{e}cimale approch\'{e}e \`{a} $10^{-2}$ pr\`{e}s de cette aire. \index{Aire} \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie II : Etude d'une fonction }$f.$ Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\left] 1;+\infty\right[ $ par : \[ f\left( x\right) =\frac{1}{x-1}\ln x \] \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $f$ en $+\infty$ et en $1.$ Pour l'\'{e}tude de la limite en $1,$ on pourra utiliser un taux d'accroissement. \index{Taux!d'accroissement} \item D\'{e}terminer le tableau de variation de $f.$ On pourra remarquer que $f^{\prime}\left( x\right) $ s'\'{e}crit facilement en fonction de $g\left( x\right) .$ \item Tracer la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans le rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) .$ \end{enumerate} \textbf{Partie III : Etude de l'\'{e}quation }$f\left( x\right) =\frac{1}% {2}. $ \index{Equation} \begin{enumerate} \item Montrer que l'\'{e}quation $f\left( x\right) =\frac{1}{2}$ admet une unique solution not\'{e}e $\alpha$ et que \[ 3,5<\alpha<3,6 \] \item Soit $h$ la fonction d\'{e}finie sur $\left] 1;+\infty\right[ $ par : \[ h\left( x\right) =\ln x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}% \] \begin{enumerate} \item Montrer que $\alpha$ est solution de l'\'{e}quation $h\left( x\right) =x.$ \item Etudier le sens de variation de $h.$ \item On pose $I=\left[ 3,4\right] .$ Montrer que pour tout $x$ \'{e}% l\'{e}ment de $I$ on a $h\left( x\right) \in I$ et \[ \left| h^{\prime}\left( x\right) \right| \leqslant\frac{5}{6}% \] \end{enumerate} \item On d\'{e}finit la suite $\left( u_{n}\right) $ par : \index{Suite!r\'{e}currente} \[ u_{0}=3\text{ et pour tout }n\geqslant0\text{ }u_{n+1}=h\left( u_{n}\right) \] Justifier successivement les trois propri\'{e}t\'{e}s suivantes : \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n,$% \[ \left| u_{n+1}-\alpha\right| \leqslant\frac{5}{6}\left| u_{n}% -\alpha\right| \] \item Pour tout entier naturel $n,$% \[ \left| u_{n}-\alpha\right| \leqslant\left( \frac{5}{6}\right) ^{n}% \] \item La suite $\left( u_{n}\right) $ converge vers $\alpha.$ \end{enumerate} \item Donner un entier naturel $p,$ tel que des majorations pr\'{e}% c\'{e}dentes on puisse d\'{e}duire que $u_{p}$ est une valeur approch\'{e}e de $\alpha$ \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s. Indiquer une valeur d\'{e}cimale approch\'{e}e \`{a} $10^{-3}$ pr\`{e}s de $\alpha.$ \end{enumerate} \section{Antilles 1997} \textbf{Partie I} On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur l'intervalle $\left] 0,+\infty\right[ $ par : \index{Fonction!logarithme} \[ f\left( x\right) =\ln\left( \frac{x+1}{x}\right) -\frac{1}{x+1}% \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la fonction d\'{e}riv\'{e}e de la fonction $f$ et \'{e}tudier le sens de variation de $f.$ \item Calculer la limite de $f\left( x\right) $ lorsque $x$ tend vers $0$ et lorsque $x$ tend vers $+\infty.$ \item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ et en d\'{e}duire le signe de $f\left( x\right) $ pour tout $x$ appartenant \`{a} $\left] 0,+\infty\right[ .$ \item Le plan \'{e}tant rapport\'{e} \`{a} un rep\`{e}re orthonormal direct $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) ,$ l'unit\'{e} graphique est $5$ cm. Tracer la courbe $\mathcal{C}$ repr\'{e}sentative de la fonction $f.$ \end{enumerate} \textbf{Partie II} On consid\`{e}re la fonction $g$ d\'{e}finie sur l'intervalle $\left] 0,+\infty\right[ $ par : \[ g\left( x\right) =x\ln\left( \frac{x+1}{x}\right) \] \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer la fonction d\'{e}riv\'{e}e de la fonction $g.$ D\'{e}duire de la partie I le sens de variation de $g$ sur $\left] 0,+\infty\right[ $. \item V\'{e}rifier que $g=h\circ k$ avec $h$ et $k$ les fonctions d\'{e}finies sur $\left] 0,+\infty\right[ $ par : \[ h\left( x\right) =\frac{\ln\left( 1+x\right) }{x}\text{ et }k\left( x\right) =\frac{1}{x}% \] En d\'{e}duire la limite de $g$ en $+\infty$ et en $0.$ \item Donner le tableau des variations de $g$ sur $\left] 0,+\infty\right[ .$ \end{enumerate} \textbf{Partie III} \begin{enumerate} \item Soit $\lambda$ un nombre r\'{e}el strictement sup\'{e}rieur \`{a} $1. $ On note $A\left( \lambda\right) $ l'aire en cm$^{2}$ du domaine ensemble des points $M$ du plan dont les coordonn\'{e}es v\'{e}rifient : \index{Calcul!d'aire} \[ 1\leqslant x\leqslant\lambda\text{ et }0\leqslant y\leqslant f\left( x\right) \] En utilisant les r\'{e}sultats de la partie II, \begin{enumerate} \item Calculer $A\left( \lambda\right) $ en fonction de $\lambda.$ \item D\'{e}terminer la limite de $A\left( \lambda\right) $ lorsque $\lambda$ tend vers $+\infty.$ \item Justifier l'affirmation :\newline `` L'\'{e}quation $A\left( \lambda\right) =5$ admet une solution unique not\'{e}e $\lambda_{0}% "$\newline Puis donner un encadrement de $\lambda_{0}$ d'amplitude $10^{-2}.$ \end{enumerate} \item Soit $\left( u_{n}\right) $ la suite num\'{e}rique d\'{e}finie sur $\mathbb{N}^{\ast}$ par : \index{Suite!num\'{e}rique} \[ u_{n}=\left( \frac{n+1}{n}\right) ^{n}% \] Montrer, en remarquant que $\ln\left( u_{n}\right) =g\left( n\right) ,$ que : \begin{enumerate} \item La suite $\left( u_{n}\right) $ est une suite croissante. \item La suite $\left( u_{n}\right) $ est convergente, et pr\'{e}ciser sa limite. \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Polyn% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion esie 1997} Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ f\left( x\right) =x-1+\left( x^{2}+2\right) e^{-x}% \] On note $\left( \mathcal{C}\right) $ la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans un rep\`{e}re orthonormal $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ ( unit\'{e} graphique 2 cm ). \index{Fonction!exponentielle} \textbf{Partie I : Etude d'une fonction auxiliaire.} Soit $g$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par : \[ g\left( x\right) =1-\left( x^{2}-2x+2\right) e^{-x}% \] \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $g$ en $-\infty$ et en $+\infty.$ \item Calculer la d\'{e}riv\'{e}e de $g$ et d\'{e}terminer son signe. \item En d\'{e}duire le tableau de variation de $g.$ \item D\'{e}montrer que l'\'{e}quation $g\left( x\right) =0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $\mathbb{R}$ puis justifier que \[ 0,35\leqslant\alpha\leqslant0,36 \] \item En d\'{e}duire le signe de $g.$ \end{enumerate} \textbf{Partie II : Etude de }$f$ \begin{enumerate} \item Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et en $+\infty.$ \item D\'{e}terminer $f^{\prime}\left( x\right) $ pour tout $x$ r\'{e}el. \item En d\'{e}duire, \`{a} l'aide de la partie I, les variations de $f$ et donner son tableau de variation. \item \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que : \[ f\left( \alpha\right) =\alpha\left( 1+2e^{-\alpha}\right) \] \item A l'aide de l'encadrement de $\alpha$ d\'{e}terminer un encadrement de $f\left( \alpha\right) $ d'amplitude $4\times10^{-2}.$ \end{enumerate} \item D\'{e}montrer que la droite $\Delta$ d'\'{e}quation $y=x-1$ est asymptote \`{a} $\left( \mathcal{C}\right) $ en $+\infty.$ Pr\'{e}ciser la position de $\left( \mathcal{C}\right) $ par rapport \`{a} $\Delta.$ \index{Asymptote} \item Donner une \'{e}quation de la tangente $T$ \`{a} $\left( \mathcal{C}\right) $ au point d'abscisse $0.$ \index{Tangente} \item Tracer $\Delta,$ $T$ puis $\left( \mathcal{C}\right) .$ \item \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les r\'{e}els $a,$ $b$ et $c$ tels que la fonction $P$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par \[ P\left( x\right) =\left( ax^{2}+bx+c\right) e^{-x}% \] soit une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x\mapsto\left( x^{2}+2\right) e^{-x}.$ \index{Primitive} \item Calculer en fonction de $\alpha$ l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^{2}$ de la partie du plan limit\'{e}e par $\left( \mathcal{C}\right) ,$ $\Delta$ et les droites d'\'{e}quations $x=-\alpha$ et $x=0.$ \index{Calcul!d'aire} \item Justifier que : \[ \mathcal{A}=4e^{2\alpha}+8e^{\alpha}-16 \] \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie III : Etude d'une suite \index{Suite!r\'{e}currente}} \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que pour tout $x$ de $\left[ 1;2\right] $ : \[ 1\leqslant f\left( x\right) \leqslant2 \] \item D\'{e}montrer que pour tout $x$ de $\left[ 1;2\right] $ : \[ 0\leqslant f^{\prime}\left( x\right) \leqslant\frac{3}{4}% \] \item En utilisant le sens de variation de la fonction $h$ d\'{e}finie sur $\left[ 1;2\right] $ par : \[ h\left( x\right) =f\left( x\right) -x \] d\'{e}montrer que l'\'{e}quation $f\left( x\right) =x$ admet une solution unique $\beta$ dans $\left[ 1;2\right] .$ \item Soit $\left( u_{n}\right) $ la suite num\'{e}rique d\'{e}finie par $u_{0}=1$ et pour tout entier naturel $n,$ \[ u_{n+1}=f\left( u_{n}\right) \] \begin{enumerate} \item D\'{e}montrer que pour tout entier naturel $n,$ \[ 1\leqslant u_{n}\leqslant2 \] \item D\'{e}montrer que pour tout entier naturel $n,$ \[ \left| u_{n+1}-\beta\right| \leqslant\frac{3}{4}\left| u_{n}-\beta\right| \] \item D\'{e}montrer que pour tout entier naturel $n,$ \[ \left| u_{n}-\beta\right| \leqslant\left( \frac{3}{4}\right) ^{n}% \] \item En d\'{e}duire que la suite $\left( u_{n}\right) $ est convergente et donner sa limite. \index{Suite!convergente} \item Trouver un entier $n_{0}$ tel que pour tout entier naturel $n$ sup\'{e}rieur ou \'{e}gal \`{a} $n_{0},$ on ait : \[ \left| u_{n}-\beta\right| \leqslant10^{-2}% \] \end{enumerate} \end{enumerate} \section{Japon 1997} Pour tout entier $n$ strictement positif, on consid\`{e}re la fonction $f_{n} $ d\'{e}finie sur $\left] 0,+\infty\right[ $ par : \[ f_{n}\left( x\right) =\frac{\left( \ln x\right) ^{n}}{x^{2}}% \] On note $C_{n}$ la courbe repr\'{e}sentative de $f_{n}$ dans un rep\`{e}re $\left( O;\vec{\imath},\vec{\jmath}\right) $ orthogonal ( unit\'{e}s graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses, $10$ cm sur l'axe des ordonn\'{e}es ). \index{Fonction!logarithme} \index{Famille!de fonctions} \textbf{Partie I} \emph{Etude pour }$n=1$ \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer $\lim_{x\rightarrow0}f_{1}\left( x\right) $ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}f_{1}\left( x\right) .$ Que peut-on en d\'{e}duire pour $C_{1}$ ? \item Etudier le sens de variation de $f_{1}$ et donner le tableau des variations de $f_{1}.$ \item D\'{e}terminer une \'{e}quation de la tangente en $x_{0}=1$ \`{a} la courbe $C_{1}.$\newline \index{Tangente}\emph{Etude pour }$n=2$ \item D\'{e}terminer $\lim_{x\rightarrow0}f_{2}\left( x\right) $ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}f_{2}\left( x\right) .$ Que peut-on en d\'{e}duire pour $C_{2}$ ? \item Calculer $f_{2}^{\prime}\left( x\right) $ et donner le tableau de variations de $f_{2}.$ \end{enumerate} \textbf{Partie II} \begin{enumerate} \item Etudier le signe de $f_{1}\left( x\right) -f_{2}\left( x\right) ;$ En d\'{e}duire la position relative de $C_{1}$ et $C_{2}.$ \index{Position!relative} \item Tracer $C_{1}$ et $C_{2}.$ \end{enumerate} \textbf{Partie III} $n$ \'{e}tant un entier naturel non nul, on pose : \[ I_{n}=\int_{1}^{e}f_{n}\left( x\right) \,dx \] \begin{enumerate} \item On pose : \[ F\left( x\right) =\frac{1+\ln x}{x}% \] Calculer $F^{\prime}\left( x\right) ,$ en d\'{e}duire $I_{1}.$ \item En utilisant une int\'{e}gration par parties, montrer que : \index{Int\'{e}gration!par parties} \[ I_{n+1}=-\frac{1}{e}+\left( n+1\right) I_{n}% \] \item Calculer $I_{2}$ puis l'aire en cm$^{2}$ du domaine compris entre les courbes $C_{1}$ et $C_{2}$ et les droites d'\'{e}quations $x=1$ et $x=e.$ \end{enumerate} \textbf{Partie IV} \begin{enumerate} \item En utilisant la question 2. de la partie III, montrer par r\'{e}currence que pour tout $n$ entier naturel non nul : \[ \frac{1}{n!}I_{n}=1-\frac{1}{e}\left( 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}% +\cdots+\frac{1}{n!}\right) \] \item En utilisant un encadrement de $\ln x$ sur $\left[ 1;e\right] ,$ montrer que pour tout $n$ entier naturel non nul : \[ 0\leqslant I_{n}\leqslant1 \] \item En d\'{e}duire : \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\left( 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac {1}{n!}\right) \] \end{enumerate} \section{Nouvelle Cal% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion edonie 1996\label{pb_nouv_caledonie_96}} \textbf{\textsf{Partie I}}\newline On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par \[ {f(x)=x^{2}e^{-x}}% \] ainsi que sa courbe repr\'{e}sentative $\mathcal{C}$ dans un rep\`{e}re orthonormal \mbox{$\left(O,\vec{\imath},\vec{\jmath}\right)$} . \index{Fonction!exponentielle} \begin{enumerate} \item Calculer la d\'{e}riv\'{e}e de $f$. \item En d\'{e}duire le tableau de variation de $f$. Pr\'{e}ciser les limites de $f $ en $+\infty$ et en $-\infty$. \item Tracer $\mathcal{C}$ . On choisira une unit\'{e} graphique de 4 cm. \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{\textsf{Partie II}} \begin{enumerate} \item Calculer ${\displaystyle J=\int_{0}^{1}xe^{-x}\,dx}$. \index{Int\'{e}grale} \item V\'{e}rifier que $f$ est telle que :\quad$f^{\prime}(x)+f(x)=2xe^{-x}.$ \item En d\'{e}duire que \[ {\int_{0}^{1}f(x)\,dx=2\text{J}-f(1)}% \] \ (J est d\'{e}finie \`{a} la question \textbf{II - 1.}). \end{enumerate} \vspace{.5cm} \textbf{\textsf{Partie III}}\newline L'\'{e}quation $f(x)=f(2)$ admet une seconde solution, not\'{e}e $\alpha$, et appartenant \`{a} l'intervalle $\text{I}=\left[ -1,0\right] $. \begin{enumerate} \item Soit ${\displaystyle g(x)=\left( -\frac{2}{e}\right) e^{\frac{x}{2}}}$. Montrer que $f(\alpha)=f(2)$ \'{e}quivaut \`{a} $g(\alpha)=\alpha$. \item Montrer que $g$(I) est inclus dans I et que ${\displaystyle\mid g^{\prime}(x)\mid\leqslant\frac{1}{e}}$ pout tout $x$ appartenant \`{a} I. \item En d\'{e}duire que ${\displaystyle\mid g(x)-\alpha\mid\leqslant\frac {1}{e}\mid x-\alpha\mid}$ pout tout $x$ appartenant \`{a} I. \item On d\'{e}finit la suite ${(U_{n})_{n\in\mathbb{N}}}$ par \index{Suite!r\'{e}currente} \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% U_{0}=-0,5\\ U_{n+1}=g(U_{n})\quad\text{pour tout entier }n\geqslant0 \end{array} \right. \] On admet que $U_{n}$ appartient \`{a} I pour tout entier $n\geqslant 0$.\newline Montrer que \[ {\mid U_{n}-\alpha\mid\leqslant\frac{1}{e^{n}}\mid U_{0}-\alpha\mid \leqslant\frac{1}{2e^{n}}}% \] pour tout entier $n\geqslant0$. \item D\'{e}terminer le plus petit entier $n$ tel que l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente fournisse une valeur approch\'{e}e de $\alpha$ \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s. \end{enumerate} \section{National Ann% %TCIMACRO{\TeXButton{\'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ee 1995} Soit $f$ la fonction d\'{e}finie sur $\mathbb{R-}\left\{ 3\right\} $ par : \[ f\left( x\right) =\left( x+1\right) \ln\left| x-3\right| \] o\`{u} $\ln$ d\'{e}signe la fonction logarithme n\'{e}p\'{e}rien. $\left( C\right) $ est la courbe repr\'{e}sentative de $f$ dans un rep\`{e}re orthonormal $\left( O\text{\/};\vec{\imath}\text{\/},\vec{\jmath }\text{\/\thinspace}\right) $ ( unit\'{e} $1$ cm ).\medskip \index{Valeur!absolue} \index{Fonction!logarithme} \textbf{Partie A : Etude de la fonction }$f.$ \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item V\'{e}rifier que si $x$ appartient \`{a} $D,$ alors : \[ f^{\prime}\left( x\right) =\frac{x+1}{x-3}+\ln\left| x-3\right| \] \item Pour $x$ appartenant \`{a} $D,$ calculer $f^{\prime\prime}\left( x\right) ,$ o\`{u} $f^{\prime\prime}$ d\'{e}signe la d\'{e}riv\'{e}e seconde de $f.$ En d\'{e}duire les variations de $f^{\prime}.$ \index{D\'{e}riv\'{e}e!seconde} \item Calculer les limites de $f^{\prime}$ en $-\infty$ et en $3$ \`{a} gauche. \item Montrer que $f^{\prime}$ s'annule sur $\left] -\infty;3\right[ $ pour une seule valeur $\alpha.$ Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,1.$ Etudier le signe de $f^{\prime}\left( x\right) $ sur $\left] -\infty;3\right[ .$ \item Etudie le signe de $f^{\prime}\left( x\right) $ sur $\left] 3;+\infty\right[ .$ \item Dresser le tableau de variation de $f.$ \end{enumerate} \item Etudier les limites de $f$ aux bornes de $D.$ Pr\'{e}ciser les asymptotes \'{e}ventuelles \`{a} $\left( C\right) $ \item Calculer les coordonn\'{e}es des points d'intersection de $\left( C\right) $ et de l'axe des abscisses. \item Tracer la courbe $\left( C\right) .\vspace{0.5cm}$ \end{enumerate} \textbf{Partie B : Calcul d'une aire}\newline $A$ d\'{e}signe l'aire en cm$^{2}$ de la r\'{e}gion comprise entre la courbe $\left( C\right) ,$ l'axe des abscisses, les droites d'\'{e}quation $x=-1$ et $x=2.$ \begin{enumerate} \item D\'{e}terminer les r\'{e}els $a,$ $b$ et $c$ tels que, pour tout r\'{e}el $x$ diff\'{e}rent de $3$ : \[ \frac{x^{2}+2x}{3-x}=ax+b+\frac{c}{3-x}% \] \item En d\'{e}duire la valeur exacte de $:$ \index{Int\'{e}grale} \[ I=\int_{-1}^{2}\frac{t^{2}+2t}{3-t}\;dt \] \item Gr\^{a}ce \`{a} une int\'{e}gration par parties, et en utilisant la question pr\'{e}c\'{e}dente, calculer la valeur \index{Calcul!d'aire} exacte de l'aire $A.$ \end{enumerate} \section{La R% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eunion 1995} Dans tout ce probl\`{e}me, ln d\'{e}signe la fonction logarithme n\'{e}% p\'{e}rien.\newline \index{Fonction!logarithme} {\noindent\textbf{Partie A -- Etude d'une fonction auxiliaire}}\newline On consid\`{e}re la fonction $g$ \/d\'{e}finie sur l'intervalle $]0,+\infty \lbrack$ par : \[ g\left( x\right) =x^{2}-\frac{1}{x^{2}}-4\ln x \] \begin{enumerate} \item Etudier les variations de $g$. Pr\'{e}ciser $g(1)$. \item En d\'{e}duire le signe de la fonction $g$ sur chacun des intervalles $]0,\ 1[$ et $]1,\ +\infty\lbrack$.\newline \end{enumerate} {{\noindent\textbf{Partie B -- Etude d'une fonction}}\newline On consid\`{e}re la fonction $f$ d\'{e}finie sur l'intervalle $]0,+\infty\lbrack$ par :} \[ f\left( x\right) =\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4x^{2}}-\left( \ln x\right) ^{2}% \] {\ } \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout r\'{e}el ${\displaystyle x>0,f(x)=f(\frac{1}% {x})}$. \item D\'{e}terminer la limite de $f$ \/en $+\infty$ (on pourra mettre $x^{2}$ en facteur) dans l'expression de $f(x)$.\newline D\'{e}terminer la limite de $f$ en 0. \item Montrer que pour tout r\'{e}el ${\displaystyle x>0,f^{\prime}% (x)=\frac{1}{2x}g(x)}$.\newline En utilisant la partie A, \'{e}tudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0,+\infty]$. \item On nomme $C_{f}$ la repr\'{e}sentation graphique de $f$ dans un rep\`{e}re orthonorm\'{e} ; unit\'{e} graphique 5 cm. Tracer $C_{f}$. \end{enumerate} {\noindent\textbf{Partie C -- R\'{e}solution approch\'{e}e d'\'{e}quations}} \begin{enumerate} \item Montrer que l'\'{e}quation $f(x)=x$ admet une seule solution sur l'intervalle $]0,\ 1].$ On pourra \'{e}tudier le sens de variation de la fonction $h$ d\'{e}finie sur $]0,\ 1]$ par \[ h(x)=f(x)-x \] On nomme $\alpha$ cette solution. \item Montrer que l'\'{e}quation ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}}$ admet une seule solution sur l'intervalle ${[1,\ +\infty\lbrack}$.\newline On nomme $\beta$ cette solution. \item D\'{e}terminer un encadrement de $\beta$ \/\/d'amplitude $10^{-2}$. En d\'{e}duire un encadrement de $\alpha$. \end{enumerate} \chapter{El% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion ements de solutions} \section{Sujets du baccalaur% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\'}}% %BeginExpansion \'% %EndExpansion eat} \subsection{Correction du sujet \ref{bac99}} \begin{center} \textbf{EXERCICE 1} \end{center} \begin{enumerate} \item L'image $M$ de $m$ par $F$ est le point d'affixe : \begin{align*} \frac{1}{2}\left( e^{it}\right) ^{2}-e^{it} & =\frac{1}{2}e^{2it}-e^{it}\\ & =\frac{1}{2}\left( \cos2t+i\sin2t\right) -\left( \cos t+i\sin t\right) \\ & =\left( \frac{1}{2}\cos2t-\cos t\right) +i\left( \frac{1}{2}\sin2t-\sin t\right) \end{align*} En s\'{e}parant les parties r\'{e}elles et les parties imaginaires, on trouve bien que : \[ \left\{ \begin{array} [c]{l}% x\left( t\right) =\frac{1}{2}\cos2t-\cos t\\ y\left( t\right) =\frac{1}{2}\sin2t-\sin t \end{array} \right. \] \item $x\left( -t\right) =\allowbreak\frac{1}{2}\cos\left( -2t\right) -\cos\left( -t\right) =$ $\frac{1}{2}\cos2t-\cos t=x\left( t\right) $ car la fonction cosinus est paire.\newline $y\left( -t\right) =\allowbreak \frac{1}{2}\sin\left( -2t\right) -\sin\left( -t\right) =-\frac{1}{2}% \sin2t+\sin t=-y\left( t\right) $ car la fonction sinus est impaire.\newline On peut en d\'{e}duire que pour tout $t$ de $\left[ -\pi ,\pi\right] ,$ les points de param\`{e}tre $t$ et $\left( -t\right) $ sont sym\'{e}triques par rapport \`{a} l'axe des abscisses, et donc que $\Gamma$ admet comme axe de sym\'{e}trie cette droite. \item $x^{\prime}\left( t\right) =-\frac{2\sin2t}{2}+\sin t=\allowbreak -2\sin t\cos t+\sin t=\sin t\left( 1-2\cos t\right) $ car $\sin2t=2\sin t\cos t$.\newline Sur $\left[ 0,\pi\right] ,$ $\sin t\geqslant0,$ donc le signe de $x^{\prime}\left( t\right) $ est celui de $1-2\cos t.$ On a :\newline $1-2\cos t\geqslant0\Leftrightarrow\cos t\leqslant\frac{1}% {2}\Leftrightarrow t\in\left[ \frac{\pi}{3},\pi\right] .$\newline $1-2\cos t\leqslant0\Leftrightarrow\cos t\geqslant\frac{1}{2}\Leftrightarrow t\in\left[ 0,\frac{\pi}{3}\right] .$\newline En conclusion, $x$ est d\'{e}croissante sur $\left[ 0,\frac{\pi}{3}\right] $ et croissante sur $\left[ \frac{\pi}{3},\pi\right] $. \item $y^{\prime}\left( t\right) =\frac{2\cos2t}{2}-\cos t=2\cos^{2}t-1-\cos t$ car $\cos^{2}t=2\cos^{2}t-1.$ Comme \[ \left( \cos t-1\right) \left( 1+2\cos t\right) =2\cos^{2}t-\cos t-1 \] on en d\'{e}duit bien l'\'{e}galit\'{e} cherch\'{e}e. Remarquons que $\cos t-1\leqslant0,$ puis que \newline $1+2\cos t\geqslant0\Leftrightarrow\cos t\geqslant-\frac{1}{2}\Leftrightarrow t\in\left[ 0,\frac{2\pi}{3}\right] .$\newline $1+2\cos t\leqslant0\Leftrightarrow\cos t\leqslant-\frac{1}% {2}\Leftrightarrow t\in\left[ \frac{2\pi}{3},\pi\right] $ \newline En conclusion, $y$ est d\'{e}croissante sur $\left[ 0,\frac{2\pi}{3}\right] $ et croissante sur $\left[ \frac{2\pi}{3},\pi\right] $. \item On obtient le tableau de variations : \[% \begin{tabular} [c]{c|ccccccc}\hline $t$ & $0$ & & $\frac{\pi}{3}$ & & $\frac{2\pi}{3}$ & & $\pi$\\\hline $x^{\prime}\left( t\right) $ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ & $\sqrt{3}$ & $+$ & $0 $\\\hline & & & & & & & $\frac{3}{2}$\\ $x\left( t\right) $ & $-\frac{1}{2}$ & & & & $\frac{1}{4}$ & $\nearrow$ & \\ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & & & \\ & & & $-\frac{3}{4}$ & & & & \\\hline & $0$ & & & & & & \\ & & $\searrow$ & & & & & $0$\\ $y\left( t\right) $ & & & $-\frac{\sqrt{3}}{4}$ & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\ & & & & & $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$ & & \\\hline $y^{\prime}\left( t\right) $ & $0$ & $-$ & $\left( -1\right) $ & $-$ & $0$% & $+$ & $2$\\\hline \end{tabular} \] \item On trace la restriction de $\Gamma$ obtenue pour $t\in\left[ 0,\pi\right] ,$ puis on effectue la r\'{e}flexion par rapport \`{a} l'axe des abscisses pour obtenir toute la courbe.% %TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{3.2967in}{2.207in}{0pt}{}{}{fig4.eps}% %{\special{ language "Scientific Word"; type "GRAPHIC"; %maintain-aspect-ratio TRUE; display "USEDEF"; valid_file "F"; %width 3.2967in; height 2.207in; depth 0pt; original-width 3.2232in; %original-height 2.1473in; cropleft "0"; croptop "1"; cropright "1"; %cropbottom "0"; filename 'fig4.eps';file-properties "XNPEU";}}}% %BeginExpansion \begin{center} \includegraphics[ height=2.207in, width=3.2967in ]% {fig4.eps}% \end{center} %EndExpansion \end{enumerate} \begin{center} \textbf{EXERCICE 2} \end{center} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item $\varphi^{\prime}\left( t\right) =\allowbreak\frac{1}{\left( t+2\right) ^{2}}>0,$ donc $\varphi$ est croissante $\left[ 0,2\right] ,$ ce qui implique en particulier que \[ \varphi\left( 0\right) \leqslant\varphi\left( t\right) \leqslant \varphi\left( 2\right) \Rightarrow\frac{3}{2}\leqslant\varphi\left( t\right) \leqslant\frac{7}{4}% \] \item Il suffit de multiplier l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente par $e^{\frac{t}{n}}>0.$ \item Comme $0\leqslant2,$ on peut int\'{e}grer cette in\'{e}galit\'{e}, ce qui donne : \[ \int_{0}^{2}\frac{3}{2}e^{\frac{t}{n}}dt\leqslant\int_{0}^{2}\varphi\left( t\right) e^{\frac{t}{n}}dt\leqslant\int_{0}^{2}\frac{7}{4}e^{\frac{t}{n}}dt \] Comme $\int_{0}^{2}e^{\frac{t}{n}}dt=\left[ ne^{\frac{t}{n}}\right] _{0}% ^{2}=ne^{\frac{2}{n}}-n=n\left( e^{\frac{2}{n}}-1\right) ,$ on obtient : \[ \frac{3}{2}n\left( e^{\frac{2}{n}}-1\right) \leqslant u_{n}\leqslant\frac {7}{4}n\left( e^{\frac{2}{n}}-1\right) \] \item On utilise le changement de variable d\'{e}fini par $h=\frac{2}{n},$ en remarquant que si $n$ tend vers $+\infty$ alors $h$ tend vers $0.$ On a alors : \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}n\left( e^{\frac{2}{n}}-1\right) =\lim _{h\rightarrow0}\frac{2}{h}\left( e^{h}-1\right) =2 \] donc $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{3}{2}n\left( e^{\frac{2}{n}}-1\right) =\allowbreak3$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{7}{4}n\left( e^{\frac {2}{n}}-1\right) =\allowbreak\frac{7}{2}.$\newline Si $\left( u_{n}\right) $ admet une limite $L$, alors en utilisant le th\'{e}or\`{e}me des gendarmes, on a bien $3\leqslant L\leqslant\frac{7}{2}. $ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout $t$ dans $\left[ 0,2\right] $, on a \[ 2-\frac{1}{t+2}=\frac{2\left( t+2\right) }{t+2}-\frac{1}{t+2}=\frac {2t+3}{t+2}% \] On en d\'{e}duit que : \[ I=\int_{0}^{2}2-\frac{1}{t+2}dt=\left[ 2t-\ln\left( t+2\right) \right] _{0}^{2}=4-\ln2 \] \item Pour tout $t$ dans $\left[ 0,2\right] ,$ on a $0\leqslant\frac{t}% {n}\leqslant\frac{2}{n},$ et la croissance de la fonction exponentielle \'{e}tablit l'in\'{e}galit\'{e} demand\'{e}e. \newline On multiplie l'in\'{e}galit\'{e} pr\'{e}c\'{e}dente par $\left( \frac{2t+3}{t+2}\right) $ qui est positif pour $t\in\left[ 0,2\right] .$ Il vient : \[ \frac{2t+3}{t+2}\leqslant\frac{2t+3}{t+2}e^{\frac{t}{n}}\leqslant\frac {2t+3}{t+2}e^{\frac{2}{n}}% \] Par int\'{e}gration, on obtient :$^{{}}$% \[ \int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}dt\leqslant\int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}e^{\frac {t}{n}}dt\leqslant\int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}e^{\frac{2}{n}}dt \] Il reste \`{a} remarquer que \[ \int_{0}^{2}\frac{2t+3}{t+2}e^{\frac{2}{n}}dt=e^{\frac{2}{n}}\int_{0}^{2}% \frac{2t+3}{t+2}dt=e^{\frac{2}{n}}I \] ce qui \'{e}tablit l'in\'{e}galit\'{e}$.$ \item $\lim_{n\rightarrow+\infty}e^{\frac{2}{n}}=\allowbreak1,$ donc $\lim_{n\rightarrow+\infty}e^{\frac{2}{n}}I=\allowbreak I.$ Le th\'{e}% or\`{e}me des gendarmes \'{e}tablit donc que $\left( u_{n}\right) $ est convergente et que sa limite vaut $I$. \end{enumerate} \end{enumerate} \begin{center} PROBLEME ( \textit{10 points)}\\[0pt] \end{center} \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left( 1-\frac{1}{x}\right) =\allowbreak1$ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left( \ln x-2\right) =\allowbreak+\infty,$ donc $\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left( x\right) =\allowbreak+\infty .$\newline $\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left( 1-\frac{1}{x}\right) =\allowbreak-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow0^{+}}\left( \ln x-2\right) =\allowbreak-\infty,$ donc $\lim_{x\rightarrow0^{+}}f\left( x\right) =\allowbreak+\infty.$ \item $f$ est d\'{e}rivable sur $\left] 0,+\infty\right[ $ comme produit de fonctions d\'{e}rivables. On trouve que \[ f^{\prime}\left( x\right) =\frac{1}{x^{2}}\left( \ln x-2\right) +\left( 1-\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x}=\frac{\ln x+x-3}{x^{2}}% \] en appliquant la formule de d\'{e}rivation d'un produit. \item \begin{enumerate} \item $u$ est d\'{e}rivable sur $\left] 0,+\infty\right[ $ et \[ u^{\prime}\left( x\right) =\allowbreak\frac{1+x}{x}>0 \] donc $u$ est strictement croissante sur $\left] 0,+\infty\right[ .$ \item Sur $\left[ 2,3\right] ,$ la fonction $u$ est d\'{e}rivable, strictement croissante, et $u\left( 2\right) $ et $u\left( 3\right) $ sont de signes contraires. Donc l'\'{e}quation $u\left( x\right) =0$ poss\`{e}de une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $\left[ 2,3\right] .$ Comme $u\left( 2,20\right) \simeq-1,\allowbreak15\times10^{-2}$ $<0$ et $u\left( 2,21\right) \simeq\allowbreak2,\allowbreak99\times10^{-3}>0,$ le r\'{e}el $\alpha$ appartient \`{a} l'intervalle $\left[ 2,20;2,21\right] .$ \item $u$ est croissante et s'annule en $\alpha,$ donc sur $\left] 0,\alpha\right[ $ $u\left( x\right) $ est n\'{e}gatif et sur $\left] \alpha,+\infty\right[ $ u$\left( x\right) $ est positif. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On remarque que $f$'$\left( x\right) =\frac{u\left( x\right) }{x^{2}}, $ et donc que $f$'$\left( x\right) $ est du signe de $u\left( x\right) .$ Donc $f$ est d\'{e}croissante sur $\left] 0,\alpha\right[ $ et croissante sur $\left] \alpha,+\infty\right[ .$ \item $u\left( \alpha\right) =0$ \'{e}quivaut \`{a} $\ln\alpha+\alpha-3=0,$ qui fournit \[ \ln\alpha=3-\alpha \] On a en reportant cette valeur dans l'expression de $f\left( \alpha\right) $ : \[ f\left( \alpha\right) =\left( 1-\frac{1}{\alpha}\right) \left( \left( 3-\alpha\right) -2\right) =\frac{2\alpha-\alpha^{2}-1}{\alpha}% =-\frac{\left( \alpha-1\right) ^{2}}{\alpha}% \] Comme $2,20<\alpha<2,21,$ on a $1,20^{2}<\left( \alpha-1\right) ^{2}<1,21^{2} $ et \[ \frac{1}{2,21}<\frac{1}{\alpha}<\frac{1}{2,20}% \] Par multiplication de ces deux in\'{e}galit\'{e}s, on a : \[ \frac{1,20^{2}}{2,21}<\frac{\left( \alpha-1\right) ^{2}}{\alpha}% <\frac{1,21^{2}}{2,20}% \] Passant \`{a} l'oppos\'{e}, on en d\'{e}duit finalement que : \[ -\frac{1,21^{2}}{2,20}<f\left( \alpha\right) <-\frac{1,20^{2}}{2,21}% \] L'application num\'{e}rique fournit $-\frac{1,21^{2}}{2,20}\simeq -0,\allowbreak665$ et $-\frac{1,20^{2}}{2,21}\simeq-0,\allowbreak651,$ ce qui permet d'obtenir \[ -0,67<f\left( \alpha\right) <-0,65 \] \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Le signe de $f\left( x\right) =\frac{\left( x-1\right) \left( \ln x-2\right) }{x}$ est sur $\left] 0,+\infty\right[ $ celui du produit $\left( x-1\right) \left( \ln x-2\right) .$ Il reste \`{a} faire un tableau de signes : \[% \begin{tabular} [c]{l|ccccccc}\hline $x$ & $0$ & & $1$ & & $e^{2}$ & & $+\infty$\\\hline $x-1$ & & $-$ & $0$ & $+$ & & $+$ & \\\hline $\ln x-2$ & & $-$ & & $-$ & & $+$ & \\\hline $f\left( x\right) $ & & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ & \\\hline \end{tabular} \] En conclusion, $f\left( x\right) $ est n\'{e}gatif sur $\left[ 1,e^{2}\right] ,$ et positif sur $\left] 0,1\right] \cup\left[ e^{2}+\infty\right[ .$ \item Voir le graphique en fin d'\'{e}preuve. \end{enumerate} \end{enumerate} \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Comme $F$ est une primitive de $f$ sur $\left] 0,+\infty\right[ ,$ on a \[ F^{\prime}\left( x\right) =f\left( x\right) \] Connaissant le signe de $f\left( x\right) $ d'apr\`{e}s la question pr\'{e}c\'{e}dente, on peut dire que $F$ est d\'{e}croissante sur $\left[ 1,e^{2}\right] $ et croissante sur $\left] 0,1\right] \cup\left[ e^{2},+\infty\right[ .$ \item Comme $F^{\prime}\left( 1\right) =f\left( 1\right) =0$ et $F^{\prime}\left( e^{2}\right) =f\left( e^{2}\right) =0,$ les tangentes \`{a} $\Gamma$ en ses points d'abscisses $1$ et $e^{2}$ sont donc horizontales. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Posons $u\left( t\right) =\ln t$ et $v^{\prime}\left( t\right) =1,$ d'o\`{u} $u^{\prime}\left( t\right) =\frac{1}{t}$ et $v\left( t\right) =t$ puis appliquons la c\'{e}l\`{e}bre formule : \[ \int_{a}^{b}u\left( t\right) v^{\prime}\left( t\right) dt=\left[ u\left( t\right) v\left( t\right) \right] _{a}^{b}-\int_{a}^{b}u^{\prime}\left( t\right) v\left( t\right) dt \] On obtient alors : \[ \int_{1}^{x}\ln t\,dt=\left[ t\ln t\right] _{1}^{x}-\int_{1}^{x}1dt=x\ln x-x+1 \] \item $f\left( x\right) =\ln x-2-\frac{1}{x}\ln x+\frac{2}{x}$ apr\`{e}s d\'{e}veloppement$.$ \item On a puisque $F$ est la primitive de $f$ qui s'annule en $1$ : \begin{align*} F\left( x\right) & =\int_{1}^{x}f\left( t\right) dt=\int_{1}^{x}\left( \ln t-2-\frac{1}{t}\ln t+\frac{2}{t}\right) dt\\ & =\int_{1}^{x}\ln tdt+\left[ -2t-\frac{\left( \ln t\right) ^{2}}{2}+2\ln t\right] _{1}^{x}\\ & =x\ln x-3x-\frac{1}{2}\ln^{2}x+2\ln x+3 \end{align*} On peut aussi d\'{e}duire de la question pr\'{e}c\'{e}dente qu'une primitive de $x\mapsto\ln x$ est $x\mapsto\left( x\ln x-x\right) ,$ ce qui permet de trouver comme primitives de $f$ les fonctions : \[ x\mapsto\left( x\ln x-x\right) -\frac{\left( \ln x\right) ^{2}}{2}+2\ln x-2x+k \] Il reste \`{a} utiliser le fait que $F\left( 1\right) =0\Rightarrow k=3,$ et l'on retrouve bien le r\'{e}sultat pr\'{e}c\'{e}demment obtenu. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On pose $X=\frac{1}{x}.$ Si $x$ tend vers $0$ par valeurs sup\'{e}rieures, alors $X$ tend vers $+\infty.$ On a donc : \[ \lim_{x\rightarrow0^{+}}\left( x\ln x\right) =\lim_{X\rightarrow+\infty }\frac{\ln\left( \frac{1}{X}\right) }{X}=\lim_{X\rightarrow+\infty}% -\frac{\ln\left( X\right) }{X}=0 \] d'apr\`{e}s le formulaire de baccalaur\'{e}at.\newline On en d\'{e}duit que $\lim_{x\rightarrow0^{+}}F\left( x\right) =\allowbreak-\infty,$ car $\lim_{x\rightarrow0^{+}}\ln x=\allowbreak-\infty.$ \item On d\'{e}veloppe l'expression donn\'{e}e pour $x$ strictement sup\'{e}rieur \`{a} 1, et on \'{e}tablit facilement l'\'{e}galit\'{e}% .$\newline \lim_{x\rightarrow+\infty}F\left( x\right) =\allowbreak+\infty$ car $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left( 1-\frac{1}{2}\times\frac{\ln x}% {x}+\frac{2}{x}-\frac{3}{\ln x}\right) =\allowbreak1$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}x\ln x=\allowbreak+\infty.$ \item On r\'{e}capitule les r\'{e}sultats pr\'{e}c\'{e}dents : \[% \begin{tabular} [c]{l|ccccccc}\hline $x$ & $0$ & & $1$ & & $e^{2}$ & & $+\infty$\\\hline $F^{\prime}\left( x\right) $ & & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ & \\\hline & & & $0$ & & & & $+\infty$\\ $F\left( x\right) $ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\ & $-\infty$ & & & & $5-e^{2}$ & & \end{tabular} \] \item On obtient :% %TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{3.2828in}{2.194in}{0pt}{}{}{fig5.eps}% %{\special{ language "Scientific Word"; type "GRAPHIC"; %maintain-aspect-ratio TRUE; display "USEDEF"; valid_file "F"; %width 3.2828in; height 2.194in; depth 0pt; original-width 3.0026in; %original-height 1.9977in; cropleft "0"; croptop "1"; cropright "1"; %cropbottom "0"; filename 'fig5.eps';file-properties "XNPEU";}}}% %BeginExpansion \begin{center} \includegraphics[ height=2.194in, width=3.2828in ]% {fig5.eps}% \end{center} %EndExpansion \end{enumerate} \item La fonction $f$ est d\'{e}rivable et \`{a} valeurs n\'{e}gatives sur $\left[ 1,e^{2}\right] ,$ donc l'aire en unit\'{e}s d'aires est \'{e}gale \`{a} \[ -\int_{1}^{e^{2}}f\left( x\right) dx \] L'unit\'{e} d'aire valant $4$ cm$^{2},$ on a donc l'aire $\mathcal{A}$ cherch\'{e}e qui est \'{e}gale \`{a} : \begin{align*} \mathcal{A} & =-4\int_{1}^{e^{2}}f\left( x\right) dx=-4\left[ F\left( x\right) \right] _{1}^{e^{2}}\\ & =4F\left( 1\right) -4F\left( e^{2}\right) \\ & =4e^{2}-20 \end{align*} \end{enumerate} \section{Exercices} \subsection{Correction de l'exercice \ref{exo_pondichery_97}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Il s'agit de r\'{e}partir les 4 places inoccup\'{e}es sur les 32 places possibles. On choisit donc une partie de 4 \'{e}l\'{e}ments dans un ensemble en comportant 32, donc il y a $C_{32}^{4}=35960$ r\'{e}partitions possibles. \item On suppose bien s\^{u}r que les \'{e}l\`{e}ves se r\'{e}partissent de mani\`{e}re \'{e}quiprobable sur les places. La probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement A est donc donn\'{e}e par le nombre de cas favorables \`{a} la r\'{e}alisation de A sur le nombre de cas possibles. Le nombre de cas possibles correspond au nombre de mani\`{e}res dont il est possible de r\'{e}partir 28 \'{e}l\`{e}ves sur 32 places; soit $C_{32}^{28}$. Le nombre de cas favorables correspond \`{a} la r\'{e}partition des 20 \'{e}l\`{e}ves qui restent sur les 24 places inocup\'{e}es, soit $C_{24}^{20}$. La probabilit\'{e} de l'\'{e}v\`{e}nement A est donc de $\dfrac{C_{24}^{20}% }{C_{32}^{28}}\simeq0,3.$\newline L'\'{e}v\`{e}nement B est r\'{e}alis\'{e} si on r\'{e}partit 14 \'{e}l\`{e}ves parmi les 16 places situ\'{e}es de part et d'autre de l'all\'{e}e centrale. La probabilit\'{e} cherch\'{e}e est donc \'{e}gale \`{a} $\dfrac{C_{16}^{14}\times C_{16}^{14}}{C_{32}^{28}}\simeq0,4.$ \end{enumerate} \item La variable al\'eatoire $X,$ \'egale au '' nombre de places inocup\'ees au rang R4 '', peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3 ou 4, car il y au plus quatre places inocup\'ees au rang R4. \begin{enumerate} \item La probabilit\'{e} qu'il n'y ait pas de place inocup\'{e}e au rang R4 est $\dfrac{C_{24}^{4}}{C_{32}^{4}}$. En effet, les cas possibles correspondent \`{a} r\'{e}partir les 4 places inocup\'{e}es parmi les 32 places possibles, tandis que les cas favorables correspondent au choix des 4 places parmi les 24 qui ne sont pas situ\'{e}es au rang R4.\newline La probabilit\'{e} qu'il y ait exactement une place inocup\'{e}e au rang R4 est donn\'{e}e par $\dfrac{C_{8}^{1}\times C_{24}^{3}}{C_{32}^{4}}$. Les cas favorables consistent \`{a} choisir une place inocup\'{e}e parmi les 8 du rang R4, et les trois autres parmi les 24 qui ne sont pas situ\'{e}es au rang R4. Par le m\^{e}me raisonnement, on peut dresser le tableau r\'{e}capitulant la loi de probabilit\'{e} de $X$ : \[% \begin{tabular} [c]{|l|l|l|l|}\hline $x_{i}$ & $0$ & $1$ & $2$\\\hline $p\left( X=x\right) $ & $\dfrac{C_{24}^{4}}{C_{32}^{4}}=\dfrac{5313}{17980}$% & $\dfrac{C_{8}^{1}\times C_{24}^{3}}{C_{32}^{4}}=\dfrac{2024}{4495}$ & $\dfrac{C_{8}^{2}\times C_{24}^{2}}{C_{32}^{4}}=\dfrac{966}{4495}$\\\hline $x_{i}$ & $3$ & $4$ & \\\hline $p\left( X=x\right) $ & $\dfrac{C_{8}^{3}\times C_{24}^{1}}{C_{32}^{4}% }=\dfrac{168}{4495}$ & $\dfrac{C_{8}^{4}}{C_{32}^{4}}=\dfrac{7}{3596}$ & \\\hline \end{tabular} \] \item La formule du cours permet de trouver que l'esp\'{e}rance math\'{e}matique de $X$ vaut $1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{Correction de l'exercice \ref{exo_cent-etran97}} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Un point M d'affixe $z$ ($z\neq2i$) est invariant si et seulement si $z^{\prime}=z$ soit $z=\frac{2z}{z-2i}$. Ce qui \'{e}quivaut \`{a} : \[ z(z-2i)=2z\Leftrightarrow z(z-2i-2)=0\Leftrightarrow\left\{ \begin{array} [c]{l}% z=0\\ \mbox{ou}\\ z=2+2i \end{array} \right. \] Il s'en suit que $f$ admet deux points invariants, le point O et le point d'affixe $2+2i$.\newline \item L'image de B a pour affixe $1+i$, c'est donc I milieu de [AB].\newline L'image de I est le point d'affixe $2i$, c'est donc A. \end{enumerate} \item $z^{\prime}=\frac{2z}{z-2i}$ \'{e}quivaut \begin{align*} \left\{ \begin{array} [c]{l}% |z^{\prime}|=\left| \frac{2z}{z-2i}\right| \\ \mbox{et}\\ \arg z^{\prime}=\arg\frac{2z}{z-2i}\quad(2\pi) \end{array} \right. & \Leftrightarrow\left\{ \begin{array} [c]{l}% |z^{\prime}|=\frac{|2z|}{|z-2i|}\\ \mbox{et}\\ \arg z^{\prime}=\arg2+\arg z-\arg(z-2i)\quad(2\pi) \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow\left\{ \begin{array} [c]{l}% |z^{\prime}|=\frac{|2z|}{|z-2i|}\\ \mbox{et}\\ \arg z^{\prime}=0+\arg z-\arg(z-2i)\quad(2\pi) \end{array} \right. \\ & \Leftrightarrow\left\{ \begin{array} [c]{l}% \mbox{OM'}=2\frac{OM}{AM}=2\frac{MO}{MA}\\ \mbox{et}\\ (\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow{\strut\mbox{OM'}})=(\overrightarrow {\strut u},\overrightarrow{\strut\mbox{OM}})-(\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow{\strut\mbox{AM}})\quad(2\pi) \end{array} \right. \end{align*} On obtient finalement le r\'{e}sultat, en effet :\newline ${\displaystyle (\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow{\strut\mbox{OM}})-(\overrightarrow {\strut u},\overrightarrow{\strut\mbox{AM}})=(\overrightarrow{\strut\mbox{AM}% },\overrightarrow{\strut\mbox{OM}})=(\overrightarrow{\strut\mbox{MA}% },\overrightarrow{\strut\mbox{MO}})\quad(2\pi)}$. \item Si M appartient \`{a} la m\'{e}diatrice de [OA] alors MO=MA. Donc, M \'{e}tant distinct de A, $\frac{MO}{MA}=1$. D'o\`{u} OM'=2. M' appartient alors au cercle de centre O et de rayon 2. Ce cercle passe par B. \item Si M est en O, alors M' est en O, puisque O est invariant.\newline Si M est diff\'{e}rent de O, le vecteur $\overrightarrow{\strut\mbox{MO}}$ n'est pas nul. Si M est \'{e}l\'{e}ment du cercle de diam\`{e}tre [OA] priv\'{e} de A et O alors $(\overrightarrow{\strut\mbox{MA}},\overrightarrow{\strut \mbox{MO}})=\frac{\pi}{2}\quad(\pi)$. En utilisant le r\'{e}sultat de la question 2. nous en d\'{e}duisons que : $(\overrightarrow{\strut u},\overrightarrow{\strut\mbox{OM'}})=\frac{\pi}{2}\quad(\pi)$, donc que M' est \'{e}l\'{e}ment d'une droite passant par O et de vecteur directeur orthogonal \`{a} $\overrightarrow{\strut u}$, c'est \`{a} dire \`{a} la droite (OA). \item La figure est ci-dessous.% %TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{2.0583in}{2.8997in}{0pt}{}{}{fig6.eps}% %{\special{ language "Scientific Word"; type "GRAPHIC"; %maintain-aspect-ratio TRUE; display "USEDEF"; valid_file "F"; %width 2.0583in; height 2.8997in; depth 0pt; original-width 8.2711in; %original-height 11.6974in; cropleft "0.3766924"; croptop "0.8405768"; %cropright "0.6036096"; cropbottom "0.6136759"; %filename 'fig6.eps';file-properties "XNPEU";}}}% %BeginExpansion \begin{center} \includegraphics[ trim=3.115661in 7.178412in 3.278584in 1.864837in, height=2.8997in, width=2.0583in ]% {fig6.eps}% \end{center} %EndExpansion \end{enumerate} \vspace{-2.5cm} \section{Probl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\`}}% %BeginExpansion \`% %EndExpansion emes} \subsection{Correction du probl% %TCIMACRO{\TeXButton{'}{\`}}% %BeginExpansion \`% %EndExpansion eme \ref{pb_nouv_caledonie_96}} \textbf{Partie I} \begin{enumerate} \item $f^{\prime}(x)=(2-x)xe^{-x}$. \item Pour tout r\'{e}el $x$ $e^{-x}>0$. Le signe de $f^{\prime}(x)$ est celui de $(2-x)x$.\newline $f^{\prime}$ s'annule pour $x=0$ ou $x=2$. $f^{\prime}(x)>0$ pour $x\in]0,2[$. $f^{\prime}(x)<0$ pour $x\in ]-\infty,0[\cup]2,+\infty\lbrack$. \newline $f$ est donc croissante sur $\left] 0,2\right[ $ et d\'{e}croissante sur $]-\infty,0[\cup]2,+\infty \lbrack$.\newline $\lim_{x\rightarrow-\infty}e^{-x}=+\infty$ et $\lim _{x\rightarrow-\infty}x^{2}=+\infty$. On en d\'{e}duit $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$.\newline Pour tout r\'{e}el $x$, $f(x)=\frac{x^{2}% }{e^{x}}$.Nous savons que, pour $\alpha>0$, $\lim_{x\rightarrow+\infty}% \frac{e^{x}}{x^{\alpha}}=+\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow+\infty}% f(x)=0$.\newline \[% \begin{tabular} [c]{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ & & 0 & & 2 & & $+\infty$\\\hline $f^{\prime}(x)$ & & $-$ & 0 & $+$ & 0 & $-$ & \\\hline & $+\infty$ & & & & $4e^{-2}$ & & \\ $f(x)$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & & $\searrow$ & \\ & & & 0 & & & & 0\\\hline \end{tabular} \] \item Le trac\'{e} de la courbe repr\'{e}sentative de $f$ est ci-dessous : %TCIMACRO{\FRAME{dtbhF}{3.0727in}{2.0539in}{0pt}{}{}{fig7.eps}% %{\special{ language "Scientific Word"; type "GRAPHIC"; %maintain-aspect-ratio TRUE; display "USEDEF"; valid_file "F"; %width 3.0727in; height 2.0539in; depth 0pt; original-width 3.0026in; %original-height 1.9977in; cropleft "0"; croptop "1"; cropright "1"; %cropbottom "0"; filename 'fig7.eps';file-properties "XNPEU";}}}% %BeginExpansion \begin{center} \includegraphics[ height=2.0539in, width=3.0727in ]% {fig7.eps}% \end{center} %EndExpansion \end{enumerate} \textbf{Partie II} \begin{enumerate} \item On int\`{e}gre par parties. On pose $u^{\prime}(x)=e^{-x}$, \ $u(x)=-e^{-x}$\newline $v(x)=x$, \ $v^{\prime}(x)=1$\newline d'o\`{u} $\mbox{J}=[-xe^{-x}]^{1}_{0}-\int_{0}^{1}-e^{-x}dx=[-xe^{-x}-e^{-x}]^{1}% _{0}=-2e^{-1}+1$ \item $f(x)+f^{\prime}(x)=x^{2}e^{-x}+2xe^{-x}-x^{2}e^{-x}=2xe^{-x}$ \item On en d\'{e}duit : $\int_{0}^{1}f^{\prime}(x)dx+\int_{0}^{1}% f(x)dx=2\int_{0}^{1}xe^{-x}dx$\newline Comme $\int_{0}^{1}f^{\prime }(x)dx=[f(x)]_{0}^{1}=f(1)-0$ \ et \ $2\int_{0}^{1}xe^{-x}dx=2\mbox{J}$ \ on obtient \ : \ $\int_{0}^{1}f(x)dx=2\mbox{J}-f(1)$\newline Remarque : \newline En rempla\c{c}ant J et $f(1)$ par leur valeur, il vient \ $\int _{0}^{1}f(x)dx=-\frac{5}{e}+2$. \end{enumerate} \textbf{Partie III}\newline Il n'est pas demand\'{e} de prouver que l'\'{e}quation $f(x)=f(2)$ a une solution unique dans I. \begin{enumerate} \item On a $f(\alpha)=f(2)$, c'est \`{a} dire $\alpha^{2}e^{-\alpha}=4e^{-2}% $.\newline On en d\'{e}duit : $\alpha^{2}=4e^{\alpha}e^{-2}$.\newline $\alpha$ est n\'{e}gatif d'o\`{u} : $\alpha= -\sqrt{4e^{\alpha}e^{-2}}$ soit $\alpha= -2e^{\frac{\alpha}{2}}e^{-1}$ ou encore $\alpha= -\frac{2}{e}e^{\frac{\alpha }{2}}$. On a bien $\alpha=g(\alpha)$. \item $g^{\prime}(x)=-\frac{1}{2}e^{\frac{x}{2}}$. Pour tout $x$ de I \ $g^{\prime}$ est n\'{e}gative, donc $g$ est d\'{e}croissante. $g(\text{I}% )=[g(0),g(-1)]$. Or ${g(0)=-\frac{2}{e}\simeq-0,73}$ et $g(-1)=-\frac {2}{e^{\frac{1}{2}}}\simeq-0,45$. Il en r\'{e}sulte que $[g(\text{I}% )]\subset\text{I}$.\newline $\vert g^{\prime}(x)\vert=\frac{1}{e}e^{\frac {x}{2}}$. Pour $x$ \'{e}l\'{e}ment de I, $\frac{x}{2}$ est n\'{e}gatif, donc $e^{\frac{x}{2}}\leqslant1$. On en d\'{e}duit que pour tout $x$ de I, $\vert g^{\prime}(x)\vert\leqslant\frac{1}{e}$. \item Pour tout $x$ de I, $g(x)$ et $\alpha$ appartiennent \`{a} I, et comme $|g^{\prime}(x)|\leqslant\frac{1}{e}$, on peut appliquer l'in\'{e}galit\'{e} des accroissement finis avec nombres $g(x)$ et $\alpha$ d'o\`{u} :\newline $|g(x)-g(\alpha)|\leqslant\frac{1}{e}|x-\alpha|\mbox{ et comme }\ g(\alpha)=\alpha$\newline $\mbox{ on obtient finalemnent }\ |g(x)-g(\alpha)|\leqslant\frac{1}{e}|x-\alpha|.$ \item Ayant admis que pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, $U_{n}$ appartient \`{a} I, on peut appliquer l'in\'{e}galit\'{e} d\'{e}montr\'{e}e \`{a} la question pr\'{e}c\'{e}dente \`{a} $x=U_{n}$. On obtient pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ : \[ |g(U_{n})-\alpha|\leqslant\frac{1}{e}|U_{n}-\alpha|\mbox{ \ \ c'est à dire \ \ }\ |U_{n+1}-\alpha|\leqslant\frac{1}{e}|U_{n}-\alpha|. \] D\'{e}montrons par r\'{e}currence que :\ \ $|U_{n+1}-\alpha|\leqslant\left( \frac{1}{e}\right) ^{n}|U_{0}-\alpha|.$\newline $\bullet$ Pour $n=0$, on a $\left( \frac{1}{e}\right) ^{0}=1$ donc \ $|U_{0}-\alpha|\leqslant\left( \frac{1}{e}\right) ^{0}|U_{0}-\alpha|.$\newline $\bullet$ On suppose que : $|U_{n}-\alpha|\leqslant\left( \frac{1}{e}\right) ^{n}|U_{0}-\alpha|$ ; on obtient alors : \[ |U_{n+1}-\alpha|\leqslant\frac{1}{e}|U_{n}-\alpha|\leqslant\frac{1}{e}\left( \frac{1}{e}\right) ^{n}|U_{0}-\alpha|. \] Finalement : $|U_{n+1}-\alpha|\leqslant\left( \frac{1}{e}\right) ^{n+1}|U_{0}-\alpha|$ \ ce qui d\'{e}montre la propri\'{e}t\'{e} au rang $n+1$.\newline Conclusion :\newline Pour tout $n$ de $\mathbb{N}$ on a $|U_{n}-\alpha|\leqslant\left( \frac{1}{e^{n}}\right) |U_{0}-\alpha |\leqslant\frac{1}{2e^{n}}$.\newline Par ailleurs, $U_{0}=\frac{1}{2}$ et $\alpha\in\lbrack-1,0]$, donc $|U_{0}-\alpha|\leqslant\frac{1}{2}$.\newline Il en r\'{e}sulte que, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$,\ \ $|U_{n}-\alpha |\leqslant\frac{1}{2e^{n}}$. \item Pour avoir $|U_{0}-\alpha|\leqslant10^{-6}$, il suffit que $\frac {1}{2e^{n}}\leqslant10^{-6}$, c'est \`{a} dire $2e^{n}\geqslant10^{6}% $.\newline $2e^{n}\geqslant10^{6}\quad\Leftrightarrow\quad e^{n}\geqslant \frac{10^{6}}{2}\quad\Leftrightarrow\quad n\geqslant\ln\left( \frac{10^{6}% }{2}\right) $.\newline $\ln\left( \frac{10^{6}}{2}\right) \simeq 13,12$.\newline La plus petite valeur de $n$ qui convienne est 14.\newline Remarque :\newline La calculatrice donne $U_{14}\simeq-0,556929$ qui est une valeur approch\'{e}e de $\alpha$ \`{a} $10^{-6}$ pr\`{e}s. \end{enumerate} \noindent% %TCIMACRO{\TeXButton{Place Index Here}{\clearpage %\addcontentsline{toc}{chapter}{Index} %\printindex %}}% %BeginExpansion \clearpage \addcontentsline{toc}{chapter}{Index} \printindex %EndExpansion \newpage \begin{center}% \[ {}% \] \vspace{2cm} \thispagestyle{empty}Ce livre a \'{e}t\'{e} enti\`{e}rement compos\'{e} gr\^{a}ce au logiciel \LaTeX{} \vspace{2cm} La r\'{e}alisation de cet ouvrage a \'{e}t\'{e} rendue possible gr\^{a}ce \`{a} : \[% \begin{tabular} [c]{c}% Fran\c{c}oise Labrousse\\ Michel Gosse\\ Jean-Claude Renaud\\ Christian Ballion\\ Jean-Pierre Prigent\\ Jean Michel Sarlat \end{tabular} \] et au soutien moral de tous les autres... \vspace{1cm} Copyright Lyc\'{e}e Louis Armand 1999 \end{center} \end{document}