\exo{Le résultant est le bon résultat (bof~!)} Soient~$P(X) = X^3 + X + 1$ et~$Q(X) = X^2 + 1$ deux polynômes de~$\CC[X]$ et soit~$\varphi$ l'application linéaire définie par~: $$ \begin{array}{rccc} \varphi~: & \CC_2[X] \times \CC_3[X] & \longrightarrow & \CC_5[X] \\ & (U,V) & \longmapsto & UP + VQ \end{array} $$ où pour~$n \geq 1$, la notation~$\CC_n[X]$ désigne l'espace vectoriel des polynômes de degré {\bfseries strictement} inférieur à~$n$. \q Dresser la matrice de~$\varphi$ en choisissant~$\mathcal{B} = \{(X,0), (1,0), (0,X^2), (0,X), (0,1)\}$ comme base au départ et~$\mathcal{C} = \{X^4, X^3, X^2, X, 1\}$ comme base à l'arrivée. \q Calculer~$\res(P, Q)$ qui, je vous le rappelle, n'est rien d'autre que le déterminant de~$\varphi$. \ifwithcorrection \correction \q La matrice trouvée est~: $$ \Mat(\varphi, \mathcal{B}, \mathcal{C}) = \begin{pmatrix}1&0&1&0&0\\0&1&0&1&0\\1&0&1&0&1\\1&1&0&1&0\\0&1&0&0&1\end{pmatrix} $$ \q Son déterminant est~$1$. \fi