\exo{Le résultant de deux polynômes, aperçu} Soient~$P$ et~$Q$ deux polynômes de~$K[X]$ (où~$K = \RR$ ou~$\CC$) de degré~$p$ et~$q$ respectivement~: $$ P(X) = a_p X^p + \cdots + a_0 \qquad \text{et} \qquad Q(X) = b_q X^q + \cdots + b_0 $$ Une fois n'est pas coutume, pour~$n > 0$, on note~$K_n[X]$ l'ensemble des polynômes de degré {\bfseries strictement} inférieur à~$n$ ---~au fait quelle est la dimension de cet espace~--- que l'on munit de la base~$\mathcal{B}_n = \{X^{n-1}, X^{n-2}, \ldots, X, 1\}$. Enfin, on introduit l'application~: $$ \begin{array}{rccc} \varphi~: & K_q[X] \times K_p[X] & \longrightarrow & K_{p+q}[X] \\ & (U,V) & \longmapsto & UP + VQ \end{array} $$ L'espace de départ est muni de la base~$\mathcal{B}_q \times \mathcal{B}_p = \{(X^{q-1}, 0), \ldots, (1, 0), (0, X^{p-1}), \ldots, (0, 1)\}$ et celui d'arrivée de la base~$\mathcal{B}_{p+q}$. \q Vérifier que~$\varphi$ est une application linéaire et dresser, dans les bases fixées précédemment, la matrice de l'application~$\varphi$ pour~$p = 6$ et~$q = 4$ par exemple. \vspace{0.5em} On définit le {\bfseries résultant} des polynômes~$P$ et~$Q$, noté~$\res(P,Q)$, comme étant le déterminant de cette application~:~$\res(P,Q) = \det(\varphi)$. \q Calculer ce résultant pour~$p = q = 1$ pour~$p = 2$ et~$Q = P'$ (poser~$P(X) = aX^2 + bX + c$ dans le deuxième cas, histoire de peut-être vous interpeller). \q Nous allons établir un certain nombre de formules liées au résultant~; dans chacun des cas avant de vous attaquer au cas général, traiter des cas particuliers avec de petites valeurs de~$p$ et~$q$. \subq Vérifier que pour~$r \in K$, on a~$\res(X-r, Q) = Q(r)$. \subq Montrer que~$\res(XP, Q) = Q(0)\res(P,Q)$. \subq Montrer que pour~$r \in K$, on a~$\res(P(X-r), Q(X-r)) = \res(P, Q)$. \subq Gr’ce aux deux questions précédentes prouver que~: $$ \res((X-r)P, Q) = Q(r)\res(P,Q) \qquad \text{et} \qquad \res((X - r_1) \cdots (X - r_p), Q) = Q(r_1) \cdots Q(r_p) $$ les~$r_i$ et~$r$ étant des éléments de~$K$. \q Montrer le résultat\footnote{J'attire votre attention sur le fait que ce test est complètement effectif (i.e. programmable en machines). Sachez de plus que le résultant est un déterminant loin d'être quelconque~; d'ailleurs, il existe des algorithmes spécifiques (et assez sophistiqués) permettant de calculer un résultant efficacement. Autrement dit, tout système de calcul formel digne de ce nom n'utilise jamais la fonction {\sl déterminant} ---~si cette dernière existe~--- pour calculer un résultant.} fondamental suivant~: les polynômes~$P$ et~$Q$ ont une racine commune dans~$\CC$ si et seulement si~$\res(P,Q) = 0$. \q Confronter le résultat précédent aux exemples du début de cet exercice. Notamment, le deuxième résultant, calculé à cette occasion, ne vous rappelle-t-il pas, à un coefficient près, un certain réel (ou complexe) associé au polynôme~$aX^2 + bX + c$. \q Considérons maintenant le résultant de~$P$ et~$Q$ comme un déterminant à coefficients dans~$K[X]$, plutôt que dans~$K$. \subq Pour~$1 \leq i \leq p+q$, on note~$L_i$ la $i$-ème ligne du déterminant définissant~$\res(P, Q)$~; effectuer l'opération sur les lignes indiquée ci-dessous~: $$ L_{p+q} \leftarrow X^{p+q-1} L_1 + X^{p+q-2} L_2 + \cdots + X L_{p+q-1} + L_{p+q} $$ et montrer que~$\res(P, Q)$ peut se définir comme un déterminant à coefficients dans~$K[X]$ tous les coefficients étant constants sauf ceux de la dernière ligne qui sont de la forme~$X^i P$ ou~$X^j Q$ avec~$0 \leq i < q$ et~$0 \leq j < p$ (conseil d'ami~: effectuer tout d'abord cette opération pour deux valeurs de~$p$ et~$q$ petites, par exemple~$p = 6$ et~$q= 4$). \subq En utilisant la nouvelle expression du résultant que vous venez de mettre en évidence, prouver qu'il existe~$(U,V) \in K_q[X] \times K_p[X]$ tel que~$\res(P,Q) = UP + VQ$. \subq Retrouver le fait que si~$P$ et~$Q$ ont une racine commune dans~$\CC$ alors leur résultant est nul. \ifwithcorrection \correction \q Pour fixer les idées, on a~: $$ \res(a_6 X^6 + \cdots + a_0, b_4 X^4 + \cdots + b_0) = \begin{vmatrix} a_6 & 0 & 0 & 0 & b_4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_5 & a_6 & 0 & 0 & b_3 & b_4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a_4 & a_5 & a_6 & 0 & b_2 & b_3 & b_4 & 0 & 0 & 0 \\ a_3 & a_4 & a_5 & a_6 & b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & 0 & 0 \\ a_2 & a_3 & a_4 & a_5 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & 0 \\ a_1 & a_2 & a_3 & a_4 & 0 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 & b_4 \\ a_0 & a_1 & a_2 & a_3 & 0 & 0 & b_0 & b_1 & b_2 & b_3 \\ 0 & a_0 & a_1 & a_2 & 0 & 0 & 0 & b_0 & b_1 & b_2 \\ 0 & 0 & a_0 & a_1 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_0 & b_1 \\ 0 & 0 & 0 & a_0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & b_0 \\ \end{vmatrix} $$ (c'est donc une matrice carrée~$(p+q) \times (p+q)$) \q Pour~$p = q = 1$, on trouve~$\res(P, Q) = a_1 b_0 - a_0 b_1$~; le deuxième exemple donne~: $$ \res(aX^2 + bX + c, 2aX + b) = - a (b^2 - 4ac) $$ qui, à une constante près, n'est rien d'autre que l'ultra-classique discriminant de~$aX^2 + bX + c$ souvent noté~$\Delta$. \q Quelques propriétés. \subq Il suffit de développer par rapport à la dernière colonne. \subq Il suffit de développer par rapport à la dernière ligne. \subq \'Ecrire le premier résultant dans les bases constituées d'éléments de la forme~$(X-r)^i$. \subq D'après ce qui précède~: \begin{align*} \res((X - r)P(X), Q(X)) &= \res(X P(X+r), Q(X+r)) \\ &= Q(r) \res(P(X+r), Q(X+r)) = Q(r) \res(P(X), Q(X)) \end{align*} La deuxième formule découle directement de la dernière. \q \'Evident compte tenu des formules précédentes. \q On retrouve le fait que le polynôme~$aX^2 + bX + c$ admet une racine double quand~$\Delta = 0$. \q S'y va ! \subq Après la manipulation indiquées, la dernière ligne du déterminant~$\res(P,Q)$ vaut~: $$ \begin{bmatrix} X^{q-1} P & X^{q-2} P & \cdots & X P & P & X^{p-1} Q & X^{p-2} Q & \cdots & X Q & Q \end{bmatrix} $$ \ifnote LA FLEMME $$ \res(P,Q) = \begin{vmatrix} a_p & 0 & \cdots & 0 & b_q & 0 & & \cdots & & 0 \\ a_{p-1} & a_p & & \vdots & b_{q-1} & b_q & & & & \\ & a_{p-1} & \ddots & 0 & \vdots & b_{q-1} & b_q & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ & & & & & & & & & \\ \end{vmatrix} $$ \fi \subq Il suffit de développer par rapport à la dernière ligne. \subq ok. \fi