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\exo{Pauvre forme, elle est dégénérée}
 
Soit~$q : \RR^3 \rightarrow \RR$ la forme quadratique définie
par~$q(x,y,z) = x^2 - z^2 + 2xy + 2yz$ et~$\varphi$ sa forme polaire.
 
\q \'Ecrire~$q$ sous la forme de somme de carrés.
\q En déduire le rang, la signature de~$q$, une base orthogonale pour~$\varphi$ et enfin~$N$ le
noyau de~$\varphi$ (on rappelle
que~$N = \{v \in \RR^3, \; (\forall w \in \RR^3, \; \varphi(v,w) = 0)\}$.
\q Soit~$F$ le sous-espace de~$\RR^3$ engendré par le vecteur~$(1,1,1)$.
\subq Déterminer~$F^\perp$,
c'est-à-dire~$\{v \in \RR^3, \; (\forall w \in F, \; \varphi(v,w) = 0)\}$.
\subq Vérifier que~$N \subset F^\perp$
\subq Déterminer~${F^\perp}^\perp$
\subq Vérifier que~${F^\perp}^\perp = N + F$. Ce genre de phénomène peut-il se produire dans
un espace euclidien~?
 
\ifwithcorrection \correction
 
\q On a~$q(x,y,z) = (x+y)^2 - (y-z)^2$.
\q La signature de~$q$ est donc~$(1,1)$, comme base orthogonale on peut
choisir~:
$$
\left\{
  \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},
  \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix},
  \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}
\right\}
$$
et~$N$ est engendré par le vecteur~$(-1,1,1)$.
 
\q Soit~$F$ le sous-espace engendré par~$(1,1,1)$ alors~:
$$
F^\perp = \{(x,y,z), \; x+y = 0\}
        = \RR \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}
          \oplus
          \RR \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
$$
et~:
$$
{F^\perp}^\perp = \{(x,y,z), \; y-z = 0\}
                = \RR \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}
                 \oplus
                  \RR \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}
                = \RR \begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}
                 \oplus
                  \RR \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
                = F + N
$$
\fi