\exo{Matrice compagnon et dualité} Soit~$K$ un corps ($K = \RR$ ou~$\CC$ si vous préférez),~$E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie~$n$ et~$u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de~$E$. On suppose que~$(E, u)$ est un espace {\bfseries monogène} c'est-à-dire qu'il existe~$x \in E$ tel que~: $$ E = K x \oplus K u(x) \oplus \cdots \oplus K u^{n-1}(x) $$ Autrement dit, la famille~$\mathcal{B} = \{ x, u(x), \ldots, u^{n-1}(x) \}$ est une $K$-base de~$E$. \q Montrer l'existence de coefficents~$a_0, \ldots, a_{n-1} \in K$ tels que~: $$ u^n(x) + a_{n-1} u^{n-1}(x) + \cdots + a_0 x = 0 $$ \q \`A l'aide de ces coefficients, dresser la matrice~$M$ de~$u$ dans la base~$\mathcal{B}$. \q En déduire que le polynôme caractéristque de~$u$ n'est rien d'autre que~: $$ (-1)^n (X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \cdots + a_0) $$ (indication~: développer~$\det(M - X\Id)$ par rapport à la dernière colonne). En déduire que~: $$ u^n + a_{n-1}u^{n-1} + \cdots + a_0 = 0 $$ \q Considérons~$E^*$ l'espace dual de~$E$ ainsi que~$v = {}^t u$ l'endomorphisme transposé de~$u$. On va montrer que~$(E^*, v)$ est lui aussi un espace monogène~; notons, pour alléger,~$e_i = u^{i-1}(x)$ et considérons~$\{e_i^*\}_i$ la base duale de~$\{e_i\}_i$. Vérifier que~: $$ E^* = K e_n^* \oplus K v(e_n^*) \oplus \cdots \oplus K v^{n-1} (e_n^*) $$ Conclure. \q Dresser la matrice de~$v$ dans la base~$\{e_n^*, v(e_n^*), \ldots, v^{n-1} (e_n^*)\}$. Que remarquez-vous~? \q En déduire que la matrice~$M$ est semblable à sa transposée\footnote{Plus généralement, on peut montrer que toute matrice (à coefficients dans un corps) est semblable à sa transposée.}. \ifwithcorrection \correction \q Puisque~$u \in \mathcal{L}(E)$, il en est de même de~$u^n$ par conséquent, $u^n(x) \in E$. La famille~$x, u(x), \ldots, u^{n-1}(x)$ étant une base de~$E$, il existe~$\lambda_0, \ldots, \lambda_{n-1} \in K$ tels que~: $$ u^n(x) = \lambda_0 x + \cdots + \lambda_{n-1} u^{n-1}(x) $$ Posant~$a_i = - \lambda_i$, on a bien~: $$ u^n(x) + a_{n-1} u^{n-1}(x) + \cdots + a_0 x = 0 $$ \q Par construction, on a~: $$ M = \Mat(u, \mathcal{B}) = \begin{pmatrix} 0 & & & & -a_0 \\ 1 & 0 & & & \vdots \\ & 1 & \ddots & & \vdots \\ & & \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ & & & 1 & -a_{n-1} \\ \end{pmatrix} $$ tous les coefficients n'apparaissant pas étant nuls. \q Pour le calcul du polynôme caractéristique, suivre l'indication. La fin de la question découle du théorème de Caley-Hamilton. \q Pour montrer que~: $$ E^* = K e_n^* \oplus K v(e_n^*) \oplus \cdots \oplus K v^{n-1} (e_n^*), $$ il suffit (par exemple) de vérifier que la famille~$\{e_n^*, v(e_n^*), \ldots, v^{n-1}(e_n^*)\}$ est libre. Considérons une combinaisons linéaire nulle de cette famille~: \begin{equation} \label{combi_li} \lambda_0 e_n^* + \lambda_1 v(e_n^*) + \cdots + \lambda_{n-1} v^{n-1} (e_n^*) = 0 \end{equation} En particlier, en appliquant cette égalité en~$e_1 = x$, on obtient~: \begin{align*} \lambda_0 e_n^*(x) + \lambda_1 v(e_n^*)(x) + \cdots + \lambda_{n-1} v^{n-1} (e_n^*)(x) &= \lambda_0 e_n^*(x) + \lambda_1 e_n^*(u(x)) + \cdots + \lambda_{n-1} (e_n^*)(u^{n-1}(x)) \\ &= \lambda_0 e_n^*(e_1) + \lambda_1 e_n^*(e_2) + \cdots + \lambda_{n-1} (e_n^*)(e_n) \\ & = \lambda_{n-1} = 0 \end{align*} Le coefficient~$\lambda_{n-1}$ est donc nul. Tenant compte de ce fait et appliquant maintenant l'égalité~(\ref{combi_li}) à~$e_2 = u(x)$ cette fois, on montre que~$\lambda_{n-2} = 0$. De proche en proche, on prouve que~: $$ \lambda_{n-1} = \lambda_{n-2} = \cdots = \lambda_0 = 0 $$ La famille~$\{v^{i}(e_n^*)\}_{0\leq i \leq n-1}$ est donc une famille libre de~$E^*$ que l'on sait être de dimension~$n$~; c'est donc une $K$-base de~$E$. Autrement dit~$(E^*, v)$ est un espace monogène. \q Pour dresser la matrice de~$v$ dans la base~$\{e_n^*, v(e_n^*), \ldots, v^{n-1}(e_n^*)\}$, il reste à décomposer~$v^n(e_n^*)$ sur cette base. Comme~$u^n + a_{n-1}u^{n-1} + \cdots + a_0 = 0$, on a~: \begin{align*} v^n(e_n^*) &= e_n^* \circ u^n \\ &= e_n^* \circ (-a_{n-1}u^{n-1} - a_{n-2}u^{n-2} \cdots - a_1 u - a_0) \\ &= - a_{n-1} e_n^* \circ u^{n-1} - a_{n-2} e_n^* \circ u^{n-2} \cdots - a_1 e_n^* \circ u - a_0 e_n^* \\ &= - a_{n-1} v^{n-1}(e_n^*) - a_{n-2} v^{n-2}(e_n^*) \cdots - a_1 v(e_n^*) - a_0 e_n^* \\ \end{align*} Par conséquent, $$ \Mat(v, \{e_n^*, v(e_n^*), \ldots, v^{n-1}(e_n^*)\}) = M $$ \q D'après ce qui précède, $$ \Mat(v, \{e_n^*, v(e_n^*), \ldots, v^{n-1}(e_n^*)\}) = \Mat(u, \{e_i\}) $$ Par ailleurs, on sait que~: $$ \Mat(v, \{e_i^*\}) = {}^t \Mat(u, \{e_i\}) = {}^t M $$ Ainsi~$M$ et~${}^t M$ représentent le même endomorphisme~$v$~; elles sont donc semblables. \fi