\exo{Le thérème de Cauchy} Il s'agit de prouver le théorème de Cauchy dont voici l'énoncé~: {\em un groupe fini~$G$ d'ordre~$pq$, avec~$p$ premier, contient un élément d'ordre~$p$}. Pour cela, on introduit~$X$ le sous-ensemble de~$G^p$ constitué des $p$-uplets suivants~: $$ X = \{(g_1, \ldots, g_p) \in G^p, \; g_1 \cdots g_p = 1\} $$ \q On commence par dénombrer~$X$. \subq Pourquoi~$X$ est-il non vide~? \subq Montrer que l'application~$X \rightarrow G^{p-1}$ qui au $p$-uplet~$(g_1, \ldots, g_p) \in X$ associe le $(p-1)$-uplet~$(g_1, \ldots, g_{p-1})$ est une bijection. \subq En déduire le cardinal de~$X$ (rappel~: le cardinal de~$E^r$ avec~$E$ fini de cardinal~$n$, est égal à~$n^r$). \q Vérifier l'équivalence entre les deux propriétés suivantes~: (i)~:~$G$ possède un élément d'ordre~$p$ et (ii)~:~$X$ contient un élément dont toutes les coordonnées sont égales et distinctes de~$1$. \q On introduit~$c$ le $p$-cycle~$(1, \ldots, p)$ et pour~$(g_1, \ldots, g_p) \in G^p$, on pose~: $$ c . (g_1, \ldots, g_p) = (g_{c(1)}, \ldots, g_{c(p)}) = (g_p, g_2, g_3, \ldots, g_{p-1}, g_1) $$ Sur le même principe, pour~$0 \leq i \leq p-1$, on définit~$c^i . (g_1, \ldots, g_p)$. \subq Si~$\mathbb{g} \in X$, vérifier que~$c . \mathbb{g} \in X$. Montrer que l'on a la même propriété en remplaçant~$c$ par une de ses puissances. \q Soient~$Y$ et~$Z$ les deux sous-ensembles de~$X$ définis par~: $$ Y = \{(g_1, \ldots, g_p) \in X, \; g_1 = \cdots = g_p\} \qquad Z = \{(g_1, \ldots, g_p) \in X, \; (\exists \, i \not= j, \; g_i \not= g_j)\} $$ Bien sšr,~$X$ est la réunion disjointe de~$Y$ et~$Z$. \subq En permutant les coordonnées, montrer qu'un quelconque élément~$(g_1, \ldots, g_p) \in Z$ permet d'en construire $(p-1)$~autres. \subq \`A l'aide de la question précédente, prouver que le cardinal de~$Z$ est divisible par~$p$. \subq En déduire le cardinal de~$Y$ est lui aussi divisible par~$p$. \subq Conclure.