%disposition standard pour les textes de devoirs \documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage{geometry} \usepackage{french,amssymb,amsmath,amsfonts} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[T1]{fontenc} \textwidth17,9cm \textheight25.5cm \usepackage{lastpage} \newcommand{\N}{\mathbb{N}}%ens. des entiers \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}%ens. des relatifs \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}%ens. des rationnels \newcommand{\R}{\mathbb{R}}%ens. des réels \newcommand{\C}{\mathbb{C}}%ens. des complexes \newcommand{\ROD}{\mbox{$\left(O,\vect{u},\vect{v}\right)$}}%repère orthon.direct \newcommand{\RON}{\mbox{$\left(O,\vect{i},\vect{j}\right)$}}%repère orthon \newcommand{\AXE}{\mbox{$\left(O,\vect{i}\right)$}}%axe (OI) \newcommand{\base}{\mbox{$\mathcal{B} = \left(\vect{i},\vect{j}\right)$}} %base des vecteurs du plan \newcommand{\se}{\geqslant} \newcommand{\ie}{\leqslant} \def\vect#1{\overrightarrow{\strut#1}} \newcounter{num} \newcommand{\exo}{\addtocounter{num}{1}\framebox{EXERCICE~\thenum~}} \newcommand{\pt}{\hspace*{0,5cm}$\bullet$\hspace*{0,2cm}} \newcommand{\disf}{\displaystyle\frac} % Definitions pour l'inclusion de graphiques eps (Jean-Michel SARLAT) \def\figTR#1{} % Si vous ne voulez pas inclure de figure, retirer éventuellement les lignes % suivantes jusqu'à la section 4 \usepackage[dvips]{epsfig} % == Figure en taille fixee par l'utilisateur \def\taille{\long\def\epsfsize##1##2{\facteur\textwidth}} \def\fig#1#2{\long\def\facteur{#1}\taille\epsffile{#2}} % == Figure en taille reelle \def\tailleR{\long\def\epsfsize##1##2{0pt}} \def\figTR#1{\tailleR\epsffile{#1}} %numérotation des pages par rapport à la dernière \makeatletter \renewcommand{\@evenfoot}% {\hfill page {\thepage}/\pageref{LastPage} \hfill} \renewcommand{\@oddfoot}{\@evenfoot} \makeatother %fin de la macro pour numéroter les pages \begin{document} \definecolor{gris}{gray}{0.8} \geometry{margin=1cm} \noindent \fcolorbox{black}{gris}{ \makebox[17,6cm][s]{ \textsl{Classe de TS 2 spé}\hfill \textsl{\large{Exercices de MATH\'EMATIQUES}}\hfill %(préciser) \textsl{Année scolaire 1998-1999}}}%indiquer l'année scolaire \begin{center} %à remettre le xx/xx/199x %date à indiquer %du xx/xx/199x(xx heure) \end{center} \exo\\[0,2cm] On considère l'équation : $36x - 25y = 5$ pour $x$ et $y$ entiers relatifs. \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Montrer que pour, pour toute solution $(x,y)$, $x$ est multiple de 5. \item[\textbf{2.}] Déterminer une solution particulière de l'équation, puis la résoudre. \item[\textbf{3.}] Soit $d$ le plus grand commun diviseur de $x$ et $y$ lorsque $(x,y)$ est %%@ solution de l'équation. \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] Quelles sont les valeurs possibles de $d$ ? \item[\textbf{b.}] Quelles sont les solutions pour lesquelles $x$ et $y$ sont premiers entre %%@ eux ? \end{enumerate} \end{enumerate} \exo \\[0,2cm] $a$ et $b$ étant deux entiers naturels non nuls, soit $d$ leur pgcd et $m$ leur %%@ ppcm.\\ Trouver tous les couples $(a,b)$ vérifiant le système : $$\left\lbrace \begin{array}{l} m = d^2\\ m + d = 156\\ a\se b \end{array} \right.$$ \exo \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Montrer que si deux nombres entiers $x$ et $y$ sont premiers entre eux, il %%@ en est de même pour les entiers $2x+y$ et $5x+2y$. \item[\textbf{2.}] Déterminer les entiers naturels non nuls $a$ et $b$ vérifiant : $$\left\lbrace \begin{array}{l} (2a + b)(5a + 2b) = 1620\\ ab = 3m \end{array} \right.$$ où $m$ désigne le ppcm de $a$ et $b$. \end{enumerate} \exo\\[0,2cm] Démontrer que sauf une exception, tout nombre premier $p$ est décomposable d'une %%@ seule façon en une différence de deux carrés d'entiers. Exemple : trouver $a$ et $b$ tels que %%@ $983 = a^2-b^2$.\\[0,5cm] \exo\\[0,2cm] $a,\ b,\ c,\ d$ sont quatre entiers naturels non nuls qui vérifient $ab - cd = %%@ 1$. \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Montrer que cette relation est équivalente à $a(b+d) - d(c+a) = 1$. \item[\textbf{2.}] En déduire que $\disf{a}{a+c},\quad \disf{d}{b+d},\quad \disf{a+c}{b+d}$ %%@ sont trois fractions irréductibles. \end{enumerate} \exo\\[0,2cm] On pose $u = 2+\sqrt{3}\ \mathrm{et}\ v = 2 - \sqrt{3}.$ \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Démontrer par récurrence que, $n$ désignant un entier strictement positif, %%@ on peut écrire : $$u^n = a_n + b_n\sqrt{3}\ \mathrm{et} \ v^n = a_n - b_n\sqrt{3},$$ où $a_n$ et $b_n$ sont des %%@ entiers naturels.\\ Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$. \item[\textbf{2.}] \'Etablir les égalités : $a^{2}_{n} - 3b^{2}_{n} = 1$ et $a_nb_{n+1} - %%@ a_{n+1}b_n = 1$.\\[0,2cm] En déduire que les fractions $\disf{a_n}{b_n},\ \disf{a_{n+1}}{a_n},\ \disf{b_{n+1}}{b_n}$ sont %%@ irréductibles. \end{enumerate} \newpage \noindent \begin{center} \fcolorbox{black}{gris}{ \makebox[17,6cm][s]{ \textsl{Classe de TS 2 spé}\hfill \textsl{\large{Corrigé des exercices d'arithmétique (fev. 99)}}\hfill %(préciser) \textsl{Année scolaire 1998-1999}}}%indiquer l'année scolaire \end{center} \framebox{EXERCICE 1} \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] $36x=5(5y+1)$, $5$ divise $36x$ et $5$ est premier avec $36$ donc $5$ divise %%@ $x$. \item[\textbf{2.}] Une solution particulière de l'équation est $x=5$ ; $y=7$.\\ L'équation est %%@ équivalente à : $36(x-5) = 25(y-7).$ Or $25$ divise $36(x-5)$, est premier avec 36 donc, %%@ d'après le théorème de Gauss, divise $x-5$ ; de même $36$ divise $y-7$. Il existe donc %%@ $(k,k')\in \Z^2$ tel que $x=25k+5$ et $y=36k'+7$. En reportant dans l'équation $36(x-5) = 25(y-%%@ 7)$, on en déduit $k=k'$. D'où la solution générale : $x=25k+5\,;\,y=36k+7,\ k \in \Z$. \item[\textbf{3.}] \begin{enumerate} \item[\textbf{a.}] $d$ divisant $x$ et $y$ divise donc $5$. Donc $d \in \{1\,;\,5\}$. \item[\textbf{b.}] $x=5(5k+1)$, produit de deux entiers premiers entre eux ; %%@ $y=36k+7=7(5k+1)+k$, et comme $5k+1$ et $k$ sont premiers entre eux, il en est de même de $y$ %%@ et $5k+1$. Par suite $x$ et $y$ ne peuvent être premiers entre eux que dans le seul cas où $y$ %%@ n'est pas multiple de $5$.\\ Or $y=5(7k+1)+k+2$ donc $y \equiv k+2 \pmod{5}$ et $k+2 \not %%@ \equiv 0 \pmod 5$ ssi $k \not \equiv 3 \pmod 5$.\\ D'où les solutions lorsque $x$ et $y$ sont %%@ premiers entre eux : $x=25k+5\,;\,y=36k+7$, $k \in \Z$ et $k \not \equiv 3 \pmod 5$. \end{enumerate} \end{enumerate} \framebox{EXERCICE 2}\\[0,2cm] On déduit du système donné $d^2+d = d(d+1)= 156 = 12\times 13$. %%@ Donc $d=12$ et $m=144$.\\ En posant $\disf{a}{12}=a'$ et $\disf{b}{12}=b'$, on cherche $a'$ et %%@ $b'$ premiers entre eux tels que $a'\se b'$ et $a'\times b' = 12$. \\ Après calculs on trouve %%@ $a'=12$ et $b'=1$, ou $a'=4$ et $b'=3$. D'où $ (a;b) \in \{(144,12)\,;\,(48,36)\}$.\\[0,2cm] \framebox{EXERCICE 3} \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Tout diviseur $d$ de $2x+y$ et $5x+2y$ divise $5x+2y-2(2x+y)=x$ et divise %%@ donc aussi $2x+y-2x=y$. Si $x$ et $y$ sont premiers entre eux, il en est donc de même de $2x+y$ %%@ et $5x+2y$. \item[\textbf{2.}] Soit $d$ le ppcm de $a$ et $b$. Par hypothèse $d=3$.\\ En posant %%@ $\disf{a}{3}=a'$ et $\disf{b}{3}=b'$, on est ramené à chercher $a'$, $b'$, premiers entre eux, %%@ tels que $$(2a'+b')(5a'+2b') = 180.$$\\ Or les entiers $2a'+b'$ et $5a'+2b'$ sont premiers %%@ entre eux et $180 = 2^2\times 3^2\times 5$. \\ Donc $(2a'+b'\,,\,5a'+2b') \in %%@ \{(1,180)\,;\,(4,45)\,;\,(5,36)\,;\,(9,20)\,;\,(20,9)\,;\,36,5)\,;\,(45,4)\,;(180,1)\}$.\\ Le %%@ système d'inconnues $a'$, $b'$ $$\left \lbrace \begin{array}{l} 2a'+b' = \alpha \\ 5a'+2b'= \beta \end{array} \right.$$ a pour solution $a' = \beta -2 \alpha\,;\,b'=5\alpha - 2\beta$. Soit en remplaçant le %%@ couple $(\alpha;\beta)$ successivement par chacun des couples de %%@ $\{(1,180)\,;\,(4,45)\,;\,(5,36)\,;\,(9,20)\,;\,(20,9)\,;\,36,5)\,;\,(45,4)\,;(180,1)\}$, on en %%@ déduit les seules solutions formées d'entiers naturels : $(6,15)\,;\,(15,6)$. \end{enumerate} \framebox{EXERCICE 4} \\[0,2cm] Cherchons s'il existe des entiers naturels non nuls $|a|$ et %%@ $|b|$ tels que $p = |a|^2 - |b|^2$, avec $p$ premier.\\ $|a|^2 - |b|^2 = (|a|-|b|)(|a|+|b|)$ et %%@ $|a|-|b| < |a|+|b|$ donc nécessairement $|a|-|b|=1$ et $|a|+|b|=p$. Par suite %%@ $|a|=\disf{p+1}{2}$ et $|b| = \disf{p-1}{2}$. La seule exception est donc pour $p=2$ (seul %%@ nombre premier pair).\\ Dans l'exemple $|a|-|b|=1$ et $|a|+|b|=983$, donc $|a|=492$ et %%@ $|b|=491$ d'où les quatre solutions $(-492,-491)\,;\, (-492,491)\,;\,(492,-491)\,;\,(492,491)$. \newpage \noindent \framebox{EXERCICE 5} \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] Immédiat en développant et en réduisant l'égalité $a(b+d)-d(c+a)=1$. \item[\textbf{2.}] Il résulte de la première question qu'il existe des entiers vérifiant %%@ $a(b+d)-d(c+a)=1$ c'est à dire qu'il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au+(c+a)v=1$ : %%@ d'après la propriété de Bezout $a$ et $c+a$ sont donc premiers entre eux et $\disf{a}{a+c}$ est %%@ une fraction irréductible.\\ On opère de manière analogue dans les deux autres cas. \end{enumerate} \framebox{EXERCICE 5} \begin{enumerate} \item[\textbf{1.}] La propriété est vérifiée pour $n=1$.\\ Soit $n$ un entier supérieur à $1$. %%@ $$\mathrm{Si}\ u^n = a_n + b_n \sqrt{3} \ \mathrm{alors} \ u^{n+1} = (a_n + b_n %%@ \sqrt{3})(2+\sqrt{3})=2a_n+3b_n + (a_n+2b_n)\sqrt{3}\quad ,$$ $$\mathrm{si}\ v^n = a_n-%%@ b_n\sqrt{3}\ \mathrm{alors}\ v^{n+1} = (a_n - b_n \sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2a_n+3b_n - %%@ (a_n+2b_n)\sqrt{3}.$$ On obtient donc bien des expressions du même type.\\ Par suite pour tout $n\se 1$, $u^n = a_n + b_n \sqrt{3}$ et $v^n = a_n - b_n \sqrt{3}$.\\ Il résulte de ce qui précède que $a_{n+1}= 2a_n + 3b_n$ et $ b_{n+1} = a_n+2b_n$. \item[\textbf{2.}] $a_n^2 - 3b_n^2 = u^n\times v^n = (uv)^n = 1$ et $ a_nb_{n+1} - a_{n+1}b_n = %%@ a_n(a_n+2b_n)-(2a_n+3b_n)b_n = a_n^2 - 3b_n^2 = 1$.\\ En raisonnant comme dans l'exercice 5, on %%@ en déduit que les fractions données sont irréductibles. \end{enumerate} \end{document}